1、第二節(jié) 極坐標(biāo)與參數(shù)方程(選修4-4)考綱解讀1.理解坐標(biāo)系的作用.2.了解在直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.3.能在極坐標(biāo)中用極坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置.理解在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化.4.能在極坐標(biāo)系中給出簡(jiǎn)單圖形(如過(guò)極點(diǎn)的直線、過(guò)極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓)的方程.通過(guò)比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，理解用方程表示平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義.5.了解柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系中表示空間中的點(diǎn)的位置的方法，并與空間直角坐標(biāo)系中表示點(diǎn)的位置方法相比較，了解它們的區(qū)別.6.了解參數(shù)方程,了解參數(shù)的意義.7.能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、

2、圓和圓錐曲線的參數(shù)方程.8.掌握參數(shù)方程化普通方程的方法.命題趨勢(shì)探究 本章是新課標(biāo)新增內(nèi)容，屬選考內(nèi)容，在高考中可能有所體現(xiàn). 參數(shù)方程是解析幾何、平面向量、三角函數(shù)、圓錐曲線與方程等知識(shí)的綜合應(yīng)用和進(jìn)一步深化，是研究曲線的工具之一，值得特別關(guān)注.知識(shí)點(diǎn)精講一、極坐標(biāo)系 在平面上取一個(gè)定點(diǎn)，由點(diǎn)出發(fā)的一條射線 、一個(gè)長(zhǎng)度單位及計(jì)算角度的正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?，合稱為一個(gè)極坐標(biāo)系.點(diǎn)稱為極點(diǎn)，稱為極軸.平面上任一點(diǎn)M的位置可以由線段的長(zhǎng)度和從到的角度 (弧度制)來(lái)刻畫(如圖16-31和圖16-32所示). 這兩個(gè)實(shí)數(shù)組成的有序?qū)崝?shù)對(duì)稱為點(diǎn)M的極坐標(biāo). 稱為極徑，稱為極角.圖 16-31圖

3、16-32二、極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化 設(shè)為平面上的一點(diǎn)，其直角坐標(biāo)為，極坐標(biāo)為，由圖16-31和圖16-32可知，下面的關(guān)系式成立:或 （對(duì)也成立）.三、極坐標(biāo)的幾何意義表示以為圓心，為半徑的圓；表示過(guò)原點(diǎn)(極點(diǎn))傾斜角為的直線，為射線；表示以為圓心過(guò)點(diǎn)的圓. (可化直角坐標(biāo): .)四、直線的參數(shù)方程 直線的參數(shù)方程可以從其普通方程轉(zhuǎn)化而來(lái)，設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程為，其中為直線的傾斜角)，代人點(diǎn)斜式方程: ,即.記上式的比值為,整理后得,也成立，故直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)，為傾斜角，直線上定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) ，為的數(shù)量，向上向右為正(如圖16-33所示). 圖 16-33五、圓的參數(shù)方程 若圓心為點(diǎn)，半徑

4、為，則圓的參數(shù)方程為.六、橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.七、雙曲線的參數(shù)方程 雙曲線的參數(shù)方程為.八、拋物線的參數(shù)方程 拋物線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，參數(shù)的幾何意義是拋物線上的點(diǎn)與頂點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)）.題型歸納即思路提示題型196 極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程思路提示 對(duì)于極坐標(biāo)方程給出的問(wèn)題解答一般都是通過(guò)化為直角坐標(biāo)方程，利用直角坐標(biāo)方程求解.這里需注意的是極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系建立的對(duì)應(yīng)關(guān)系及其坐標(biāo)間的關(guān)系.例16.7 在極坐標(biāo)系中，圓的圓心到直線()的距離是 .分析 將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的一般方程求解.解析 極坐標(biāo)系中的圓轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的一般方程為，即，其

5、圓心為，直線轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的方程為：，即.圓心到直線的距離為.變式1 已知曲線的極坐標(biāo)方程分別為，則曲線與交點(diǎn)的極坐標(biāo)為 .變式2 和的極坐標(biāo)方程分別為,.(1)把和的極坐標(biāo)方程分別化為直角坐方程;(2)求經(jīng)過(guò)和交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程.變式3 已知一個(gè)圓的極坐標(biāo)方程是，求此圓的圓心和半徑.例16.8 極坐標(biāo)方程表示的圖形是（ ）A. 兩個(gè)圓 B.兩條直線 C.一個(gè)圓和一條射線 D.一條直線和一條射線分析 將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程.解析 因?yàn)?，所以?，得，表示圓心在原點(diǎn)的單位圓；表示軸的負(fù)半軸，是一條射線.故選C.變式1 極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程（參數(shù))所表示的圖形分別是( )A.圓

6、、直線 B.直線、圓 C.圓、圓 D.直線、直線變式2 在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)到直線的距離是 .變式3 （2012陜西理15）直線與圓相交的弦長(zhǎng)為 .題型197 直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程思路提示 如果題目中已知的曲線為直角坐標(biāo)方程，而解答的問(wèn)題是極坐標(biāo)系下的有關(guān)問(wèn)題，這里要利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)關(guān)系式，將直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程.例16.9 （2012遼寧理23）在直角坐標(biāo)系中，圓：，圓：.（1）在以為極點(diǎn)，軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫出圓, 的極坐標(biāo)方程，并求出圓, 的交點(diǎn)坐標(biāo)（用極坐標(biāo)表示）;（2）求出與的公共弦的參數(shù)方程.解析 （1）圓的極坐標(biāo)方程為，圓的極坐標(biāo)方程為.解得，故圓與圓的交點(diǎn)的

