1、第4講 導數及其應用 1.導數的概念 (1) (2) (3)f(x0)與f(x)的關系. 2.導數的幾何意義 (1)函數y=f(x)在x=x0處的導數f(x0)就是曲線y=f(x) 在點（x0,f(x0)）處的切線的斜率.即k=f(x0). (2)曲線y=f(x)在點(x0,f(x0)處的切線方程為 y-f(x0)=f(x0)(x-x0).,(3)導數的物理意義：s(t)=v(t),v(t)=a(t). 3.基本初等函數的導數公式和運算法則 （1）基本初等函數的導數公式,（2）導數的四則運算法則 u(x)v(x)=u(x)v(x). u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x). (3

2、)復合函數求導 復合函數y=f(g(x)的導數和y=f(u),u=g(x)的導數 之間的關系為yx=f(u)g(x). 4.函數的性質與導數 （1）在區(qū)間(a,b)內，如果f(x)0，那么函數 f(x)在區(qū)間（a,b）上單調遞增. 在區(qū)間（a,b）內，如果f(x)0，那么函數f(x) 在區(qū)間（a,b）上單調遞減.,（2）求極值的步驟 求f(x);求f(x)=0的根；判定根兩側導 數的符號；下結論. （3）求函數f(x)在區(qū)間a,b上的最大值與最小 值的步驟 求f(x); 求f(x)=0的根（注意取舍）； 求出各極值及區(qū)間端點處的函數值； 比較其大小，得結論（最大的就是最大值，最 小的就是最小值

3、）. 5.定積分的求法及幾何性質 （1）定積分的求法 定義法：分割近似代替作和取極限. 利用微積分基本定理：,先求被積函數f(x)的原函數F(x),即F(x)=f(x)， 再計算F(b)-F(a)，即為所求. （2）求定積分的一些技巧 對被積函數要先化簡，再求定積分. 求被積函數是分段函數的定積分，依據定積分 的性質，分段求定積分，再求和. 對含有絕對值符號的被積函數，要去掉絕對值 符號才能求定積分. （3）定積分的幾何性質 如果在區(qū)間a,b上的函數f(x)連續(xù)且恒有 f(x)0，那么定積分 表示由直線 x=a,x=b(ab),y=0和曲線y=f(x)所圍成的曲邊梯 形的面積.,一、導數幾何意

4、義的應用 例1 （2008海南理，21）設函數 （a,bZ），曲線y=f(x)在點（2，f（2）處的 切線方程為y=3. （1）求f（x）的解析式； （2）證明：函數y=f（x）的圖象是一個中心對稱 圖形，并求其對稱中心； （3）證明：曲線y=f(x)上任一點的切線與直線x=1 和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定 值.,思維啟迪 (1)先求f(x).再由f(2)=0,f(2)=3. 解得a,b. (2)利用圖象的對稱和平移變換求解. (3)先求過曲線上任一點（x0,y0）的切線方程， 然后將面積用點（x0,y0）坐標表示，再用上點 （x0,y0）在f(x)上即得證. （1）解 因為

5、a,bZ，故,(2)證明 已知函數y1=x, 都是奇函數, 所以函數 也是奇函數,其圖象是以原點 為中心的中心對稱圖形. 而 可知,函數g(x)的圖象按向量a=(1,1)平移,即得到 函數f(x)的圖象, 故函數f(x)的圖象是以點(1,1)為中心的中心對稱 圖形. (3)證明 在曲線上任取一點 由 知,過此點的切線方程為,令x=1,得 切線與直線x=1的交點為 令y=x,得y=2x0-1, 切線與直線y=x的交點為(2x0-1,2x0-1); 直線x=1與直線y=x的交點為(1,1), 從而所圍三角形的面積為 所以,所圍三角形的面積為定值2.,探究提高 求曲線切線方程的步驟是： （1）求出函

6、數y=f(x)在點x=x0的導數，即曲線 y=f(x)在點P（x0,f(x0)）處切線的斜率； （2）在已知切點坐標P（x0,f(x0)）和切線斜率的 條件下，求得切線方程為y-y0=f(x0)(x-x0). 注意：當曲線y=f(x)在點P（x0,f(x0)）處的切線 平行于y軸（此時導數不存在）時，由切線定義可 知，切線方程為x=x0； 當不知道切點坐標時，應首先設出切點坐標， 再求解.,變式訓練1 （2009啟東模擬）已知函數f（x） 的圖象在點M（-1，f（-1）處的 切線方程為x+2y+5=0. （1）求函數y=f（x）的解析式； （2）求函數y=f（x）的單調區(qū)間. 解 （1）由函數

