1、.第一章函數(shù)、極限、連續(xù)第 1節(jié) 函數(shù)a) 反函數(shù)和原函數(shù)關(guān)于 y=x 對(duì)稱。b) 只有定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)才能討論奇偶性。c) 多個(gè)奇函數(shù)之和為奇函數(shù)；多個(gè)偶函數(shù)之和為偶函數(shù)。d) 2k 個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)； 2k+1 個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；任意個(gè)偶函數(shù)的乘積還是偶函數(shù)。 (k=0,1,2.)。e)如果 f(x)是周期函數(shù)，周期為t，則 f(ax+b)也是周期函數(shù)，周期為|t/a| 。f) 基本初等函數(shù)包括：冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)。初等函數(shù)即上述五大類函數(shù)，以及它們有限次的四則運(yùn)算與復(fù)合而成的函數(shù)。g) 一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的。第 2節(jié) 極限a

2、)左右極限存在且相等極限存在。b)如果函數(shù)在 x0 極限為 a，則可以將函數(shù)改寫為f(x)=a+(x)，其中 lim (x) = 0 。x x0（等價(jià)無(wú)窮?。ヽ)極限存在極限唯一。（極限唯一性）d)lim f (x)a ，且 a0，則在 x 的鄰域內(nèi)， f(x)0。（保號(hào)性）x x 0e)函數(shù) f(x)在點(diǎn) x=x 存在極限， 則存在該點(diǎn)的一個(gè)去心鄰域u，在 u 內(nèi) f(x)有界。（有0界性）f) 當(dāng) limf(x)=a ， limg(x)=b ，那么lim(f(x)+g(x)=limf(x)+limg(x)=a+blim(f(x)-g(x)=limf(x)-limg(x)=a-blim(f(

3、x)*g(x)=limf(x)*limg(x)=a*blim(f(x)/g(x)=limf(x)/limg(x)=a/b limg(x)不等于 0lim(f(x)n=(limf(x)n=anlim(f(x)g(x)=ab（極限的四則運(yùn)算）g) 有限個(gè) 無(wú)窮小 之和 仍然是無(wú)窮小。 有限個(gè) 無(wú)窮小 之積 仍然是無(wú)窮小。 無(wú)窮小和 有界量乘積仍然是無(wú)窮小。h) lim f ( x) =lg ( x )i. l=0 ， f(x)=o(g(x).;.ii. l= ， f(x) 是 g(x) 低階 .iii.0l 或 - l0 ， l 1，同階 .iv. l=1 ，等價(jià)無(wú)窮小，記作f(x) g(x).特

4、別的，如果f ( x)lim g ( x) k =l(l 0) ，則稱 f(x)是 g(x) 的 k 階無(wú)窮小。i) 等價(jià)無(wú)窮小代換：x 0 時(shí)， x sinx tanx arcsinx arctanx ex-1 ln(1+x)1-cosx 1 x2= 1-cos x x2221 x -1 1 x = (1 x)-1 x2tanx-x 1 x33x-sinx 1x36特殊的， x 0 時(shí) ax-1 xlnaj) 只有因子才能進(jìn)行等價(jià)無(wú)窮小的代換。k) 要注重推廣形式。例如【 x 0 時(shí)， x sinx 】，如果當(dāng) x x0 時(shí)， f(x) 0，那么將原式中 x 換成 f(x) 也成立。l) 求

