1、1,結(jié)構(gòu)動力學,2009-3-18,Dynamics of Structures,15.1 動力計算概述,15.2 單自由度體系的自由振動,15.3 單自由度體系的受迫振動,15.4 兩個自由度體系的自由振動,15.5 兩個自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動,*15.6 一般多自由度體系的自由振動,*15.7 多自由度體系在任意荷載下的受迫振動,*15.8 無限自由度體系的自由振動,15.9 計算頻率的近似法,*15.10 矩陣位移法求剛架的自振頻率,結(jié)構(gòu) 動 力學 15.1 動力計算概述 15.2 單自由度體系的自由振動 15.3 單自由度體系的受迫振動 15.4 兩個自由度體系的自由振動 1

2、5.5 兩個自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動 *15.6 一般多自由度體系的自由振動 *15.7 多自由度體系在任意荷載下的受迫振動 *15.8 無限自由度體系的自由振動 15.9 計算頻率的近似法 *15.10 矩陣位移法求剛架的自振頻率,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-2,15.1 動力計算概述 15.1.1 動力計算的特點 15.1.2 動力荷載的分類 15.1.3 動力計算的自由度,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-3,15.1.1 動力計算特點 結(jié)構(gòu)動力學：研究結(jié)構(gòu)在動力荷載作用下的動力反應 以地震

3、荷載為例,（1）地震現(xiàn)場錄像,（2）地震振動臺實驗錄像,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-4,以風荷載為例,（1）Tacoma大橋風毀錄像,（2）南浦大橋風洞實驗錄像,動力荷載：荷載的大小、方向、作用位置隨時間而變， 而且變得很快,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-5,動力計算與靜力計算的區(qū)別： 加速度： 可否忽略，如何考慮？,1）牛頓運動定律,2）慣性力 （達朗伯原理）,“動靜法”,特點：考慮慣性力，形式上、瞬間的動平衡！ 建立微分方程，y, y, y 動力計算的內(nèi)容： 1.結(jié)構(gòu)本身的動力特性：自振頻率、阻尼

4、、振型 （自由振動） 2.荷載的變化規(guī)律及其動力反應。 （受迫振動）,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-6,t,15.1.2 動力荷載的分類 1）周期荷載,P(t ),簡諧荷載,t,P,一般周期荷載,t,2）沖擊荷載,P(t) P,tr,爆炸荷載1,t,P(t) P,爆炸荷載2 tr,t,P(t) P,突加荷載,t,P(t),3）隨機荷載 風、地震等,地震波,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-7,結(jié)構(gòu)動力學的研究內(nèi)容和任務 當前結(jié)構(gòu)動力學的研究內(nèi)容可用下圖表示 第一類問題：反應分析（結(jié)構(gòu)動力計算）,輸入 （動力

5、荷載）,結(jié)構(gòu) （系統(tǒng)）,輸出 （動力反應）,第二類問題：參數(shù)（或稱系統(tǒng)）識別,輸入 （動力荷載）,結(jié)構(gòu) （系統(tǒng)）,輸出 （動力反應）,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-8,第三類問題：荷載識別,輸入 （動力荷載）,結(jié)構(gòu) （系統(tǒng)）,輸出 （動力反應）,第四類問題：控制問題,輸入 （動力荷載）,結(jié)構(gòu) （系統(tǒng)） 控制系統(tǒng) （裝置、能量）,輸出 （動力反應）,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-9,本課程主要介紹結(jié)構(gòu)的反應分析,其主要任務是： 討論結(jié)構(gòu)在動力荷載作用下反應的分析方法。尋 找結(jié)構(gòu)固有動力特性、動力荷載和結(jié)構(gòu)

6、反應三者間 的相互關系，即結(jié)構(gòu)在動力荷載作用下的反應規(guī) 律，為結(jié)構(gòu)的動力可靠性（安全、舒適）設計提供 依據(jù)。 安全性：確定結(jié)構(gòu)在動力荷載作用下可能產(chǎn)生的最 大內(nèi)力，作為強度設計的依據(jù)； 舒適度：滿足舒適度條件（位移、速度和加速度不 超過規(guī)范的許可值。),2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-10,y,15.1.3 動力計算的自由度 動力自由度：確定全部質(zhì)量位置所需獨立幾何參數(shù)的個數(shù) 慣性力取決于質(zhì)量分布及其運動方向 以一簡支梁為例：,m,m E、A、I、 R,m,體系振動自由度為？無限自由度,(忽略 m ),三個自由度,(忽略軸向變形) (忽略轉(zhuǎn)動慣量),