7、f（x）的圖象在點M（-1， f（-1）處的切線方程為x+2y+5=0， 知-1+2f（-1）+5=0， 即f（-1）=-2，,解得a=2，b=3或a=-6，b=-1, b+10，b=-1舍去. 所以所求的函數解析式是 （2） 令-2x2+12x+6=0，解得x1=3- ，x2=3+ . 當x3- ，或x3+ 時，f（x）0； 當3- x3+ 時，f（x）0.,所以 在（-，3- ）內是減函 數，在（3- ，3+ ）內是增函數，在 （3+ ，+)內是減函數. 所以f(x)的單調遞增區(qū)間是（3- ，3+ ），單調遞減區(qū)間是(-,3- )和(3+ ,+). ,二、利用導數研究函數的單調性 例2 （

8、2009陜西文，20）已知函數f(x)=x3- 3ax-1,a0. (1)求f(x)的單調區(qū)間； （2）若f(x)在x=-1處取得極值，直線y=m與y=f(x) 的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍. 解 （1）f(x)=3x2-3a=3(x2-a). 當a0, 當a0時，由f(x)0解得x , 由f(x)0,解得- x ,當a0時,f(x)的單調增區(qū)間為(-, ), ( ,+),f(x)的單調減區(qū)間為（- , ）. (2)f(x)在x=-1處取得極值, f(-1)=3(-1)2-3a=0.a=1. f(x)=x3-3x-1,f(x)=3x2-3. 由f(x)=0解得x1=-1,x2=1,

9、由（1）中f(x)的單調性可知,f(x)在x=-1處取得極大 值f(-1)=1,在x=1處取得極小值f(1)=-3. 直線y=m與函數y=f(x)的圖象有三個不同的交點, 結合f(x)的單調性可知m的取值范圍是（-3，1）.,變式訓練2 （2009北京文，18）設函數 f(x)=x3-3ax+b(a0). (1)若曲線y=f(x)在點（2，f(2)）處與直線y=8相 切，求a,b的值； （2）求函數f(x)的單調區(qū)間與極值點. 解 （1）f(x)=3x2-3a. 因為曲線y=f(x)在點（2，f(2)）處與直線y=8相 切， 所以 即 解得,f(2)=0. f(2)=8,3(4-a)=0, 8

10、-6a+b=8,a=4, b=24.,(2)f(x)=3(x2-a)(a0). 當a0函數f(x)在（-,+）單調遞 增；此時函數f(x)沒有極值點. 當a0時，由f(x)=0得x= . 當x(-,- )時,f(x)0,函數f(x)單調遞增； 當x(- , )時，f(x)0,函數f(x)單調遞增. 此時x=- 是f(x)的極大值點,x= 是f(x)的極小 值點.,綜上所述， 當a0時， f(x)的增區(qū)間是(-, ), ( ,+)減區(qū)間是（- , ）. 當a0時，x=- 是極大值點 x= 是極小值點.,三、利用導數研究函數的極值和最值 例3 已知函數f(x)=x3+mx2+nx-2的圖象過點(-

11、1,-6), 且函數g(x)=f(x)+6x的圖象關于y軸對稱. (1)求m、n的值及函數y=f(x)的單調區(qū)間； （2）若a0，求函數y=f(x)在區(qū)間（a-1，a+1）內 的極值. 思維啟迪 （1）根據f(x)、g(x)的函數圖象的性 質，列出關于m，n的方程，求出m、n的值. （2）分類討論. 解 (1)由函數f(x)的圖象過點（-1，-6）， 得m-n=-3. ,由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f(x)=3x2+2mx+n, 則g(x)=f(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n. 而g(x)的圖象關于y軸對稱，所以 所以m=-3.代入得n=0. 于是f(x)=3x2-6x=3x

12、(x-2). 由f(x)0得x2或x0, 故f(x)的單調遞增區(qū)間是(-,0)和（2，+); 由f(x)0,得0x2, 故f(x)的單調遞減區(qū)間是（0，2）. （2）由（1）得f(x)=3x(x-2), 令f(x)=0得x=0或x=2. 當x變化時，f(x)、f(x)的變化情況如下表：,由此可得： 當0a1時，f(x)在（a-1，a+1）內有極大值 f(0)=-2,無極小值； 當a=1時，f(x)在（a-1，a+1）內無極值; 當1a3時，f(x)在（a-1，a+1）內有極小值 f(2)=-6,無極大值； 當a3時，f(x)在（a-1,a+1)內無極值. 綜上得,當0a1時，f(x)有極大值-

