1、第二章 極小值原理 最優(yōu)控制問題，實質(zhì)上是求某個性能泛函的條件極值問題。前一章研究了求泛函極值的經(jīng)典方法，即變分法。利用變分法求解最優(yōu)控制問題的中心內(nèi)容是求解歐拉方程和相應(yīng)的橫截條件。但是，在導(dǎo)出歐拉方程時利用了變分法的基本預(yù)備定理，這就要求容許狀態(tài)和控制的變分 、 是任意的。換句話說，就是n維狀態(tài)矢量 和m維控制矢量 都不受限制，可以在n+m維空間里任意取值；然而，如果最優(yōu)控制問題存在不等式約束，比如要求滿足條件 那么， 和 只容許在n十m維空間里某個閉集中取值。在這種情況下， 、 不再是任意的，用經(jīng)典變分法來求解是十分困難的。即使采用上章介紹的化不等式約束為等式約束來處理，也只能針對具體問

2、題具體分析，得不出具有普遍意義的關(guān)系式。 為了解決這個問題，在50年代中期，蘇聯(lián)學(xué)者龐特里雅金在經(jīng)典變分法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來一種方法，叫做極小值原理。極小值原理也常稱做極大值原理，它們在本質(zhì)上是一回事，只是敘述方式稍有不同。 極小值原理的一個顯著特點是由它求出的結(jié)果易于建立最優(yōu)控制系統(tǒng)的普遍結(jié)構(gòu)形式，它不僅適用于處理帶有開集性約束條件的最優(yōu)控制問題，而且也適用于處理帶有閉集性約束條件的最優(yōu)控制問題；因此，應(yīng)用十分廣泛，至今已成為求解最優(yōu)控制問題的強(qiáng)有力的工具。,本章首先介紹應(yīng)用哈米爾登函數(shù)法求解變分學(xué)中的被爾扎問 題，然后介紹威爾斯特拉斯E函數(shù)，為推導(dǎo)極小值原理做準(zhǔn)備； 最后介紹極小值原理，包括

3、有控制變量不等式約束的極小值 理、有控制變量及狀態(tài)變量不等式約束的極小值原理，以及離 極小值原理。 一、波爾札問題及其解法 這一節(jié)研究變分學(xué)中的波爾札問題，通過它來介紹求解變 分問題的哈米爾登函數(shù)法。哈米爾登函數(shù)法仍然屬于變分法的 內(nèi)容。但是，由它導(dǎo)出的結(jié)果在許多方面同極小值原理的結(jié)果十分 相似，可以把它看成極小值原理的特殊情況，即只存在性約束 條件的情況。這正是我們不把這部分內(nèi)容放在研究經(jīng)典變分學(xué)的 第一章的原因。下面，首先討論固定端點時間的波爾札問題， 然后討論未定終端時間問題。,1固定端點時間、無不等式約束的波爾札問題 本小節(jié)研究這樣幾個問題：(1)應(yīng)用哈米爾登函數(shù)法導(dǎo)出在微 分方程等式

4、約束下性能泛函取極值的必要條件；(2)一般條件下的 橫截條件；(3)哈米爾登函數(shù)的一個重要性質(zhì)；(4)在微分方程等式約束下 泛函取極值的充分條件；最后介紹若干應(yīng)用實例。 （1）在微分方程等式約束下性能泛函取極值的必要條件 前一章研究過有等式約束的拉格郎問題，其約束方程和性 指標(biāo)具有下列形式： 和 現(xiàn)在研究在一類特殊的等式約束，即系統(tǒng)微分方程 (231) 約束下的波爾札問題。其中 是 維狀態(tài)矢量， 是待選擇,的m維控制矢量。 取決于控制矢量 和初始條件矢量 。 是 維矢量函數(shù)，它的每個元對 和 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。給定 性能泛函 （2.12） 式中 、 和L都是連續(xù)可微的純量函數(shù)。假設(shè)端點時間 和 固

5、定。 下面我們應(yīng)用哈米爾登函數(shù)法來推導(dǎo)在系統(tǒng)方程(211)的 約束下，使泛函J取極值的必要條件。 應(yīng)用拉格朗日乘子，通過矢量拉格郎乘了 把系統(tǒng)微分 方程（211）能泛函(212)，得到 定義一個純量函數(shù),（2.14） 該函數(shù)稱做哈米爾等函數(shù)。利用這個函數(shù)，方程(213)可寫成 （2.15） 取 的一次變分，得 （2.16） 對上式右邊積分號下最后一項使用分部積分；得到,把它代入方程(216)，可得 (21一7) 泛涵J取極值的必要條什是 。在這里函數(shù) 、 、 不受限制，方程(217)中 、 、 為任意。于是，根據(jù) 必要條件可得下面一組重要的關(guān)系式： (218) (2l9) (2110) （21

6、11） 方程(218)、(219)和(2110)是利用哈米爾登函數(shù)法導(dǎo) 出的歐拉方程，分別叫做系統(tǒng)方程和控制方程。方程 (2111)是相應(yīng)的橫截條件，式中n維矢量 叫做協(xié)狀態(tài)矢量 方程(218)和(219)一起叫做規(guī)范方程。,這里有2n+m個待定函數(shù) ， ， 。方程(218)一(21l0)提供2n+m獨立方程，其中有2n個一階微分方程，它們的解帶有2n個積分常數(shù)，這2n個常數(shù)正好可以利用方程(2111)提供的2n個邊界條件來確定。由此可以得出結(jié)論；解方程(218)一(2111)便能確定待求的最優(yōu)制 和最優(yōu)軌線 。 必須指出，要得出控制方程 ， 必須任意。如 不是任意的，就不能使用基本預(yù)備定理，