7、自由度為？單自由度 m 0, EA , R 0,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-11,集中質(zhì)量法 將分布質(zhì)量集中到某些位置 無限有限,y,y2 y1,EI (a)單自由度,EI,2EI,v(t) (t),u(t),x,(b)兩個自由度 m( x) y( x, t ),(c)三個自由度,(d)無限自由度,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-12,x,集中質(zhì)量法幾點注意： （1）體系動力自由度數(shù)不一定等于質(zhì)量數(shù) x x,y m1,m2,兩個質(zhì)點,一個質(zhì)點 兩個DOF,兩個質(zhì)點 一個DOF,三個DOF 復雜體系可通過

8、附加鏈,桿法確定體系的自由度 （2）體系動力自由度與其超靜定次數(shù)無關 （3）體系動力自由度決定了結(jié)構(gòu)動力計算的精度 轉(zhuǎn)化,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-13,15.2 單自由度體系的自由振動 15.2.1 單自由度體系自由振動微分方程的建立 15.2.2 自由振動微分方程的解答 15.2.3 結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率 15.2.4 阻尼對自由振動的影響,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-14,m,15.2.1 自由振動微分方程的建立 重要性： 1）初步估算； 2）多自由度分析的基礎,以一懸臂柱為對象： y

9、m my 等效 k,k 模型2,初始位移 自由振動 初始速度 同時作用 y(t) 理解 兩模 y 型中,“彈簧小車”,ky,m,“k” 含義,模型1,my 隔離體,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-15,建立自由振動的微分方程 兩種方法： 1）剛度法 力的平衡 2）柔度法 位移協(xié)調(diào),剛度系數(shù) k 柔度系數(shù) 概念理解,建立方程（依據(jù)定義） 1）剛度法：,1,k k =,1 ,P = 1,以模型2為對象 my + ky = 0 2）柔度法： 以模型1為對象 y(t ) = my(t ),一 致,2009-3-18,Dynamics of Structure

10、s,Page-16,k2 k,v0,v0,y,y,v0,15.2.2 自由振動微分方程的解答 原方程： my + ky = 0 y + m y = 0 (令： = m ) 通解為： (t ) = C1 sin t + C2 cos t（初始條件） y(0) = y0 C2 = y0 y(0) = v0 C1 = 解為： (t ) = y0 cos t + sin t,y(t) y0,T,y(t) v0 ,T,0 -y0 T/4 T/4 T/4 T/4,t 0,T/4 T/4 T/4,T/4,t,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-17,v0,y,v0,2

11、,2,1,t,化成單項三角函數(shù)的形式,解又可表達為： (t ) = a sin(t + ),y(t ) = y0 cos t +,sin t,將其展開： y(t ) = a sin cos t + a cos sin t,相比較得：,y0 = a sin ,= a cos ,則：振幅：a = y0 +,v0 2 ,初始相位角： = tan,y0 v0,y(t),T,自由振動總位移：,a y0 0 a,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-18,故,1 ,m,W st,k 1 g, st,g,15.2.3 結(jié)構(gòu)的自由周期和自振頻率,由式 y(t ) = a

12、sin(t + ) 可知,思考？T , 重要特性,2 t 經(jīng) T = 后，質(zhì)體完成了一個振動周期， T 為周期 周期函數(shù)的條件: y(t+T )=y(t ),f = = T 2,工程頻率,表示每秒鐘內(nèi)的振動次數(shù),2 秒內(nèi)的振動次數(shù)為 ，稱其為圓頻率頻率（習慣）,1)自振周期計算公式： T = 2 = 2 m k = 2 = 2 g g,2)自振頻率計算公式： = = = = m m W ,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-19,1,l 3,例題分析 例15.1 求圖示梁結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率,m 0,m,EI,解：為求柔度系數(shù)，在質(zhì)點 上加單位力1（

13、圖乘法）,l/2,l/2 P = 1, =,l 3 48EI, =,48EI m,l/4,T = 2 m = 2,ml 3 48EI,思考 比較圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率 m m,(a)(b)(c) m,l/2,l/2,l/2,l/2,l/2,l/2,(a),(b),(c),2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-20,W, =,例15.2 圖示機器與基礎總重量W=60kN，基礎下土壤的抗壓剛 度系數(shù)為cz=0.6N/cm3，基礎底面積A=20m2。試求機器連 同基礎作豎向振動時振頻率 解: 讓振動質(zhì)量向下單位位移 需施加的力為： k = cz A= 0.61032

