1、1.2 角的概念的推廣整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析 教材首先通過實(shí)際問題的展示,引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突,然后通過具體例子,將初中學(xué)過的角的概念推廣到任意角,在此基礎(chǔ)上引出終邊相同的角的集合的概念.這樣可以使學(xué)生在已有經(jīng)驗(yàn)(生活經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn))的基礎(chǔ)上,更好地認(rèn)識(shí)任意角、象限角、終邊相同的角等概念.讓學(xué)生體會(huì)到把角推廣到任意角的必要性,引出角的概念的推廣問題.本節(jié)充分結(jié)合角和平面直角坐標(biāo)系的關(guān)系,建立了象限角的概念.使得任意角的討論有一個(gè)統(tǒng)一的載體.教學(xué)中要特別注意這種利用幾何的直觀性來研究問題的方法,引導(dǎo)學(xué)生善于利用數(shù)形結(jié)合的思想方法來認(rèn)識(shí)問題、解決問題.讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)在平面直角坐標(biāo)系中討論任意角.能熟練

2、寫出與已知角終邊相同的角的集合,是本節(jié)的一個(gè)重要任務(wù). 學(xué)生的活動(dòng)過程決定著課堂教學(xué)的成敗,教學(xué)中應(yīng)反復(fù)挖掘“分析理解”欄目及“分析理解”示圖的過程功能,在這個(gè)過程上要不惜多花些時(shí)間,讓學(xué)生進(jìn)行操作與思考,自然地、更好地歸納出終邊相同的角的一般形式,也就自然地理解了集合S=|=+k360,kZ的含義.如能借助信息技術(shù),則可以動(dòng)態(tài)表現(xiàn)角的終邊旋轉(zhuǎn)的過程,更有利于學(xué)生觀察角的變化與終邊位置的關(guān)系,讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)的過程中體會(huì),既要知道旋轉(zhuǎn)量,又要知道旋轉(zhuǎn)方向,才能準(zhǔn)確刻畫角的形成過程的道理,更好地了解任意角的深刻涵義.三維目標(biāo)1.通過實(shí)例的展示,使學(xué)生理解角的概念推廣的必要性,理解并掌握正角、負(fù)角、零

3、角、象限角、終邊相同角的概念及表示,樹立運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn),并由此深刻理解推廣之后的角的概念.2.通過自主探究、合作學(xué)習(xí),認(rèn)識(shí)集合S中k、的準(zhǔn)確含義,明確終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無限多個(gè),它們相差360的整數(shù)倍.這對(duì)學(xué)生的終身發(fā)展,形成科學(xué)的世界觀、價(jià)值觀具有重要意義.3.通過類比正、負(fù)數(shù)的規(guī)定,讓學(xué)生認(rèn)識(shí)正角、負(fù)角并體會(huì)類比、數(shù)形結(jié)合等思想方法的運(yùn)用,為今后的學(xué)習(xí)與發(fā)展打下良好的基礎(chǔ).重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn):將0360范圍的角推廣到任意角,終邊相同的角的集合.教學(xué)難點(diǎn):用集合來表示終邊相同的角.課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.(情境導(dǎo)入)可由學(xué)生所熟悉的游戲引入,激起學(xué)生的探求興趣

4、.如圖1,在許多學(xué)校的門口都有擺設(shè)的一些游戲機(jī),只要指針旋轉(zhuǎn)到陰影部分即可獲得高額獎(jiǎng)品.由此發(fā)問:指針怎樣旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)多少度才能贏?還有我們所熟悉的體操運(yùn)動(dòng)員旋轉(zhuǎn)的角度,自行車車輪旋轉(zhuǎn)的角度,螺絲扳手的旋轉(zhuǎn)角度,這些角度都怎樣解釋?在學(xué)生急切想知道的渴望中引入角的概念的推廣,進(jìn)而引入角的概念的推廣的問題.圖1思路2.(復(fù)習(xí)導(dǎo)入)回憶初中我們是如何定義一個(gè)角的?所學(xué)的角的范圍是什么?用這些角怎樣解釋現(xiàn)實(shí)生活的一些現(xiàn)象,比如你原地轉(zhuǎn)體一周的角度,應(yīng)怎樣修正角的定義才能解釋這些現(xiàn)象?由此讓學(xué)生展開討論,進(jìn)而引入角的概念的推廣問題.推進(jìn)新課知識(shí)探究提出問題 你的手表慢了5分鐘,你將怎樣把它調(diào)整準(zhǔn)確?假如

