1、第二章 工程制圖投影理論,主講教師：楊智勇,機械與電子控制工程學(xué)院,主要內(nèi)容,2.1 正投影及三視圖,工程圖樣是根據(jù)什么原理繪制出來的呢？ 正投影原理 機件最簡單表達(dá)方法是什么呢？ 三視圖,日常生活中，我們經(jīng)常見到一種自然現(xiàn)象，在光的照射下，物體在平面上會出現(xiàn)它影子。,投影法的概念,2.1.1投影的分類及方法,2.1 正投影及三視圖,影子 投影,光源 投影中心,光線 投影線,平面 投影面,投影中心、投影線、投影面、投影四要素構(gòu)成了一個投影體系。,投影是我們在投影面上得到的圖形，不是一個動作。,定義：投影體系中，在投影面上得到投影的方法叫做投影法。,2.1 正投影及三視圖,中心投影,平行投影,斜

2、投影,正投影,中心投影法所有投影線都通過一個投影中心,平行投影法投影線相互平行,（1）斜投影法 （2）正投影法, 投影線相互平行，投影線與投影面傾斜。 投影線相互平行，投影線與投影面垂直。,投影法的種類,2020/8/28,2.1 正投影及三視圖,工程上常用的幾種投影圖,1.透視圖,2.軸測圖,3.多面正投影圖,4.標(biāo)高投影,按中心投影法原理繪制的透視圖,按平行投影法原理繪制的軸測圖,按正投影法原理繪制的標(biāo)高投影,2.1 正投影及三視圖,積聚性,真實性,類似性,正投影的特性,2.1 正投影及三視圖,正投影 視圖 三視圖 三個概念是什么關(guān)系呢？,正投影 視圖 畫圖時,用視線代替投影線,視圖（三個

3、） 三視圖 特指三個視圖,為什么要采用三個視圖,一個視圖或兩個視圖，不能唯一地表達(dá)一個物體。 三視圖可唯一地表達(dá)一個物體。所以要采用三視圖來表達(dá)物體的形狀。,2.1 正投影及三視圖,三視圖的形成,正立投影面,側(cè)立投影面,水平投影面,正立投影面 正 面 V 水平投影面 水平面 H 側(cè)立投影面 側(cè) 面 W,把物體放在三個投影面之間，物體不動，然后分別向三個投影面投影。,V不動，H繞OX軸旋轉(zhuǎn)90，W面繞OZ軸旋轉(zhuǎn)90。在一張圖紙上得到三個不同方向的投影圖。,2.1 正投影及三視圖,主視圖(V),俯視圖(H),左視圖(W),主視圖：長 高 俯視圖：長 寬 左視圖： 寬 高,2020/8/28,2.1

4、 正投影及三視圖,三視圖關(guān)系,主俯視圖：長對正 主左視圖：高平齊 俯左視圖：寬相等,“三等規(guī)律”整體和局部都適用。,2020/8/28,2.2 點投影, 空間點A； a 點A的水平(H)投影; a 點A的正面(V)投影; a 點A的側(cè)面(W)投影。,1.點的空間位置,空間點的位置，可由直角坐標(biāo)值來確定，如A(x,y,z)。,2.點的投影特性,點的投影永遠(yuǎn)是點。,3.點的三面投影,2020/8/28,2.2 點投影,X,V,A,Y,O,W,Z,a,a,a,H面向下旋轉(zhuǎn)90,H,W面向右旋轉(zhuǎn)90,V面不動,2.2 點投影,Aa=aax= a az=ay0=yAA點到V面的距離,Aa =aax= a

5、 ay=az0=zAA點到H面的距離,Aa=aay= a az=ax0=xAA點到W面的距離,4.點的投影與點坐標(biāo)的關(guān)系,X,V,Y,O,W,Z,a,a,a,H,aaOX軸; aaOZ軸; a到OX軸的距離= a到OZ軸的距離,5.點的投影規(guī)律,2.2 點投影,例1: 已知A點的坐標(biāo)值A(chǔ)(12，10，15)，求作A點的三面投影圖。,1.作投影軸；,2.量?。?Oax=12、Oaz=15、OaYH=OaYW=10,得ax、az、OaYH、OaYW等點 ；,步驟:,3.過ax、az、aYH、aYW等點分別作所在軸的垂線，交點a、a、a既為所求。,2.2 點投影,6.兩點的相對位置,兩點的相對位置指