5、極限的方法：i. 利用函數(shù)的連續(xù)性（極限值等于函數(shù)值）。利用極限的四則運(yùn)算性質(zhì)。ii. 抓頭公式（處理多項(xiàng)式比值的極限）。1. 抓小頭公式。（ x 0）2. 抓大頭公式。（ x）（分子分母同除最高次項(xiàng)）（極限為【最高次項(xiàng)的系數(shù)比】）iii. 兩個(gè)準(zhǔn)則：1. 夾逼準(zhǔn)則2. 單調(diào)有界必有極限;.iv. 兩個(gè)重要極限：1.limsinx=1（利用單位圓和夾逼準(zhǔn)則進(jìn)行證明）x 0x112.lim (1) xelim (1 x ) x e（利用單調(diào)有界準(zhǔn)則進(jìn)行證明）xxx 0口訣：倒倒抄。（結(jié)合抓頭公式）v.無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)、等價(jià)無(wú)窮小的代換1. 有限個(gè)無(wú)窮小之和為無(wú)窮小。 有限個(gè)無(wú)窮小之積為無(wú)窮小。

6、無(wú)窮小與有界量乘積為無(wú)窮小。2. 12 種等價(jià)無(wú)窮小的代換。vi. 左右極限：求分段函數(shù)分段點(diǎn)的極限值。vii. 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限。導(dǎo)數(shù)定義：增量比，取極限。構(gòu)造出“增量比”的形式，則極限就是導(dǎo)數(shù)。viii. 定積分的定義求極限。（處理多項(xiàng)求和的形式）ix. 泰勒公式1. 泰勒公式中系數(shù)表達(dá)式：2. 當(dāng) =0 的時(shí)候，泰勒公式則稱為麥克勞林公式。常用的麥克勞林公式：exsinxcosxln(x+1)(1+x)mx. 洛必達(dá)法則使用前提：（ 1）分子分母都趨向于 0。（ 2）分子分母的極限都存在。（ 3）分子分母導(dǎo)數(shù)的比值為一個(gè)定值或?yàn)闊o(wú)窮。第一層次第二層次0* ：轉(zhuǎn)換成或 - ：通分化為

7、（常用換元的方法求解）第三層次;.使用進(jìn)行轉(zhuǎn)化。第 3節(jié) 連續(xù)與間斷a) 連續(xù)某點(diǎn)：極限值 =函數(shù)值函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)開(kāi)區(qū)間：在該區(qū)間中每個(gè)點(diǎn)都是連續(xù)的，則在開(kāi)區(qū)間連續(xù)。閉區(qū)間：開(kāi)區(qū)間連續(xù)切在端點(diǎn)連續(xù)b) 間斷第一類間斷點(diǎn)（左右極限都存在）可去間斷點(diǎn)：左右極限相等跳躍間斷點(diǎn)：左右極限不相等第二類間斷點(diǎn)（左右極限至少有一個(gè)不存在）無(wú)窮間斷點(diǎn)：因趨于無(wú)窮而造成的不存在。振蕩間斷點(diǎn)：因振蕩而不存在。c) 初等函數(shù)的連續(xù)性i. 基本初等函數(shù)在相應(yīng)的定義域內(nèi)連續(xù)。ii.區(qū)間 i 上的連續(xù)函數(shù)做四則運(yùn)算形成的新函數(shù)在i 上仍然是連續(xù)函數(shù)。iii. 連續(xù)函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的復(fù)合仍為連續(xù)函數(shù)。iv. 原函數(shù)連續(xù)且單調(diào)

8、，反函數(shù)必為連續(xù)且單調(diào)。v. 一切初等函數(shù)在相應(yīng)定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。d) 閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)如果 f(x)在 a,b 連續(xù)，則：1. f(x)在 a,b 有界。2. 有最大最小值3. 介值定理4. 零點(diǎn)定理： f(a)*f(b)0的區(qū)間， f(x)單調(diào)增的區(qū)間；f (x)0(x) 凸函數(shù)： f (x)0 時(shí)收斂，值為。當(dāng) p1 時(shí)發(fā)散。(二 ) 無(wú)界函數(shù)的廣義積分（瑕積分）f(x)在 a 點(diǎn)無(wú)界：，若極限存在，稱積分收斂。若極限不存在，稱積分發(fā)散。f(x)在 b 點(diǎn)無(wú)界：，若極限存在，稱積分收斂。若極限不存在，稱積分發(fā)散。f(x)在 c 點(diǎn)無(wú)界：，若兩個(gè)廣義積分極限都存在，稱原廣義積分是收斂的。