7、這樣，條件 就不一定是使J取極值的條件。,（2）關(guān)于橫截條件的進(jìn)一步討論 下面討論橫截條件的一般情況。 假設(shè)初始狀態(tài) 受方程 (2112) 的約束，其中 是r維矢量函數(shù)，它的每一個元連續(xù)可微、 。終端狀態(tài) 受方程 (2113) 約束，其中,是 維連續(xù)可微函數(shù)， 。 在求性能泛函的極值時，方程(2。112)、(2113)分別規(guī) 定了初始狀態(tài)和終端狀態(tài)的取值范圍。 利用矢量拉格郎乘子 和 ，將約束條件(2，112)和(2113) 結(jié)合到函數(shù) 和 ；得到 (2114) 式中 和 分別是r維和q維的。根據(jù)泛函取極值的必要條件， 可求出初始狀態(tài)和終端狀態(tài)受約束時的橫截條件為,(2115) (2116)

8、矢量方程(2115)、(2116)包括2 n+r+q個方程，可以用來 確定規(guī)范方程的2n個積分常數(shù)和r+q個待定常數(shù) 。 （3）哈米爾登函數(shù)的一個重要性質(zhì) 哈米爾登函數(shù)有一個重要性質(zhì)，利用這個性質(zhì)經(jīng)常可以使最 優(yōu)控制問題的求解得到簡化。已知哈米爾登函數(shù) 將上式兩瑞對t求全導(dǎo) 利用歐拉方程(2.18)一(2.110)，沿著最優(yōu)軌線,若H不顯含t，則由上式可得 或 常數(shù)(2117) 由此得出一條重要結(jié)果：如果哈米爾登函數(shù)H不顯含，那么，它 沿著最優(yōu)軌線等于常數(shù)。 （4）在微分方程等式約束下泛函取極值的充分條件 假設(shè)端點時間 、 固定，初始狀態(tài) ?？紤]微分方程約束（2.11）和終端約束（2.113）

9、,性能泛函可寫成,取J的二次變分，得到 (2318) 由此可以得出結(jié)論：假設(shè)，J的一次變分等于零建立了J取極值的 必要條件，那么，J取極小(極大)值的充分條件是nn矩陣， (2319) 和(n十m)(n十m)矩陣， 即 (2320) 都是正定或半正定(負(fù)定或半負(fù)定)的。,上面從理論上導(dǎo)出了有系統(tǒng)微分方程和終端狀態(tài)方程約束時 泛函取極值的充分條件。根據(jù)這個條件可以判斷求出的極值是極 大值還是極小值。然而，對于實際工程問題，極值的性質(zhì)是明顯 的比如最短時間問題和最少燃料問題的最優(yōu)解一定使性能泛函 取極小，而最大平飛速度問題的最優(yōu)解一定使性能泛函取極大。 因此對于這樣一類實際問題不必計算矩陣(2l1

10、9)和(2，120)， 可直接根據(jù)問題本身的性質(zhì)來確定。 小 結(jié) 總結(jié)以上討論，得到如下結(jié)果： 給定系統(tǒng)微分方程,和性能指標(biāo)泛函 其中 是n維狀態(tài)矢量， 是m維控制矢量。假設(shè) 、 固 定，純量函數(shù) 、 和 連續(xù)可微，初始狀態(tài) 受r維方程 的約束， 終端狀態(tài)受q維方程 的約束，控制矢量 不受限制。如果定義哈米爾登函數(shù)為,那么，使性能指標(biāo)泛函取極值的控制和軌線必須滿足 1）系統(tǒng)方程 2）伴隨方程 3）控制方程 4）橫截條件 其中 、 分別是r維和q維待定拉格郎乘子。 5）如果哈米爾等函數(shù)不顯含，則沿著最優(yōu)軌線 =常數(shù),例213 試求控制和軌線，把系統(tǒng) 從點 轉(zhuǎn)移到直線 且使 取極小。 解：這個問題

11、的哈米爾登函數(shù) 伴隨方程是 伴隨方程的解是,控制方程是 于是得 將它代入系統(tǒng)方程，然后積分，可得 利用初始條件 ，可得 于是,這里 ，終端橫截條件是 由后兩式得出 。 把 、 、 、 代入終端橫截條件，即當(dāng) t1，有 和 聯(lián)立求解這兩個代數(shù)方程，得 ， 于是得到最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線，即,例212 已知系統(tǒng)由3個積分環(huán)節(jié)串聯(lián)組成，其運(yùn)動方程式 為 ， ， ， 試將系統(tǒng)轉(zhuǎn)移到終端目標(biāo)集 且使性能泛函 取極小。,解：這個問題的哈米爾登函數(shù) 伴隨方程是 控制方程是 或 終端橫截條件是 這里 ， ，于是得 到 因此要求出最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線，需要求解下列方程組表示的 兩點邊界值問題： ， ， ，,由于終端條

12、件是非線性的，確定積分常數(shù)比較復(fù)雜，最好利用數(shù) 字計算機(jī)來求解。 例213 沒有推力ma作用在二維空間里運(yùn)動的質(zhì)點m上，用坐標(biāo)x、y定質(zhì)點的位置。質(zhì)點的速度分絨分別是u和v，如圖2 1所示。假設(shè)報力加速度a為常數(shù)，重力加速度和空氣阻力忽略 圖21 不計。試確定推力方向角 的變化規(guī)律，使質(zhì)點在規(guī)定終端時 間 進(jìn)入平飛狀態(tài)，離x軸距離為h，且使平飛速度 達(dá)到最 大。,解：這個問題的系統(tǒng)微分方程是 (2121) (2122) (2123) (2124) 初始條件是 (2125) (2l一26) (2127) (2128),終端約束方程是 ， 性能指標(biāo)是 哈米爾登函數(shù) 伴隨方程是 伴隨方程的解為 (2