6、兩點在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。,x 坐標(biāo)大的在左；,y 坐標(biāo)大的在前；,z 坐標(biāo)大的在上。,判定方法：,B點在A點的左、下、前方,2020/8/28,2.2 點投影,當(dāng)空間兩點到兩個投影面的距離都分別對應(yīng)相等時，該兩點處于同一投射線上，它們在該投射線所垂直的投影面上的投影重合在一起，這兩點稱為對該投影面的重影點。,重影點需要判斷其可見性，將不可見點的投影用括號括起來，以示區(qū)別。,7. 兩點重影,( ),H面重影,2.2 點投影,點的投影與其坐標(biāo)之間的對應(yīng)關(guān)系： 空間點為A（X，Y，Z），則其投影為： a(x,y,0)、a(x，0，z)、a”（0，y，z） 點的投影規(guī)律 1.點的正面投影

7、與水平投影的連線垂直于OX軸， 2.點的正面投影與側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸， 3.點的水平投影到OX軸距離等于側(cè)面投影到OZ軸的距離。,小 結(jié),2020/8/28,2.3 直線的投影,兩點確定一條直線，將兩點的同面投影用直線連接，就得到直線的投影。,直線平行于投影面 投影反映線段實長 ab=AB 真實性,直線垂直于投影面 投影重合為一點 ab=0 積聚性,直線傾斜于投影面 投影比空間線段短 abAB 類似性,1. 直線的投影特性,2020/8/28,2.3 直線的投影,（2）投影面平行線,（3）投影面垂直線,正平線（平行于面）,側(cè)平線（平行于面）,水平線（平行于面）,正垂線（垂直于面）,側(cè)垂

8、線（垂直于面）,鉛垂線（垂直于面）,（1）一般位置直線,與三個投影面都傾斜的直線,2. 直線在三投影面體系中的投影特性,平行于某一投影面，而與其余兩投影面傾斜,垂直于某一投影面，而與其余兩投影面平行,2.3 直線的投影,投影特征：,三個投影都縮短了。即:都不反映空間線段的實長，與三個投影面夾角，且與三根投影軸都傾斜。,（1）一般位置直線,2.3 直線的投影,求一般位置直線的實長-直角三角形法,原理分析：,ABB0 為直角三角形,B0,zb-za,結(jié)論： 已知線段的兩個投影，可利用直角三角形法，求出線段的實長及對H 投影面的傾角。,2.3 直線的投影,實長、坐標(biāo)差、投影長、傾角為直角三角形的四要

9、素。,注意： 直線的坐標(biāo)差、投影長、傾角是對同一投影面而言。,2.3 直線的投影,o,X,所得直角三角形的斜邊即實長AB 。AB 與a b 的夾角為 。,1.以ab 為一直角邊；,2.取zb- za 為另一直角邊;,zb-za,zb-za,例1 求線段AB 的實長及。,2.3 直線的投影,例2 已知EF =30 ，試完成e f 。,f ,zf -ze,zf-ze,1.以ef 為一直角邊；,2.以R30 為半徑畫弧，在另一直角邊上截得zf -ze ;,3.在f f 投影連線上定f 點，完成 ef 。,2.3 直線的投影,X1,換面法的概念,在V/H 投影體系中，AB 為一般位置直線。,增設(shè)新投影

