1、第三節(jié) 函數(shù)的極限,一、 函數(shù)極限的定義,二、 函數(shù)極限的性質(zhì),一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限,如果當(dāng)x無限地接近于x0時(shí) 函數(shù)f(x)的值無限地接近于常數(shù)A 則常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)xx0時(shí)的極限 記作,1. 函數(shù)極限的定義,分析: 當(dāng)xx0時(shí) f(x)A 當(dāng)|x-x0|0時(shí) |f(x)-A|0 當(dāng)|x-x0|小于某一正數(shù)d后 |f(x)-A|能小于給定的正數(shù)e 任給e 0 存在d 0 使當(dāng)|x-x0|d 時(shí) 有|f(x)-A|e,定義1 . 設(shè)函數(shù),在點(diǎn),的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,當(dāng),時(shí), 有,則稱常數(shù) A 為函數(shù),當(dāng),時(shí)的極限,或,即,當(dāng),時(shí), 有,若,記作,幾何解釋:,極限存在,函

2、數(shù)局部有界,這表明:,注,1） 語言表述,2） 表示 時(shí) 有,3) e 任意給定后，才能找到d ， d 依賴于 e ，一般的e 越小，d 越小.,4) d 不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.,當(dāng),時(shí), 有,無極限 與 有無定義沒有關(guān)系.,成立,當(dāng) 時(shí),成立,例3. 證明,證:,欲使,取,則當(dāng),時(shí) , 必有,因此,只要,例4. 證明,證:,故,取,當(dāng),時(shí) , 必有,因此,2. 單側(cè)極限,當(dāng)自變量x從x0的左(或右)側(cè)趨于x0時(shí)，函數(shù)f(x)有極限A，則稱A為函數(shù)f(x)當(dāng)xx0時(shí)的左(右)極限，記作,或,思考題: 寫出左右極限的精確定義,3. 單側(cè)極限和極限的關(guān)系,函數(shù)f(x)當(dāng)xx0時(shí)極限

3、存在的充分必要條件是左 極限與右極限均存在且相等，即,例5. 設(shè)函數(shù),討論,時(shí),的極限是否存在 .,解:,因?yàn)?顯然,所以,不存在 .,4. 極限的性質(zhì),定理1 (函數(shù)極限的唯一性),定理2 (函數(shù)極限的局部有界性),如果f(x)A(xx0) 那么f(x)在x0的某一去心鄰域內(nèi)有界,定理3 (函數(shù)極限的局部保號性),如果f(x)A(xx0) 而且A0(或A0) 那么在x0的某一去心鄰域內(nèi) 有f(x)0(或f(x)0),如果當(dāng)xx0時(shí)f(x)的極限存在, 那么這極限是唯一的,定理4 (函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系),如果當(dāng)xx0時(shí)f(x)的極限存在 xn是任一收斂于x0的數(shù)列 則函數(shù)值數(shù)列f(xn)

4、必收斂 且,證 因?yàn)?當(dāng) 時(shí),有,定理2 （函數(shù)極限的局部有界性）如果 則,存常數(shù)M 0和0, 使得當(dāng) 時(shí),有|f(x)|M.,定理3 （函數(shù)極限的局部保號性）如果 而,且A 0(或A0, 使得當(dāng) 時(shí),有f(x)0 (或f(x)0.),某一去心鄰域 ，當(dāng)x 時(shí)，就有,證: 就A0的情形證明.,所以取,則,當(dāng) 時(shí),有,推論 如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)f(x)0(或f(x)0)且 f(x)A(xx0) 那么A0(或A0),二、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限,類似地可定義,如果當(dāng)|x|無限增大時(shí) f(x)無限接近于某一常數(shù)A 則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x時(shí)的極限 記為, 0 X0 當(dāng)|x|X時(shí) 有|f(x)A| ,精確定義,結(jié)論,幾何解釋:, 0,X0,當(dāng)|x|X時(shí) 有|f(x)-A|e:,水平漸近線,水平漸近線,例6. 證明,證:,取,因此,注:,就有,故,欲使,即,