1、第三講 用空間向量的方法解立體幾何問題,【知識回顧】 1.線、面的位置關(guān)系與向量的關(guān)系 設(shè)直線l，m的方向向量分別為a=(a1，b1，c1)， b=(a2，b2，c2).平面，的法向量分別為 =(a3，b3，c3)， =(a4，b4，c4).,lmaba=kb_； lmabab=_； la a =_； la a=k _；,a1=ka2，b1=kb2，c1=kc2,0,a1a2+b1b2+c1c2=0,0,a1a3+b1b3+c1c3=0,a1=ka3，b1=kb3，c1=kc3, =k _ _； =_ .,a3=ka4，b3=kb4，,c3=kc4,0,a3a4+b3b4+c3c4=0,2.三

2、種空間角與空間向量的關(guān)系 (1)設(shè)a，b分別為異面直線a，b的方向向量，則兩異面 直線所成的角滿足cos=_. (2)設(shè)l是斜線l的方向向量，n是平面的法向量，則斜 線l與平面所成的角滿足sin=_.,(3)二面角 如圖()，AB，CD是二面角-l-的兩個半平面內(nèi) 與棱l垂直的直線，則二面角的大小=_;,如圖()()，n1，n2分別是二面角-l-的兩個 半平面，的法向量，則二面角的大小滿足cos = _.,-cos或cos,3.直線的方向向量與平面的法向量的確定 (1)直線的方向向量：在直線上任取一已知_向量 即可作為它的方向向量. (2)平面的法向量：可利用方程組求出.設(shè)a，b是平面 內(nèi)兩不

3、共線已知向量，n為平面的法向量，則求法 向量的方程組為_.,非零,【易錯提醒】 1.忽視判定定理的條件致誤：利用空間向量證明空間平行、垂直關(guān)系時，需轉(zhuǎn)化為證明其所在方向向量、法向量的平行、垂直，但一定要交待清楚涉及向量所在的直線、平面是否滿足判定定理的條件，如證明l，需證明l的方向向量l與平面的法向量n垂直，但一定要交待l這一條件.,2.忽視角的范圍致誤：應用空間向量求空間角時，忽 視異面直線所成角的范圍為 ；直線與平面所成角 的范圍為 ，二面角范圍為0，.,3.混淆空間角與向量的夾角致誤：異面直線所成的角應是其方向向量的夾角或其補角；二面角應是其法向量的夾角或其補角.,4.不能準確掌握利用空

4、間向量求直線與平面所成角的 公式致誤：空間向量求直線與平面所成的角公式是 sin= ，而非cos= .,【考題回訪】 1.(2014全國卷)直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA= 90，M，N分別為A1B1，A1C1的中點.BC=CA=CC1，則BM 與AN所成角的余弦值為(),【解析】選C.由題意，以C為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.,令BC=CA=CC1=2，則C(0，0，0)，A(0，2，0)， B(2，0，0)，A1(0，2，2)，B1(2，0，2)， C1(0，0，2). 因為M，N分別為A1B1，A1C1的中點， 所以M(1，1，2)，N(0，1，2)， 這時,所以 所

5、以BM與AN所成角的余弦值為,2.(2016北京高考)如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面 PAD平面ABCD，PAPD，PA=PD，ABAD，AB=1， AD=2，AC=CD= .,(1)求證：PD平面PAB. (2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值. (3)在棱PA上是否存在點M，使得BM/平面PCD？若存 在，求 的值；若不存在，說明理由.,【解析】(1)因為平面PAD平面ABCD，交線為AD，AB平面ABCD，ABAD， 所以AB平面PAD. 因為PD平面PAD，所以ABPD. 又因為PAPD，PAAB=A，PA，AB平面PAB， 所以PD平面PAB.,(2)取AD中點O，連接OP，

6、OC. 因為PA=PD，所以O(shè)PAD. 又因為平面PAD平面ABCD，交線為AD，OP平面PAD， 所以O(shè)P平面ABCD. 又因為AC=CD，所以O(shè)CAD.,因為ABAD，所以O(shè)CAB且OC=2AB. 如圖，分別以O(shè)C，OA，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建 立空間直角坐標系.P(0，0，1)，B(1，1，0)， C(2，0，0)，D(0，-1，0). 設(shè)平面PCD的法向量為n=(x，y，z)，,則 所以z=2x，y=-2x. 令x=1得，n=(1，-2，2). 所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為,(3)方法一：過B作BEAD，交OC于H，交CD于E. 因為OCAB且OC=2AB，所以O(shè)

