1、土木工程指導(dǎo)性專業(yè)規(guī)范配套系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué),第9章 矩陣位移法,本章導(dǎo)讀 基本要求 掌握用矩陣位移法計(jì)算平面桿件結(jié)構(gòu)的原理和方法。包括桿件結(jié)構(gòu)的離散化；單元和結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃嚨男纬?；用單元定位向量形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣；形成結(jié)構(gòu)的綜合結(jié)點(diǎn)荷載列陣；結(jié)構(gòu)剛度方程的形成及其求解；計(jì)算結(jié)構(gòu)桿端內(nèi)力。掌握矩陣位移法的計(jì)算步驟。 重點(diǎn) 用先處理法形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣和結(jié)構(gòu)的綜合結(jié)點(diǎn)荷載列陣。 難點(diǎn) 用先處理法形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣中各步驟的物理意義；單元?jiǎng)偠染仃嚭徒Y(jié)構(gòu)剛度矩陣中剛度系數(shù)的物理意義和求法；矩陣位移法與位移法之間的聯(lián)系與區(qū)別。,9.1 概述 計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（CAD）中使用到的諸多結(jié)構(gòu)分析軟件都以有限

2、單元法（簡稱有限元法）為理論依據(jù)，有限元法是一種近幾十年發(fā)展起來的新方法，從數(shù)學(xué)角度來說，它是求解偏微分方程定解問題的數(shù)值分析方法之一；從力學(xué)角度來說，它是求取基于變分原理的近似解的方法之一；而從我們最熟識的工程結(jié)構(gòu)的角度來說，它是結(jié)構(gòu)力學(xué)的矩陣分析方法在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中的合理應(yīng)用。,土木工程指導(dǎo)性專業(yè)規(guī)范配套系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,結(jié)構(gòu)力學(xué)的矩陣分析方法是將矩陣數(shù)學(xué)的理論引入結(jié)構(gòu)力學(xué)而得，即在進(jìn)行結(jié)構(gòu)矩陣分析時(shí)，仍舊沿用傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)力學(xué)的基本假定、基本原理和基本方法，而在公式和各種表達(dá)式的表述方法上使用矩陣形式。矩陣化的表述方式具有簡潔、規(guī)范、易于排錯(cuò)的優(yōu)點(diǎn)，因而容易轉(zhuǎn)化成計(jì)算機(jī)程序，

3、方便計(jì)算機(jī)軟件的開發(fā)。 將力法和位移法同矩陣數(shù)學(xué)相結(jié)合，產(chǎn)生出矩陣力法和矩陣位移法。相對于力法而言，位移法具有基本結(jié)構(gòu)唯一和可以求解靜定結(jié)構(gòu)兩大優(yōu)勢，這些特點(diǎn)使得矩陣位移法更適用于進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析軟件的開發(fā)。因此，本章將重點(diǎn)介紹平面桿件結(jié)構(gòu)的矩陣位移法。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,矩陣位移法基本原理同位移法一樣，仍舊以結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量，通過平衡方程求解這些基本未知量，然后計(jì)算結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。用矩陣位移法進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析的基本要點(diǎn)是： 1）結(jié)構(gòu)離散化 將結(jié)構(gòu)劃分為有限個(gè)單元，各單元只在有限個(gè)結(jié)點(diǎn)處相互連接。對于桿件結(jié)構(gòu)，單元常取為等截面直桿，各單元通過剛結(jié)點(diǎn)、鉸結(jié)點(diǎn)等各類結(jié)點(diǎn)相連組

4、成結(jié)構(gòu)，這相當(dāng)于位移法中獲取基本結(jié)構(gòu)的這一步驟.,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,2）單元分析 單元分析的任務(wù)是獲取單元桿端力與單元桿端位移之間的關(guān)系，建立單元?jiǎng)偠染仃?。這相當(dāng)于位移法中獲得形常數(shù)和轉(zhuǎn)角位移方程的步驟。單元桿端位移一旦求得，單元桿端力即可通過單元?jiǎng)偠确匠糖蟮谩?3）整體分析 整體分析是將單元?jiǎng)偠染仃嚢凑談偠燃梢?guī)則直接形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣，并建立整體結(jié)構(gòu)的剛度方程。這相當(dāng)于位移法中建立典型方程的步驟。整體分析將打散的單元重新集成為結(jié)構(gòu)，進(jìn)而引入結(jié)構(gòu)的邊界條件（力平衡邊界條件和變形協(xié)調(diào)邊界條件）為求解結(jié)構(gòu)剛度方程做好準(zhǔn)備。 求解結(jié)構(gòu)剛度方程得到各結(jié)點(diǎn)位移后，只需再返回

5、單元分析，即可求出各單元桿端力，進(jìn)而繪出結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,9.2 桿件結(jié)構(gòu)的離散化 9.2.1 單元與結(jié)點(diǎn)的劃分和編碼 由若干根桿件組成的結(jié)構(gòu)稱為桿件結(jié)構(gòu)。使用矩陣位移法分析結(jié)構(gòu)的第一步，是將結(jié)構(gòu)“拆散”為一根根獨(dú)立的桿件，這一步驟稱為離散化。為方便起見，常將桿件結(jié)構(gòu)中的等截面直桿作為矩陣位移法的獨(dú)立單元，這就必然導(dǎo)致結(jié)構(gòu)中桿件的轉(zhuǎn)折點(diǎn)、匯交點(diǎn)、支承點(diǎn)、截面突變點(diǎn)、自由端、材料改變點(diǎn)等成為連接各個(gè)單元的結(jié)點(diǎn)。只要確定了桿件結(jié)構(gòu)中的全部結(jié)點(diǎn)，結(jié)構(gòu)中各結(jié)點(diǎn)間的所有單元也就隨之確定了。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,確定結(jié)點(diǎn)時(shí)，常常采用順

