1、第二章第四節(jié)平面向量的數(shù)量積第三課時教學分析平面向量的數(shù)量積，教材將其分為兩部分在第一部分向量的數(shù)量積中，首先研究平面向量所成的角，其次，介紹了向量數(shù)量積的定義，最后研究了向量數(shù)量積的基本運算法則和基本結(jié)論；在第二部分平面向量數(shù)量積的坐標表示中，在平面向量數(shù)量積的坐標表示的基礎(chǔ)上，利用數(shù)量積的坐標表示研討了平面向量所成角的計算方式，得到了兩向量垂直的判定方法，本節(jié)是平面向量數(shù)量積的第二部分前面我們學習了平面向量的數(shù)量積，以及平面向量的坐標表示那么在有了平面向量的坐標表示以及坐標運算的經(jīng)驗和引進平面向量的數(shù)量積后，就順其自然地要考慮到平面向量的數(shù)量積是否也能用坐標表示的問題另一方面，由于平面向量

2、數(shù)量積涉及了向量的模、夾角，因此在實現(xiàn)向量數(shù)量積的坐標表示后，向量的模、夾角也都可以與向量的坐標聯(lián)系起來利用平面向量的坐標表示和坐標運算，結(jié)合平面向量與平面向量數(shù)量積的關(guān)系來推導出平面向量數(shù)量積以及向量的模、夾角的坐標表示教師應(yīng)在坐標基底向量的數(shù)量積的基礎(chǔ)上，推導向量數(shù)量積的坐標表示通過例題分析、課堂訓練，讓學生總結(jié)歸納出對于向量的坐標、數(shù)量積、向量所成角及模等幾個因素，知道其中一些因素，求出其他因素基本題型的求解方法平面向量數(shù)量積的坐標表示是在學生學習了平面向量的坐標表示和平面向量數(shù)量積的基礎(chǔ)上進一步學習的，這都為數(shù)量積的坐標表示奠定了知識和方法基礎(chǔ)三維目標1通過探究平面向量的數(shù)量積的坐標運

3、算，掌握兩個向量數(shù)量積的坐標表示方法2掌握兩個向量垂直的坐標條件以及能運用兩個向量的數(shù)量積的坐標表示解決有關(guān)長度、角度、垂直等幾何問題3通過平面向量數(shù)量積的坐標表示，進一步加深學生對平面向量數(shù)量積的認識，提高學生的運算速度，培養(yǎng)學生的運算能力和創(chuàng)新能力，提高學生的數(shù)學素質(zhì)重點難點教學重點：平面向量數(shù)量積的坐標表示教學難點：向量數(shù)量積的坐標表示的應(yīng)用課時安排1課時導入新課思路1.平面向量的表示方法有幾何法和坐標法，向量的表示形式不同，對其運算的表示方式也會改變向量的坐標表示為我們解決有關(guān)向量的加、減、數(shù)乘運算帶來了極大的方便上一節(jié)，我們學習了平面向量的數(shù)量積，那么向量的坐標表示，對平面向量的數(shù)量

4、積的表示方式又會帶來哪些變化呢？由此直接進入主題思路2.在平面直角坐標系中，平面向量可以用有序?qū)崝?shù)對來表示，兩個平面向量共線的條件也可以用坐標運算的形式刻畫出來，那么學習了平面向量的數(shù)量積之后，它能否用坐標來表示？若能，如何通過坐標來實現(xiàn)呢？平面向量的數(shù)量積還會是一個有序?qū)崝?shù)對嗎？同時，平面向量的模、夾角又該如何用坐標來表示呢？通過回顧兩個向量的數(shù)量積的定義和向量的坐標表示，在此基礎(chǔ)上引導學生推導、探索平面向量數(shù)量積的坐標表示推進新課平面向量的數(shù)量積能否用坐標表示？已知兩個非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，怎樣用a與b的坐標表示ab呢？怎樣用向量的坐標表示兩個平面向量垂直的條件？你能

5、否根據(jù)所學知識推導出向量的長度、距離和夾角公式？活動：教師引導學生利用前面所學知識對問題進行推導和探究前面學習了向量的坐標可以用平面直角坐標系中的有序?qū)崝?shù)對來表示，而且我們也知道了向量的加、減以及實數(shù)與向量積的線性運算都可以用坐標來表示兩個向量共線時它們對應(yīng)的坐標也具備某種關(guān)系，那么我們就自然而然地想到既然向量具有數(shù)量積的運算關(guān)系，這種運算關(guān)系能否用向量的坐標來表示呢？教師提示學生在向量坐標表示的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的坐標運算進行推導數(shù)量積的坐標表示教師可以組織學生到黑板上板書推導過程，教師給予必要的提示和補充推導過程如下：ax1iy1j，bx2iy2j，ab(x1iy1j)(x2iy2j)x1x2