7、HAB，OH=AB，BH=AO. 所以H為OC的中點.所以EHOD，EH= OD. 所以BE= AD且BEAD.,在PD，PA上分別取點F，M，使得PF= PD，PM= PA， 則FMAD，F(xiàn)M= AD. 所以FMBE，F(xiàn)M=BE. 所以四邊形BEFM為平行四邊形.所以BMEF. 又因為BM平面PCD，EF平面PCD，所以BM平面PCD.,因此，在棱PA上存在點M，使得BM平面PCD，且,方法二：假設(shè)存在M點使得BM面PCD，設(shè) =， M(0，y，z)， 由(2)知A(0，1，0)，P(0，0，1)， =(0，-1，1)， B(1，1，0)， =(0，y-1，z)，有 = M(0，1-，)，,

8、所以 =(-1，-，). 因為BM面PCD，n為面PCD的法向量，所以 n=0， 即-1+2+2=0. 所以= .綜上，存在M點，即當 時，M點即為 所求.,熱點考向一利用空間向量證明空間平行、垂直關(guān)系 命題解讀：主要考查建立空間直角坐標系、利用空間向量與空間平行、垂直的關(guān)系，證明空間線、面間的平行、垂直關(guān)系，以解答題為主.,【典例1】(2016廈門二模)如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，AD=DC=AP=2，AB=1，點E為棱PC的中點.證明： (1)BEDC. (2)BE平面PAD. (3)平面PCD平面PAD.,【解題導引】,【規(guī)范解答】依題意，以點A為

9、原點建立空間直角坐標系(如圖)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2).由E為棱PC的中點，得E(1，1，1).,(1)向量 故 所以BEDC.,(2)因為ABAD，又PA平面ABCD，AB平面ABCD， 所以ABPA，PAAD=A，所以AB平面PAD， 所以向量 =(1，0，0)為平面PAD的法向量， 而 =(0，1，1)(1，0，0)=0，所以BEAB， 又BE平面PAD，所以BE平面PAD.,(3)由(2)知平面PAD的法向量 =(1，0，0)，向量 設(shè)平面PCD的法向量為n=(x，y，z)， 則 即 不妨令y=1，可得n=(0，1，1)為平面PCD的

10、一個法向量.,且n =(0，1，1)(1，0，0)=0， 所以n . 所以平面PAD平面PCD.,【易錯警示】解答本題易出現(xiàn)三種錯誤 (1)建系后，將相關(guān)點的坐標確定錯，造成后面步步錯. (2)在(2)中忽略BE平面PAD，而致誤. (3)將平面的法向量求錯，而致誤.,【規(guī)律方法】利用空間向量證明空間垂直、平行的一般步驟 (1)建立空間直角坐標系，建系時，要盡可能地利用條件中的垂直關(guān)系. (2)建立空間圖形與空間向量之間的關(guān)系，用空間向量表示出問題中所涉及的點、直線、平面的要素.,(3)通過空間向量的運算求出直線的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直關(guān)系. (4)根據(jù)運算結(jié)果解釋相關(guān)問題.

11、,【題組過關(guān)】 1.(2016黃石二模)如圖所示，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，E，F(xiàn)分別是PC，PD的中點，PA=AB=1，BC=2. (1)求證：EF平面PAB. (2)求證：平面PAD平面PDC.,【證明】以A為原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系如圖所示，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)，,所以,(1)因為 所以 即EFAB. 又AB平面PAB，EF平面PAB， 所以EF平面PAB.,(2)因為 所以 即APDC，ADDC. 又因為APAD=A，AP平面PAD，AD平面

12、PAD，,所以DC平面PAD. 因為DC平面PDC， 所以平面PAD平面PDC.,2.(2016沈陽一模)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABC= 90，BC=2，CC1=4，點E在線段BB1上，且EB1=1，D， F，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點.求證： (1)B1D平面ABD. (2)平面EGF平面ABD.,【證明】(1)以B為坐標原點，BA，BC，BB1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，,則B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)， C1(0，2，4)， 設(shè)BA=a，則A(a，0，0)， 所以,即B1DBA，B1DBD. 又BAB