14、0 =12103 kN/m,自振頻率為：,k m,=,kg W,=,12 103 9.8 60,= 44.27s 1,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-21,g,v0 2,振幅：A = y0 + 2,2,y,y ,初始相位角： = tan 1 0,y0 = yst,y0 = 2 gh,例15.3 如圖所示簡支梁，先將一重為W的物體從高h處自由 釋放，落到梁的中點處，求該系統(tǒng)的振動規(guī)律,yst y,m 0,W,h,設： y = A sin(t + ) 其中： = yst,因物體接觸到梁體才 開始振動 解: 自由落體后，以一定的初 初始條件 v0 速度上下

15、作自由振動，其 振動平衡位置為yst,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-22, ,2,具體例子比較 例如，設 yst = 0.4cm, h = 10cm 則, =,g yst,=,980 0.4,= 49.5rad / s,A = 0.42 + 2 10 0.4 = 2.86cm, = arctg (,0.4 2 10,) = arctg 0.141 = 8.05 = 0.14rad,則振動規(guī)律為：y = 2.86sin(49.5t 0.14) 討論： 如果 h0，即將物體無初速地放置在梁中點 A = yst = 0.4cm = arctg () =

16、y = 0.4sin(49.5t ) 2 比較結(jié)果可知，h10cm，時的振幅位移是h0的 七倍。,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-23,y(t),a,15.2.4 阻尼對自由振動的影響,m,y,m,y=0,阻尼是客觀存在的 （1）產(chǎn)生阻尼的原因 1)結(jié)構(gòu)與支承之間的外摩擦 2)材料之間的內(nèi)摩擦,k,k,c,3)周圍介質(zhì)的阻力,（2）阻尼力的確定,1) c不存在,2) c存在,1)與質(zhì)點速度成正比 2)與質(zhì)點速度平方成正比 3)與質(zhì)點速度無關,0 a,振幅隨時間減小，這表明在振動過 t 程中要產(chǎn)生能量的損耗，稱為阻尼。,粘滯阻尼 R(t ) = cy,

17、2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-24,y,y,ky,k c,2m,考慮阻尼的振動模型,k,c,m,y(t), 稱為阻尼比 二階常微分方程可變?yōu)椋?y + 2 y + 2 y = 0,設特解為： = Cet,有阻尼模型 m cy 建立動平衡方程 my my + cy + ky = 0 c k 標準化，得 y + m y + m y = 0 其中， = , = m,特征方程為： 2 + 2 + 2 = 0 解為： = ( 2 1) 討論？ 分 1 三種情況 （1） 1 （低阻尼） 令：r = 1 2 則代數(shù)方程解： = ir,2009-3-18,Dyna

18、mics of Structures,Page-25,t, tg =,y +,0,a,r, = 1 2 r,低阻尼的情況實際振動,實部,虛部,則微分方程通解為：,y = et (C1 cos r t + C2 sin r t ),y = e,t, y0 cos r t +,0 + y0 r,sin r t ,初始條件,也可 y = e y 低 阻 尼 自 由 振 動,a sin(r t + )， = y = aet yk yk+1 tk T,2 (v0 + y0 )2 y0r 2 v0 + y0 討論？ 1)是一種衰減振動 2)對自振頻率的影響 t 當0.2,則0.96r/1 在工程結(jié)構(gòu)問題中

19、0.010.1 此時，阻尼的影響可以忽略。,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-26,y0,yk +1 ae (tk +T ),y,1 r y 1 y,2,r,1 y,t,3)對振幅的影響 振幅為 aet 隨時間衰減 （2） = 1 （臨界阻尼） 相鄰兩個振幅的比(一個T ) 解為： = （重根） = = eT = 常數(shù) 則微分方程通解為： yk aetk y = (C1 + C2t ) et,4)阻尼比的測定 對數(shù)遞減率 ln k = T = yk +1 當 0.2，則 1 r ln k ln k 2 yk +1 2 yk +1 設yk 和 yk+n

20、相隔n個周期，則 ln k 工程上常用 2 n yk + n,再由初始條件得： y = y0 (1 + t ) + 0t et y tg0 = 0 0 這條曲線仍具有衰減性， 但不具有波動性。,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-27,cr,c,1 y 1 0.5,2 2 P 9.8 103,2,2m 2k,=,2 0.0355 196 104,EI=,m,c, = 1 臨界阻尼常數(shù)為： r = 2m 臨界阻尼比為： = （3） 1 （超阻尼） 體系不出現(xiàn)振動，很少遇到，不予討論。 例15.4圖示屋蓋系統(tǒng)加一水平力P=9.8kN，測得側(cè)移A0=0.5cm

21、， 然后突然卸載使結(jié)構(gòu)發(fā)生水平自由振動。再測得周期T=1.5s 及一個周 期后的側(cè)移A1=0.4cm。求結(jié)構(gòu)的阻尼比和阻尼系數(shù)c。 解： = ln k = ln = 0.0335 9.8kN 2 yk +1 2 0.4 = = = 4.189s 1 k = = = 196 104 N / m T 1.5 A0 0.005 c = 2m = = = = 33220 N s / m = 332.2 N s / cm 4.189,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-28,15.3 單自由度體系的受迫振動 15.3.1 單自由度體系受迫振動微分方程的建立 15.