6、序編號的方法，這些編號稱為結(jié)點(diǎn)碼。在確定完結(jié)點(diǎn)碼后，對結(jié)點(diǎn)間的單元也依次編號，從而獲得單元碼。如圖所示分別是兩個(gè)結(jié)構(gòu)離散化后的結(jié)點(diǎn)和單元編碼情況。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,9.2.2 兩種直角坐標(biāo)系 結(jié)構(gòu)離散化后，桿件單元的方向千差萬別。在作整體分析時(shí)，需要在結(jié)點(diǎn)處建立平衡方程，為此又需要一個(gè)統(tǒng)一的計(jì)算基準(zhǔn)坐標(biāo)系。因此，這里引入兩套直角坐標(biāo)系來建立后續(xù)需要研究的力和位移等物理量之間的關(guān)系。 （1）單元坐標(biāo)系 單元坐標(biāo)系（又稱局部坐標(biāo)系）是單元分析時(shí)使用的坐標(biāo)系，它只與具體某一單元相對應(yīng)。對結(jié)構(gòu)中任意單元 e ，本章約定其坐標(biāo)系用 表示；坐標(biāo)系原點(diǎn)取為該單元一端的端結(jié)點(diǎn)i

7、（稱為始結(jié)點(diǎn)或始端）；由原點(diǎn)指向另一端結(jié)點(diǎn)j（稱為末結(jié)點(diǎn)或末端）的方向，為桿軸 坐標(biāo)正向，記作 ；,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,以軸沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90為坐標(biāo)軸 正向，記作 ，如下圖所示。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（2）整體坐標(biāo)系 整體坐標(biāo)系（又稱結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系）是整體分析時(shí)使用的坐標(biāo)系，它不和任何單元直接相關(guān)。設(shè)置整,體坐標(biāo)系的目的是使各物理量在進(jìn)行整體分析時(shí)有統(tǒng)一的衡量尺度。本章約定整體坐標(biāo)系使用x-y表示，x軸正方向水平向右，以x軸沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90為y軸正向，即y軸正方向豎直向下，整體坐標(biāo)系原點(diǎn)可取為任意點(diǎn)。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版

8、社 科技分社,為了使圖形看起來簡潔清爽，一般不再標(biāo)出單元坐標(biāo)系，通常在各單元的桿軸上繪一箭頭表明 軸的正向即可，如圖（b）所示。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,9.2.3 力和位移的正負(fù)號規(guī)定 1）外荷載和支反力 (1)結(jié)點(diǎn)荷載和支反力 結(jié)點(diǎn)荷載是指作用于結(jié)點(diǎn)上的荷載。本章約定結(jié)點(diǎn)集中力和支反力均以與整體坐標(biāo)系方向相同時(shí)為正，反之為負(fù)。結(jié)點(diǎn)集中力偶和支座反力偶以順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù)。 (2)非結(jié)點(diǎn)荷載 非結(jié)點(diǎn)荷載是指作用于桿件上的荷載。本章約定非結(jié)點(diǎn)集中力和分布力以單元坐標(biāo)系正向相同時(shí)為正，反之為負(fù)。非結(jié)點(diǎn)集中力偶，仍以順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎粗疄樨?fù)。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)

9、力學(xué) 出版社 科技分社,2）結(jié)點(diǎn)位移 由于矩陣位移法不再為了簡化計(jì)算而忽略桿件的軸向變形，因此，對于平面剛架中的每個(gè)剛結(jié)點(diǎn)而言，有三個(gè)相互獨(dú)立的位移分量：水平方向的線位移分量u，豎直方向的線位移分量v，和結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角位移分量q。對于這三個(gè)分量，本章約定線位移與整體坐標(biāo)系方向一致為正，轉(zhuǎn)角以順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù)。 3）單元桿端力和桿端位移 單元桿端截面的內(nèi)力和位移分別稱為單元桿端力和桿端位移。 下圖所示為平面剛架中的單元 e ，其始端為i，末端為j。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,約定單元所有桿端力和桿端位移分量分別用廣義符號f

10、和d 表示，當(dāng)參照系為單元坐標(biāo)系時(shí)，還需在f和d上添加上劃線，即用 “ ”和“ ”以示區(qū)別。為區(qū)別兩端結(jié)點(diǎn)各方向的分量，約定始端i沿x或坐標(biāo)方向?yàn)?號方向，沿y或方向?yàn)?號方向，轉(zhuǎn)角方向?yàn)?號方向；依此類推，末端j的三個(gè)方向分別用4、5、6表示。 上圖中（a）和（c）標(biāo)明了兩套坐標(biāo)系中所有24個(gè)廣義分量（括號中的是廣義位移分量）。約定各分量與相應(yīng)坐標(biāo)系正向一致時(shí)為正，力矩或轉(zhuǎn)角分量以順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。 單元桿端力和桿端位移分量，也可以按它們實(shí)際的物理意義表示為上圖（b）和（d）的形式。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,即用軸力、剪力、彎矩和水平位移分量u、豎直位移分量v

11、、轉(zhuǎn)角位移分量q 等我們熟知的表示方法來繪制。采取傳統(tǒng)方法表示時(shí)，各分量用下標(biāo)注明其作用的結(jié)點(diǎn)；同時(shí)，若參照系為單元坐標(biāo)系，各分量還需添加上劃線以示區(qū)別。 公式（9.1）和（9.2）給出了參照系為單元坐標(biāo)系時(shí)，分別使用廣義方式和傳統(tǒng)方式表示的單元桿端力和桿端位移列陣。 單元坐標(biāo)系中的單元桿端力列陣為,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,單元坐標(biāo)系中的單元桿端位移列陣為,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（9.1）,（9.2）,公式（9.3）和（9.4）給出了參照系為整體坐標(biāo)系時(shí)，分別使用廣義方式和傳統(tǒng)方式表示的單元桿端力和桿端位移列陣。 整體坐標(biāo)系中的單元桿端力列陣為

12、,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（9.3）,整體坐標(biāo)系中的單元桿端位移列陣為,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（9.4）,以上4式中的列陣子塊 、 、 、 和 、 、 、 分別代表相應(yīng)坐標(biāo)系中桿端i和j的力與位移。 矩陣位移法的正負(fù)號規(guī)定與位移法和材料力學(xué)中的規(guī)定不盡相同，請讀者注意區(qū)分。,9.3 單元坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?9.3.1 一般單元 一般單元是指其始末兩端每端有三個(gè)、兩端共6個(gè)獨(dú)立位移未知量的平面剛架單元，如下圖所示。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,表示單元桿端力和桿端位移之間轉(zhuǎn)換關(guān)系的方程，稱為單元?jiǎng)偠确匠?。矩陣位移法不再忽?/p>

