1、數(shù)值分析及計(jì)算軟件,Chap 4 數(shù)值積分與數(shù)值微分,4.1 Gauss公式,Gauss 型求積公式,考慮機(jī)械求積公式,含 2n+2 個(gè)參數(shù) (節(jié)點(diǎn)與系數(shù)), 為了使該公式具有盡可能高的代數(shù)精度, 可將 f (x) = 1, x, x2, , x2n+1 代入公式, 使其精確成立, 則可構(gòu)造出代數(shù)精度至少為 2n+1 的求積公式!,這類(lèi)求積公式稱(chēng)為Gauss 求積公式,舉例,例：試確定節(jié)點(diǎn) xi 和系數(shù) Ai ，使得下面的求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度，并求出此求積公式的代數(shù)精度。,易驗(yàn)證該公式對(duì) f (x)x4 不精確成立， 所以此求積公式具有 3 次代數(shù)精度。,非線(xiàn)性方程組 求解較困難,G

2、auss 型求積公式,一般情形: 考慮機(jī)械型帶權(quán)求積公式,Gauss 點(diǎn),Q:如何計(jì)算Gauss點(diǎn) xi 和 高斯系數(shù) Ai,法一: 解非線(xiàn)性方程組,Gauss 點(diǎn),定理：節(jié)點(diǎn) xi (i = 0, 1, , n) 是 Gauss點(diǎn)的充要條件是：多項(xiàng)式 與任意次數(shù)不超過(guò) n 的多項(xiàng)式 p(x) 關(guān)于權(quán)函數(shù) (x) 正交，即,且高斯系數(shù) Ai 為,其中 li(x) 為以 xi 為節(jié)點(diǎn)的 Lagrange 基函數(shù)。,Gauss 點(diǎn),證明：,x0 xn 為 Gauss 點(diǎn),設(shè) p(x)Hn ，則 p(x)n+1(x) H2n+1,“”,設(shè),要證 xi 為 Gauss 點(diǎn)，即公式對(duì) p(x) H2n+

3、1精確成立,“”,p(x), r(x)Hn,Gauss 公式,Gauss 點(diǎn)的計(jì)算,求出 n+1(x) 的表達(dá)式 計(jì)算其零點(diǎn),Gauss 系數(shù)的計(jì)算,將 f (x) = 1, x, x2, , xn 代入，解線(xiàn)性方程組 或利用 Lagrange 基函數(shù),舉例,例：試確定節(jié)點(diǎn) xi 和系數(shù) Ai ，使得下面的求積公式具有盡可能高的代數(shù)精度。,Gauss點(diǎn)!,舉例,將 f (x)1, x 代入求積公式，使其精確成立，可得,求積公式為,Gauss公式余項(xiàng),定理 Gauss公式的余項(xiàng)為,其中,證明關(guān)鍵：Hermite插值,Gauss,可以證明：當(dāng) a, b 為有限數(shù)，且 f (x) Ca, b 時(shí),G

4、auss 型公式是收斂的,公式收斂性與穩(wěn)定性,G-L 公式,積分區(qū)間: -1, 1 權(quán)函數(shù): (x) = 1,Gauss-Legendre 求積公式,G-L 求積公式:,簡(jiǎn)單 G-L 公式,n =0 時(shí),G-L 求積公式:,Gauss 點(diǎn):,將 f (x)1 代入求出 A0,n =2 時(shí),三點(diǎn) G-L 求積公式:,Gauss 點(diǎn):,簡(jiǎn)單 G-L 公式,更多 G-L 公式,當(dāng) n 3 時(shí)，可用數(shù)值方法計(jì)算 Pn+1(x) 的零點(diǎn),G-L公式余項(xiàng),余項(xiàng):, (-1, 1),G-L 公式,一般區(qū)間上的 G-L 求積公式,令,則,從而,在標(biāo)準(zhǔn)區(qū)間上采用G-L求積公式！,舉例,例：用四點(diǎn)G-L公式 (n

5、=3) 計(jì)算定積分,復(fù)化G-L公式,在每個(gè)區(qū)間上令,G-C 公式,積分區(qū)間: -1, 1 權(quán)函數(shù):,Gauss-Chebyshev 求積公式,Gauss 點(diǎn) = Chebyshev 多項(xiàng)式 Tn+1(x) 的零點(diǎn),G-C 求積公式:,G-C 公式,Tn+1(x) 的零點(diǎn),(i = 0, 1, , n),Gauss 系數(shù),(i = 0, 1, , n),G-C 求積公式:,余項(xiàng):, (-1, 1),簡(jiǎn)單 G-C 公式,n = 0,n = 1,n = 2,兩點(diǎn) G-C 公式,三點(diǎn) G-C 公式,舉例,例：用五點(diǎn)G-C公式計(jì)算定積分,幾點(diǎn)注記,Gauss 型求積公式的優(yōu)點(diǎn),計(jì)算精度高 可計(jì)算無(wú)窮區(qū)間