13、D=B，BA，BD平面ABD， 因此B1D平面ABD.,(2)由(1)知，E(0，0，3)，G F(0，1，4)， 則 即B1DEG，B1DEF.,又EGEF=E，EG，EF平面EGF， 因此B1D平面EGF. 結(jié)合(1)可知平面EGF平面ABD.,【加固訓練】 1.如圖，在直三棱柱ADE-BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，M為AB的中點，O為DF的中點.運用向量方法證明： (1)OM平面BCF. (2)平面MDF平面EFCD.,【證明】由題意，得AB，AD，AE兩兩垂直，以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系.,設(shè)正方形邊長為1，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，

14、 C(1，1，0)，D(0，1，0)，F(xiàn)(1，0，1)，,則 所以O(shè)MBA. 因為棱柱ADE-BCF是直三棱柱， 所以AB平面BCF， 所以 是平面BCF的一個法向量， 且OM平面BCF，所以O(shè)M平面BCF.,(2)設(shè)平面MDF與平面EFCD的法向量分別為 n1=(x1，y1，z1)，n2=(x2，y2，z2). 因為 由 得,令x1=1，則n1= 同理可得n2=(0，1，1). 因為n1n2=0，所以平面MDF平面EFCD.,2.如圖所示，平面PAC平面ABC，ABC是以AC為斜邊 的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點，AC=16，PA=PC=10. (1)設(shè)G是OC的中

15、點，證明：FG平面BOE. (2)證明：在ABO內(nèi)存在一點M， 使FM平面BOE.,【證明】(1)如圖所示，連接OP， 因為PA=PC，所以O(shè)PAC， 因為平面PAC平面ABC， 所以O(shè)P平面ABC，OPOB，,又因為ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，所以O(shè)BAC.以O(shè)為坐標原點，分別以O(shè)B，OC，OP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系， 則O(0，0，0)，A(0，-8，0)，B(8，0，0)，C(0，8，0)，P(0，0，6)，E(0，-4，3)，F(xiàn)(4，0，3)，,由題意得，G(0，4，0)，因為 因此平面BOE的一個法向量n=(0，3，4)， =(-4，4，-

16、3)，得n =0， 又直線FG不在平面BOE內(nèi)，因此有FG平面BOE.,(2)設(shè)點M的坐標為(x0，y0，0)， 則 =(x0-4，y0，-3)， 因為FM平面BOE，所以有 n， 因此有x0=4，y0= 即點M的坐標為,AOB的內(nèi)部區(qū)域可表示為不等式組 經(jīng)檢驗，點M的坐標滿足上述不等式組， 所以，在ABO內(nèi)存在一點M，使FM平面BOE.,熱點考向二利用空間向量計算空間角 命題解讀：主要考查以具體幾何體為載體，建立恰當?shù)目臻g直角坐標系，計算或應用異面直線所成角、線面角、二面角的大小，三種題型均有可能出現(xiàn).,命題角度一利用空間向量計算異面直線所成角或線 面角 【典例2】(1)(2016鄭州二模)

17、如圖，在直 三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=CC1=2，AC=2 ， M是AC的中點，則異面直線CB1與C1M所成角的 余弦值為_.,(2)(2016全國卷)如圖，四棱錐P-ABCD中，PA底面ABCD，ADBC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M為線段AD上一點，AM=2MD，N為PC的中點. 證明：MN平面PAB. 求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.,【解題導引】(1)以M為原點，MA為x軸，MB為y軸，過M作AC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線CB1與C1M所成角的余弦值. (2)利用線面平行的判定定理證明. 以A為坐標原點建立空間直角坐標系

18、，利用空間向量求解直線與平面所成角的正弦值.,【規(guī)范解答】(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=CC1=2，AC=2 ，M是AC的中點， 所以BMAC，BM= =1. 以M為原點，MA為x軸，MB為y軸，過M作 AC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系， 則,設(shè)異面直線CB1與C1M所成角為， 則 所以異面直線CB1與C1M所成角的余弦值為 答案：,(2)(1)由已知得AM= AD=2，取BP的中點T，連接 AT，TN， 由N為PC中點知TNBC，TN= BC=2. 又ADBC，故TNAM，TN=AM，四邊形AMNT為平行四 邊形，于是MNAT. 因為AT平面PAB，MN平面PAB，