5、你的手表快了1.25小時(shí),你應(yīng)當(dāng)怎樣將它調(diào)整準(zhǔn)確?當(dāng)時(shí)間調(diào)整準(zhǔn)確后,分針轉(zhuǎn)過了多少度角? 體操運(yùn)動(dòng)中有轉(zhuǎn)體兩周,在這個(gè)動(dòng)作中,運(yùn)動(dòng)員轉(zhuǎn)體多少度? 請(qǐng)兩名男生(或女生、或多名男女學(xué)生)起立,做由“面向黑板轉(zhuǎn)體背向黑板”的動(dòng)作.在這個(gè)過程中,他們各轉(zhuǎn)體了多少度?活動(dòng):讓學(xué)生到講臺(tái)利用準(zhǔn)備好的教具鐘表,實(shí)地演示撥表的過程.讓學(xué)生站立原地做轉(zhuǎn)體動(dòng)作.教師強(qiáng)調(diào)學(xué)生觀察旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量,并思考怎樣表示旋轉(zhuǎn)方向.對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)給予鼓勵(lì)、表揚(yáng),對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問題的思路. 角可以看作是平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形,設(shè)一條射線的端點(diǎn)是O,它從起始位置OA按逆時(shí)

6、針方向旋轉(zhuǎn)到終止位置OB,則形成了一個(gè)角,點(diǎn)O是角的頂點(diǎn),射線OA、OB分別是角的始邊和終邊.如圖2.圖2 我們規(guī)定:一條射線繞著它的端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫作正角,按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角叫作負(fù)角.鐘表的時(shí)針和分針在旋轉(zhuǎn)過程中所形成的角總是負(fù)角,為了簡便起見,在不引起混淆的前提下,“角”或“”可以簡記作“”. 如果一條射線從起始位置OA沒有作任何旋轉(zhuǎn),終止位置OB與起始位置OA重合,我們稱這樣的角為零度角,又稱零角,零角的始邊和終邊重合,如果是零角,記作=0.討論結(jié)果:順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了30;逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了450.順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了720或逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了720.-180或+180或-5

7、40或+540或900或1 260提出問題能否以同一條射線為始邊作出下列角:210,-45,-150.如何在坐標(biāo)系中作出這些角,象限角是什么意思?0角又是什么意思?活動(dòng):先讓學(xué)生看書、思考、并討論這些問題,教師提示、點(diǎn)撥,并對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表揚(yáng),對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生,教師提示、引導(dǎo)考慮問題的思路.學(xué)生作這樣的角,使用一條射線作為始邊,沒有固定的參照,所以會(huì)作出很多形式不同的角.教師可以適時(shí)地提醒學(xué)生:如果將角放到平面直角坐標(biāo)系中,問題會(huì)怎樣呢?并讓學(xué)生思考討論在直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角的好處:使角的討論得到簡化,還能有效地表現(xiàn)出角的終邊“周而復(fù)始”的現(xiàn)象. 今后我們?cè)谧鴺?biāo)系中研究和討論角,為了討論

8、問題的方便,我們使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.那么角的終邊在第幾象限,我們就說這個(gè)角是第幾象限角.要特別強(qiáng)調(diào)角與直角坐標(biāo)系的關(guān)系角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.討論結(jié)果:能.如圖3.圖3 使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合.角的終邊在第幾象限,我們就說這個(gè)角是第幾象限角.這樣: 210角是第三象限角; -45角是第四象限角; -150角是第三象限角. 特別地,終邊落在坐標(biāo)軸上的角不屬于任何一個(gè)象限,比如0角. 可以借此進(jìn)一步設(shè)問: 銳角是第幾象限角?鈍角是第幾象限角?直角是第幾象限角?反之如何? 將角按照上述方法放在直角坐標(biāo)系

