1、目 錄 Contents,考情精解讀,考點(diǎn)1,考點(diǎn)2,A.知識全通關(guān),B.題型全突破,C.能力大提升,考法1,考法2,考法3,方法1,方法2,考點(diǎn)3,考情精解讀,考綱解讀,命題趨勢,命題規(guī)律,數(shù)學(xué),1.了解向量的實(shí)際背景. 2.理解平面向量的概念,理解兩個向量相等的含義. 3.理解向量的幾何表示. 4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算,并理解其幾何意義. 5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義,理解兩個向量共線的含義. 6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.,第五章第一講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算,考綱解讀,命題規(guī)律,命題趨勢,數(shù)學(xué),第五章第一講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算,考綱解讀,命題規(guī)律,返回目

2、錄,1.熱點(diǎn)預(yù)測預(yù)計高考對本講內(nèi)容的考查將以向量的線性運(yùn)算為主,以向量的概念和線性運(yùn)算知識為載體,與三角函數(shù)等知識綜合考查的可能性較大,復(fù)習(xí)時應(yīng)予以關(guān)注.試題多為客觀題,難度不大,分值約為5分. 2.趨勢分析以其他相關(guān)知識(如三角形、四邊形等)為載體,突出向量作為工具在其中的作用.,命題趨勢,數(shù)學(xué),第五章第一講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算,知識全通關(guān),考點(diǎn)一平面向量的有關(guān)概念,繼續(xù)學(xué)習(xí),1.向量的有關(guān)概念 向量的定義及表示: 既有大小又有方向的量叫作向量.以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的向量記作 ,也可用黑體的單個小寫字母a,b,c,來表示向量. 向量的長度(模):向量 的大小即向量 的長度(模),記為

3、| |. 名師提醒 (1)向量不同于數(shù)量,向量不僅有大小,而且還有方向. (2)任意向量a的模都是非負(fù)實(shí)數(shù),即|a|0. (3)向量不能比較大小,但|a|是實(shí)數(shù)(正數(shù)或0),所以向量的?？梢员容^大小.,數(shù)學(xué) 第五章第一講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第一講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算,2.幾種特殊向量,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第一講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算,說明 (1)要注意0與0的區(qū)別,0是一個實(shí)數(shù),0是一個向量,且|0|=0;(2)單位向量有無數(shù)個,它們大小相等,但方向不一定相同;(3)任一組平行向量都可以平移到同一直線上,因此平行向量也叫作共線向量;(4)與向量a

4、平行的單位向量有兩個,即向量 | 和- | .,繼續(xù)學(xué)習(xí),考點(diǎn)2 向量的線性運(yùn)算,數(shù)學(xué) 第五章第一講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算,【名師提醒】,對于任意兩個向量a,b,都有:|a|-|b|ab|a|+|b|;|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2)當(dāng)a,b不共線時:的幾何意義是三角形中的任意一邊的長小于其他兩邊長的和且大于其他兩邊長的差的絕對值;的幾何意義是平行四邊形中兩鄰邊的長與兩對角線的長之間的關(guān)系.,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第一講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第一講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算,向量a(a0)與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實(shí)數(shù),使 b=a.

5、說明 定理中限定了a0,這是因?yàn)槿绻鸻=0,則a=0.當(dāng)b0時,定理中的不存在;當(dāng)b=0時,定理中的不唯一. 因此限定a0的目的是保證實(shí)數(shù)的存在性和唯一性.,考點(diǎn)3共線向量定理,【方法歸納】,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第一講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算,向量共線問題的求解 一般地,解決向量a,b共線問題,可用兩個不共線向量(如e1,e2)表示向量a,b,設(shè)b=a(a0),化成關(guān)于e1,e2的方程()e1+()e2=0,由于e1,e2不共線,則 ()=0, ()=0, 解方程組即可.,題型全突破,考法1平面向量的有關(guān)概念,繼續(xù)學(xué)習(xí),考法指導(dǎo)1.大小和方向是向量的兩個要素,分別是向量的代數(shù)特征與幾何特