13、129) (2130) (2131) (2132),控制方程是 (2133) 已知 ， 由橫截條件 和 可得,(2134) (2135) （2l36） (2l37) 和 (2l38) (2139) 由方程(2129)一(2132)和方程(2，134)一(2137)， 可得,將 代入控制方程(2133)，可得 (2140) 其中 下面，我們用 代替作獨立變量，解系統(tǒng)方程(2，l21)一(2。124)。 對式(2140)兩邊微分，可得 另一方面，由 可得到 把它代入系統(tǒng)方程組，用線性正切律積分，再利用初始條件(2 25)一(2128)，可得,式中待定常數(shù) 和 。要用尚未使用的兩個邊界條件即式(21

14、 38)和式(2139)來確定。由式(2。140)，知當(dāng) 時，有,可得出 (2145) 由式(2，I38)和式(2142)，知當(dāng)時 ，有 由此得出 ， (2246) 由式(2，145)和式(2146)，可得 (2147) 將上式代入式(2140)，得到 (2148),由式(2139)、(2144)、（2145）、(2148)，令 ，得到 (2149) 給定 、 、 ，由上式可算出 ，再將 代入式(2148) 算出 。將 代入式(2140)，便求出最優(yōu)推力方向角隨時間變 化的規(guī)律 （2150） 將式(2147)、(2148)代入方程(2141)和(2143)，得到 端時間質(zhì)點的平飛速度 和x坐標(biāo)

15、： 和,請看實例：設(shè) 試求終端時間可能達(dá)到的最大平飛速度。 由給定條件可算出 而 把它們代入式(2149)，得到 0.2133333 由上式算出 ，把它代入方程(2151)，可算出終端 時間最大平飛速度，即,例214 在高超音速流體中零攻角下旋轉(zhuǎn)體最小阻力外形,子彈高速運(yùn)動產(chǎn)生的激波,日本新干線高速列車,美國航天飛機(jī)試驗飛行,A F-3 British military jet aircraft,美國隱形B2戰(zhàn)略轟炸機(jī),例214 在高超音速流體中零攻角下旋轉(zhuǎn)體(見圖22)動壓 J可以精確地表示成 (2153) 式中 q動壓； x離開最大半徑點的軸向距離； r(x)旋轉(zhuǎn)體半徑，為x的函數(shù)； (2

16、154) 牛頓近似壓力系數(shù) 旋轉(zhuǎn)體長度； 旋轉(zhuǎn)體最大半徑。 圖22 我們的任務(wù)是根據(jù)給定的 、 、 ，酌定r(x)，使D達(dá)到最 小。,解：令 （21一55） 考慮可能出現(xiàn)鈍頭情況，將式(2154)代入式(2353)，可得 或 (2156) 這個問題的系統(tǒng)方程是 性能指標(biāo)是 式中 x是獨立變量； r是狀態(tài)變量； u是控制變量； r(0)給定為a； r(l)未規(guī)定。,u是控制變量； r(0)給定為a； r(l)未規(guī)定。 由系統(tǒng)方程和性能指標(biāo)，哈米爾登函數(shù) (2157) 伴隨方程是 控制方程是 (2158),由橫截條件確定兩點邊界條件為 (2159) 哈米爾登函數(shù)不顯含x，所以H沿最優(yōu)軌線等于常數(shù)。

17、將式(2158) 代入式，得 常數(shù) (2160) 由式(2158)和(2159)，可得： 由此得出 或 (2161),將代入式(2160)，得 由式(2160)和上式得到用斜率 表示的旋轉(zhuǎn)體半徑表達(dá)式，即 （2162） 對上式兩邊求微分，得 (2163) 由式(2155)，可求出 dr一udx 或 dx一dru (2164) 將上式代入式(2163)；整理后積分，可得 由此求得 （2165） 上式表示x與斜率u之間的關(guān)系。 方程(2162)和(2165)是旋轉(zhuǎn)體最優(yōu)形狀參數(shù)方程。現(xiàn)解,下面這兩個超越方程： (2166) (2167) 可以確定頂點半徑r(l)和x0上的斜率u。 圖23表示 固定

18、， 為幾種不同值時旋轉(zhuǎn)體的幾何形狀。 由式(2162)一(2164)，可得 將上式代入式(2156)，并注意到,和 可得 參考面積為 。因此，最小阻力系數(shù)為,(2168) 假設(shè) 1000mm， 250mm；形式(2l67)除(2166)， 解上述方程得 將 代入式(2166)和(2168)，得,例215 給出長 為的繩 子，連在一根長為2 的直線 的兩端， ，試用哈米爾登 函數(shù)法，求使繩子同直線間面 積最大的繩子的形狀。 解：設(shè)繩子與直線間的關(guān) 系如圖24所示，由題意可列出 如下關(guān)系式： 其中 是繩子形狀函數(shù)曲線的斜率。設(shè) 是從起 到 處的一段繩長，則,因此有 且 于是，得到這個問題的系統(tǒng)方程

19、是 其中x、y是狀態(tài)變量； 是控制變量，t是獨立變量。這個問 題的性能指標(biāo) 初始條件 (21一69),哈米爾登函數(shù)可表示為 (2171) 伴隨方程為 (2172) 控制方程為 因此 (2173),哈米爾登函數(shù)不顯含，因此， 沿最優(yōu)軌線等于常數(shù)。 由式(2172)和(2173)，可得， (2174) 由式(2171)和(2173)，可得 (2175) 對(2174)兩邊取微分，可求得 因此有 (2176) 令 。當(dāng)時 ，由式(2175)和式(2169)第一式，可得 (2177) 由式(2175)和(2170)，當(dāng)時 ，有 (2178),由式(2177)、(2178)，可得 (2179) 由式(2