9、中,給定一個(gè)角,就有唯一一條終邊與之對(duì)應(yīng),反之,對(duì)于直角坐標(biāo)系中的任意一條射線OB,以它為終邊的角是否唯一?如果不唯一,那么終邊相同的角有什么關(guān)系?提出問題 在直角坐標(biāo)系中標(biāo)出210,-150的角的終邊,你有什么發(fā)現(xiàn)?它們有怎樣的數(shù)量關(guān)系?328,-32,-392角的終邊及數(shù)量關(guān)系是怎樣的?終邊相同的角有什么關(guān)系? 所有與終邊相同的角,連同角在內(nèi),怎樣用一個(gè)式子表示出來?活動(dòng):讓學(xué)生從具體問題入手,探索終邊相同的角的關(guān)系,再用所準(zhǔn)備的教具或是多媒體給學(xué)生演示:演示象限角、終邊相同的角,并及時(shí)地引導(dǎo):終邊相同的一系列角與0到360間的某一角有什么關(guān)系,從而為終邊相同的角的表示作好準(zhǔn)備. 為了使學(xué)

10、生明確終邊相同的角的表示方法,還可以用教具作一個(gè)32角,放在直角坐標(biāo)系內(nèi),使角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,形成-32角后提問學(xué)生這是第幾象限角?是多少度角?學(xué)生對(duì)后者的回答是多種多樣的. 至此,教師因勢利導(dǎo),予以啟發(fā),學(xué)生對(duì)問題探究的結(jié)果已經(jīng)水到渠成,本節(jié)難點(diǎn)得以突破.同時(shí)學(xué)生也在這一學(xué)習(xí)過程中,體會(huì)到了探索的樂趣,激發(fā)起了極大的學(xué)習(xí)熱情,這是比學(xué)習(xí)知識(shí)本身更重要的. 討論結(jié)果:210與-150角的終邊相同;328,-32,-392角的終邊相同.終邊相同的角相差360的整數(shù)倍. 設(shè)S=|=-32+k360,kZ,則328,-392角都是S的元素,-32角也是S的元素(此

11、時(shí)k=0).因此,所有與-32角的終邊相同的角,連同-32在內(nèi),都是集合S的元素;反過來,集合S的任何一個(gè)元素顯然與-32角終邊相同. 所有與終邊相同的角,連同角在內(nèi),可以構(gòu)成一個(gè)集合S=|=k360+,kZ,即任一與角終邊相同的角,都可以表示成角與周角的整數(shù)倍的和.教師適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí):kZ;是任意角;終邊相同的角不一定相等,終邊相同的角有無數(shù)多個(gè),它們相差360的整數(shù)倍.應(yīng)用示例例1 判定下列各角是第幾象限角:(1)-60;(2)585;(3)-95012.解:(1)因?yàn)?60角的終邊在第四象限,所以它是第四象限角.(2)因?yàn)?85=360+225,所以585與225角的終邊重合,而225

12、的終邊在第三象限,所以585是第三象限角.(3)因?yàn)?95012=(-2)360-23012,而-23012的終邊在第二象限,所以-95012是第二象限角.變式訓(xùn)練 在0360范圍內(nèi),找出與-95012角終邊相同的角,并判定它是第幾象限角.解:-95012=12948-3360,所以在0360的范圍內(nèi),與-95012角終邊相同的角是12948,它是第二象限的角.點(diǎn)評(píng):教師可引導(dǎo)學(xué)生先估計(jì)-95012大致是360的幾倍,然后再具體求解.例2 在直角坐標(biāo)系中,寫出終邊在y軸上的角的集合.(用0360的角表示)活動(dòng):終邊落在y軸上,應(yīng)分y軸的正方向與y軸的負(fù)方向兩個(gè). 學(xué)生很容易分別寫出所有與90,