22、3.2 簡諧荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力反應 15.3.3 一般荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力反應 15.3.4 阻尼對受簡諧荷載受迫振動的影響 15.3.5 有阻尼時的杜哈梅積分,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-29,2,P(t ),m,15.3.1 受迫振動微分方程的建立 強迫振動 結(jié)構(gòu)在動力荷載作用下的振動,以一懸臂柱為對象： y P(t ) m my 等效,k,m,y(t) P(t ),k,“彈簧小車” 如何建立方程？,模型2,ky,m,y P(t ),模型1,y + y = 1）柔度法：,隔離體 2）剛度法：,my,以模型1為對象 y(t ) = my(t

23、) + P(t ),以模型2為對象 my(t ) + ky(t ) = P(t ),2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-30,F,2,F ,2,2,2,2,2,2,F,m( ),F F F F,方程全解,y =,2 C1 = sin t + 2 2 2，C2 sinsin t,2,2, ( (,15.3.2 簡諧荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力反應,簡諧荷載 P(t ) = F sin t 解的形式 y = y + y,運動方程 y + y = sin t m 二階常系數(shù)非齊次微分方程,齊次解：y = C1 sin t + C2 cos t,特解：y = A sin

24、 t,( + ) A sin t = sin t yA = m,F m( + ),sin t,方程通解 y = C1 sin t + C2 cos t + 2 2 sin t 初始條件：y(0) = 0, y(0) = 0 m ( ) m( mm ) ) ),過渡階段,平穩(wěn)階段,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-31,k 1,2,F,F,m,1,2,m 2,F,1,st, =,=,y st 2, t ) t yst,”,簡諧荷載的動力系數(shù),平穩(wěn)階段： = = m m,y(t ) = sin t = m( 2 2 ) 2 = F = yst,(1 ),2

25、 sin t 最大靜位移,y( y (=)m ax = y2 sin1 t2 (1 2 )1 2 動力系數(shù) y (t )max 1 1 2 思考？“ 的重要特性 2009-3-18 Dynamics of Structures Page-32, y (t )max 3 2 1 0,最大動位移 共振 1) 1 2)0 1 5) 1 1 2 3,Psint, =,= 41.89s 1,=,P,60 60,1 1,Q, = = = 4.23,2.5m 2.5m 2 2,1 ,1 , 2 47.93 , =,=,=,Ql Pl l,= 47.93s,405.03,=,+ P)=1,.74,例題分析 例

26、15.5 如圖所示剛梁，截面為I32b工字鋼，I=11626cm4， I=726.7cm3，E2.1108kPa。在跨中有電動機，重量Q=40kN， 轉(zhuǎn)速n400r/min，由于具有偏心，轉(zhuǎn)動時產(chǎn)生離心力P=20kN， 其豎向分量為 P sin t ，忽略梁本身的質(zhì)量，試求鋼梁在該荷載 的動力系數(shù)和最大正應力。 2)荷載頻率： 2 n 2 400 t EI 3)動力系數(shù)： 41.89 解: 1)自振頻率： g g g 48 EI 4)跨中截面最大正應力： st W Ql 3 9.8482.1108 11626108 = (40 +4.23 20) + 5.0 = (Q = 21.43 104

27、kPa 4W 7264W106 4W,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-33,41.89,=,W 1 1,=, 41.89 ,1 , 2,1 ,= 9.59,W P 60 20,例15.6 前提同例15.2 當機器運轉(zhuǎn)產(chǎn)生P0sint，P0=20kN，轉(zhuǎn)速為400r/min， 求振幅及地基最大壓力。,= 0.946 44.27 在共振區(qū),P0sint,解: 由例15.2已求出 = 44.27s 1 k = 12103 kN/m,1)荷載頻率: =,2 n 2 400 60 60,= 41.89s 1,2)動力系數(shù)： = 2 2 44.27 20 3)豎

28、向振動振幅: y(t )max = yst = 9.56 12 103 = 0.0159m 4)地基最大壓力： pmax = = 9.56 = 12.56kPa A A 20 20,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-34,=,S,t,15.3.3 一般荷載作用下結(jié)構(gòu)的動力反應 基本思路：視為一系列瞬時沖量連續(xù)作用下響應的總和 P(t ) y(t ) S = Pt,P,瞬時沖量,t,t,0 y(t ),t,t t 0 m 0 = S = Pt,0 =,S Pt m m,t y(t ) = y0 cos t + 0 sin t y(t ) = sin t