13、軸向變形，但仍忽略在線彈性小變形的前提下，軸向受力狀態(tài)和彎曲受力狀態(tài)間的相互影響。因此，可以分別推導(dǎo)這兩種受力狀態(tài)下桿端力和桿端位移之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系 。 1）軸向受力狀態(tài)下，軸向桿端力同軸向桿端位移之間的關(guān)系 如圖（a），如果桿端i發(fā)生軸向位移 而桿端j不動(dòng)時(shí)，根據(jù)材料力學(xué)和平衡條件 ，有,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（a）,同理如圖（b），當(dāng)桿端j發(fā)生軸向位移 而桿端i不動(dòng)時(shí)，有 如果同時(shí)在桿端i和j分別發(fā)生了軸向位移 和 ，只需將（a）、（b）兩式中對應(yīng)的軸向桿端力疊加起來即可.,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（b）,2）彎曲受力狀態(tài)下，桿端剪力及桿端彎

14、矩同垂直于桿軸方向的相對線位移及桿端轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系 兩端固定的單跨超靜定梁AB，在無外荷載的作用時(shí)，其位移法的轉(zhuǎn)角位移方程為,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（c）,如果把該梁視矩陣位移法的一般單元，使其A和B兩端分別同一般單元的始端i和末端j對應(yīng)。使用矩陣位移法的符號表示方法和正負(fù)號規(guī)定，則（d）式中相應(yīng)符號應(yīng)做如下變換,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（d）,（e）,于是，（d）式化為,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（f）,綜合軸向受力狀態(tài)下推得的（c）式和彎曲受力狀態(tài)下推得的（f）式，可寫出一般單元全部的桿端力和桿端位移轉(zhuǎn)換關(guān)系，即,土木

15、工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,式中的E、I、A、l分別為單元的材料彈性模量、橫截面慣性矩、橫截面面積和單元長度。,（9.5）,將式（9.5）寫成矩陣形式，即可得單元坐標(biāo)系中一般單元的單元?jiǎng)偠确匠?土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（9.6）,上式也可簡寫為 其中,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（9.7）,（9.8）,稱為一般單元的單元?jiǎng)偠染仃?，簡稱單剛。 矩陣位移法僅采用位移法中的兩端固支單跨超靜定梁來推導(dǎo)單元?jiǎng)偠确匠?，這使得其基本單元類型歸一化，更便于應(yīng)用程序的開發(fā)。 9.3.2 特殊單元 桿端獨(dú)立位移未知量因被約束變?yōu)橐阎灰?，或者不?dú)立于其它

16、桿端位移的單元，稱為特殊單元。例如連續(xù)梁單元和理想桁架單元等。 1）連續(xù)梁單元 忽略軸向變形的連續(xù)梁或無結(jié)點(diǎn)線位移的剛架，經(jīng)過離散化后，單元兩端只有獨(dú)立的桿端轉(zhuǎn)角未知量 和 。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,將線位移 的條件代入式（9.6）中，并注意到桿端剪力不獨(dú)立于桿端彎矩，則可得連續(xù)梁單元的單元?jiǎng)偠确匠虨?土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（9.9）,相應(yīng)的單元?jiǎng)偠染仃嚍?（9.10）,可見，連續(xù)梁單元的單剛可以由一般單元單剛劃去與零位移相應(yīng)的行和列，即式（9.8）中的第1、2、4、5行和列而得。 2）理想桁架單元 理想桁架中的各桿件只有軸向變形，即 ， 。

17、而 ，將這一條件代入式 （9.6），可得理想桁架單元的單元?jiǎng)偠确匠虨?土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（9.11）,相應(yīng)的單元?jiǎng)偠染仃嚍?土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,可見，理想桁架單元的單剛也可由一般單元單剛劃去與零位移相應(yīng)的行和列，即式（9.8）中的第2、3、5、6行和列而得。 9.3.3 單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì) 1）單元?jiǎng)偠认禂?shù)的物理意義 單元?jiǎng)偠染仃囍械拿總€(gè)元素稱為單元?jiǎng)偠认禂?shù)，代表由單位桿端位移引起的桿端力。,（9-.12）,若以 代表單元?jiǎng)偠染仃囍械哪诚禂?shù)，則它的值等于當(dāng)單元的第m個(gè)桿端位移方向發(fā)生正向單位位移（其它桿端位移為零）時(shí)，引起的第l個(gè)桿端位

18、移方向的桿端力。 例如下圖給出了一般單元單剛系數(shù) 和 的物理意義。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,根據(jù)單剛系數(shù)的物理意義可知，單剛中任一列的元素，均可由令單元中與該列列號對應(yīng)的桿端位移發(fā)生正向單位位移而求得。例如欲求一般單元單剛第5列的所有元素，只需令 ，再依“始端軸、剪、彎到末端軸、剪、彎”的方向編號順序求出這些桿端內(nèi)力，就得到了 6個(gè)剛度系數(shù)。 2）單元?jiǎng)偠染仃囀菍ΨQ方陣 一般單元的單剛是66的對稱方陣，特殊單元的單剛亦是對稱方陣。單剛的對稱性可由線彈性結(jié)構(gòu)的反力互等定理證明，即為 而 對角線上的主系數(shù)恒大于零，這同位移法一致。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技

19、分社,（9.13）,3）一般單元的單元?jiǎng)偠染仃囀瞧娈惥仃?從數(shù)學(xué)的角度來說， 的行列式 之值等于零，即不存在逆陣，因此奇異。 從力學(xué)概念的角度來說，我們注意到一般單元始末端的六個(gè)桿端位移未知量并未被任何約束限制，好像單元“浮于空中”，這樣的單元稱為自由單元。給定一組符合變形協(xié)調(diào)條件的桿端位移 ，我們可以通過單元?jiǎng)偠确匠?求得一組桿端力 ；但如果給定一組平衡的桿端力 ，由于自由單元的剛體位移未被約束限定，因而無法推出唯一確定的一組桿端位移 。也就是說，對于一組平衡的桿端力 ，可能有無限多組由彈性位移和剛體位移共同組成的桿端位移 與之對應(yīng)，因而一般單元的單剛奇異。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出