13、2，無極小值；,當1a3時，f(x)有極小值-6,無極大值； 當a=1或a3時，f(x)無極值. 探究拓展 1.求單調遞增區(qū)間，轉化為求不等式 f(x)0(不恒為0)的解集即可，已知f(x)在M上 遞增 f(x)0在M上恒成立，注意區(qū)別. 2.研究函數的單調性后可畫出示意圖. 討論區(qū)間與0，2的位置關系，畫圖截取觀察 即可.,變式訓練3 （2009廣州模擬）函數 f(x)=x3+ax2+bx+c,過曲線y=f(x)上的點P（1，f(1)） 的切線方程為y=3x+1. （1）若y=f(x)在x=-2時有極值,求f(x)的表達式； （2）在（1）的條件下,求y=f(x)在-3，1上的 最大值； （

14、3）若函數y=f(x)在區(qū)間-2，1上單調遞增， 求實數b的取值范圍. 解 （1）由f(x)=x3+ax2+bx+c求導數得 f(x)=3x2+2ax+b. 過y=f(x)上點P（1，f(1)）的切線方程為 y-f(1)=f(1)(x-1),即,y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1). 而過y=f(x)上點P（1,f(1)）的切線方程為y=3x+1. 故 即 y=f(x)在x=-2時有極值，故f(-2)=0. -4a+b=-12. 由聯(lián)立解得a=2,b=-4,c=5, f(x)=x3+2x2-4x+5. (2)f(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2), 令f(x)=0，解

15、得,3+2a+b=3, -a+c-2=1,2a+b=0, c-a=3. ,列下表： f(x)的極大值為f(-2)=13,極小值為 又f(-3)=8,f(1)=4, f(x)在-3，1上的最大值為13. （3）y=f(x)在-2,1上單調遞增. 又f(x)=3x2+2ax+b.由（1）知2a+b=0. f(x)=3x2-bx+b.,依題意在-2,1上恒有f(x)0, 即3x2-bx+b0在-2，1上恒成立， 當 時,即b6時f(x)min=f(1)=3- b+b0， b6時符合要求 當 時，即b-12時， f(x)min=f(-2)=12+2b+b0, b不存在. 當 即-12b6時， f(x)

16、min= 0b6, 綜上所述b0.,四、定積分的幾何意義 例4 在曲線y=x2 (x0)上某一點A處作一切線使 之與曲線以及x軸所圍成圖形的面積為 試求 切點A的坐標及過切點A的切線方程. 思維啟迪 設出點A的坐標，根據定積分的幾何意 義求圖形的面積，進而求解. 解 設切點A（x0， ）， 切線斜率為k=y|x=x0=2x0. 切線方程為y- =2x0(x-x0). 令y=0，得,設點A 的坐標,寫出切線方程,求圖形的面積,得出切點的坐標及切線方程,切點為（1，1），切線方程為y=2x-1. 探究提高 求由兩條曲線圍成的平面圖形的面 積，其步驟是 （1）畫出圖形； （2）確定圖形的范圍，通過解

17、方程組求出曲線交 點的橫坐標，定出積分的上、下限； （3）確定被積函數； （4）寫出平面圖形面積的定積分表達式； （5）運用微積分基本定理計算定積分，求出平面 圖形的面積.,變式訓練4 (2009煙臺調研)如 下圖,在一個長為 ,寬為2的矩形 OABC內,曲線y=sin x(0 x ) 與x軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形OABC內 隨機投一點(該點落在矩形OABC內任何一點是等 可能的),則所投的點落在陰影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 解析 曲線y=sin x在0，上與x軸圍成的面積 為 故由幾何概型得，所求概率,A,規(guī)律方法總結 1.函數單調性的應用 （1）若可導函數f(x)

18、在（a,b）上單調遞增，則f(x)0在區(qū)間（a,b）上恒成立； （2）若可導函數f(x)在（a,b）上單調遞減，則f(x)0在區(qū)間（a,b）上恒成立； （3）可導函數f(x)在區(qū)間（a,b）上為增函數是f(x)0的必要不充分條件. 2.可導函數極值的理解 （1）函數在定義域上的極大值與極小值的大小關系不確定，也有可能極小值大于極大值；（2）對于可,導函數f(x)，“f(x)在x=x0處的導數f(x)=0”是“f(x)在x=x0處取得極值”的必要不充分條件； （3）注意導函數的圖象與原函數圖象的關系，導函數由正變負的零點是原函數的極大值點，導函數由負變正的零點是原函數的極小值點. 3.利用導數解