10、面V1，使V1H ，且直線AB ；,在V1 / H 新投影體系中，AB 為投影面平行線直線。 AB 在新投影面上的投影反映實長及對H 面的傾角。,建立新投影系：,這種增設(shè)新投影面，用新投影取代原舊投影求解的方法稱為換面法。,例1 求AB 線段的實長及。,作圖要點：,a1,b1,X1 ab,X1,都與不變投影面有關(guān),X1 軸平行不變投影，求得線段對不變投影面的傾角。,2.3 直線的投影,2.3 直線的投影,例2 將AB 線段變換為投影面垂直線。,分析：,AB 為正平線，則設(shè)H1 面AB 。,O,A,B,a,b,a,b,X1,X1,a1 (b1 ),作圖要點：,X1 ab,a1b1,2.3 直線的

11、投影,H面投影反映線段實長，即：ab=AB; V、W面投影：abox軸，abOYW軸； H面投影與OX、OYH軸的成夾角。,水平線的投影特征：,（2）投影面平行線,水平線（平行于面）,（對正平線、側(cè)平線作分析，可得出類似的投影特征。）,2.3 直線的投影,1.在其平行的那個投影面上的投影反映實長，并反映直線與另兩投影面傾角。,水平線,側(cè)平線,正平線,投影特征：,與H面的夾角: 與V面的角: 與W面的夾角:,實長,實長,實長,（2）投影面平行線,2.另兩個投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。,2.3 直線的投影,H面投影積聚成一點； V、W面投影反映實長，即ab=ab=AB； V、W面投影： ab

12、ox軸、ab oz軸 。,（對正垂線和側(cè)垂線作分析，可得出類似的投影特征。）,鉛垂線投影特征:,（3）投影面垂直線,鉛垂線（垂直于面）,2.3 直線的投影,鉛垂線,正垂線,側(cè)垂線,2. 另外兩個投影面上，投影反映線段實長。且垂直于相應(yīng)的投影軸。,1. 在其垂直的投影面上，投影有積聚性。,投影特性:,積聚為點,積聚為點,積聚為點,（3）投影面垂直線,2.3 直線的投影,AB為水平線,CD為側(cè)平線,例1：判斷下列直線的空間位置,2.3 直線的投影,（1）點在直線上，其投影必在直線的同面投影上。,3. 單一直線投影的性質(zhì),（2）直線上的點分線段之比等于其投影之比。,AC：CB = a c： c b

13、= ac：cb,2.3 直線的投影,例1 求點C ，使AC :CB =1:4 。,c,c”,分析,作圖,2.3 直線的投影,例2 判斷點C 是否在AB 直線上。,a”,b”,c”,兩種判斷方法：,1.從屬性-作側(cè)投影,否, ac : cb ,ac : cb,否,2.定比性-分析比例關(guān)系。,單一直線投影及其特性 一點兩線垂直線 一斜兩平平行線 三線皆斜為一般 單一直線的投影規(guī)律 一般位置直線：三面投影都小于實長；三面投影都傾斜于投影軸，不反映實角。 投影面平行線：在其平行的投影面上，投影反映實長，且反映兩個實際角度；另外兩面投影為平行于相應(yīng)坐標(biāo)軸的直線段。 投影面垂直線：在其垂直的投影面上，投影

14、積聚成一點；另外兩面投影為反映實長且垂直于相應(yīng)坐標(biāo)軸的直線段。,2.3 直線的投影,小 結(jié),兩直線的相對位置 相交 平行 交叉,2.3 直線的投影,5. 兩直線的相對位置及其投影特性,（1）平行,兩直線平行，其同面投影必定平行；反之，若兩直線的同面投影都互相平行，則兩直線必平行。,2020/8/28,2.3 直線的投影,例1 過點E（e、e）作直線AB。,O,X,e,e,a,b,b,a,若使 EF AB，,須 ef ab ；,efab 。,分析:,作圖:,2.3 直線的投影,兩直線相交，其同面投影必定相交，且交點的投影符合點的投影規(guī)律；反之亦然。,B,C,a,b,a,b,O,A,D,d,d,c