20、176)，可知 即 (2180) 因此由式(2。179)、(2180)，得到 把 和 代入式(2176)、(2177)，得到 ， (2181) 由式(2174)和式(2181)，得 當(dāng) ，有,當(dāng) ，有 比較以上兩式知c0，于是得到 (2182) 由式(2174)、(2。175)和式（2。181）以及co，可得 和 將上面兩式兩邊平方然后相加，得到繩子最優(yōu)形狀方程，即,這是一段圓弧方程 圓心位于 ，半徑為 ，其中 已知，通過求解超越方程(2182)可求出相應(yīng)的 。 例216 把一火箭運(yùn)載工具從一已知的初始環(huán)形軌道在預(yù) 定時間 內(nèi)發(fā)射值至最大可能的環(huán)形軌道。假設(shè)火箭發(fā)動機(jī)的推力 大小恒定，即為 常

21、數(shù)，如圖25所示，試求推力方向角的 變化規(guī)律。 解：令 r為宇宙飛船至引力巾心的徑向距離； u為速度的徑向分量； v為速度的切向分量； 為運(yùn)載火箭的質(zhì)量； 為燃料消耗的速率，設(shè)為常數(shù)； 為推力方向角； 為引力常數(shù)。,由題意可列出系統(tǒng)運(yùn)動方程，即 性能泛函為 初始條件為 終端條件為 于是，可列出哈米爾登函數(shù) 伴隨方程是,控制方程是 即 在這里 出此可得終端橫截條件：,出此可得終端橫截條件： 于是，得到以下兩點邊界值問題：,， ， ， ， 求解上面的非線性、時變兩點邊界值問題，可求出狀態(tài)變量 ，協(xié)狀態(tài)變量 ，拉格郎乘子 、 進(jìn)而由 可求出推力方向角 隨時間的變化規(guī)律。,2未定終端時間、無不等式約束

22、的波爾扎問題 前一小節(jié)用哈米爾登函數(shù)法研究了端點時間固定的波爾札問 題現(xiàn)在討論終端時間未規(guī)定的情況。在這里終端約束條件是終 端狀態(tài)和終端時間的函數(shù)，而對終端時間未做規(guī)定。為方便起見， 假設(shè)初始時間 已知。 現(xiàn)在的問題是在系統(tǒng)微分方程 未規(guī)定 (2183) 約束T，求控制u(t)和軌線x(t)，使性能泛函 (2184) 取極小，且在未定終端時間 滿足下面 個終端約束方程： (2185) 這個終端約束條件是前一章研究過的終端條件： 的更 一般情況。 使用矢量拉格郎乘子 和v，把約束方程(2183)、(2184),85)結(jié)合到性能泛函(2。184)，可得到 或 (2186) 式中哈米爾登函數(shù)H和純量

23、函數(shù) 別定義為 和,令 把它們代入式(2186)，構(gòu)成 再把 展開成臺勞級數(shù)，取它的線性項，得到泛函J的一次變分 為分析方便，式中省去了符號“*”。對上式右邊積分號下最后 項使用分部積分，并注意列,(2187) 得 圖26是式(2187)的幾何說明。上式中各個變分 、 、 圖2-6,、 、 、 互不相關(guān)且任意，根據(jù)泛函J取極值的必 要條件 ，可以得出如下結(jié)果： (2188) (2189) (2190),(21一91) (2192) (2193) (2194) 方程(2188)一(2190)代表2n個一階微分方程和m個代數(shù)方 程，用來確定2n十m個未知函數(shù) (i1，2，n)和 (j1，2，m)。

24、方程(2。191)一(2，194)代表2n十q十1 條件，用來確定2n個積分常數(shù)，q個拉格朗乘子 (k1，2， q)和一個最優(yōu)終端時間 。同固定端點時間問題相比，這里增加 一個方程，即式(2194)。這個階加方程正好是確定未知終端時 間需要的。,上一小節(jié)證明了哈米爾登函數(shù)的一個重要性質(zhì)，即如果它不 顯含t，則沿最優(yōu)軌線等于常數(shù)。對于未定終端時間問題，可以 證明上述性質(zhì)同樣存在，特別是如果函數(shù) 和 都不顯含t，則由 方程(2。194)可得出 由此可以得出結(jié)淪：如果終端時間未規(guī)定，且函數(shù)H、 和 不顯含t，則哈米爾登函數(shù)沿最優(yōu)軌線等于零，即 ， 小 結(jié) 總結(jié)以上討論，得到如下結(jié)果： 給定系統(tǒng)微分方

25、程 和性能指標(biāo) 其中,是n維狀態(tài)矢量； 是m維控制矢量。 假設(shè) 固定， 未規(guī)定。純量函數(shù) 和L連續(xù)可微，初始狀 態(tài) 未規(guī)定，終端狀態(tài)受q個方程，即 約束，控制向量 不受限制。 定義哈米爾登函數(shù) 那么，如果 、 、 分別是最優(yōu)控制、最優(yōu)軌線和最優(yōu) 終端時間，則它們同 一起在 區(qū)間上必須滿足： 1）系統(tǒng)方程 2）伴隨方程 3）控制方程,4）橫截條件 5） 如果哈米爾登函數(shù)H和函數(shù) 、 都不顯含t，則 例2。17 給定單積分系統(tǒng) ， 求控制變量 使，并使,取極小。其中 和 是給定常數(shù)， 終端時間未規(guī)定。 解；這個問題的哈米爾登函數(shù) 控制方程是 或 伴隨方程是 它的解是 常數(shù) 系統(tǒng)方程的解是,利用邊界