19、決優(yōu)化問題的步驟 （1）審題設未知數；（2）結合題意列出函數關系式；（3）確定函數的定義域；（4）在定義域內求極值、最值；（5）下結論.,4.定積分在幾何中的應用 被積函數為y=f(x),由曲線y=f(x)與直線x=a,x=b(a0時， (2)當f(x)0；當xc,b時，f(x)0, 則,一、選擇題 1.函數f(x)=-x3+x2+tx+t在（-1，1）上是增函數，則t 的取值范圍是 （ ） A.t5B.t5 C.t5 D.t5 解析 f(x)在（-1，1）上是增函數， f(x)=-3x2+2x+t, 在（-1，1）上f(x)0.t3x2-2x. 設函數g(x)=3x2-2x， 由于g(x)的

20、圖象是對稱軸為 開口向上的拋物 線，,故要使t3x2-2x在區(qū)間（-1，1）上恒成立 tg(-1)，即t5. 故t的取值范圍是t5.故選C. 答案 C 2.（2009天津理，4）設函數 則y=f(x) （ ） A.在區(qū)間 (1,e)內均有零點 B.在區(qū)間 (1,e)內均無零點 C.在區(qū)間 內有零點，在區(qū)間(1,e)內無零點 D.在區(qū)間 1內無零點,在區(qū)間(1,e)內有零點,解析 因為 令f(x)=0，則x=3 當x(0,3)時，f(x)0，f(x)在（0，3）上單 調遞減 因為 因此f(x)在 內無零點. 又 因此f(x)在（1，e）內有零點. 答案 D,3. 已知函數f(x)的導數f(x)=

21、a(x+1)(x-a),若f(x) 在x=a處取到極大值，則a的取值范圍是 （ ） A.-1，0B.-1，0） C.（-1，0）D.（-1，0 解析 結合二次函數圖象知， 當a0或a-1時，在x=a處取得極小值， 當-1a0時，在x=a處取得極大值,故a(-1,0).,C,4.設f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數和偶函數， 當x0,且g(-3)=0,則 不等式f(x)g(x)0的解集是 （ ） A.（-3，0）（3，+） B.（-3，0）（0，3） C.（-，-3）（3，+） D.（-，-3）（0，3） 解析 設F（x）=f(x)g(x)，由題意 知F(x)是奇函數，所以F（x）的圖象

22、 關于原點對稱，由 f(x)g(x)+f(x)g(x)0知,F（x）0，即當x0時，F(xiàn)（x）是增 函數.又g（-3）=0，F(xiàn)（x） 的圖象大體如圖所示 即f(x)g(x)0的范圍為（-，-3） （0，3）. 答案 D,5.（2008廣東文，9）設aR,若函數y=ex+ax, xR有大于零的極值點，則 ( ) A.a-1 C. D. 解析 y=ex+ax，y=ex+a. 當a0時,y不可能有極值點,故a0,即ln(-a)ln1,a-1.,D,二、填空題 6.（2009北京理，11）設f(x)是偶函數.若曲線 y=f(x)在點（1,f(1)）處的切線的斜率為1，則該 曲線在點（-1，f(-1)處的

23、切線的斜率為 . 解析 由偶函數的圖象和性質可知應為-1.,-1,7.(2009汕頭模擬)已知函數 +1既有極大值又有極小值,則實數a的取值范圍是 . 解析 f(x)=3x2+6ax+3(a+2),令f(x)=0,得 x2+2ax+a+2=0,=4a2-4(a+2)0 a2或a-1.,f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x,a2或a-1,8.（2009廣州模擬）在區(qū)間a,b上， f(x)0.對任意x1,x2a,b， 恒成立.令 則S1、S2、S3的大 小關系為 .,f(x)0,S2S1S3,三、解答題 9.已知函數 (x0),其中a,bR. (1)若曲線y=f(x)在點P(2,f(2)處的切線方程為 y=3x+1,求函數f(x)的解析式; (2)討論函數f(x)的單調性; (3)若對于任意的 不等式f(x)10在 上恒成立,求b的取值范圍. 解 （1） 由導數的幾何意義得 f(2)=3,于是a=-8. 由切點P（2，f（2）在直線y=3x+1上可得-2+b=7, 解得b=9.,所以函數f(x)的解析式為 （2） 當a0時，顯然f(x)0 (x0).這時