6、i2x1y2ijx2y1ijy1y2j2.又ii1，jj1，ijji0，abx1x2y1y2.教師給出結(jié)論性的總結(jié)，由此可歸納如下：1平面向量數(shù)量積的坐標表示兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標的乘積的和，即a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y2.2向量模的坐標表示若a(x，y)，則|a|2x2y2，或|a|.如果表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，那么a(x2x1，y2y1)，|a|.3兩向量垂直的坐標表示設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則abx1x2y1y20.4兩向量夾角的坐標表示設(shè)a、b都是非零向量，a(x1，y1)，b(x

7、2，y2)，是a與b的夾角，根據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標表示，可得cos.討論結(jié)果：略例1已知A(1,2)，B(2,3)，C(2,5)，試判斷ABC的形狀，并給出證明活動：教師引導學生利用向量數(shù)量積的坐標運算來解決平面圖形的形狀問題判斷平面圖形的形狀，特別是三角形的形狀時主要看邊長是否相等，角是否為直角可先作出草圖，進行直觀判定，再去證明在證明中若平面圖形中有兩個邊所在的向量共線或者模相等，則此平面圖形與平行四邊形有關(guān)；若三角形的兩條邊所在的向量模相等或者由兩邊所在向量的數(shù)量積為零，則此三角形為等腰三角形或者為直角三角形教師可以讓學生多總結(jié)幾種判斷平面圖形形狀的方法解：在平面直角坐標系中標出A(

8、1,2)，B(2,3)，C(2,5)三點，我們發(fā)現(xiàn)ABC是直角三角形下面給出證明(21,32)(1,1)，(21,52)(3,3)，1(3)130.ABC是直角三角形點評：本題考查的是向量數(shù)量積的應(yīng)用，利用向量垂直的條件和模長公式來判斷三角形的形狀當給出要判定的三角形的頂點坐標時，首先要作出草圖，得到直觀判定，然后對你的結(jié)論給出充分的證明.變式訓練在ABC中，(2,3)，(1，k)，且ABC的一個內(nèi)角為直角，求k的值解：由于題設(shè)中未指明哪一個角為直角，故需分別討論若A90，則，所以0.于是213k0.故k.同理可求，若B90時，k的值為；若C90時，k的值為.故所求k的值為或或.例2(1)已知

9、三點A(2，2)，B(5,1)，C(1,4)，求BAC的余弦值；(2)a(3,0)，b(5,5)，求a與b的夾角活動：教師讓學生利用向量的坐標運算求出兩向量a(x1，y1)與b(x2，y2)的數(shù)量積abx1x2y1y2和模|a|，|b|的積，其比值就是這兩個向量夾角的余弦值，即cos.當求出兩向量夾角的余弦值后再求兩向量的夾角大小時，需注意兩向量夾角的范圍是0.學生在解這方面的題目時需要把向量的坐標表示清楚，以免出現(xiàn)不必要的錯誤解：(1)(5,1)(2，2)(3,3)，(1,4)(2，2)(1,6)，3(1)3615.又|3，|，cosBAC.(2)ab3(5)0515，|a|3，|b|5.設(shè)

10、a與b的夾角為，則cos.又0，.點評：本題考查的是利用向量的坐標表示來求兩向量的夾角利用基本公式進行運算與求解主要是對基礎(chǔ)知識的鞏固與提高.變式訓練設(shè)a(5，7)，b(6，4)，求ab及a、b間的夾角.(精確到1)解：ab5(6)(7)(4)30282.|a|，|b|，由計算器得cos0.03.利用計算器中得92.例3已知|a|3，b(2,3)，試分別解答下面兩個問題：(1)若ab，求a；(2)若ab，求a.活動：對平面中的兩向量a(x1，y1)與b(x2，y2)，要讓學生在應(yīng)用中深刻領(lǐng)悟其本質(zhì)屬性，向量垂直的坐標表示x1x2y1y20與向量共線的坐標表示x1y2x2y10很容易混淆，應(yīng)仔細

11、比較并熟記，當難以區(qū)分時，要從意義上鑒別，兩向量垂直是ab0，而共線是方向相同或相反教師可多加強反例練習，多給出這兩種類型的變形訓練解：(1)設(shè)a(x，y)，由|a|3且ab，得解得或a(，)或a(，)(2)設(shè)a(x，y)，由|a|3且ab，得解得或a(，)或a(，)點評：本題主要考查學生對公式的掌握情況，學生能熟練運用兩向量的坐標運算來判斷垂直或者共線，也能熟練地進行公式的逆用，利用已知關(guān)系來求向量的坐標.變式訓練求證：一次函數(shù)y2x3的圖象(直線l1)與一次函數(shù)yx的圖象(直線l2)互相垂直證明：在l1：y2x3中，令x1得y1；令x2得y1，即在l1上取兩點A(1，1)，B(2,1)同理

12、，在直線l2上取兩點C(2,1)，D(4,2)，于是：(2,1)(1，1)(21,11)(1,2)，(4,2)(2,1)(42,21)(2,1)由向量的數(shù)量積的坐標表示，可得1(2)120，即l1l2.課本本節(jié)練習解答：1|a|5，|b|，ab7.2ab8，(ab)(ab)7，a(ab)0，(ab)249.3ab1，|a|，|b|，88.1在知識層面上，先引導學生歸納平面向量數(shù)量積的坐標表示，向量的模，兩向量的夾角，向量垂直的條件其次引導學生總結(jié)數(shù)量積的坐標運算規(guī)律，夾角和距離公式、兩向量垂直的坐標表示2在思想方法上，教師與學生一起回顧探索過程中用到的思維方法和數(shù)學思想方法，定義法，待定系數(shù)法