15、,c,k,k,K,（2）相交,2.3 直線的投影,D,A,C,B,c,d,b,a,b,a,d,c,4,1,2,3,(2 ) 1,3(4 ),既不平行也不相交的空間兩直線稱為交叉。,投影圖上的交點是重影點。,（2） 1,3（4）,1,2,不符合投影規(guī)律,O,（3）交叉,2.3 直線的投影,例1 判斷AB 、EF 兩直線的相對位置。,相交,k,分析：,判斷方法：,方法一作第三投影（略）,方法二按定比性。,k,由于 ak :kb = ak :kb,結(jié)論：,所以 AB、 EF 相交。,2.3 直線的投影,例2 判斷AB 、CD 兩直線的相對位置。,交叉,分析：,判斷方法：,方法一作第三投影（略）,方法

16、二： 假定AB、CD平行，則ABCD 共面，AD 和BC 必相交，,AB、CD 兩交叉直線。,結(jié)論：,平行？,交叉？,作圖：,2.3 直線的投影,6. 直角投影定理,在直角中： 如兩直角邊同時平行某一投影面，則在該投影面上的投影必反映直角關(guān)系； 如有一條直角邊平行某一投影面，則在該投影面上的投影也反映直角關(guān)系-直角投影定理。,2.3 直線的投影,直角投影定理,C,A,B,已知：AB為水平線，BAC 為直角，則bac 仍為直角。,證明：, ABAC， ABAa , AB平面ACca ，, ABH面， ab AB ab平面ACca 有abac 。,abAB,abOX,直角,有ABac ；,bac

17、仍為直角,X,反之：若abOX，bac 為直角，則空間BAC 為直角。,2.3 直線的投影,直角投影定理也適于兩交叉直線。,已知CD 與EF 交叉垂直，EF 為水平線，則在H 面上cd 與ef 垂直。,投影圖,X,2.3 直線的投影,例1 已知ABV，試過點E 作直線EK 與AB 垂直相交。,k,k,分析：,AB 為正平線， 正面投影反映垂直關(guān)系。,作圖過程：,2.3 直線的投影,例2 過點A 作直線垂直CD 。,e,e,f,分析：,有無數(shù)解。,能圖示出垂直關(guān)系的有兩條：一條水平線，一條正平線。,f,作圖：,作正平線AE ， 使ae c d ，aeOX 。,作水平線AF ， 使af cd ，a

18、fOX 。,單一直線投影及其特性 一點兩線垂直線 一斜兩平平行線 三線皆斜為一般 單一直線的投影規(guī)律 一般位置直線：三面投影都小于實長；三面投影都傾斜于投影軸，不反映實角。 投影面平行線：在其平行的投影面上，投影反映實長，且反映兩個實際角度；另外兩面投影為平行于相應(yīng)坐標(biāo)軸的直線段。 投影面垂直線：在其垂直的投影面上，投影積聚成一點；另外兩面投影為反映實長且垂直于相應(yīng)坐標(biāo)軸的直線段。,2.3 直線的投影,小 結(jié),兩直線的相對位置 相交 平行 交叉,2.4 平面的投影,直線及線外一點,兩平行直線,兩相交直線,平面圖形,不共線的三點,平面的幾何元素表示法?,2.4 平面的投影,1. 平面的投影特性,

19、平面垂直投影面 投影積聚成直線 積聚性,平面傾斜投影面 投影類似原平面 類似性,平面平行投影面 投影就將實形現(xiàn) 真實性,根據(jù)平面與投影面的位置關(guān)系，可有平行、垂直和傾斜三種情況。,2.4 平面的投影,（2）投影面平行面,（3）投影面垂直面,正平面（平行于面）,側(cè)平面（平行于面）,水平面（平行于面）,正垂面（垂直于面）,側(cè)垂面（垂直于面）,鉛垂面（垂直于面）,（1）一般位置平面,與三個投影面都傾斜的平面,2. 平面在三投影面體系中的投影特性,平行于某一投影面，而與其余兩投影面垂直,垂直于某一投影面，而與其余兩投影面傾斜,2.4 平面的投影,（1）一般位置平面,三個投影都類似。,投影特性：,2.4