13、270的終邊相同的角構(gòu)成集合,這時(shí)應(yīng)啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考:能否化簡這兩個(gè)式子,用一個(gè)式子表示出來. 讓學(xué)生觀察、討論、思考,并逐漸形成共識(shí),教師再規(guī)范地板書出來.并強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的簡捷性.在數(shù)學(xué)表達(dá)式子不唯一的情況下,注意采用簡約的形式.解:在0360范圍內(nèi),終邊在y軸上的角有兩個(gè),即90和270角,如圖4.圖4因此,所有與90的終邊相同的角構(gòu)成集合S1=|=90+k360,kZ.而所有與270角的終邊相同的角構(gòu)成集合S2=|=270+k360,kZ.于是,終邊在y軸上的角的集合S=S1S2=|=90+2k180,kZ|=90+180+2k180,kZ=|=90+2k180,kZ|=90+(2k+

14、1)180,kZ=|=90+n180,nZ.點(diǎn)評(píng):本例是讓學(xué)生理解終邊在坐標(biāo)軸上的角的表示.教學(xué)中,應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)用集合表示終邊相同的角時(shí),表示方法不唯一,要注意采用簡約的形式.變式訓(xùn)練 寫出終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合.答案:S=|=n90,nZ.3.寫出與60角終邊相同的角的集合S,并把S中適合不等式-360720的元素寫出來.解:S=|=60+k360,kZ.S中適合-360720的元素是:60-1360=-300,60+0360=60,60+1360=420.變式訓(xùn)練 寫出終邊在直線y=x上的角的集合S,并把S中適合不等式-360720的元素寫出來.解:如圖5,在直角坐標(biāo)系中畫出直線y=x

15、,可以發(fā)現(xiàn)它與x軸夾角是45,在0360范圍內(nèi),終邊在直線y=x上的角有兩個(gè):45和225,因此,終邊在直線y=x上的角的集合圖5S=|=45+k360,kZ|=225+k360,kZ.S中適合-360720的元素是:45-2180=-315,45-1180=-135,45+0180=45,45+1180=225,45+2180=405,45+3180=585.點(diǎn)評(píng):本例是讓學(xué)生表示終邊在已知直線的角,并找出某一范圍的所有的角,即按一定順序取k的值,應(yīng)訓(xùn)練學(xué)生掌握這一方法.例4 寫出在下列象限的角的集合:第一象限; 第二象限; 第三象限; 第四象限.活動(dòng):本題關(guān)鍵是寫出第一象限的角的集合,其他

16、象限的角的集合依此類推即可,如果學(xué)生閱讀例題后沒有解題思路,或者把中的范圍寫成090,可引導(dǎo)學(xué)生分析360450范圍的角是不是第一象限的角呢?進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生寫出所有終邊相同的角.解:終邊在第一象限的角的集合:|n360n360+90,nZ.終邊在第二象限的角的集合:|n360+90n360+180,nZ.終邊在第三象限的角的集合:|n360+180n360+270,nZ.終邊在第四象限的角的集合:|n360+270n360+360,nZ.點(diǎn)評(píng):教師給出以上解答后可進(jìn)一步提問:以上的解答形式是唯一的嗎?充分讓學(xué)生思考、討論后形成共識(shí),并進(jìn)一步深刻理解終邊相同角的意義.知能訓(xùn)練 課本習(xí)題12 1、2