13、等課本習題2.4 A組8、9、10.由于本節(jié)課是對平面向量的進一步探究與應(yīng)用，是對平面向量幾何意義的綜合研究提高，因此教案設(shè)計流程是探究、發(fā)現(xiàn)、應(yīng)用、提高，這符合新課程理念，符合新課標要求我們知道平面向量的數(shù)量積是本章最重要的內(nèi)容，也是高考中的重點，既有選擇題、填空題，也有解答題(大多同立體幾何、解析幾何綜合考查)，故學習時要熟練掌握基本概念和性質(zhì)及其綜合運用而且數(shù)量積的坐標表示又是向量運算的一個重要內(nèi)容，用坐標表示直角坐標平面內(nèi)點的位置，是解析幾何的一個基本特征，從而以坐標為橋梁可以建立向量與解析幾何的內(nèi)在聯(lián)系以三角函數(shù)表示點的坐標，又可以溝通向量與三角函數(shù)的相互關(guān)系，由此就產(chǎn)生出一類向量與

14、解析幾何及三角函數(shù)交匯的綜合性問題平面向量數(shù)量積的坐標表示使得向量數(shù)量積的應(yīng)用更為方便，也拓寬了向量應(yīng)用的途徑通過學習本節(jié)的內(nèi)容，要更加加深對向量數(shù)量積概念的理解，同時善于運用坐標形式運算解決數(shù)量問題，尤其是有關(guān)向量的夾角、長度、垂直等，往往可以使問題簡單化靈活使用坐標形式，綜合處理向量的線性運算、數(shù)量積、平行等，綜合地解決向量綜合題，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想在本節(jié)的學習中可以通過對實際問題的抽象來培養(yǎng)學生分析問題、解決問題和應(yīng)用知識解決問題的意識與能力一、|ab|a|b|的應(yīng)用若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則平面向量的數(shù)量積的性質(zhì)|ab|a|b|的坐標表示為x1x2y1y2(x1x2y1y

15、2)2(xy)(xy)不等式(x1x2y1y2)2(xy)(xy)有著非常廣泛的應(yīng)用，由此還可以推廣到一般(柯西不等式)：(a1b1a2b2anbn)2(aaa)(bbb)例1(1)已知實數(shù)x，y滿足xy40，則x2y2的最小值是_；(2)已知實數(shù)x，y滿足(x2)2y21，則2xy的最大值是_解析：(1)令m(x，y)，n(1,1)|mn|m|n|，|xy|，即2(x2y2)(xy)216.x2y28，故x2y2的最小值是8.(2)令m(x2，y)，n(2，1)，2xyt.由|mn|m|n|，得|2(x2)y|，即|t4|.解得4t4.故所求的最大值是4.答案：(1)8 (2)4例2已知a，

16、bR，(0，)，試比較與(ab)2的大小解：構(gòu)造向量m(，)，n(cos，sin)，由|mn|m|n|得(cossin)2()(cos2sin2)，(ab)2.同類變式：已知a，bR，m，nR，且mn0，m2n2a2m2b2n2，令M，Nab，比較M、N的大小解：構(gòu)造向量p(，)，q(n，m)，由|pq|p|q|得(nm)2()(m2n2)(m2n2)N.例3設(shè)a，bR，A(x，y)|xn，ynab，nZ，B(x，y)|xm，y3m215，mZ，C(x，y)|x2y2144是直角坐標平面xOy內(nèi)的點集，討論是否存在a和b，使得AB與(a，b)C能同時成立解：此問題等價于探求a、b是否存在的問題

17、，它滿足設(shè)存在a和b滿足兩式，構(gòu)造向量m(a，b)，n(n,1)由|mn|2|m|2|n|2得(nab)2(n21)(a2b2)，(3n215)2144(n21)n46n290.解得n，這與nZ矛盾，故不存在a和b滿足條件二、備用習題1若a(2，3)，b(x,2x)，且ab，則x等于( )A3 B.C D3答案：C2設(shè)a(1,2)，b(1，m)，若a與b的夾角為鈍角，則m的取值范圍是( )Am Bm Dm答案：D3若a(cos，sin)，b(cos，sin)，則( )Aab BabC(ab)(ab) D(ab)(ab)答案：C4與a(u，v)垂直的單位向量是( )A(，)B(，)C(，)D(，)或(，)答案：D5已知向量a(cos23，cos67)，b(cos68，cos22)，uatb(tR)，求u的模的最小值答案：解：|a|1，同理有|b|1.又abcos23cos68cos67cos22cos23cos68sin23sin68cos45，|u|2(atb)2a22tabt2b2t2t1(t)2.當t時，|u|min.6已知ABC的三個頂點為A(1,1)，B(3,1)，C(4,5)，求ABC的面積答案：分析：SABC|sinBAC，而|，|