20、 平面的投影,例 包含A（a，a）作一般位置平面。,任作兩相交直線決定一平面.,b,c,b,c,無數(shù)解!,2.4 平面的投影,（2）投影面平行面,投影特性：,1.在它所平行的投影面上的投影反映實形。,2.另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。,（對正平面和側(cè)平面作分析，可得出類似的投影特性。）,實形性,積聚性,積聚性,2.4 平面的投影,例1 包含點A（a，a）作正平面。,正平面的水平投影為一條OX 軸的直線。,b,c,b,c,2.4 平面的投影,ABC是什么位置的平面？,a,b,c,a,c,b,c,b,a,(3)投影面垂直面,鉛垂面,投影特性：,1.在平面所垂直的投影面上的

21、投影積聚成直線。 2.該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。,3.另外兩個投影面上的投影有類似性。,為什么？,積聚性,類似性,類似性,（對正垂面和側(cè)垂面作分析，可得出類似的投影特性。）,2.4 平面的投影,例1 包含A（a，a）作=30 的正垂面。,兩相交直線決定平面,b,c,b,c,d,d,2.4 平面的投影,3. 平面內(nèi)的點和直線,（1）直線在平面內(nèi)的幾何條件,通過一平面上的兩個點；,通過平面上一點同時又平行該平面上另一直線。,M,N,2.4 平面的投影,例：判斷直線 是否在ABC 平面內(nèi)。,1,2,2,a,b,c,X,O,b,a,c,1,否,3,4,4,3,平面內(nèi)一般

22、位置直線,2.4 平面的投影,平面內(nèi)投影面的平行線,從屬性(屬于平面); 投影面平行線的投影特性。,D,E,e,d,e,d,投影特性:,deOX 軸,B,2.4 平面的投影,例：在平面(ABCD )內(nèi)作直線EF V 面，使距離V面為15 。,e,f,f,e,2.4 平面的投影,（2）點在平面內(nèi)的幾何條件,在平面內(nèi)定點時，一般要通過包含點在平面內(nèi)取輔助線求解。,點在平面內(nèi)的一條直線上。,2.4 平面的投影,例1：完成平面四邊形ABCD 的水平投影。,作圖分析：,平面四邊形ABCD 的 對角線必相交。,k,c,X,k,作圖：,2.4 平面的投影,例2:完成平面多邊形的水平投影，并求側(cè)面投影。,作圖

23、：,投影分析：,帶切口的三角形 一般位置平面 有關(guān)線段平行,b,4,1,3,1,4,2,a”,c”,b”,4”,1”,3”,2”,2.5 幾何要素之間的相對位置,1. 直線與平面平行,幾何條件,如果平面P 外的一條直線AB 與平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線AB 和這個平面P 平行。,反之，如果直線AB 與平面P 平行，那么在平面內(nèi)一定有一條直線與該直線AB 平行。, LP ； L AB ； AB P 。,2.5 幾何要素之間的相對位置,例2 判斷直線AB 與平面是否平行。,只要判斷能否在平面內(nèi)找到一條與AB 直線平行的直線即可，有則平行，否則不平行。,a,b,a,b,1,1,作圖：,2.連

24、接1d ；,1d 與ab 不平行， 平面 與直線AB 不平行。,分析：,X,O,2,3,2,3,d,d,1.在平面內(nèi)取直線D， 使1d ab ；,2.5 幾何要素之間的相對位置,2. 平面與平面平行,如果一平面內(nèi)的兩相交直線與另一平面內(nèi)的兩相交直線分別對應(yīng)平行，則兩平面平行。,L1,L2,L3,L4, L1 L2 ； L3 L4 ； R P 。,幾何條件,2.5 幾何要素之間的相對位置,例： 含點A1 作平面平行定平面（A2 B2 A2 C2 ）。,b1,c1,c1,b1,只要含點A1 作相交直線分別與A2B2 和A2C2 平行即可。,1.作a1b1 a2 b2 ； a1b1 a 2 b 2