29、m,y(t ) =,S m,sin t =,S m,sin (t ),(t 0) (t = ),2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-35,P(t),P( )d,1 t,y(t ) =,t,v0,11 t t,( )sin ( ) )d,0 0 ( t,一般動荷載的動力反應 時刻的微分沖量對t 瞬時 (t)引起的動力反應,m,dy = sin (t ) m 0 P( )sin (t )d,dS = P( )d 微分沖量 t,d,杜哈梅積分 (Duhamel 積分) 若：初始位移 y0 和初始速度 v0 不為零,y(t ) = y0 cos t + sin

30、t +,mm PP )sin t( d ,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-36,Po,yst,1 t,1 t,0,P,m,t,幾種動荷載的動力反應,（1）突加荷載 P(t),0 P(t ) = P0,當t 0,y (t ) =,m 0 P( )sin (t )d,y(t ) =,m 0 P sin (t )d,= 0 2 (1 cos t ) = yst (1 cos t ),0,2,3,t,舉例說明,yst,y(t),質(zhì)點圍繞靜力平衡 位置作簡諧振動, =, y(t )max yst,= 2,yst,2009-3-18,Dynamics of St

31、ructures,Page-37,Po,u,t,y(t ) =,u u,t,( 0,y(t ) = y0 cos ,y( = yst sin = yst cos u),（2）短時荷載,P(t),0 t u,解決途徑？,（1）方法一：直接采用 Duhamel 積分 1 u u u m 0 P ) sin (t )d = yst 2sin 2 sin (t 2 ) （2）方法二： 利用突加荷載結(jié)論，分段討論 t + v0 sin t y(u )1）階段(0u)：體系以 y(u ), y(u) 作自由振動 y(t ) = yst cos (t u) cos t = yst 2sin sin (t )

32、 2 2 2009-3-18 Dynamics of Structures Page-38,P,P,P,P(t),t,u,（3）方法三： 還是利用突加荷載結(jié)論 思路 由兩個突加荷載疊加而成 1)當0 u,y(t ) = yst (1 cos t ) 2)當 u,P(t),u,t,y(t ) = yst (1 cos t ) yst 1 cos (t u) = yst (cos (t u ) cos t ),y(t ) = yst (1 cos t ) P(t),= yst 2sin,u 2,sin (t ) 2,y(t ) = yst 1 cos (t u) t u,2009-3-18,Dyn

33、amics of Structures,Page-39,yst,u u,u, y(t )max u, u u 1,T T 2, 2,u 1,u,1/6,最大動反應的求解,討論 主要針對u展開,0,2,3,t,1）當u T/2，最大動 位移發(fā)生在階段, =, y(t )max yst,= 2,y(t),T/2,2）當0u T/2，最大動 位移發(fā)生在階段 y(t ) = yst 2sin sin (t ) 2 2 2 y(t )max = yst 2sin 1 2 = = 2sin yst 2,動力系數(shù)反應譜(T,) 2sin 當 T 2 1/2 T,2009-3-18,Dynamics of S

34、tructures,Page-40,t, 0,1.8,當t tr, tr,t,r,1.2,tr,0 1.0 2.0 3.0,Page-41,4.0 T, ,tr,（3）線性漸增荷載,P0,P(t),tr 2.0, P0t P(t ) = tr P,當 0 t tr 當t tr,動力系數(shù)反應譜(T,tr ) yst sin t 1.6 tr (t ) y(t ) = 1.4 yst 1 1 sin t sin (t tr ) 當t t 討論：與r的關系 對于這種線性漸增荷載，其動力反應與升載時間tr 的長短有很大的關系。 1.0 2009-3-18 Dynamics of Structures,

35、F,2,y,ky m 1,2, 2 2 2 ,列平衡方程 a 2 1,22 2,(1 2,r,y,15.3.4 阻尼對受簡諧荷載受迫振動的影響,計算簡圖 c,y(t),簡諧荷載 P(t ) = F sin t y + 2 y + y = sin t m,k,m,P(t ),方程的解,齊次解（）特解（ ） 設特解 y = a sin( t ) P(t ) 振幅：a = yst cy (1 2 ) + 4 2 my 動力系數(shù)： = my + cy + ky = P(t ) 相位角： st= tan 2 (1 2 ) + 4 2 2 2009-3-18 Dynamics of Structures

