1、第五章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征,分布函數(shù)能夠完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性，但在一些實(shí)際問題中，只需知道隨機(jī)變量的某些特征，因而不需要求出它的分布函數(shù).,評(píng)定某企業(yè)的經(jīng)營能力時(shí)，只要知道該企業(yè)人均贏利水平；,例如：,研究水稻品種優(yōu)劣時(shí)，我們關(guān)心的是稻穗的平均粒數(shù)及每粒的平均重量；,考察一射手的水平，既要看他的平均環(huán)數(shù) 是否高，還要看他彈著點(diǎn)的范圍是否小，即數(shù) 據(jù)的波動(dòng)是否小.,由上面例子看到，與隨機(jī)變量有關(guān)的某些 數(shù)值，雖不能完整地描述隨機(jī)變量，但能清晰 地描述隨機(jī)變量在某些方面的重要特征 , 這些 數(shù)字特征在理論和實(shí)踐上都具有重要意義.,隨機(jī)變量某一方面的概率特性 可用數(shù)字來描寫,檢驗(yàn)棉花的質(zhì)量時(shí)

2、，既要注意纖維的平均長 度，又要注意 纖維長度與平均長度的偏離程度， 平均長度越長、偏離程度越小，質(zhì)量就越好;,隨機(jī)變量的平均取值 數(shù)學(xué) 期望,本 章 內(nèi) 容,隨機(jī)變量取值平均偏離平均值的 情況 方差,描述兩個(gè)隨機(jī)變量之間的某種關(guān) 系的數(shù) 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),引例1 測(cè)量 50 個(gè)圓柱形零件直徑（見下表）,則這 50 個(gè)零件的平均直徑為,5.1 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,換一個(gè)角度看，從一堆零件中任取一個(gè)零件， 它的尺寸為隨機(jī)變量X , 且X 的概率分布為,則加 權(quán) 平 均,稱之為數(shù)學(xué)期望,可以表示這堆零件的平均直徑，,定義1 設(shè) X 為離散型隨機(jī)變量，其概率分布為,若無窮級(jí)數(shù),絕對(duì)收斂，則稱其和為隨

3、機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望, 記作 E( X ),定義2 設(shè) X 為連續(xù)型隨機(jī)變量, 其密度函數(shù)為,隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的本質(zhì) 加權(quán)平均，它是一個(gè)數(shù)不再是隨機(jī)變量,則稱此積分為隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望, 記作 E( X ),例1 X B ( n , p ), 求 E( X ) .,解,例2 X N ( , 2 ), 求 E ( X ) .,解,常見隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,區(qū)間(a,b)上的 均勻分布,E(),N(, 2),注意：不是所有的隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)期望,例如：Cauchy分布的密度函數(shù)為,它的數(shù)學(xué)期望不存在,設(shè)X 為離散型隨機(jī)變量，概率分布為,Y = g(X ),設(shè)X 為連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為f (x),Y = g(X ),設(shè)(X ,Y )為二維離散型隨機(jī)變量，概率分布為,Z = g(X ,Y ),設(shè)(X ,Y )為二維連續(xù)型隨機(jī)變量， 密度函數(shù)為 f (x ,y),Z = g(X ,Y ),幾個(gè)重要的隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望, X 的 k 階原點(diǎn)矩, X 的 k 階絕對(duì)原點(diǎn)矩, X 的 k 階中心矩, X 的 方差, X 的 數(shù)學(xué)期望, X ,Y 的 k + l 階混合原點(diǎn)矩, X ,Y 的 k + l 階混合中心矩, X ,Y 的 二階原點(diǎn)矩, X ,Y 的二階混合中心矩 X ,Y 的協(xié)方差, X ,Y 的相關(guān)系數(shù),例4 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X ,Y )的密度函數(shù)為