1、1,工程數(shù)學(xué)6,教學(xué)處 鄒斌,2,本章要點(diǎn),方陣的特征值與特征 相似矩陣 實(shí)對稱矩陣 標(biāo)準(zhǔn)二次型,3,一、方陣特征值與特征向量,設(shè)(1)為階方陣，若存在數(shù)和n維非零向量x，使得 則稱數(shù)為的特征值，稱x為相應(yīng)于特征值的特征向量。 注：特征向量必為非零向量。,4,例如，設(shè),所以2為x的特征值， 為A相應(yīng)于2的特征向量。,5,特征值與特征向量的求法,特征值的求法：求特征方程 的根；,特征向量的求法：求齊次線性方程組 的非零解，稱為矩陣A的相應(yīng)于特征值的特征向量。,6,例1、求A的特征值和全部特征向量,7,8,9,10,解題步驟,1、寫出A的特征多項(xiàng)式| IA |=f() 2、求出f(x)的全部根1

2、, 2 , t ,它們就是A的全部特征值 3、把每個特征值i (i =1, 2 , t )代入方程組 (IA)X0,并求出其基礎(chǔ)解系，這樣就可求出A的屬于i的所有特征向量,11,有關(guān)性質(zhì),（1）n階方陣n個特征值之和等于方陣對角線元素之和（稱為跡）。 （2）n階方陣n個特征值之乘積等于方陣的行列式值。 （3）若為方陣A特征多項(xiàng)式的k重根，則A相應(yīng)于的特征向量線性無關(guān)的個數(shù)不會超過k，即有可能相等，有可能小于。 （4）任一方陣對應(yīng)于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的。由此結(jié)論知，方陣A所有特征向量中線性無關(guān)的總數(shù)為對應(yīng)于每個特征值的線性無關(guān)特征向量個數(shù)之和。,12,(5)若是矩陣A的特征值， x是

3、A是屬于的特征向量，則有：,13,二、相似矩陣,設(shè) A,B都是n階方陣，若有可逆方陣P ,使 P -1 AP=B 則稱B是A的相似矩陣，或說A和B相似，記為A B ，對A進(jìn)行運(yùn)算P -1 AP稱為對A進(jìn)行相似變換，其中可逆陣P稱為相似變換矩陣。 定理：相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，因而有相同的特征值。,14,對角化,簡稱方陣A能對角化（ i為A的特征值） 定理：n方陣A可對角化 A具有n個線性無關(guān)的特征向量 推論：（1）若A有n個不同的特征值，則A可對角化。 （2）若特征多項(xiàng)式| IA|無重根（有n個不同的根），則A可對角化。,15,三、實(shí)對稱矩陣對角化,定理：實(shí)對稱矩陣的特征值必是實(shí)數(shù)，且其一

4、定可以對角化。,16,例1、矩陣A能否對角化？若能，求出與其相似的對角陣。,解：由于A是實(shí)對稱陣，故一定可以對角化，且與A相似的對角陣必是A的特征值為對角元素。,17,18,當(dāng)n階矩陣A有個線性無關(guān)的特征向量時，A被它的特征值和特征向量唯一確定，即一定有 A=P P -1 其中P是以特征向量為列向量的方陣，是以特征值為對角線元素的對角陣。,19,正定陣,定義1：設(shè)n階實(shí)方陣,20,定義2：若n階方陣A滿足ATA=I,則稱A為正交陣。,例：若A是正交矩陣，試證AT也是正交矩陣。 證明：由A 是正交矩陣，則ATA=I 即AT = A-1 所以 ATA= A-1A =I 故AT也是正交矩陣,21,四

5、、二次型,把變量 的二次齊次多項(xiàng)式,稱為n元二次型。,22,利用矩陣的乘法，可把二次型確切地用矩陣表示為,23,標(biāo)準(zhǔn)二次型,只有平方項(xiàng)而沒有交叉乘積項(xiàng)的二次型，即,稱其為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。,24,例1、用配方法將二次型,化為標(biāo)準(zhǔn)型，并求出所作的滿秩變換,25,26,例2、用配方法將二次型,化為標(biāo)準(zhǔn)型，并求出所作的滿秩變換（06.1）,27,28,例3、用配方法將二次型,化為標(biāo)準(zhǔn)型，并求出所作的滿秩變換（05.7）,29,30,31,配方法的注意事項(xiàng),（1）每次只對一個文字來進(jìn)行配方，余下的項(xiàng)中不再含有該文字。 （2）化法關(guān)鍵是消去交叉項(xiàng)，分兩種情形 1、含有平方項(xiàng)的交叉項(xiàng) 用完全平方公式 2、只

6、含交叉項(xiàng) 用平方差公式 （3）作一次變量的線性替換，都要考慮是非退化的（ ）,32,定 理,定理1：任何一個二次型都可化為標(biāo)準(zhǔn)形。即任何一個對稱陣A，總能找到可逆陣C， 使 成為對角陣。 定理2：（慣性定理）實(shí)數(shù)二次型 的任一標(biāo)準(zhǔn)形中，系數(shù)為正的平方項(xiàng)個數(shù)是惟一確定的，系數(shù)為負(fù)的平方項(xiàng)個數(shù)也是惟一確定的。,33,正定二次型,若二次型 對任意非零向量 ，則稱f為正定二次型，也稱實(shí)對稱矩陣A為正定矩陣。,34,正定矩陣的判別,定理：設(shè)A為階實(shí)對稱矩陣，則下列命題等價： （1）A是正定矩陣； （2）A的正慣性指數(shù)為n； （3）A的n個特征值全大于零。 慣性指數(shù)：在實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中，正平方項(xiàng)個數(shù)稱為正慣性指數(shù)，負(fù)平方項(xiàng)個數(shù)稱為負(fù)慣性指數(shù)，正、負(fù)慣性指數(shù)之和稱為二次型的秩，指