20、版社 科技分社,4）單元?jiǎng)偠染仃?是單元的固有性質(zhì) 只與單元的彈性模量E、橫截面積A、慣性矩I及桿長l有關(guān)，而與外荷載無關(guān)。 9.4 整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?9.4.1 坐標(biāo)變換矩陣 從單元分析進(jìn)入整體分析時(shí)，需要將參照坐標(biāo)系統(tǒng)一為整體坐標(biāo)系，才便于建立結(jié)點(diǎn)平衡方程；整體分析結(jié)束后，需計(jì)算單元桿端力以求取單元內(nèi)力，此時(shí)又需將參照坐標(biāo)系重新設(shè)為各單元坐標(biāo)系。因此，有必要建立兩套坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,上圖將桿單元 e 在單元坐標(biāo)系中的桿端力和整體坐標(biāo)系xOy中的桿端力一同繪出。 若設(shè)從整體坐標(biāo)系x軸轉(zhuǎn)向單元坐標(biāo)系軸的夾角為a（順時(shí)針為正），根據(jù)投影

21、關(guān)系，可得,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,寫成矩陣形式,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（9.14）,或簡寫為,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（9.15）,（9.16）,其中,稱為單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣。它是一個(gè)正交矩陣，即有,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（9.17）,（9.18）,如需將 轉(zhuǎn)換為 ，則可使用下式,（9.19）,上述轉(zhuǎn)換關(guān)系也同樣適用于桿端位移 和 之間的轉(zhuǎn)換，即有,9.4.2 整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?類比單元坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠确匠?，可以寫出整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠确匠?式中 就是整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚒?/p>

22、 下面來推導(dǎo) ：將 左右兩邊先前乘 ，得 ，再參考式（9.19），左邊即為 ，再將式（9.20）代入右邊，可得,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（9.20）,（9.21）,（9.22）,比對式（9.22），可得 將式（9.8）和（9.17）代入上式右邊進(jìn)行矩陣運(yùn)算，可得整體坐標(biāo)系中的一般單元的單元?jiǎng)偠染仃嚍?其中,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（9.23）,（9.24）,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（9.25）,整體坐標(biāo)系中的單剛中的元素 ，其值等于當(dāng)單元的第m個(gè)桿端位移方向發(fā)生正向單位桿端位移1（其它桿端位移為零）時(shí)，引起的第l個(gè)桿端位移

23、方向的桿端力。例如下圖給出了一般單元單剛系數(shù) 和的物理意義。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,仍具有類似 的一些性質(zhì)： 是對稱方陣，這仍可用線彈性結(jié)構(gòu)反力互等定理證明； 一般單元的 是奇異矩陣，這是因?yàn)樽鴺?biāo)變換未改變一般單元是自由單元的性質(zhì)； 除與單元本身屬性有關(guān)外，還與兩坐標(biāo)系的夾角a有關(guān)。這是 同 的明顯區(qū)別。 9.5 用直接剛度法形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣 在對結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化和單元分析后，就需要將各單元重新集成為原結(jié)構(gòu)，進(jìn)行結(jié)構(gòu)整體分析，從本節(jié)開始將介紹結(jié)構(gòu)整體分析的方法。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,9.5.1 結(jié)構(gòu)剛度方程 結(jié)構(gòu)整體分析的目標(biāo)就是在整體坐標(biāo)系

24、中，用單元分析的結(jié)果形成結(jié)構(gòu)剛度方程。結(jié)構(gòu)剛度方程反映的是結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移和結(jié)點(diǎn)力之間的關(guān)系，同位移法中的典型方程相對應(yīng)。結(jié)構(gòu)剛度方程可寫為 式中，K代表結(jié)構(gòu)剛度矩陣，簡稱總剛；D代表結(jié)點(diǎn)位移未知量列陣；P代表綜合結(jié)點(diǎn)荷載列陣。 為求解結(jié)點(diǎn)位移未知量列陣D，需要先形成K和P，本節(jié)將討論總剛K的形成，而下節(jié)將討論P(yáng)的形成。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（9.26）,9.5.2 結(jié)點(diǎn)位移分量的統(tǒng)一編碼 經(jīng)單元分析后，需要將各單元在約束的連接下重新形成原結(jié)構(gòu)。因此，整體分析首先應(yīng)當(dāng)正確合理地反映結(jié)構(gòu)各單元所受約束的情況，對結(jié)構(gòu)的支承（外約束）情況和結(jié)點(diǎn)（內(nèi)約束）情況進(jìn)行描述。具體來

25、說，就是需要對結(jié)點(diǎn)位移分量進(jìn)行統(tǒng)一編碼。 1）后處理法和先處理法 形成整體剛度方程時(shí)，考慮結(jié)構(gòu)約束的常用方法有兩種后處理法和先處理法，所謂“后”和“先”是指在形成結(jié)構(gòu)剛度方程之后，還是之前引入支承條件。 后處理法在單元分析完成以后，并不急于處理支承條件，不論單元桿端位移未知還是已知，都將其對應(yīng)的單剛元素和單元桿端力分量集成進(jìn)入總剛,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,K和綜合結(jié)點(diǎn)荷載列陣P中，從而形成一個(gè)“浮于空中”的無支承的體系的剛度方程，稱為結(jié)構(gòu)原始剛度方程。接下來才考慮支承情況，修正結(jié)構(gòu)原始剛度方程中的K和P，以防止因總剛奇異而解不出結(jié)點(diǎn)位移D。 先處理法則是在單元分析完成后

26、，就考慮每個(gè)單元的支承情況，只讓未知（而避免已知）單元桿端位移對應(yīng)的單剛元素和單元桿端力分量集成進(jìn)入K和P，因而形成的結(jié)構(gòu)剛度矩陣實(shí)際上已經(jīng)包含了全部約束信息，無需再修正。 因?yàn)闆]有已知位移分量對應(yīng)的部分，先處理法相對后處理法來說，結(jié)構(gòu)剛度方程的規(guī)模會縮減，求解更加容易。同時(shí)，先處理法在處理鉸結(jié)點(diǎn)、,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,忽略軸向變形等情況時(shí)也更靈活，因此本章后面將只介紹先處理法。 2）結(jié)點(diǎn)位移分量的統(tǒng)一編碼 從9.2節(jié)我們知道，平面剛架的每個(gè)結(jié)點(diǎn)有三個(gè)位移分量，即整體坐標(biāo)系x方向、y方向和轉(zhuǎn)角方向上的u、v、q，我們需要找出這些結(jié)點(diǎn)全部位移分量中的未知位移分量進(jìn)行編

