1、第一章,解三角形,1.1正弦定理和余弦定理 1.1.2 余弦定理(一),學(xué)習(xí)目標(biāo),1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法. 2.會運(yùn)用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題,1,預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 挑戰(zhàn)自我，點(diǎn)點(diǎn)落實(shí),2,課堂講義 重點(diǎn)難點(diǎn)，個個擊破,3,當(dāng)堂檢測 當(dāng)堂訓(xùn)練，體驗成功,1.以下問題可以使用正弦定理求解的是_ (1)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角，進(jìn)而可求其他的邊和角； (2)已知兩角和一邊，求其他角和邊； (3)已知一個三角形的兩條邊及其夾角，求其他的邊和角； (4) 已知一個三角形的三條邊，解三角形,知識鏈接,(1)(2),2.如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，若A(0,

2、0)， B(c,0)，C(bcos A，bsin A).利用兩點(diǎn)間距 離公式表示出|BC|，化簡后會得出怎樣的 結(jié)論？,解a2|BC|2(bcos Ac)2(bsin A0)2 b2(sin 2Acos 2A)2bccos Ac2b2c22bccos A. 得出a2b2c22bccos A.,1.余弦定理 三角形中任何一邊的 等于其他兩邊的 的和減去這兩邊與它們的 的余弦的積的 . 即a2 ，b2 ，c2 .,平方,預(yù)習(xí)導(dǎo)引,平方,夾角,兩倍,b2c22bccos A,c2a22cacos B,a2b22abcos C,2.余弦定理的推論 cos A ； cos B ； cos C.,例1 (

3、1)在ABC中，已知b3，c B30，求角A、角C和邊a.,解法一由余弦定理b2a2c22accos B，,得32a2( )22a cos 30，,要點(diǎn)一已知兩邊及一角解三角形,a29a180，得a3或6.,當(dāng)a3時，由于b3，所以AB30，C120.,A90，C60.,由bc，C60或120，,當(dāng)C60時，A90，,當(dāng)C120時，A30，ABC為等腰三角形.,a3.,(2)在ABC中，已知B45，解此三角形.,解由余弦定理知 b2a2c22accos B.,當(dāng)c 時，由余弦定理，得,0A180，A60，C75.,當(dāng)c 時，由余弦定理，得,0A180，A120，C15.,規(guī)律方法已知兩邊及一角

4、解三角形有以下兩種情況： (1)若已知角是其中一邊的對角，有兩種解法，一種方法是利用正弦定理先求角，再求邊；另一種方法是用余弦定理列出關(guān)于另一邊的一元二次方程求解. (2)若已知角是兩邊的夾角，則直接運(yùn)用余弦定理求出另外一邊，然后根據(jù)邊角關(guān)系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角.,解5x27x60可化為(5x3)(x2)0. x1 ，x22(舍去). cos C . 根據(jù)余弦定理，c2a2b22abcos C5232253 16. c4，即第三邊長為4.,跟蹤演練1在ABC中，已知a5，b3，角C的余弦值是方程5x27x60的根，求第三邊長c.,例2例2 (1)已知ABC的三邊長為 求AB

5、C的各角度數(shù).,解由余弦定理得：,要點(diǎn)二已知三邊或三邊關(guān)系解三角形,A60.,(2)已知三角形ABC的三邊長為a3，b4，c ，求ABC的最大內(nèi)角.,解ca，cb，角C最大. 由余弦定理，得c2a2b22abcos C， 即3791624cos C，cos C,0C180，C120. ABC的最大內(nèi)角為120.,規(guī)律方法(1)已知三角形三邊求角時，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解時，要根據(jù)邊的大小確定角的大小，防止產(chǎn)生增解或漏解. (2)若已知三角形三邊的比例關(guān)系，常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k，從而轉(zhuǎn)化為已知三邊解三角形.,跟蹤演練2在ABC中，已知BC7，AC8，AB9，試

6、求AC邊上的中線長.,解由余弦定理和條件，得,設(shè)中線長為x，由余弦定理，得x2 AB22 ABcos A4292249 49，所以x7.,所以所求AC邊上的中線長為7.,例3在ABC中，已知cos 2 判斷ABC的形狀.,解 法一在ABC中，由已知cos 2 得 cos A .,要點(diǎn)三三角形形狀的判定,b2c2a22b2， 即a2b2c2.ABC是直角三角形.,法二在ABC中，設(shè)其外接圓半徑為R，由正弦定理，得b2Rsin B，c2Rsin C，,cos A 即sin Bsin Ccos A. B(AC)，sin (AC)sin Ccos A，,sin Acos C0. A，C都是ABC的內(nèi)角

7、，A0，A. cos C0，C ABC是直角三角形.,規(guī)律方法(1)法一是用余弦定理將等式轉(zhuǎn)化為邊之間的關(guān)系式，法二是借助于正弦定理，將已知等式轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)關(guān)系式.這兩種方法是判斷三角形形狀的常用手段. (2)一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是邊的二次式，要考慮用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是邊的一次式，則大多用正弦定理；若是以上特征不明顯，則要考慮兩個定理都有可能用.,解法一由正弦定理及余弦定理知，原等式可化為 整理得：(a2b2c2)b2(a2b2c2)a2，,跟蹤演練3在ABC中，若(accos B)sin B(bccos A) sin A，判斷ABC的形狀.,a2b

8、2c20或a2b2， 故三角形為等腰三角形或直角三角形.,法二由正弦定理，知原等式可化為(sin Asin C cos B)sin B(sin Bsin Ccos A)sin A， sin Bcos Bsin Acos A，sin 2Bsin 2A， 2B2A或2B2A， AB或AB 故ABC為等腰三角形或直角三角形.,1.一個三角形的兩邊長分別為5和3，它們夾角的余弦值是則三角形的另一邊長為() A.52 B. C.16 D.4,解析設(shè)另一邊長為x，則x25232253( )52，x .,B,1,2,3,4,2.在ABC中，a7，b 則ABC的最小角為(),解析abc，C為最小角，,B,1,

9、2,3,4,3.如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為(),解析設(shè)頂角為C，因為l5c，ab2c，,D,1,2,3,4,4.在ABC中，已知A60，最大邊長和最小邊長恰好是方程x27x110的兩根，則第三邊的長為 .,解析設(shè)最大邊為x1，最小邊為x2， 則x1x27，x1x211，,4,1,2,3,4,1.利用余弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題： (1)已知兩邊和夾角或已知三邊能直接利用余弦定理解三角形. (2)若已知兩邊和一邊的對角，既可以用正弦定理又可以用余弦定理解三角形.,課堂小結(jié),2.當(dāng)所給的條件是邊角混合關(guān)系時，判斷三角形形狀的基本思想是：用正弦定理或余弦定理將所給條件統(tǒng)一為角之間的關(guān)系或邊之間的關(guān)系.若統(tǒng)一為角之間的關(guān)系，再利用三角恒等變形化簡找到角之間的關(guān)系；若統(tǒng)一為邊之間的關(guān)系，再利用代數(shù)方法進(jìn)行恒等變形、化簡，找到邊之間的關(guān)系.,3.余弦定理與勾股定理的關(guān)系：余弦定理可