26、條件 可得 終端約束方程和附加方程是 和 或 給定 和 ，可由上述方程求出 和 ，進(jìn)而求出最優(yōu)控制 和最優(yōu)軌線 。 例如，假設(shè) ，則可算出： ， ，,例218 對于例213所描述的系統(tǒng)，假設(shè)推力加速度。為 常數(shù)，重力加速度和空氣阻力忽略不計。要求用最短時間把質(zhì)點 送到垂直坐標(biāo)為 的水平軌道上；且使水平速度達(dá)到規(guī)定值 ，而對x坐標(biāo)未規(guī)定，試求推力方向角 的變化規(guī)律。 解：由題意，可列出這個問題的系數(shù)微分方程： 性能指標(biāo) (2196) 終端約束條件 (2196) (2137) (2I98),于是得到哈米爾登函數(shù) 伴隨方程是 (2I一99) (21100) (2、1一101) (21102) 半隨方

27、程的解為 (21103) (21104) 控制方程,(21105) 這個問題的初始條件是 (21106) (21107) (21108) (2 1109) 終端橫截條件是 (21110) (21111) (21112) (21113),和 (21114) (21115) (21116) 這里 因為H和N都不顯含t，所以 ，于是有 利用終端橫截條件可確定伴隨方程解的積分常數(shù) 由式(21103)一(21105)及上面求出的積分常數(shù)，可得 (21117) 其中 解系統(tǒng)方程，得到,(2 1118) (23119) (21120) (21121) 由式(21117)，當(dāng)時 ，有,因此， 。由方程(211

28、15)和(21119)，可得,因此， ，于是得到 (21122) (21123) 利用式(21114)、(21116)、(21118)、(21120)、(2。1121) 和(2，1122)，并注意到 可得 （21124） （2l125） (22126) 由式(21124)、(21125)消去c，可得,(21127) 將式(2，1123)代入(2，1124)，消去c，可求出 （21128） 如果給定a、h和U，則可以式(21127)算出 ，再由式 (21128)和(21126)計算出最短時問 和終端時間的x坐標(biāo) ；然后把式(21123)代入(2l117)得到最優(yōu)推力方向角 隨時間的變化規(guī)律。例如

29、，假設(shè) a150m ，h200m，U737ms,那么，利用上面導(dǎo)出的關(guān)系式可算出： 例219 在例218中考慮重力加速度g的影響，試確定 1) 初始推力方向角 ；2)終端推力方向角 ；3)最短時間 ； 4)終端時間的坐標(biāo) 。 解：這個問題的系統(tǒng)方程是 ， ， 性能指標(biāo)泛函是式(2l95)，終端約束條件是方程(2196) (2198)；哈米爾登函數(shù)是 伴隨方程是方程(2l99)一(21102)；初始條件是式(21l 06) 一(21209)；終端橫截條件是式(21110)一(23116)；控,制方程是方程(21117)。解系統(tǒng)方程，可得 用終端橫截條件(21114)一(21116)，可得 (2l

30、129) (21130) (21131) 外，當(dāng) 時，有 (21132),(21133) 方程(21130)和(21133)，可得 (21134) 方程(2，1129)一(21131)和方程(2I133)，可得,(21135) 由方程(21129)一(2。1133)，可得 (21136) 如果給定阿a、h和U，則由式(21134)、(21135)可算出 和 ， 然后把它們代入式(21132)、(21136)可算出 和 。例如，給定 ，h200m，U737Ins 可算出 ，,問題211 給定系統(tǒng)方程 初姑條件為 終端條件為 未規(guī)定 試求控制 和軌線 ，使性能泛函 達(dá)到極小。 問題212 給定系統(tǒng)

31、方程為 端點條件為 未規(guī)定 試求控制和軌線，使性能泛函 達(dá)到極小。,問題213 給定系統(tǒng)方程 端點條件為 未規(guī)定 試求控制 和軌線 ，使性能泛函 達(dá)到極小。 問題214 試求控制 和軌線 ，把系統(tǒng) 從轉(zhuǎn)移到，且使性能泛函 達(dá)到極小。 問題215 試在例2l4所述最優(yōu)彈頭形狀問題中，用式 2161)表示的另一結(jié)果，導(dǎo)出彈頭形狀曲線方程，并 討論所得結(jié)果。 問題216 給定系統(tǒng)方程為 性能泛函為 ， 未規(guī)定 初始條件為,終端條件為 試求使J取極小的 、 和 應(yīng)滿足的微分方程式和邊 界條件。 問題217 試用哈米爾登函數(shù)法求解例143。 問題218 設(shè)有一質(zhì)點在 平面上從點 向點 運(yùn)動，其瞬時速度是

32、該質(zhì)點所在位置的函數(shù)，即V= V(x，y)，質(zhì)點運(yùn)動方程式是 式中 是速度方向與x軸間的夾角。試證明當(dāng)質(zhì)點沿著最優(yōu)時間軌 線行進(jìn)時控制變量 必須滿足下列微分方程： 問題219 試用哈米爾登函數(shù)法求在tx平面上由點 到直線 具有最短弧長的曲線方程。,二、充分條件及威爾斯持拉斯E函數(shù) 本章主要任務(wù)是介紹極小值原理。但是，極小值原理的嚴(yán)格 證明全十分復(fù)雜的，我們只做簡單的證明。在推導(dǎo)極小值原理 時，要用到泛函取極值的一個充分條件。這個條件是建立在威爾 期特拉斯E函數(shù)基礎(chǔ)上的。這一節(jié)的任務(wù)是介紹這個充分條件 及威爾斯特拉斯E函數(shù)。 1極值曲線場 在(t，x)平面上，如果對其中的某個域D上的每一點都有曲