25、；,作圖：,則平面(A1B1A1C1)與平面（A2B2A2C2）平行。,分析：,2.作a1c1 a2 c2 ； a1c1 a2 c2 ；,2.5 幾何要素之間的相對位置,3. 特殊位置平面與直線或平面相交,直線和平面、平面和平面若不平行就必相交。,基本問題,性質(zhì),求共有點的方法,利用積聚性，確定交點的已知投影直接作圖；,通過輔助平面作圖。,1.求交點、交線； 2.判別可見性。,共有點；共有線。 求交點求直線和平面的共有點； 求交線求出兩個共有點，然后連線。,2.5 幾何要素之間的相對位置,利用積聚性投影作圖,k,k,例1 求直線AB 與平面CDE 的交點。,K,k,作圖：,從屬性,2.5 幾何

26、要素之間的相對位置,k,k,可見性判別：,方法1：,1,2,2,1,( ),k2 不可見，畫細(xì)虛線； kb 可見，線段描粗。,例1 求直線AB 與平面CDE 的交點。,1在前,方法2,2.5 幾何要素之間的相對位置,例3 求兩平面ABC 與DEF 的交線。,分析：,DEF 為鉛垂面，交線的H 投影已知；根據(jù)從屬性，求交線的V 投影。,a,b,c,k,l,l,k,K,L,k,l,2.5 幾何要素之間的相對位置,判別可見性：,根據(jù)空間位置關(guān)系判別。,前，可見,后，不可見,界,例2 求ABC 與DEF 兩平面的交線。,k,l,l,k,解題完畢,V 面投影 投射方向,2.5 幾何要素之間的相對位置,4

27、. 一般位置直線與平面相交,引：求直線DE 與平面ABC 的交點。,輔助平面法,分析,K,P,2.5 幾何要素之間的相對位置,已知平面,輔助平面法作圖過程：,1.包含直線作輔助平面；,2.求輔助平面與已知平面的交線；,3.求交線與已知直線的交點。,已知直線,輔助平面,交點,輔助平面的位置原則?,特殊位置平面,引：求直線DE 與ABC 平面的交點。,輔助平面法,2.5 幾何要素之間的相對位置,PV,( ),1,2,( ),4,3,k,k,作圖過程：,1.包含直線DE 作正垂面P (或鉛垂面）；,2.求P 平面與ABC 平面的交線，并確定交點K ；,3.利用重影點判別可見性。,引：求直線DE 與平

28、面ABC 的交點。,輔助平面法,直線V 投影的可見性,直線H 投影的可見性,解題完畢,2.5 幾何要素之間的相對位置,PV,k,k,分析：,如果直線AB 與交叉直線和 均相交，則AB與I II構(gòu)成一平面，而 與該平面的交點K 一定在AB上。,K,B,投影作圖：,b,b,例：包含點A 作直線AB 使與兩交叉直線、 相交。,解題完畢,因此找到 與平面A I II的交點K ，連接AK的直線即為所求。,2.5 幾何要素之間的相對位置,PV,k,QV,l,k,l,例1 求兩平面ABC 和DEF 的交線。,線面相交法,分析:,兩次運用直線與平面相交的方法,求兩交點連線即可。,投影作圖:,5. 兩一般位置平

29、面相交,2.5 幾何要素之間的相對位置,k,k,l,l,例1 求兩平面ABC 和DEF 的交線。,分析:,兩次運用直線平面相交的方法,求兩交點連線即可。,投影作圖:,判別可見性:,V 投影的可見性,H 投影的可見性,解題完畢,2.5 幾何要素之間的相對位置,例2 求ABC 和平面(L1L2 )的交線。,輔助平面三面共點法,x,o,b,a,c,b,a,c,L1,L2,L1,L2,原理分析:,K1,K2,S1,S2,P,Q,投影作圖:,K1,K2,K1,K2,交線,解題完畢,SV1,SV2,2.5 幾何要素之間的相對位置,如果一條直線和一平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則直線與該平面垂直。,A,B,D,C,L,直線和平面垂直的條件,定理：,6. 直線與平面垂直,2.5 幾何要素之間的相對位置,直線垂直平面的投影分析：,直線的正面投影垂