6、征,借助向量,可以實(shí)現(xiàn)某些代數(shù)問題與幾何問題的相互轉(zhuǎn)化. 2.向量是區(qū)別于數(shù)量的一種量,只有大小和方向完全相同的兩個向量才相等,向量無法像數(shù)量那樣比較大小,但是它們的模卻可以比較大小. 3.兩個向量的關(guān)系只有共線(平行)和非共線(不平行),共線的向量移到共起點(diǎn)時在同一條直線上,非共線的向量移到共起點(diǎn)時在兩條相交的直線上.,數(shù)學(xué) 第五章第一講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算,繼續(xù)學(xué)習(xí),考法示例1給出下列命題: 若兩個向量相等,則它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同; 若|a|=|b|,則a=b或a=-b; 若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),且 = ,則ABCD為平行四邊形; a=b的充要條件是|a|=|b|且ab

7、; 已知,為實(shí)數(shù),若a=b,則a與b共線. 其中真命題的序號是. 思路分析從向量、向量的模、相等向量、平行向量、共線向量等概念入手,逐一對每一個選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可,注意反例的應(yīng)用.,數(shù)學(xué) 第五章第一講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算,繼續(xù)學(xué)習(xí),解析是錯誤的,兩個向量起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同,則兩個向量相等;但兩個向量相等,不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn). 是錯誤的,|a|=|b|,但a,b方向不確定,所以a,b不一定相等或相反. 是正確的,因?yàn)?= ,所以| |=| |且 ;又A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),所以四邊形ABCD為平行四邊形. 是錯誤的,當(dāng)ab且方向相反時,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,所以

8、|a|=|b|且ab不是a=b的充要條件,而是必要不充分條件. 是錯誤的,當(dāng)=0時,a與b可以為任意向量,滿足a=b,但a與b不一定共線. 故填.,數(shù)學(xué) 第五章第一講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算,【突破攻略】,繼續(xù)學(xué)習(xí),把握向量的大小與方向是解決概念題的關(guān)鍵.如平行向量就是共線向量,二者是等價的;相等向量不僅模相等,而且方向要相同,所以相等向量一定是平行向量,而平行向量未必是相等向量;向量可以平移,平移后的向量與原向量是相等向量; | 是與a同方向的單位向量.,數(shù)學(xué) 第五章第一講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算,繼續(xù)學(xué)習(xí),考法指導(dǎo) 1.平面向量的加減法和數(shù)乘運(yùn)算:主要運(yùn)用運(yùn)算法則和運(yùn)算律求解.可類

9、比實(shí)數(shù)運(yùn)算,遵循括號內(nèi)的運(yùn)算優(yōu)先原則,將相同的向量看作“同類項(xiàng)”進(jìn)行合并,結(jié)果仍是一個向量. 2.用已知向量表示未知向量的方法:(1)構(gòu)造三角形.解題的關(guān)鍵在于搞清構(gòu)成三角形的三個向量間的相互關(guān)系,能熟練地找出圖形中的相等向量,能熟練運(yùn)用相反向量將加減法相互轉(zhuǎn)化. (2)用已知向量表示未知向量問題的基本技巧是:觀察各向量的位置;尋找相應(yīng)的三角形或多邊形;運(yùn)用法則找關(guān)系;化簡結(jié)果. 3.根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù):研究向量間的關(guān)系,通過向量的運(yùn)算將向量表示出來,進(jìn)行比較求參數(shù)的值.,考法2 平面向量的線性運(yùn)算及應(yīng)用,數(shù)學(xué) 第五章第一講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算,繼續(xù)學(xué)習(xí),考法示例22015 新課標(biāo)

10、全國設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn), =3 ,則 A. =- 1 3 + 4 3 B. = 1 3 - 4 3 C. = 4 3 + 1 3 D. = 4 3 - 1 3 思路分析利用平面向量基本定理,把向量 用不共線的向量 , 來表示. 解析解法一因?yàn)?=3 ,所以 = 1 3 , 所以 = + = + 1 3 = + 1 3 ( - )=- 1 3 + 4 3 . 解法二因?yàn)?=3 ,所以 - =3( - ), 所以 =- 1 3 + 4 3 . 答案A .,數(shù)學(xué) 第五章第一講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算,1.向量的線性運(yùn)算集中體現(xiàn)在三角形中,可構(gòu)造三角形,利用向量加減法的三角形法則表示相關(guān)的

11、向量,利用三角形中位線、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì),得出含相關(guān)向量的關(guān)系式.2.向量線性運(yùn)算的常用結(jié)論: (1)在ABC中,D是BC的中點(diǎn),則 = 1 2 ( + ); (2)O為ABC的重心的充要條件是 + + =0; (3)四邊形ABCD中,E為AD的中點(diǎn),F為BC的中點(diǎn),則 + =2 .,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第一講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算,【突破攻略】,考法指導(dǎo) 對定理的應(yīng)用可以從兩個方面認(rèn)識 (1)證明三點(diǎn)共線或兩直線平行,但在證明時應(yīng)注意兩直線平行與兩向量平行是不同的,直線平行不包括重合. (2)如果能找到兩向量a,b存在b=a(為實(shí)數(shù))這種線性關(guān)系,那么根據(jù)定理我