33、 線族xx(t,c)中的一條曲線而且只有一條曲線經(jīng)過，我們便說 曲線族在D域上形成一個場，或更準(zhǔn)確地說，形成一個正常場。 在曲線族xx(t，c)上點(t，x)處切線的斜率，叫做場在該點的 斜率，記為p(t，x)。顯然，如果x(t，c)連續(xù)可微，則p(t，c)在場 中每一點上都唯一確定。如果真x(t，c)是分段光滑的，那么，除角 點以外，p(t，x)在場中每點也都唯一確定。 例如，在 圓域內(nèi)一切乎行直線形成一個場，這個場的 斜率為p(t，x)1，如圖27所示。 如果曲線族xx(t，c)的全部曲線都通過某一點A(t。，x。)， 形成一個曲線束，束中曲線布滿整個域D，束心也在其中，并且 除束心以外曲

34、線在域D內(nèi)不再相交，如圖28所示，我們就說曲線 族 xx(t，c)也形成一個場。為了同前面說的正常場相區(qū)別，稱 它為中心場。,如果正常場或中心場是由某個變分問題的極值曲線族形成 D，則稱這個場為極值曲線場。在第于章曾經(jīng)指出，關(guān)于某個變 分問題的歐拉方程的積分曲線代表一族曲線，這樣一族曲線就是 所述變分問題的極值曲線族。 場的概念也可以由平面情況推廣到任意維空間情況。如果對 于空間 的域D內(nèi)的每一點，都有曲線族 (i1，2，n)中的一條并且只有一條曲線經(jīng)過， 則曲線族 在域D內(nèi)形成一個場。在點,處函數(shù) 對t的偏導(dǎo)數(shù)，叫做 場的斜率函數(shù) (i1，2，n)。如果寫成 量形式，則有 其中 任意維空間里

35、的中心場也可以用同樣方法來定義。,2威爾斯特拉斯E函數(shù) 假設(shè)在性能泛函 求p極值問題中，極值曲線 起始于 ，終止于 它被包含在斜率等于p (t，x)的極值曲線場內(nèi)，如圖29所示。取c 是經(jīng)過A、B兩點與 鄰近的容許曲線，則性能泛函J的增量 (221) 式中積分 和 分別表示性能泛函 沿著容許曲線c的積分值和沿著極值曲線 的積 分值。 圖2。9,勿庸置疑，如果泛函J在任何一條與曲線 鄰近的曲線上的 積分值都不小于(不大于)在曲線 上的積分值，也就是 ，則泛函J在曲線上 達(dá)到極小(極大)值。 由此可見，要確定極值的性質(zhì)，就要確定 的符號，這就 需要判斷方程(221)右邊的兩項中哪一項大，哪一項小。

36、但是 由于這兩項的積分路線不同，直接進(jìn)行比較是困難的。為了把它們 化成便于比較的形式，可把式(221)右邊第二項沿曲線積分， 變成等價的，沿曲線c的積分。為了便于數(shù)學(xué)上處理，我們引入 如下輔助函數(shù) (222) 其中p是極值曲線場在點(t,x)，處的斜率，即通該點的極值曲線 線在該點的切線斜率，dx/dt是容許曲線在(t,x)處切線的斜率 率。,在圖210上，點劃線表示一族極值曲線，c表示與極值曲線 鄰近的一條容許曲線，那么，在點 處，有 圖210 下面我們來證明積分(2，2J2)與積分路徑無關(guān)。 由普通微積分學(xué)可知，曲線積分 與積分路徑無關(guān)的充分必要條件是函數(shù)N(x，y)和M(x，y)在各 點

37、滿足關(guān)系式： （2。23） 把函數(shù)(222)改寫成,(224) 如果上述積分與積分路徑無關(guān)，利用關(guān)系式(223)，就有 (225) 桓等式(2。2-5)兩邊都是全偏導(dǎo)數(shù)，把它展開，可得 或 (226),容易看出，方程(2。26)恰巧是方程 的展開式，這也正是歐拉方程 當(dāng) 時的展開式，而場的斜率 就是歐拉方程積分曲線 切線的斜率 ，因此，對所述極值曲線場中 的來說， 必然滿足歐拉方程。 這就證明了恒等式(225)必然成立，從而 證實了輔助函數(shù)(224)或(222)與積分路徑無關(guān)；因此下式 立：,因為在極值曲線場中沿著極值曲線每一點 ，因此，上式右邊 變成 于是得到 對于任意選擇的，上式都成立。因

38、此，增量方程(2。21)可以變 換成如下形式：,上式右邊的被積函數(shù)叫做威爾斯特技斯俄E函數(shù)。用符號 表示，即 于是J的增量方程可寫成 顯然，如果函數(shù)E不為負(fù)，則一定有 。 因此，泛函J在 曲線 上達(dá)到極小值的充分條件是 ；反之，如果E不為正， 則必有 。于是，泛函J在曲線 上達(dá)到極大值的充分條件 是 。這個根據(jù)函數(shù) 的符號來判斷泛函取極小值或極大值 條件，叫做威爾斯特拉斯條件。 在極值曲線場中，每一點都有一條極值曲線經(jīng)過，容許曲線 c上的每一點(t，x)同時也是經(jīng)過該點的極值曲線上的點(t，x*)。 例如，在圖210所示的極值曲線場中，容許曲線上的點 同樣也是通過該點的極值曲線上的點 。這個點