7、坐標(biāo)為.注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一.（2）解法一：由，得圓與圓的交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.故圓與的公共弦的參數(shù)方程為.解法二： 將代入得，從而.于是圓與的公共弦的參數(shù)方程為.變式1 (2012 江西理 15)曲線的直角坐標(biāo)方程為，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極抽建立極坐標(biāo)系，則曲線的極坐標(biāo)方程為 _.題型198 參數(shù)方程化普通方程思路提示已知直線或曲線的參數(shù)方程討論其位置關(guān)系、性質(zhì)問(wèn)題一般要通過(guò)消參（代入法、加減法，三角法)轉(zhuǎn)化為普通方程解答.例16.10 若直線與圓( 為參數(shù))沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .解析 將圓的參數(shù)方程( 為參數(shù))化為普通方程，圓心，半徑.直線與圓無(wú)公共點(diǎn)，則圓心到直線的

8、距離大于半徑，得或，即的范圍是.變式1 在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程（參數(shù)），圓的參數(shù)方程為（參數(shù)），則圓圓心坐標(biāo)為 _，圓心到直線的距離為 .變式2 (2013湖北理16)在莊角坐標(biāo)系中，橢圓的參數(shù)方程（為參數(shù)，），在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸)中，直線與圓的極坐標(biāo)方程分別為（為非零數(shù)）與.若直線經(jīng)過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，且與圓相切，則橢圓的離心率為 .變式3 參數(shù)方程（是參數(shù)）的普通方程是 .例16.11 已知?jiǎng)訄A（是正常數(shù)，是參數(shù)），則圓心的軌跡是 .解析 由動(dòng)圓得.圓心坐標(biāo)為（為參數(shù)），設(shè)，則，即為所求軌跡方程，所以圓心的軌跡是橢圓.變式1 方

9、程表示的曲線是（ ） A. 線段 B. 雙曲線的一支 C. 圓弧 D. 射線變式2 已知直線（為參數(shù)），（為參數(shù)）.(1)當(dāng)時(shí)，求與的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作的垂線，垂足為，為的中點(diǎn).當(dāng)變化時(shí)，求點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線.題型199 普通方程化參數(shù)方程思路提示 對(duì)于直線與圓錐曲線方程化為參數(shù)方程問(wèn)題實(shí)質(zhì)是引入第三個(gè)變量的換元法，這里有代數(shù)換元（如拋物線的參數(shù)方程）或三角換元（如橢圓的參數(shù)方程）.例16.12 在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最大值.分析 利用橢圓的參數(shù)方程，建立與參數(shù)的關(guān)系，運(yùn)用三角函數(shù)最值的求法，求解的最大值.解析 點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（為參

10、數(shù)），則，故.變式1 已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn).(1)求的取值范圍；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.變式2 直線過(guò)，傾斜角. （1） 寫出的參數(shù)方程； （2）與圓相交于兩點(diǎn)，求到兩點(diǎn)的距離之積.變式3 已知拋物線，點(diǎn)在軸的正半軸上，過(guò)的直線與相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)若時(shí)，的斜率為，求以為直徑的圓的方程； (2)若存在直線使得成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍.題型200 參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的互化思路提示 參數(shù)方程與極坐標(biāo)方程的互化問(wèn)題，需要通過(guò)普通方程這一中間橋梁來(lái)實(shí)現(xiàn)，先將參數(shù)方程（極坐標(biāo)方程）化為普通方程，再將普通方程化為極坐標(biāo)方程（參數(shù)方程）.例16.13 已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

11、在點(diǎn)處的切線為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則的極坐標(biāo)方程為 .分析 把曲線的參數(shù)方程化為普通方程，求出切線的普通方程，然后把求出的直線的普通方程化為極坐標(biāo)方程.解析 由得曲線的普通方程為，過(guò)原點(diǎn)及切點(diǎn)的直線的斜率為，故切線的斜率為，所以切線的方程為，即.把，代入直線的方程可得，即，化簡(jiǎn)得.變式1 設(shè)曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則曲線的極坐標(biāo)方程為 .最有效訓(xùn)練題60(限時(shí)45分鐘)1.極坐標(biāo)方程表示的曲線為（ ）A. 一條射線和一個(gè)圓 B. 兩條直線 C. 一條直線和一個(gè)圓 D. 一個(gè)圓 2.圓的圓心的一個(gè)極坐標(biāo)是

12、（ ）A. B. C. D. 3.在極坐標(biāo)系中，若等邊的兩個(gè)頂點(diǎn)是，.那么頂點(diǎn)的坐標(biāo)可能是（ ）A. B. C. D. 4.直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），則直線的傾斜角為（ ）A. B. C. D. 5.過(guò)點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若此直線與直線相交于點(diǎn)，則=（ ）A. B. C. D. 6.設(shè)曲線的參數(shù)方程( 為參數(shù))，直線的方程為，則曲線上到直線的距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）A. B. C. D. 7.已知直線的極坐標(biāo)方程為，圓的參數(shù)方程為( 為參數(shù))，則圓上的點(diǎn)到直線的最短距離為 .8.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線和的參數(shù)方程分別為（為參數(shù)，）和（為參數(shù)），則曲線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為 .9.已知拋物線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），其中，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過(guò)拋