19、所以MN平面PAB.,取BC的中點F，連接AF.由AB=AC得AFBC，從而 AFAD且AF= 以A為坐標原點， 的方向為x軸的正方向， 的方向 為y軸的正方向， 的方向為z軸的正方向，建立空間 直角坐標系，由題意可得,所以 設(shè)n=(x，y，z)為平面PMN的法向量， 則 即,可取 所以 所以直線AN與平面PMN所成角的正弦值為,命題角度二利用空間向量計算二面角 【典例3】(2016宜賓二模)如圖1，在矩形ABCD中， AB= ，BC=4，E是邊AD上一點，且AE=3，把ABE沿 BE翻折，使得點A到A滿足平面ABE與平面BCDE垂直 (如圖2).,(1)若點P在棱AC上，且CP=3PA，求證

20、：DP平面ABE. (2)求二面角B-AE-D的余弦值的大小.,【解題導引】(1)若點P在棱AC上，且CP=3PA，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明DP平面ABE. (2)充分利用題設(shè)中垂直關(guān)系，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B-AE-D的余弦值的大小.,【規(guī)范解答】(1)在圖2中，過P作PQBC交AB于點Q. 因為CP=3PA，所以 因為BC=4，所以PQ=1， 因為DEBC，DE=1，所以DE PQ，,所以四邊形QEDP為平行四邊形，所以DPEQ. 因為DP平面ABE，EQ平面ABE， 所以DP平面ABE.,(2)在圖2中，過A作AFBE于點F， 因為平面ABE

21、平面BCDE， 所以AF平面BCDE. 因為BAE=90，AB= ，AE=3， 所以AEB=30，,過F作FGDE交DE的延長線于點G，則 如圖2，建立空間直角坐標系D-xyz，D(0，0，0)， E(1，0，0)，B(4， ，0)，C(0， ，0)， 則,設(shè)平面ABE的法向量n=(x，y，z)， 則 即 可取n=(1，- ，0). 設(shè)平面ADE的法向量m=(x1，y1，z1)，,則 即 可取m=(0，2，- ). 所以cos= 因為二面角B-AE-D為鈍角， 所以二面角B-AE-D的余弦值的大小為,【易錯警示】解答本題易出現(xiàn)以下四種錯誤 (1)以D以外的點為原點建錯系，造成錯解. (2)以D

22、為原點建立空間直角坐標系，但將相關(guān)點的坐標寫錯，造成結(jié)果錯誤. (3)求錯法向量，導致所求結(jié)果錯誤. (4)不考慮二面角是銳角還是鈍角，造成結(jié)論錯誤.,【母題變式】 1.在典例3的條件下求二面角B-AE-C的大小. 【解析】 設(shè)平面AEC的一個法向量為 l=(x2，y2，z2)， 則有 即,取l=( ，1，-2 )， 由典例(2)解析知平面ABE的法向量為n=(1，- ， 0)， 所以cos=0，所以二面角B-AE-C的大小為90.,2.在典例3的條件下，求點B到平面AEC的距離. 【解析】由典例解析知 而由母題變式1的解析知， 平面AEC的一個法向量l=( ，1，-2 )，,所以點B到平面A

23、EC的距離為,【規(guī)律方法】 1.利用空間向量求空間角的一般步驟 (1)建立恰當?shù)目臻g直角坐標系. (2)求出相關(guān)點的坐標，寫出相關(guān)向量的坐標. (3)結(jié)合公式進行論證、計算. (4)轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.,2.利用空間向量求線線角、線面角的思路 (1)異面直線所成的角，可以通過兩直線的方向向量的夾角求得，即cos=|cos|. (2)直線與平面所成的角主要通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角求得，即sin=|cos|.,3.利用空間向量求二面角的思路 二面角的大小可以利用分別在兩個半平面內(nèi)與棱垂直的直線的方向向量的夾角(或其補角)或通過二面角的兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩個法向量的夾角或其補

24、角.,4.利用空間向量求點到平面距離的方法 如圖，設(shè)A為平面內(nèi)的一點，B為平面外的一點，n 為平面的法向量，則B到平面的距離,【題組過關(guān)】 1.(2016晉中一模)如圖，在幾何體ABCDEF中， ABCD，AD=DC=CB=1，ABC=60，四邊形ACFE為矩 形，F(xiàn)B= ，M，N分別為EF，AB的中點.,(1)求證：MN平面FCB. (2)若直線AF與平面FCB所成的角為30，求平面MAB與平面FCB所成角的余弦值.,【解析】(1)取BC的中點Q，連接NQ，F(xiàn)Q， 則NQ= AC，NQAC， 又MF= AC，MFAC， 所以MF=NQ，MFNQ，則四邊形MNQF為平行四邊形， 即MNFQ.

