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1、1,4.2、微分方程組的消元法和首次積分法,我們介紹微分方程組的兩種求解方法: 消元法和首次積分法,這兩種方法對求解一些簡單的 微分方程組是很有效的方法,但在學(xué)習(xí)這兩種方法時(shí) 必需注意它們的局限性.,2,一、微分方程組的消元法,將一階微分方程組：,3,例1 求解方程組,代入原方程組的第一個(gè)方程得:,4,二階常系數(shù)線性齊次方程,通解為,5,一階線性非齊次方程的通解為,出現(xiàn)了三個(gè)任意常數(shù),因此為避免出現(xiàn)增解，在求出一個(gè)未知函數(shù)后，,是一個(gè)多余的任意常數(shù).,如果,?,6,例2 求解方程組,解 將第一個(gè)方程求導(dǎo)得,代入第二個(gè)方程得,不顯含自變量t,再由第一個(gè)方程得,7,二 微分算子與線性微分方程組,相

2、應(yīng)地定義算子多項(xiàng)式：,8,L是線性算子!,9,微分算子法求解常系數(shù)線性微分方程組.,10,解:設(shè),例 3 求解方程組,二階線性常系數(shù)非齊次微分方程通解為,11,代入原方程組的第一個(gè)方程中得,一階線性非齊次微分方程通解為,12,積分可以得到未知函數(shù)組合形式的解，,三 微分方程組的首次積分法,經(jīng)適當(dāng)組合化為一個(gè)可積分的微分方程.,首次積分法是將方程組,該方程為一個(gè)原方程組的首次積分.,13,解 將兩個(gè)方程相加得,原方程組的一個(gè)首次積分.,再將兩個(gè)方程相減得,例 4 求解方程組,原方程組的另一個(gè)首次積分.,14,例 5 求解方程組,15,再利用原方程可得,另一個(gè)首次積分,采用極坐標(biāo),原微分方程的通解為,16,考慮一般的,階微分方程組,其中,對,是連續(xù)可微的.,17,如果在某區(qū)域內(nèi)它們的Jacobi行列式,則稱它們在區(qū)域G內(nèi)為互相獨(dú)立.,18,19,20,例 6 利用首次積分求解方程組,解 兩個(gè)方程相除得,得到原方程組的一個(gè)首次積分,再利用兩個(gè)方程相減得,21,所以原方程

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