39、的縱坐標(biāo),對容許曲線 而言記為 ，對極值曲線而言記為 。因此，威爾 斯特拉斯條件也可以這樣說：如果函數(shù) 則性能泛函取極小(極大值。這里 上述條件也可以推廣到多變量，即函數(shù)為矢量的情況。 假設(shè)性能泛函 其中 為一n維矢量，那么， J沿某一容許曲線 c的積分值與沿極值曲線 的積之差,如果 或 則性能泛函J取極小(極大)值。其中 和 3弱極值和強(qiáng)極值 如果對于一切 ，在同時滿足容許曲線上的x值與極,值曲線上的點相接近，容許曲線上的 值也與極值曲線上的p相接 近的條件下，有 ，則泛函達(dá)到的極值稱為弱 極小（極大）值，具有這樣性質(zhì)的容許曲線如圖211所示。如果對 于一切 ，在容許曲線上的 與極值曲線上的

40、點相接近， 對于任意 ， 有 ，則泛函達(dá)到的極值稱為強(qiáng) 極小(極大)值。在這樣的情況下，容許曲線不僅包括圖211中 的那一類，而且也包括圖212中的那一類。由此可見，如果泛函 在上 有強(qiáng)極值，那么，它在上也有弱極值；反之，如果它在 上有弱極值，那并不一定在 上有強(qiáng)極值。 圖211 圖212 在此以前，我們根據(jù)泛函的臺勞級數(shù)展開式的線性項建立 極值的必要條件根據(jù)它的二次項來判斷極值的性質(zhì)。這就要 求 和都是微變量。也就是說，要求對于一切 ， 容許曲線 及其導(dǎo)數(shù) 分別接近極值曲線 及其導(dǎo)數(shù) 。 這正是弱極值要求的條件，因此，所確定的極值屬于弱極值。,小 結(jié) 總結(jié)以上討論，得到如下結(jié)果： 給定性能泛

41、函 其中是 一n維矢量，建立威爾斯特拉斯E函數(shù) 或 如果在區(qū)間 上滿足威爾斯特拉斯條件 或 則性能泛品J取極小(極大)值。,如果上述條件是在容許曲線上的 值與極值曲線上的點 相接近， 同時容許曲線上的x位也與板位曲線上的p相接近的條件下達(dá)到的，那么，泛函達(dá)到的極值稱為弱極值。 如果只要求x接近 ， 而不要求 也接近于p，那么，泛函達(dá)到的極位稱為強(qiáng)極值。 例221 給定性能泛函 其中a0，bo。直線族 是它的歐拉方程的解。利用端點條 件，可求出極值只能在直線 上達(dá)到。而且直線 形成一。 個以點(0，0)為中心，其中包括直線,的中心場，如圖213所示。這個問題的威爾斯特拉斯 函數(shù)是 在極值曲線 上

42、，場的斜率 pba0，如果取 近似 于ba值，則有 ，具備了達(dá)到弱極值的全部條件。這樣，弱極 值就在極值曲線 上達(dá)到了。如果 可任意取值，則 可以有任意符號，因而E也可以有任意符號。因此，不滿 足達(dá)到強(qiáng)極值的充分條件，泛函J在極值曲線 上達(dá)到的 極值是弱極小值。,問題221 試證明當(dāng)性能泛函 其中 為一n維矢量時， E函數(shù)可以表示成,三、極小值原理 在本章第一節(jié)討論了無不等式約束的波爾札問題，引出了求 解變分問題的哈米爾登函數(shù)法，解決了一些較簡單的最優(yōu)控制問 題。但是，這一方法所能處理的僅局限于對控制矢量 和(或) 狀態(tài)矢量 都只存在開集性約束條件的問題。由于 和 不受限制，因此，它們的一次變

43、分 和 都是任意的，我們 可以對方程(217)的下面部分：,使用基本預(yù)備定理，得出兩個重要方程，即控制方程和伴隨方 程。 然而，大量的實際最優(yōu)控制問題要復(fù)雜得多，控制變量和 (或)狀態(tài)變量要受到物理條件限制，常常撈有閉集性約束條 件。例如，控制矢量和(或)狀態(tài)矢量可能存在下列形式的約 束，即 和 或 這里g、h、p分別是r維、s維和k維連續(xù)可微的矢量函數(shù)。 容許的 控制矢量和狀態(tài)矢量是有界的， 和 不能完全任意，因 而不能使用基本預(yù)備定理，也就不能由方程(217)得出必要條 件， 和 本章第一節(jié)導(dǎo)出的結(jié)果不適用于帶有閉集性約束條件的最優(yōu)控制 問題。,為了克服上述困難，學(xué)者們做了大量工作，其中龐

44、特里雅金 極小值原理成功地解決了如何處理帶有閉集性約束條件的問題， 成為目前研究最優(yōu)控制問題的主要方法之一。 這一節(jié)首先討論有控制變量不等式約束的極小值原理，然 后，簡短地介紹帶有控制變量和狀態(tài)變量不等式約束的問題。 1有控制變量不等式約束的波爾札問題，龐特里雅金極小 值原理 這一小節(jié)的任務(wù)是利用前面的某些結(jié)果，研究有控制變量不 等式約束的波爾札問題，介紹龐特里雅金極小值原理。 給定系統(tǒng)微分方程 (2。31),其中 是n維狀態(tài)矢量，它的每一分量都是分段光滑函數(shù)， 是m維控制矢量，它的每一分量都是分段連續(xù)函數(shù)。假設(shè)初始狀 態(tài)為 (232) 其中 固定，已知 。在終端時問 ，終端狀態(tài)受方程 (23