36、Page-42,a,2, 2 2 2 ,4.0,討論 與 和 的關系, = yst 1）當,1 (1 2 ) + 4 2 1 或 1 時，可,動力系數(shù)反應譜 ( , ) =0,以不考慮阻尼的影響 靜荷載 1 0 位移為0,3.0,=0.2,2）當 1 時，阻尼作用明顯 2.0,=0.3,1 共振 =1 2 =1 max (求導) 0.75 1.3 稱“共振區(qū)” 1.0 3）位移與動荷載相位差 關系,=1.0,=0.5,分三種情況 = 0, = 90 , = 180 2009-3-18 Dynamics of Structures Page-43,0,1.0,2.0,3.0, ,41.89,2

37、n 2 400,2,2, 2 , ,2,1 ,2,2,3,W,60,20,P0,A,例15.7 當機器運轉(zhuǎn)產(chǎn)生P0sint，P0=20kN，轉(zhuǎn)速為400r/min， 考慮阻尼的影響， = 0.15 ，求振幅及地基最大壓力。,= 0.946 44.27 在共振區(qū),P0sint = 0.15,1)荷載頻率: = = = 41.89s 1 2)動力系數(shù)：,60 60,解: 由例15.2已求出 = 44.27s 1,W, =,1 2 1 2 + 4 2,=, 41.89 2 44.27 ,1 + 4 0.152 ,41.89 44.272,= 3.31,3)豎向振動振幅:, y(t )max = ys

38、t = 3.31,20 12 10,= 5.5mm 15.9mm,4)地基最大壓力： pmax = A 2009-3-18 Dynamics of Structures Page-44,= 3.31 20,= 6.31kPa 20 12.56kPa,0,0 + y0,t,t,r,r,S,t,mr,sin r t,0,e,y = ,t P( )d,mr,d,有阻尼杜哈梅積分,15.3.5 有阻尼時的杜哈梅積分 有阻尼的瞬時振動（自由振動） 初位移：y0 = 0 y = e y0 cos r t + sin r t y = e 初速度：0 0 由沖量 S = m 引起的振動位移： y = e si

39、n r t 時刻的微分沖量對t 瞬時(t)引起的動力反應：,P(t),dy =,P( )d ( t ) mr,sin r (t ),dS = P( )d 微分沖量 ,有阻尼的平穩(wěn)振動 t 0 e ( t ) sin r (t ) 地震作用,2009-3-18,t Dynamics of Structures,Page-45,有阻尼杜哈梅積分,15.4 兩個自由度體系的自由振動 15.4.1 兩個自由度體系自由振動微分方程的建立 15.4.2 頻率方程和自振頻率 15.4.3 主振型及主振型正交性 15.4.4 兩個自由度體系自由振動方程的一般解,2009-3-18,Dynamics of St

40、ructures,Page-46,15.4.1 兩個自由度體系自由振動微分方程的建立 （1）因結(jié)構(gòu)特征必須簡化為多自由度體系,多層房屋,不等高排架,（2）為滿足計算精度的要求,煙囪 基本方法 剛度法 柔度法,高聳建筑物 按位移協(xié)調(diào)條件建立運動方程 按質(zhì)體平衡條件建立運動方程,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-47,2 =,P,柔,度,系,數(shù),（1）柔度法,慣性力作用,柔度系數(shù),注意 ij 物理意義,m2,y2,（,m2 y2,2, 21,2,P 22 1,m1,y1,m1 y1,1,11 = 1,1,12,怎 樣 求,建立方程,y1 (t ) = 11

41、m1 y1 (t ) + 12 m2 y2 (t ) y2 (t ) = 21m1 y1 (t ) + 22 m2 y2 (t ),2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-48,K,y1,（2）剛度法,慣性力作用,質(zhì)量隔離體,結(jié)構(gòu)彈性力,m2,y2,（,m2 y2,2,2,2,= ,+, ,+, ,1,2,2,齊次線性方程組,(k11 2 m1 )Y1 + k12Y2 = 0 k21Y1 + (k22 m2 )Y2 = 0,非零解,頻率方程 自振頻率,D =,k11 2 m1 k21,k12 k22 m2,= 0,思考 的兩 根均為正實根,2 1 k11 k

42、22 k11 k22 4(k11k22 k12 k21 ) 2 m1 m2 m1 m2 m1m2 較小的 1 第一頻率（基頻）， 2 為第二頻率,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-53,1 ,1,(1),Y1(2),Y2,1,m212, 2,Y1,1,Y2 m1 21,2,(1),二,15.4.3 主振型及主振型的正交性,（1）主振型 (m111 2 )Y1 + m212Y2 = 0 m1 21Y1 + (m2 22 2 )Y2 = 0 1)當 = 1時 (2) = 2)當 = 2時,1)用柔度系數(shù)表示 m2 22 = = m111 2 m212 1