27、號。下面給出結(jié)點(diǎn)位移分量編碼的約定： (1)基本約定 按結(jié)點(diǎn)編號的順序，對每個(gè)結(jié)點(diǎn)，依u、v、q的順序，考查它們的位移分量是否被約束。對未被約束的結(jié)點(diǎn)位移分量（即結(jié)點(diǎn)位移未知量），按順序?qū)λ鼈冞M(jìn)行編碼；對被支承約束或?yàn)橐阎慕Y(jié)點(diǎn),土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,位移分量，則用編碼“0”表示。位移分量編碼統(tǒng)一標(biāo)在結(jié)點(diǎn)碼后的括號中。如下圖所示結(jié)構(gòu)中，結(jié)點(diǎn)2和3的三個(gè)位移分量，及結(jié)點(diǎn)5的轉(zhuǎn)角位移分量未被約束，按順序編號；而其它結(jié)點(diǎn)位移分量都被約束，所以編“0”號。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,一般情況下結(jié)點(diǎn)位移分量的統(tǒng)一編碼,(2)鉸結(jié)點(diǎn)的處理方法 先來定義兩類鉸

28、結(jié)點(diǎn)：鉸結(jié)的桿件全部是鏈桿或桁桿的全鉸結(jié)點(diǎn)，稱為全桁鉸結(jié)點(diǎn)，簡稱全桁鉸。鉸結(jié)的桿中有梁式桿的鉸結(jié)點(diǎn)，稱為梁鉸結(jié)點(diǎn)，簡稱梁鉸。下面分別說明這兩類結(jié)點(diǎn)位移分量的編碼方法： a. 全桁鉸結(jié)點(diǎn) 全桁鉸結(jié)點(diǎn)一般出現(xiàn)在桁架和組合結(jié)構(gòu)中，由于桿端轉(zhuǎn)角對桁桿單元來說無意義，為此約定相應(yīng)轉(zhuǎn)角的位移分量編碼為“0”。如圖（a）所示的桁架，四個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)都是全桁鉸，所以每個(gè)轉(zhuǎn)角位移分量的編碼都填入“0”。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,又如圖（b）所示組合結(jié)構(gòu)的7結(jié)點(diǎn)，它所鉸結(jié)的、三個(gè)單元也都是鏈桿，所以7結(jié)點(diǎn)是全桁鉸，它的第三個(gè)位移分量編碼應(yīng)該填“0”。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分

29、社,梁鉸結(jié)點(diǎn) 梁鉸可能既鉸結(jié)了鏈桿又鉸結(jié)了梁式桿，處理梁鉸的方法是： 對梁鉸所鉸結(jié)的全部梁式桿，選取一個(gè)單元的鉸結(jié)端作為主結(jié)點(diǎn)，按基本約定給主結(jié)點(diǎn)的位移分量編碼。其它梁式桿在此鉸處的桿端，則用附加的結(jié)點(diǎn)表示，這些附加的結(jié)點(diǎn)稱為從結(jié)點(diǎn)。從結(jié)點(diǎn)與主結(jié)點(diǎn)有相同的結(jié)點(diǎn)線位移，因此，從結(jié)點(diǎn)的頭兩個(gè)位移分量編號必然與主結(jié)點(diǎn)一致。 對于梁鉸所鉸結(jié)鏈桿的桿端位移，無需作特別的處理。 如剛才所舉組合結(jié)構(gòu)中的C結(jié)點(diǎn)，鉸結(jié)了、三個(gè)單元，其中、均是梁式桿，因此,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,選擇單元的3結(jié)點(diǎn)作為主結(jié)點(diǎn)，而單元的4結(jié)點(diǎn)則是從結(jié)點(diǎn)。3結(jié)點(diǎn)位移分量編碼為(5,6,7)，4結(jié)點(diǎn)與3結(jié)點(diǎn)有相同

30、的線位移和不同的角位移，所以位移分量編碼為(5,6,8)。當(dāng)然，若選擇4結(jié)點(diǎn)為主結(jié)點(diǎn)，3結(jié)點(diǎn)為從結(jié)點(diǎn)亦可。至于單元，由于是鏈桿，因此沒必要設(shè)置從結(jié)點(diǎn)，也就無需處理了。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,該組合結(jié)構(gòu)中還有2結(jié)點(diǎn)和5結(jié)點(diǎn)也屬于梁鉸，但它們是半鉸，加之所鉸結(jié)的、兩單元是鏈桿，所以也無需增設(shè)從結(jié)點(diǎn)作特別處理。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,忽略軸向變形時(shí)，剛架中的結(jié)點(diǎn)線位移分量并不完全獨(dú)立，有些是相同的，因此對這些相同的位移分量應(yīng)當(dāng)編以同樣的編碼。如圖示的剛架，忽略軸向變形時(shí)，結(jié)點(diǎn)2和結(jié)點(diǎn)1有相同的豎向線位移，而結(jié)點(diǎn)1的豎向線位移被支座約束，為已知值，,

31、土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,因此編“0”號，因此結(jié)點(diǎn)2的豎向線位移編號也就是“0”。而結(jié)點(diǎn)5同結(jié)點(diǎn)3有相同的水平線位移，因此編號應(yīng)該和3結(jié)點(diǎn)的水平線位移編號“3”一致。,忽略軸向變形的剛架的處理方法,9.5.3 用先處理法形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣 1）單元定位向量 將任一單元始末兩端的結(jié)點(diǎn)位移分量統(tǒng)一編碼，按順序排列所組成的列向量，稱為單元定位向量。單元 e 的定位向量用 表示。 例如前述組合結(jié)構(gòu)中，、三個(gè)單元的定位向量分別為,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,單元定位向量有3個(gè)重要作用： 用來確定單元?jiǎng)偠染仃嚕▎蝿偅?中的各元素在結(jié)構(gòu)剛度矩陣（總剛）K中的位置，本節(jié)

32、稍后將介紹； 用來確定單元等效結(jié)點(diǎn)荷載 中的各元素在結(jié)構(gòu)綜合結(jié)點(diǎn)荷載列陣P中的位置，具體請參見9.6節(jié)；,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,或,用來確定單元桿端位移向量 中的各元素在整個(gè)結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移向量D中的位置，9.7節(jié)中將反向使用這一功能，從已解得的D中，提取 來求單元桿端力。 單元定位向量在整體分析中起著管理全盤的作用，由于它的存在，單元分析的結(jié)果才能被有條不紊地組織進(jìn)入整體分析。 2）直接剛度法形成結(jié)構(gòu)剛度矩陣K 直接剛度法是利用單元定位向量 ，將整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠认禂?shù) ，“對號入座”到結(jié)構(gòu)剛度矩陣K中，從而直接形成K的方法。具體步驟為： (1)準(zhǔn)備工作,土木工程專