25、因為FQ平面FCB，MN平面FCB，所以MN平面FCB.,(2)由ABCD，AD=DC=CB=1，ABC=60，可得， ACB=90，AC= ，BC=1，AB=2， 因為四邊形ACFE為矩形，所以ACFC，F(xiàn)CBC=C， 所以AC平面FCB， 則AFC為直線AF與平面FCB所成的角， 即AFC=30，所以FC=3.,因為FB= ，所以FC2+BC2=FB2，所以FCBC. 則可建立如圖所示的空間直角坐標系， 所以A( ，0，0)，B(0，1，0)， 則,設(shè)m=(x，y，z)為平面MAB的法向量， 則 即 取x=2 ，則m=(2 ，6，1)為平面MAB的一個法向量. 又n=( ，0，0)為平面F

26、CB的一個法向量， 則,則平面MAB與平面FCB所成角的余弦值為,2.(2016貴陽一模)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，ADC=60，平面PCD平面ABCD，PC=PD=CD=2，點M為線段PB上異于P，B的點.,(1)當點M為PB的中點時，求證：PD平面ACM. (2)當二面角B-AC-M的余弦值為 時，試確定點M的 位置.,【解析】(1)設(shè)AC，BD的交點為N，連接MN， 因為M，N分別為BP，BD的中點， 所以PDMN， 又MN平面ACM，PD平面ACM， 所以PD平面ACM.,(2)設(shè)CD的中點為O，因為PC=PD=CD=2，平面PCD平面ABCD， 所以PO平面AB

27、CD， 又因為在菱形ABCD中，ADC=60， 所以O(shè)ACD，,建立以O(shè)為坐標原點，OA，OC，OP分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖：,則A( ，0，0)，B( ，2，0)，C(0，1，0)， P(0，0， )， 設(shè) (01)， 則,設(shè)平面ACM的法向量為n=(x，y，z)， 由 得 令x=1，則y= ，z=3- ，即n= 又平面ABCD的法向量為m= 所以,解得：= 或=1(舍去). 所以點M為線段PB的中點.,【加固訓練】1.(2016石家莊一模)在平面四邊形 ACBD(圖)中，ABC與ABD均為直角三角形且有公 共斜邊AB，設(shè)AB=2，BAD=30，BAC=45，將 ABC沿AB折

28、起，構(gòu)成如圖所示的三棱錐C-ABD， 且使CD= .,(1)求證：平面CAB平面DAB. (2)求二面角A-CD-B的余弦值.,【解析】(1)取AB的中點O，連接CO，DO， 在RtACB和RtADB中，AB=2，則CO=DO=1， 又CD= ， 所以CO2+DO2=CD2，即COOD，又COAB， 又ABOD=O，AB，OD平面ABD，,所以CO平面ABD， 又CO平面ABC，所以平面CAB平面DAB. (2)以O(shè)為原點，AB，OC所在的直線分別為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，,則A(0，-1，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)， 所以 設(shè)平面ACD的法向量為n1=(x1，

29、y1，z1)， 則 即,令z1=1，則y1=-1，x1= ， 所以n1=( ，-1，1). 設(shè)平面BCD的法向量為n2=(x2，y2，z2)， 則 即,令z2=1，則y2=1，x2= 所以n2= 所以 所以二面角A-CD-B的余弦值為,2.(2016武漢一模)在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=2， BC=1，AC= ，ACBC. (1)求點B到平面PAC的距離. (2)求異面直線PA與BC所成角的余弦值.,【解析】(1)以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，過C作平 面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系， 過P作平面ABC的垂線PD，交AB于D，由題意知D是AB中點，則A( ，0，0)

30、，B(0，1，0)，,設(shè)平面PAC的法向量n=(x，y，z)， 則 取y=2 ，得n=(0，2 ，-1)， 所以點B到平面PAC的距離,(2) 設(shè)異面直線PA與BC所成角為， 所以異面直線PA與BC所成角的余弦值為,3.(2016衡水一模)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB PA，ABCD，且PB=BC=BD= ，CD=2AB=2 ， PAD=120，E和F分別是棱CD和PC的中點. (1)求證：平面BEF平面PCD. (2)求直線PD與平面PBC所成的角的正弦值.,【解析】(1)因為BC=BD，E為CD中點，所以BECD. 因為ABCD，CD=2AB， 所以ABDE，且AB=DE，所以四邊形