45、3) 約束，N是q維連續(xù)可微矢量函數(shù)，q , 未規(guī)定?？刂剖噶?受不等式 (2。34) 約束。 是r維連續(xù)可微矢量 函數(shù)。性能招標(biāo)是 (235),這個問題的提法是；在不等式(234)限定的容許控制的集 合中，尋找控制矢量 ，把系統(tǒng)(231)從給定初始狀態(tài) 在某個未定終端時間 轉(zhuǎn)移到方程組(233)限定的某個終態(tài)，且 性能指標(biāo)(235)達(dá)到極小。 同前面討論的問題相比較，這個問題有這樣兩個特點： 1） 包含有不等式約束（2。34）； 2） 把控制變量由分段光滑函數(shù)推廣到包括分段連續(xù)函數(shù)。 如何處理好這兩個新問題，是解決歷述問題的關(guān)鍵。 約束條件(234)同我們在第章遇到的約束條件(1526) 十

46、分相似，因此，可以采用類似方法來處理。 選擇r維矢量 把它的每一個分量分別同 矢量 的相對應(yīng)的分量寫成 或,顯然，無論 或 取正或取負(fù)，它們的平方總是非負(fù)的，從而保 證函數(shù) 總是非負(fù)。究競采用哪一種處理方法，要看具 體情況。在某種情況下或許采用第一種方法方便些，而在另外情 況下或許采用第二種方法要方便些。我們采用第二種方法，把它 寫成矢量形式，即 (236) 這里 這樣一來，我們便把不等式約束(234)轉(zhuǎn)換成了等價的等 式約束(236)。 為了把控制函數(shù) 從分段光滑函數(shù)推廣到分段連續(xù)函數(shù)， 再引入m維矢量函數(shù) 令 (237),如果u(t)是分段連續(xù)的，則w(t)將是分段光滑的。在第一章第六 節(jié)

47、研究有角點的極值曲線時，我們已經(jīng)把泛函的自變量函數(shù)從連 續(xù)可微的推廣到了分段光滑的。 經(jīng)過上面的處理以后，我們就把原來的問題轉(zhuǎn)化成在系統(tǒng)微 分方程 (232) 初始條件是 (239) 終端條件是 (2310) 和與不等式(234)等效的方程 (231) 的約束下，尋找控制矢量 和狀態(tài)矢量 ，使性 指標(biāo)泛函,(2312) 達(dá)到極小。 這是一個存在多種等式約束的條件極值問題。如前所述，處 理等式約束的一種比較方便的方法是通過拉格郎乘于把它化成無 約束問題。 選擇矢量拉格郎格乘子 、v、 ，把約柬條件(238)、 （2310)和(2312)結(jié)合到性能指標(biāo)泛函(2312)，構(gòu)成一個 新的性能泛涵 (2

48、313) 為了分析方便，定義以下兩個純量函數(shù)：,1） 哈米爾登函數(shù) 2） 拉格朗日函數(shù) (2315) 它們代入方程(231 3)，可得 (2316) 于是，在方程(238)一(2311)約束下求性能泛函(2312)的 條件極值問題，轉(zhuǎn)化成了求性能泛函(2316)的無條件極值問,題。 取泛函(2316)的一次變分，得 (2317) 式中是分別由 引起的J的變分 。 而 分別是自變量函數(shù)和終端時間的變分。具體地說， 對積分號下第二項使用分部積分，并注意到 和 可得,利用分部積分，并注意到 ，因而 ，上式變成,（2。322） 和 （2。323） 將式(2318)一(2323)代入式(2317)得到,

49、式中變分 都是任意的，利用泛函取極值的必要條件令上式右端等于零，可 得到歐拉方程，即 和橫截條件,(2330) (2331) （2332） （2333） 方程組(2325)一(2333)可以進(jìn)一步合并和簡化。把方程 (2315)表示的函數(shù)代入方程(2325)、(2328)、(2329) 可得 （2334） （2335） (2336) 將方程(2326)、(2327)分別同方程(2332)、(2333)合并,得到 （2337） （2338） 把的表達(dá)式代入方程(2330)、(2331)，得 (2339) （2340） 由給定的終端約束條件，有 (2341) (2342) 方程(2334)一(23

50、38)是所述問題的歐拉方程，方程(2339),(2342)是相應(yīng)的橫截條件。歐拉方程的每一個分段連續(xù)可微 解，都是上述變分問題的極值函數(shù)或相應(yīng)的最優(yōu)控制問題的最優(yōu) 解。在這里只要求函數(shù)是分段光滑的。 然而，滿足歐拉方程的函數(shù)只是滿足了使性能泛函取極值的 必要條件。要使性能泛函真正取極小（極大）值，還應(yīng)當(dāng)滿足 威爾斯特拉斯條件。也就是說，威爾斯特技斯E函數(shù)必需非負(fù) (非正)。 需要說明的是，在這里建立E函數(shù)對應(yīng)當(dāng)把函數(shù) 理解成方 程(227)中的函數(shù)L，把方程(227)和(228）中的矢量 理解 成廣義狀態(tài)矢量。它的元在拉格郎函數(shù) 中除包含矢量 的元以 外，還應(yīng)當(dāng)包含矢量 、 、 、 的元。用x表示廣義狀態(tài)矢量， 則 于是，拉格郎函數(shù) 可以寫成,這樣一來，威爾斯特拉斯條件就是 (2。343) 式中 表示最優(yōu)解矢量，X表示滿足一切約束條件的容許函數(shù) 矢量。把式(2。343)展開，可得 (2344) 函數(shù) 不含 和 ，因此,再注意到 并且把式(2336)代入 的表達(dá)式，條件(2344)簡化成 或 上式也可以改寫成下列形式： (2345) 條件(2345)的含意是：在容許控制的集合U中，最優(yōu)控制 將使哈米爾登函數(shù)在最優(yōu)軌線上達(dá)到最小。或者反過來說，如果 在容許控制的集合U中選擇控制，那么，使哈米爾登函數(shù)達(dá)到最 小的控制