17、.課堂小結(jié) 提問的方式與學(xué)生一起回顧順理本節(jié)所學(xué)內(nèi)容并簡要總結(jié). 讓學(xué)生自己回憶:本節(jié)課都學(xué)習(xí)了哪些新知識(shí)?你是怎樣獲得這些新知識(shí)的?你從本節(jié)課上都學(xué)到了哪些數(shù)學(xué)方法?讓學(xué)生自己得到以下結(jié)論: 本節(jié)課推廣了角的概念,學(xué)習(xí)了正角、負(fù)角、零角的定義,象限角的概念以及終邊相同的角的表示方法,零角是射線沒有作任何旋轉(zhuǎn).一個(gè)角是第幾象限的角,關(guān)鍵是看這個(gè)角的終邊落在第幾象限,終邊相同的角的表示有兩方面的內(nèi)容:(1)與角終邊相同的角,這些角的集合為S=|=k360+,kZ;(2)在0360內(nèi)找與已知角終邊相同的角,其方法是用所給的角除以360,所得的商為k,余數(shù)為(必須是正數(shù)),即為所找的角. 數(shù)形結(jié)合思

18、想、運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)都是學(xué)習(xí)本課內(nèi)容的重要思想方法,也是我們學(xué)習(xí)本章知識(shí)的常用思想方法,要細(xì)心領(lǐng)悟.作業(yè)習(xí)題12 3.預(yù)習(xí)下一節(jié):弧度制.設(shè)計(jì)感想 1.本節(jié)課設(shè)計(jì)的容量較大,學(xué)生的活動(dòng)量也較大,若用信息技術(shù)輔助教學(xué)效果會(huì)很好.教師可充分利用多媒體做好課件,在課堂上演示給學(xué)生;有條件的學(xué)校,可以讓學(xué)生利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器進(jìn)行探究,讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)中掌握知識(shí)、提煉方法. 2.本節(jié)設(shè)計(jì)的指導(dǎo)思想是充分利用實(shí)際背景加強(qiáng)直觀.利用幾何直觀有利于對(duì)抽象概念的理解.在學(xué)生得出象限角的概念后,可以充分讓學(xué)生討論在直角坐標(biāo)系中研究角的好處.前瞻性地引導(dǎo)學(xué)生體會(huì):在直角坐標(biāo)系中角的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律,為研究三角函數(shù)的周

19、期性奠定基礎(chǔ). 3.幾點(diǎn)說明: (1)列舉不在0360的角時(shí),應(yīng)注意所有的角在同一個(gè)平面內(nèi),且終邊在旋轉(zhuǎn)的過程中,角的頂點(diǎn)不動(dòng). (2)在研究終邊相同的兩個(gè)角的關(guān)系時(shí),k的正確取值是關(guān)鍵,應(yīng)讓學(xué)生獨(dú)立思考領(lǐng)悟. (3)在寫出終邊相同的角的集合時(shí),可根據(jù)具體問題,對(duì)相應(yīng)的集合內(nèi)容進(jìn)行復(fù)習(xí).習(xí)題詳解習(xí)題121.點(diǎn)撥:由銳角的集合(0,90);第一象限角的集合x|k360xk360+90，kZ可知,銳角是第一象限角,而第一象限角不一定是銳角,對(duì)于直角不屬于任何象限,軸線角不一定是直角.鈍角是第二象限角,第二象限角不一定是鈍角.2.解:-5418=-1360+30542,故0到360范圍內(nèi)與其終邊相同

20、的角為30542,第四象限角.3958=1360+358,故0到360范圍內(nèi)與其終邊相同的角為358,第一象限角.-1 19030=-4360+24930,故0到360范圍內(nèi)與其終邊相同的角為24930,第三象限角.1 563=4360+123,故0到360范圍內(nèi)與其終邊相同的角為123,第二象限角.點(diǎn)撥:把角化為k360+,kZ,0360的形式,即可回答.3.解:|=k360+60,kZ,當(dāng)-720360時(shí),為-300,-660,60|=k360-45,kZ,當(dāng)-720360時(shí),為-405,-45,315.|=k360+1 30318,kZ,當(dāng)-720360時(shí),為-13642,22318,-49642.|=k360-225,kZ,當(dāng)-720360時(shí),為-225,-585,135.點(diǎn)撥:利用終邊相同的角的定義寫出的集合,再取k的值,求出符合條件的角.備課資料備用習(xí)題1.若角與終邊相同,則一定有( )A.+=180 B.+=0C.-=k360(kZ) D.+=k3