12、們就可將a,b滿足的這種線性關(guān)系轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系a,b共線;反之,若兩向量a,b共線,那么就能找到實(shí)數(shù),使得b=a,這樣又可將兩向量滿足的幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系.,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第一講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算,考法3 共線向量定理的應(yīng)用,繼續(xù)學(xué)習(xí),考法示例3經(jīng)過OAB重心G的直線與OA,OB分別交于點(diǎn)P,Q,設(shè) =m , =n ,m,nR,求 1 + 1 的值. 思路分析用 , 來表示 , ,然后利用共線的知識及待定系數(shù)法求得 1 + 1 的值. 解析設(shè) =a, =b,則 = 1 3 (a+b), = - =nb-ma, = - = 1 3 (a+b)-ma=( 1 3 -m)a+

13、1 3 b. 由P,G,Q共線得,存在實(shí)數(shù)使得 = , 即nb-ma=( 1 3 -m)a+ 1 3 b, 從而 =( 1 3 ), = 1 3 , 消去,得 1 + 1 =3.,數(shù)學(xué) 第五章第一講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算,點(diǎn)評用已知向量表示某個向量時,如果不易找出它們之間的關(guān)系,可先設(shè)該向量可用另外幾個向量線性表示,再利用共線向量定理及待定系數(shù)法求出系數(shù),即可得出結(jié)果.,繼續(xù)學(xué)習(xí),數(shù)學(xué) 第五章第一講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算,繼續(xù)學(xué)習(xí),1.由向量數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義知非零向量共線是指存在唯一實(shí)數(shù)使兩向量能互相表示.2.向量共線的充要條件中要注意當(dāng)兩向量共線時,通常只有非零向量才能表示與之

14、共線的其他向量,要注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.3.證明三點(diǎn)共線問題,可用向量共線來解決,但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時,才能得出三點(diǎn)共線.,數(shù)學(xué) 第五章第一講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算,【突破攻略】,能力大提升,思想方法,繼續(xù)學(xué)習(xí),方法1幾何法求解向量填空題 利用向量加法的幾何意義或向量減法的幾何意義,可以將一些向量問題轉(zhuǎn)化為幾何問題,利用數(shù)形結(jié)合的方法,快速得到答案,避免煩瑣的運(yùn)算和由于運(yùn)算而產(chǎn)生的錯誤.,數(shù)學(xué) 第五章第一講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算,返回目錄,示例4已知a,b是兩個非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,則a與a+b的夾角是. 解析

15、令 =a, =b,以O(shè)A,OB為鄰邊作平行四邊形OACB,則 =a+b, =a-b,又|a|=|b|=|a-b|,所以O(shè)AB是正三角形.由向量加法的幾何意義,可知OC是AOB的平分線,所以a與a+b的夾角是 6 . 示例5已知兩個非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,則下面結(jié)論正確的是. ab,ab,|a|=|b|,a+b=a-b. 解析根據(jù)向量加法、減法的幾何意義可知|a+b|與|a-b|分別為以向量a,b為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長,因?yàn)閨a+b|=|a-b|,所以該平行四邊形為矩形,所以ab.,數(shù)學(xué) 第五章第一講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算,返回目錄,方法2方程思想在平面向量線性運(yùn)算中的應(yīng)用 示例6改編題如圖5-1-2所示,在ABC中,D,F分別是AB,AC的中點(diǎn),BF與CD交于點(diǎn)O,設(shè) =a, =b,試用a,b表示向量 . 圖5-1-2 思路分析利用向量共線,建立方程,用方程思想求解. 解析由D,O,C三點(diǎn)共線,可設(shè) =k1 =k1( - )=k1(b- 1 2 a)=- 1 2 k1a+k1b(k1為實(shí)數(shù)), 同理,可設(shè) =k2 =k2( - )=k2( 1 2 b-a)=-k2a+ 1 2 k2b(k2為實(shí)數(shù)),數(shù)學(xué) 第五章第一講 平面向量的概念及其線性運(yùn)算,繼續(xù)學(xué)習(xí),又 = + =- 1 2 a+(-