43、第一主振型 m111 2 1,12 m1Y1(1),m1,12 m2Y2(1) m2, 22 m1Y1( 2 ) m1,Y2(2) m2,Y1(1),Y2(1),Y1(2), 22 m2 Y2( 2 ),2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-54,2,2,2,2)用剛度系數(shù)表示 平衡方程,(k11 2 m1 )Y1 + k12Y2 = 0 k21Y1 + (k22 m2 )Y2 = 0,Y1 Y2,=,k12 k11 m1,=,k22 2 m2 k21,則，用剛度系數(shù)表示的主振型為,Y1(1) (1) Y2,=,k12 k11 12 m1,Y1(2) (2

44、 ) Y2,=,k12 k11 2 m1,兩種方法是等價的,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-55,(2),Y (1),2,(2),2,2,(1),2,m1Y1 Y1 + m2Y2 Y2 = 0,(1) 1Y Y,（2）主振型的正交性 以兩個自由度為例，按功的互等定理來證明,12 m1Y1(1),m1,12 m2Y2(1) m2, 22 m1Y1( 2 ) m1,Y2(2) m2,第一主振型,Y1(1),Y2(1),第二主振型,Y1(2), 22 m2 Y2( 2 ),功的互等定理 (12 m1Y1(1) )Y1(2) + (12m2Y2(1) )Y2

45、2(2) = (2 m1Y1(2) )Y1(1) + (2 m2Y2(1) )Y22(1),虛功1,虛功2,整理得,(12 2 )(m(2)1(1)Y1(2) +(1)m2(2)(1)Y2(2) ) = 0 1 2,第一正交關系,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-56,2,2,2,2,2,如何解釋正交性,利用第一正交關系,m1Y1(1)Y1(2) + m2Y2(1)Y2(2) = 0,1)同乘 1 2)同乘 ,(m112Y1(1) )Y1(2) + (m212Y2(1) )Y2(2) = 0 虛功10 (m12 Y1(2) )Y1(1) + (m22

46、Y2(2) )Y2(1) = 0,虛功20 這表明體系在振動過程中，各主振型的能量不會 轉(zhuǎn)移到其他主振型上，也不會引起其他主振型的振 動。因此，各主振型能單獨存在而不相互干擾。 物理解釋 數(shù)學解釋？,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-57,4l,m,1,2,3,2,2,3,3,2,1,M 2,( + m ) 4( + m ) (1 2 11 22 121,例題分析 例15.8 求簡支梁的自振頻率和主振型，并驗證主振,型的正交性 解：1）求柔度系數(shù) 3 11 = 22 = 243EI,l/3,EI m l/3 P=1,l/3,12 = 21 =,7l 3

47、 486 EI,2 l 3,P=1,M 1,2）將柔度系數(shù)代入方程 2 l = =11m11m22+ 12 m 11m1 222 =2 11m 12 m 21 )m1m2 2 3）自振頻率 = 1 = 5.69 EI = 1 = 22 EI 1 ml 2 ml 2009-3-18 Dynamics of Structures Page-58,=,=,(1),=,?,4）主振型,m,m,第一主振型 Y1(1) 12 m2 1 Y2 11m1 1 1,第二主振型,l/3,l/3,l/3,Y1(2) (2) Y2,=,12 m2 1 11m1 2 1,5）驗證主振型的正交性 m 1 Y 1 (1 )

48、 Y 1 ( 2 ) + m 2 Y 2( 1 ) Y 2( 2 ) 0 即 ： m 1Y1(1) Y1( 2 ) + m 2 Y 2(1) Y 2( 2 ) m 1 (1) + m 1 ( 1) = 0 故滿足正交性條件,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-59,5l 3,1,1 = = 5.69,利用對稱性另解 簡化原則 若結(jié)構(gòu)本身和質(zhì)量分布都是對稱的，則主振型不 是對稱就是反對稱。故可取半邊結(jié)構(gòu)計算。 1,m,EI,m,對稱,l/3,1,l/3,2,l/3,反對稱,l/3,1,解：1）簡化 2）圖乘 11 = 162 EI 3）自振頻率 其它步驟相

49、同 m11, 22 = EI ml 3,l 3 486 EI 2 =,1 m 22,l/9 = 22,EI ml 3,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-60,2,2,例15.9 求圖示剛架的自振頻率和主振型，并驗證主,振型的正交性,k21,1,k22,m2,m1,k2,1,k11,k12,k1,解：1）求剛度系數(shù),2）頻率方程,k11=k1+k2 , k21= -k2 D = k11 m1 k22=k2 , k12= -k2 k21,k12 k22 m2,= 0,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-61, =,3