33、業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,按9.4節(jié)的方法計(jì)算出結(jié)構(gòu)所有單元在整體坐標(biāo)系中的單剛 ，在單剛矩陣的行上方和列右邊，對準(zhǔn)行列標(biāo)注單元定位向量。 (2)“對號入座” 查詢單剛元素 所對應(yīng)的單元定位向量 ，標(biāo)在列右邊的定位向量指明了 進(jìn)入總剛的第幾行，而標(biāo)在行上方的定位向量則指明了 進(jìn)入總剛的第幾列。按進(jìn)入總剛的行號和列號，將 放入總剛相應(yīng)的位置。如果查得進(jìn)入K的行號或列號為零，則相應(yīng) 的不必處理，它不進(jìn)入總剛。 (3)“重疊相加” 如果總剛中某個(gè)元素因先前處理單元的 “入座”而有值，那么后續(xù)“坐”到同一位置上的其它單,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,元的 ，應(yīng)當(dāng)與之前的值

34、做代數(shù)疊加。 【例9.1】 試用直接剛度法，求圖示剛架的結(jié)構(gòu)剛度矩陣K。 【解】（1）將結(jié)構(gòu)離散化，并對單元、結(jié)點(diǎn)和結(jié)點(diǎn)位移未知量進(jìn)行編碼。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（2）利用式（9.23）或式（9.24），計(jì)算各單元整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?。這里略去具體值的計(jì)算，用 的形式表示單剛元素。,（3）寫出各單元的單元定位向量,將單元定位向量標(biāo)到相應(yīng)單元的行上方和列右邊，如圖（a）、（b）所示。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（4）按照單元定位向量中的非零分量所指定的行號和列號，將各單剛中的元素“對號入座”放入總剛中，進(jìn)行“重疊相加”。 以單元為例，其單

35、元定位向量為 單剛K(1)中第一、二、三行和第一、二、三列對應(yīng)元素的“座位號”中含有“0”編碼，因此這些元素不進(jìn)入總剛。而如果單剛元素 在第四行或第四列，由于 中第四個(gè)元素為1，所以應(yīng)該進(jìn)入總剛的第1行或第1列；同理，第五行或第五列的單剛元素應(yīng)該進(jìn)入總剛的第2行或第2列；第六行或第六列的單剛元素應(yīng)該進(jìn)入總剛的第3行或第3列。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,或者說，應(yīng)該用單剛元素 的下標(biāo)l（或m）查出 中第l（或m）個(gè)元素的值，若該值不是零，它就是 進(jìn)入總剛的行號（或列號）。 單元的單剛進(jìn)入總剛前，總剛無值，因此無需進(jìn)行“重疊相加”的步驟。而單元的單剛元素在“對號入座”時(shí)，則會

36、出現(xiàn)總剛中對應(yīng)“座位”已經(jīng)被占的情況，例如 應(yīng)進(jìn)入總剛第2行第3列，但是在此之前總剛第2行第3列已經(jīng)有單元的元素 ，這時(shí)就需要把兩者相加。最終總剛第2行第3列元素的值，應(yīng)該是 。下面是這一過程的演示。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,3）結(jié)構(gòu)剛度矩陣K的性質(zhì) 先處理法形成的結(jié)構(gòu)剛度矩陣K的階數(shù)同結(jié)點(diǎn)位移未知量個(gè)數(shù)N相關(guān)，是NN階的方陣。如例11-1中的結(jié)構(gòu)有4個(gè)結(jié)點(diǎn)位移未知量，因此總剛是44的方陣。 結(jié)構(gòu)剛度矩陣K的元素klm的物理意義為：當(dāng)結(jié)點(diǎn)位移分量Dm=1而其它各結(jié)點(diǎn)位移分量均為零時(shí)，在結(jié)點(diǎn)位移分量Dl方向產(chǎn)生的結(jié)點(diǎn)力。比如

37、例11-1中總剛元素k23和k34的物理意義，可用下圖來表示。為使結(jié)點(diǎn)位移分量Dm的值可控，該圖采用了類似位移法附加剛臂和鏈桿后的基本結(jié)構(gòu)來表述。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,從總剛元素的物理意義，還可以直接求得總剛元素和單剛元素的關(guān)系。例如將上圖（a）中結(jié)點(diǎn)位移分量D3=1依照變形協(xié)調(diào)條件，對應(yīng)成單元和在整體坐標(biāo)系中的桿端位移 和 ，如下圖所示。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,再將原結(jié)構(gòu)拆成單元、，并取2結(jié)點(diǎn)為隔離體，在整體坐標(biāo)軸y方向的投影平衡方程，容易得到 這與直接剛度法所得的結(jié)果相同。推而廣之，對總剛

38、中其它元素，同樣可以用其物理意義證明直接剛度法的正確性。,結(jié)構(gòu)剛度矩陣K是對稱正定矩陣，即總剛元素klm=kml，同時(shí)行列式|K|0 ，K的任意一主對角線元素kll0。 結(jié)構(gòu)剛度矩陣K是稀疏帶狀矩陣。合理的結(jié)點(diǎn)位移分量統(tǒng)一編碼會使K成為一個(gè)帶狀矩陣，即靠近主對角線的一定范圍內(nèi)為非零元素，而此范圍外的元素均為零元素。實(shí)際結(jié)構(gòu)總剛K的規(guī)模一般都很大，所以總剛?cè)菀仔纬闪阍睾芏喽橇阍睾苌俚南∈杈仃嚒?結(jié)構(gòu)剛度矩陣K中副系數(shù)的性質(zhì). 若結(jié)點(diǎn)位移分量統(tǒng)一編碼中的非零編號l和m同屬于結(jié)構(gòu)中的某一個(gè)單元，或者說編號l和m同時(shí)存在于一個(gè)或數(shù)個(gè)單元的定位向量 中，那么稱位移,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出

