1、楊輝三角和兩數(shù)和的乘方 _綜合實踐活動課,紹興市袍江中學(xué) 吳愛華,（a+b）2 = 并寫出以下兩個式子的結(jié)果： （a+b）3 = （a+b）4 = ,請同學(xué)們觀察，并運用面積之間的關(guān)系，驗證完全平方式.,復(fù)習(xí)舊知，感受新知,（a+b)1= （a+b)2= （a+b)3= （a+b)4=,1a+1b,1a2+2ab+1b2,1a3+3a2b+3ab2+1b3,1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4,1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1,與展開式中各系數(shù)的關(guān)系,1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6

2、 1 ,我國南宋時期杰出的數(shù)學(xué)家楊輝在其著作詳解九章算法中已有記載，并說明此圖源于北宋時期數(shù)學(xué)家賈憲的“開方作法本源圖”，因此，我們把這個表叫做楊輝三角或賈憲三角.,什么是楊輝三角 ？,楊輝三角,介紹楊輝古代數(shù)學(xué)家的杰出代表,楊輝，杭州錢塘人。中國南宋末年數(shù)學(xué)家，數(shù)學(xué)教育家著作甚多，他編著的數(shù)學(xué)書共五種二十一卷，著有詳解九章算法十二卷（1261年）、日用算法二卷、乘除通變本末三卷、田畝比類乘除算法二卷、續(xù)古摘奇算法二卷其中后三種合稱楊輝算法，朝鮮、日本等國均有譯本出版，流傳世界。“楊輝三角”出現(xiàn)在楊輝編著的詳解九章算法一書中，此書還說明表內(nèi)除“一”以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和楊輝指出這

3、個方法出于釋鎖算書，且我國北宋數(shù)學(xué)家賈憲（約公元11世紀）已經(jīng)用過它，這表明我國發(fā)現(xiàn)這個表不晚于11世紀 在歐洲，這個表被認為是法國數(shù)學(xué)家物理學(xué)家帕斯卡首先發(fā)現(xiàn)的（Blaise Pascal, 1623年1662年）,他們把這個表叫做帕斯卡三角這就是說，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早500年左右，由此可見我國古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的,1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9

4、1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1 ,1.三角形的兩側(cè)的邊上都是數(shù)字1，而其余的數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)字之和 2.楊輝三角具有對稱性（對稱美），與首末兩端“等距離 ”的兩個數(shù)相等 3.每一行的第二個數(shù)就是這行的行數(shù) 4.第n行的數(shù)字有n+1個 5.第n行數(shù)字之和為2n .,觀察圖像，尋找規(guī)律,楊輝三角的實際應(yīng)用,1.若今天是星期一，再過82天后是星期幾？怎么算？,2.若今天是星期一，再過8

5、10天后是星期幾？怎么算？,3.“縱橫路線圖”是數(shù)學(xué)中的一類有趣的問題圖1是某城市的部分街道圖，縱橫各有三條路，如果從A處走到B處 (只能由北到南，由西向東)，那么有多少種不同的走法？,A,圖1,B,我們們把圖順時針轉(zhuǎn)45度，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉點標上相應(yīng)的楊輝三角數(shù)B處的楊輝三角數(shù)與A到B的走法有什么關(guān)系?,A,B,1,1,1,1,1,2,3,3,6,A,B,問：縱橫各有五條路呢？,結(jié)論：有趣的是，B處所對應(yīng)的數(shù)6，正好是答案6一般地, 每個交點上的楊輝三角數(shù)，就是從A到達該點的方法數(shù),楊輝三角的實際應(yīng)用,楊輝三角的實際應(yīng)用,縱橫各有五條路時,A,B,由此看來，楊輝三角與縱橫路線圖問題有天然的聯(lián)系,如圖，寫出斜線上各行數(shù)字的和，有什么規(guī)律？,1，1，2，3，5，8，13，21，34，,-斐波那契數(shù)列,兔子繁殖問題：假定一對剛出生的兔子一個月就能長成大兔子，再過一個月就開始生下一對小兔子，并且以后每個月都生一對小兔子設(shè)所生一對兔子均為一雄一雌，且均無死亡問一對剛出生的小兔一年內(nèi)可以繁殖成多少對兔子？,兔子繁殖問題也可以從楊輝三角得到答案： 1，1，2，3，5，8，13，21，34，,楊輝三角的實際應(yīng)用,如圖,將1,2,3,4這四個數(shù)字分別填入第一行的圓圈中(不論順序,每個圓圈一個數(shù)),以后每個圓圈里的數(shù),等于它上一行肩上的兩個數(shù)的和,則最下面一個圓圈里的數(shù)的