50、 5 k,2, =,3 + 5 k,2,m,m,k,k,=,2,=,2,3)代值,若：m1=m2=m，k1=k2=k,Y2(1)=1.618,(2k 2 m )(k 2 m ) k 2 = 0,1 ，10.618 2 m 2 ，21.618 2 m 4)主振型,Y1(1)=1 第一主振型 Y2(2)=0.618,Y1(1) (1) Y2 Y1(2) (2) Y2,= =,k12 1 k11 1 m1 1.618 k12 1 k11 2 m1 0.618,第二主振型,Y1(1)=1,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-62,2,k1 2 2 2 2 1 )

51、( 2 2 2 2 2 2 2,1 1,2,n,2,+ 2 ,k21 1 1 10,2,Y2(2) k21 1 9,1,2 : = = n + =,2,討論 若：m1=nm2，k1=nk2,1）頻率方程,(n + 1)k mnmk2(k m2 )m k)2=k0 = 0,1 = (2 + ) 2 2）主振型,4 1 k2 n n m2,當上部質(zhì)量和剛度很 小時，頂部位移很大 “鞭梢效應”,1 :,Y2(1) (1) Y1,=,= + n + = k22 1 m2 2 4 1,取 n=90,Y1(2) k22 2 m2 2 4 1 3）驗證主振型的正交性,如：屋頂消防水池、 屋面樓電梯間， 女兒

52、墻、等。,m 1Y1(1) Y1( 2 ) + m 2 Y 2(1) Y 2( 2 ) 90m 2 1 (1) + m 2 10 ( 9) = 0 故滿足正交性條件,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-63,特殊形式,y1 (t ) Y1,Y2,初始條件,一般解,(1),(2),(1),(2),15.4.4 兩個自由度體系自由振動方程的一般解,主振型,結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動形式,特殊形式,設 解,y1 (t ) = Y1 sin( t + ) y2 (t ) = Y2 sin( t + ),= =常數(shù) y2 (t ) Y2,實際上是像一個單自由度體系

53、在振動,條 件,Y1,初始位移和初始速度應與此主振型相對應 實際上，初始時刻的 y0 或 v0 通常不能完全與,某一振型相對應。 第一主振型 第二主振型 y1 (t ) = A1Y1 sin(1t + 1 ) + A2Y1 sin(2 t + 2 ) y2 (t ) = A1Y2 sin(1t +1 ) + A2Y2 sin(2 t + 2 ),2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-64,15.5 兩個自由度體系在簡諧荷載下的受迫振動 15.5.1 柔度法 15.5.2 剛度法,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-6

54、5,1 ( 1 y1) y + y 2 ) sin1P t1 11 2 (,2 1 (211 y1) y ( + 2 2 )22 P sinP t,齊次解（ r,15.5.1 柔度法 P sin t,簡諧荷載作用下的無阻尼受迫振動,柔度法 剛度法 P sin t,（1）建立振動微分方程 位移方程,m1,y1,y2,m2,ym=y1m+ m112+12 m21y= 12P+ sin t ym=y1m+ m2212+22myy2= 2 +2sin t （2）動位移的解答及討論,m1 y1 1P,P,m2 y2 2 P,方程的解 設特解 平穩(wěn)振動 ）特解（ ） y1 (t ) = Y1 sin t

55、y2 (t ) = Y2 sin t 2009-3-18 Dynamics of Structures Page-66,D D,0 ,2,2,2,D =,D00 =,D1 =,D2 =,( 11 ,11 ,方程的解,(m1 211 1)Y1 + m2 212Y2 + 1P = 0 m1 2 21Y1 + (m2 2 22 1)Y2 + 2 P = 0 振幅：Y1 = 1 Y2 = 2 D0 D0 其中： ( m 11 1) m2 12 m 2 21 ( m2 2 22 1) 1P m2 212 2 P (m2 2 22 1) (m1 211 1) 1P m1 2 21 2 P,討論 1)當 0 時 靜荷載作用 D0 1，D1 1P , D2 2 P Y1 1P , Y2 1P 2)當 時 來不及反應 D0 4 , D1 2 , D2 2 Y1 0, Y2 0 3)當 = 1 或 = 2 時 D00 且 D1，D2不全為零時 Y1 , Y2 共振 思考：共振點的個數(shù) 與自由度數(shù)的關系,2009-3-18,Dynamics of Structures,Page-67,位移 慣性力,2,2,（3）動內(nèi)力幅值的計算 由Y1 ，Y2值