31、ABED是矩形. 所以BEAD，BE=AD，ABAD， 因為ABPA，又PAAD=A，所以AB平面PAD， 所以CD平面PAD，,所以CDPD，且CDAD， 又因為在平面PCD中，EFPD，所以CDEF. 因為EFBE=E，EF平面BEF，BE平面BEF， 又CDBE，所以CD平面BEF， 因為CD平面PCD，所以平面BEF平面PCD.,(2)以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，建立空間直角坐標系，,因為PB=BC=BD= ，CD=2AB=2 ，PAD=120， 所以PA= AD=BE= 則P(0，-1， )，D(0，2，0)，,設(shè)平面PBC的法向量n=(x，y，z)， 則 取x= ，得n=

32、設(shè)直線PD與平面PBC所成的角為，,所以直線PD與平面PBC所成的角的正弦值為,熱點考向三利用空間向量解決探索性問題 命題解讀：主要考查利用空間向量探索與空間線面垂直、平行或空間三種角大小有關(guān)的點所在位置、參數(shù)的值的大小問題，一般為解答題的最后一問.,【典例4】(2016衡陽一模)直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=AB=AC=1，E，F(xiàn)分別是CC1，BC的中點，AEA1B1，D為棱A1B1上的點. (1)證明：DFAE.,(2)是否存在一點D，使得平面DEF與平面ABC所成銳二 面角的余弦值為 ？若存在，說明點D的位置，若 不存在，說明理由.,【題目拆解】解答本題第(2)問，可拆解成兩個

33、小題： 假設(shè)存在，求平面DEF和平面ABC的法向量； 解由二面角的余弦值為 所構(gòu)建的方程，確定D 點位置.,【規(guī)范解答】(1)因為AEA1B1，A1B1AB，所以AEAB， 又因為AA1AB，AA1AE=A，所以AB平面A1ACC1， 又因為AC平面A1ACC1，所以ABAC， 以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系， 則有A(0，0，0)，,設(shè)D(x0，y0，z0)， 且0，1， 即(x0，y0，z0-1)=(1，0，0)， 則D(，0，1)，所以 因為 所以 所以DFAE.,(2)結(jié)論：存在一點D，使得平面DEF與平面ABC所成銳 二面角的余弦值為 . 理由如下： 設(shè)平面DEF的法向量為n

34、=(x，y，z)，則 因為,所以 令z=2(1-)，則n=(3，1+2，2(1-). 由題可知平面ABC的法向量m=(0，0，1)， 因為平面DEF與平面ABC所成銳二面角的余弦值為 ， 所以|cos|=,即 解得= 或= (舍)， 所以當D為A1B1中點時滿足要求.,【規(guī)律方法】利用空間向量求解探索性問題的策略 (1)假設(shè)題中的數(shù)學對象存在(或結(jié)論成立)或暫且認可其中的一部分結(jié)論.,(2)在這個前提下進行邏輯推理，把要成立的結(jié)論當作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)化為“點的坐標(或參數(shù))是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等.若由此推導出矛盾，則否定假設(shè)；否則，給出肯定結(jié)論.,【題

35、組過關(guān)】 1.(2016淮北一模)已知某幾何體直觀圖和三視圖如圖所示，其正(主)視圖為矩形，側(cè)(左)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形， (1)求證：BN平面C1B1N. (2)設(shè)為直線C1N與平面CNB1所成的角，求sin的值.,(3)設(shè)M為AB中點，在BC邊上找一點P，使MP平面 CNB1，并求 的值.,【解析】(1)因為該幾何體的正(主)視圖為矩形，側(cè)(左)視圖為等腰直角三角形，俯視圖為直角梯形， 所以BA，BC，BB1兩兩垂直. 以BA，BB1，BC分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，,則N(2，2，0)，B1(0，4，0)，C1(0，4，2)， C(0，0，2)， 因為 所以BNNB1，BNB1C1且NB1與B1C1相交于點B1， 所以BN平面C1B1N.,(2)設(shè)n2=(x，y，z)為平面NCB1的一個法向量， 則 取x=1，得n2=(1，1，2)， 因為 =(2，-2，-2)， 所以sin=,(3)因為M(1，0，0).設(shè)P(0，0，a)為BC上一點， 則 =(-1，0，a)， 因為MP平面CNB1， 所以 n2， n2=-1+2a=0，解得a= ， 所以當PB= 時，MP平面CNB1， 所以,2.(2016石家莊二模)如圖所示，已知正三棱柱ABC- A1B1C1中，AB=2，