39、版社 科技分社,分量Dl和Dm是相關(guān)位移分量。對先處理法而言，也就是相關(guān)位移未知量。反之，則稱它們不相關(guān)。那么，對于總剛中的副系數(shù)klm（lm），有如下性質(zhì)： a. 若Dl和Dm相關(guān)，則klm = kml 0； b. 若Dl和Dm不相關(guān)，則klm = kml =0。 9.6 結(jié)構(gòu)的綜合結(jié)點(diǎn)荷載列陣 結(jié)構(gòu)剛度方程關(guān)注的是結(jié)點(diǎn)上的力和位移，但結(jié)構(gòu)一般不只承受結(jié)點(diǎn)荷載，還會承受非結(jié)點(diǎn)荷載。因此，綜合結(jié)點(diǎn)荷載列陣P中除了包含直接結(jié)點(diǎn)荷載外，還應(yīng)包含非結(jié)點(diǎn)荷載的影響。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,按照結(jié)點(diǎn)位移相同的原則，可以將非結(jié)點(diǎn)荷載的影響轉(zhuǎn)換成等效結(jié)點(diǎn)荷載。如圖（a）所示剛架，先

40、添加附加約束，將結(jié)點(diǎn)2和3固定起來，按照兩端固定的超靜定梁求出單元上荷載引起的固端反力，亦稱單元固端力，即為附加約束中的力，如圖（b）所示。再拆除附加約束，相當(dāng)于反方向施加單元固端約束力，如圖（c）所示。這樣，不論位移狀態(tài)還是力狀態(tài)，圖（a）都等于圖（b）和圖（c）的疊加。而圖（b）中結(jié)點(diǎn)位移已被附加約束限制，所以圖（a）和圖（c）有相同的結(jié)點(diǎn)位移。因此，圖（c）所示結(jié)點(diǎn)荷載就是圖（a）所示非結(jié)點(diǎn)荷載的等效結(jié)點(diǎn)荷載。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（a）計(jì)算簡圖,（b）單元固端力,（c）單元等效結(jié)點(diǎn)荷載,9.6.1 單元的等效結(jié)

41、點(diǎn)荷載列陣 1）單元坐標(biāo)系中的單元固端約束力 如圖（b）所示，單元在均布荷載作用下的單元固端約束力 為,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,表9.1列出了一些常見荷載作用下的單元固端約束力 。 2）單元坐標(biāo)系中的單元等效結(jié)點(diǎn)荷載 將 反號，得到單元坐標(biāo)系中的單元等效結(jié)點(diǎn)荷載 ，即 如圖（c）中,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,這時(shí)，單元結(jié)點(diǎn)荷載已被轉(zhuǎn)換成單元等效結(jié)點(diǎn)荷載。 3）結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的單元等效結(jié)點(diǎn)荷載 各單元坐標(biāo)系下不同指向的等效結(jié)點(diǎn)荷載 ，需要統(tǒng)一到結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中，才能進(jìn)行疊加。為此，需求出整體坐標(biāo)系中的單元等效結(jié)點(diǎn)荷載 9.6.2 結(jié)構(gòu)的綜合結(jié)點(diǎn)荷載列陣 1

42、）結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣 與單剛集成總剛的方法相同，把各單元 中的元素，按其單元定位向量le，以“對號入座，重疊,（9.27）,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,相加”的方式集成到結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣PE 中。 2）結(jié)構(gòu)的綜合結(jié)點(diǎn)荷載列陣 按照結(jié)點(diǎn)位移分量統(tǒng)一編碼的順序，將直接作用在結(jié)點(diǎn)上的荷載依次填入直接結(jié)點(diǎn)荷載列陣PJ中。再將PJ與結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣PE進(jìn)行疊加，可得結(jié)構(gòu)的綜合結(jié)點(diǎn)荷載列陣。 【例9.2】 試求圖（a）所示結(jié)構(gòu)的綜合結(jié)點(diǎn)荷載列陣P。 【解】結(jié)點(diǎn)編號、單元編號、結(jié)點(diǎn)位移未知量編,（9-28）,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,碼及單元坐標(biāo)系、

43、整體坐標(biāo)系如圖（b）所示。,（1）計(jì)算單元固端約束力 按表9.1所列公式，可求得,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（2）計(jì)算單元等效結(jié)點(diǎn)荷載 ，并將單元定位向量寫在的右側(cè) 單元：a = 0,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,單元：a = 0,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,單元：a = 90,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（3）利用單元定位向量形成結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣PE 按單元定位向量“對號入座，重疊相加”，得結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣為,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（4）形成結(jié)構(gòu)的綜合結(jié)點(diǎn)荷載列陣P 通過以上

44、計(jì)算，已將非結(jié)點(diǎn)荷載轉(zhuǎn)化為結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載PE，再與直接結(jié)點(diǎn)荷載PJ疊加，即得,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,9.7求解結(jié)點(diǎn)位移和單元桿端力 9.7.1求解結(jié)點(diǎn)位移列陣 通過9.5節(jié)和9.6節(jié)的介紹，求得結(jié)構(gòu)剛度矩陣K和綜合結(jié)點(diǎn)荷載列陣P后，就可以利用數(shù)學(xué)方法解出結(jié)構(gòu)剛度方程 KD=P 中的結(jié)點(diǎn)位移列陣D。 9.7.2求出單元坐標(biāo)系下的單元桿端位移 單元的桿端位移分量（即整體坐標(biāo)系下的單元桿端位移列陣中的元素 ），等于和該桿端相連的,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,某個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量（即D中的元素），這一對應(yīng)關(guān)系

45、正是9.5節(jié)中所述的單元定位向量的第三個(gè)作用。 利用單元定位向量從D中取出 的方法是： 將 中的6個(gè)元素與 中的6個(gè)元素一一對應(yīng)，若 中的元素為非零，根據(jù)這一非零元素在結(jié)點(diǎn)位移分量統(tǒng)一編碼中的位置，從D中取出一個(gè)位移分量，再填入 中的對應(yīng)位置即可；若 中的元素為零，則 中與其對應(yīng)的桿端位移分量是不需求解的零位移，直接填入零。 獲得 后，再利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)換公式,求出單元坐標(biāo)系下的桿端位移列陣 。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,9.7.3求單元桿端內(nèi)力 以9.6節(jié)推導(dǎo) 時(shí)用例中的單元為例，由于（a）圖中原結(jié)構(gòu)的受力等效于（b）圖和（c）圖兩種情況的疊加，因此原結(jié)構(gòu)單元的桿端內(nèi)力也應(yīng)該

46、由（b）圖中的單元固端力 和（c）圖中結(jié)點(diǎn)位移引起的單元桿端力（記作 ）疊加而成。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,根據(jù)式（9.7），有 。所以最終單元的桿端內(nèi)力 應(yīng)為 將這一結(jié)論一般化，可得單元桿端內(nèi)力 為 式中 代表由結(jié)點(diǎn)位移引起的單元桿端力； 為非結(jié)點(diǎn)荷載引起的單元固端力。 注意到,（9.29）,（9.30）,（9.31）,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,將之代入（9.29），得到單元桿端內(nèi)力 的另外一種計(jì)算方法 使用式（9.29）或（9.32）計(jì)算出的 ，是按照單元始端軸力、剪力、彎矩到末端軸力、剪力、彎矩的順序排列的列陣，與單元坐標(biāo)系同向的分量為正，反

47、之為負(fù)，這與位移法中習(xí)慣的軸力和剪力的正負(fù)號規(guī)定不同。 9.8 矩陣位移法的計(jì)算步驟 經(jīng)過以上的學(xué)習(xí)，我們已經(jīng)掌握了矩陣位移法（先處理法）的全部知識，下面將先處理法的計(jì)算步驟總結(jié)如下：,（9.32）,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,1)結(jié)構(gòu)離散化 對結(jié)構(gòu)中的結(jié)點(diǎn)用數(shù)字1,2,進(jìn)行編號； 確定單元的始末結(jié)點(diǎn)，即單元坐標(biāo)系，在單元上用箭頭表示，對單元用,進(jìn)行編號； 對各結(jié)點(diǎn)的位移分量進(jìn)行統(tǒng)一編碼，進(jìn)一步形成各單元定位向量 。 2)形成整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?計(jì)算單元坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?，參見式（9.8）；,9.8.1 矩陣位移法的計(jì)算步驟,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版

48、社 科技分社,計(jì)算整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?，可用式（9.23） 或者，直接用式（9.24）和式（9.25）求出 。 3)直接剛度法集成總剛 按照單元定位向量 的指示，將 元素“對號入座，重疊相加”，集成結(jié)構(gòu)剛度矩陣K。 4)計(jì)算綜合結(jié)點(diǎn)荷載列陣P 計(jì)算整體坐標(biāo)系中的單元等效結(jié)點(diǎn)荷載 ，即公式（9.27）; 利用單元定位向量 集成結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣PE；,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,求綜合結(jié)點(diǎn)荷載列陣P，即利用公式（9.28） 求出P。 5)解總剛方程 解結(jié)構(gòu)剛度方程KD=P，求出結(jié)點(diǎn)位移列陣 D 6)計(jì)算單元桿端內(nèi)力 如果計(jì)算單剛時(shí)，先計(jì)算了單元坐標(biāo)系中的單剛 ，可

49、用公式（9.29）求單元桿端內(nèi)力，即 如果是直接使用式（9.24）和式（9.25）求出整體坐標(biāo)系中的單剛 ，則用公式（9.32）來求單元桿端內(nèi)力，即,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,在本書附錄A中，附有基于矩陣位移法原理編制的平面桿件結(jié)構(gòu)先處理法靜力分析程序PFF，具體使用方法和程序設(shè)計(jì)概要，請讀者參見該附錄。 9.8.2 舉例 1）連續(xù)梁 連續(xù)梁的每跨內(nèi)一般為等截面直桿。忽略軸向變形的連續(xù)梁各結(jié)點(diǎn)，只有轉(zhuǎn)角位移分量，因此只需對該角位移進(jìn)行結(jié)點(diǎn)位移分量統(tǒng)一編碼。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,各跨的單元坐標(biāo)系與整體坐標(biāo)系一致，因此坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣T為單位陣，無需作

50、坐標(biāo)變換。結(jié)點(diǎn)荷載只考慮集中力偶。 【例9.3】 試用先處理法計(jì)算圖（a）所示連續(xù)梁的內(nèi)力，并作彎矩圖。不計(jì)各桿軸向變形。 【解】（1）結(jié)構(gòu)離散化,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系、單元坐標(biāo)系、結(jié)點(diǎn)編號、單元編號及結(jié)點(diǎn)位移未知量統(tǒng)一編碼（注于括號中的數(shù)字），如圖（b）所示。,（2）形成結(jié)構(gòu)坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?設(shè)單元的線剛度為i，則單元的線剛度為 2i。用式（9.10）計(jì)算，分別為,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（3）利用單元定位向量 集成結(jié)構(gòu)剛度矩陣K,（4）計(jì)算綜合結(jié)點(diǎn)荷載列陣P 先計(jì)算各單元等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣 ，分別為,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)

51、力學(xué) 出版社 科技分社,將 的元素，按 的指示集成入結(jié)構(gòu)的等效結(jié)點(diǎn)荷載列陣PE,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,計(jì)算綜合結(jié)點(diǎn)荷載列陣P,（5）解結(jié)構(gòu)剛度方程KD=P，求出結(jié)點(diǎn)位移列陣D,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（6）計(jì)算單元桿端內(nèi)力 按單元定位向量獲取各單元的 ，分別為,按 計(jì)算單元桿端力，分別為,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,（7）繪制彎矩圖 根據(jù)求得的 和 ，作出彎矩圖。,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,2）連續(xù)梁 平面桁架的每個(gè)結(jié)點(diǎn)有兩個(gè)獨(dú)立的位移分量，即沿整體坐標(biāo)系的x軸方向的線位移u和沿y軸方向的線位移v。在單

52、元坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?按式（9.13）計(jì)算，即 而單元坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣可將式（9.14）中的第 2、3、5、6行和第3、6列的各元素劃去，即得,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,將 、T代入式（9.20），可得整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃?（9.33）,（9.34）,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,桁架無固端彎矩和剪力，由單元桿端內(nèi)力 展開該式，并將矩陣位移法的符號規(guī)定轉(zhuǎn)為受拉為正的軸力符號規(guī)定，可得桁架桿件軸力的計(jì)算公式 【例9.4】 試用先處理法計(jì)算圖（a）所示平面桁架的內(nèi)力。已知各桿EA=42000kN。 【解】（1）結(jié)構(gòu)離散化 整體坐標(biāo)系、單元坐標(biāo)系、結(jié)點(diǎn)編號、單元編號及結(jié)點(diǎn)位移未知量統(tǒng)一編碼， 如圖（b）所示。,（9.35）,土木工程專業(yè)系列教材結(jié)構(gòu)力學(xué) 出版社 科技分社,各單元定位向量為,土木工程專業(yè)