9、若至少有一個(gè)廣義積分極限不存在，稱原廣義積分是發(fā)散的。第 4節(jié) 定積分的應(yīng)用(一 ) 微元法： u1.確定變量x，確定 x 的范圍 a,b 。2.dxdu=f(x)dx3.u=(二 ) 幾何問(wèn)題1.面積：（ 1）直角坐標(biāo)系（ 2）極坐標(biāo)系： s=極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系：,2.體積：（1）截面面積已知的幾何體的體積：v=;.（ 2 ）旋轉(zhuǎn)體的體積：繞x 軸轉(zhuǎn)： v=；繞y 軸轉(zhuǎn)： v=v=3.曲線的弧長(zhǎng)（1）參數(shù)方程：s=dt（2）直角坐標(biāo)系：s=dx（3）極坐標(biāo)系：s=d(三 ) 物理問(wèn)題運(yùn)用微元法三步求解。第四章多元函數(shù)微分學(xué)第 1節(jié) 基本概念（1）多元函數(shù)：二元函數(shù)： z=f(x,y)d

10、 定義域幾何意義：曲面（2）二元函數(shù)的極限：趨向方式有無(wú)數(shù)種， 若不同趨向方式得到的極限不同，則極限不存在 （極限唯一性） 。（ 3） 二元函數(shù)的連續(xù)極限值等于函數(shù)值，則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)。閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：d 為閉區(qū)域， f(x,y)在 d 上連續(xù)，則：1. f(x,y) 在 d 上有界。2. 存在最大最小值。3. 可應(yīng)用 介值定理 。4. 可應(yīng)用 零點(diǎn)定理。第 2節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分（ 1） 偏導(dǎo)數(shù)： z=f(x,y);.對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)：對(duì) y 的偏導(dǎo)數(shù)：二階偏導(dǎo)數(shù)：若和連續(xù)，則等于。（ 2） 全微分： z=f(x,y)若=a+b+o(則 z 可微。dz=adx+bdy+ o()=+dy

11、（ 3） 偏導(dǎo)數(shù)與全微分的關(guān)系全微分存在 函數(shù)連續(xù)全微分存在、存在、連續(xù)可微（4）偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算直接計(jì)算：對(duì)不求導(dǎo)的變量當(dāng)作常量處理（二元一元）。多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)（鏈?zhǔn)椒▌t）1.z=f(u,v)u=u(x,y)v=v(x,y)+畫樹狀圖找到求導(dǎo)路徑隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)左右同時(shí)求導(dǎo)多元隱函數(shù)求導(dǎo)公式：=第 3節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用（數(shù)二只要求極值、最值問(wèn)題）（1）二元函數(shù)的極值問(wèn)題（無(wú)條件）;.極值點(diǎn)： 可能是 一階偏導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點(diǎn)。判定極值點(diǎn)：當(dāng)求出某點(diǎn)可能為極值點(diǎn)()，帶入=、=、=。計(jì)算。當(dāng)其小于零：為極小值點(diǎn)為極大值點(diǎn)大于零：不是極值點(diǎn)等于零：無(wú)法判斷（ 2） 條件極值先構(gòu)造拉格朗日函數(shù)

12、，再求各值的偏導(dǎo)數(shù)。（ 3） 閉區(qū)域上的最值1. 先找極值。2. 邊界點(diǎn)（條件極值）。3. 比較，選出最大最小值。第五章重積分第 1節(jié) 二重積分（1）幾何意義： f(x,y)0，以 d 為底，以 f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積。（2）計(jì)算a)直角坐標(biāo)系下：口訣：后積先定限b) 極坐標(biāo)系下：先積 r 后積坐標(biāo)系選擇：極坐標(biāo)系：1. d：圓（環(huán)）、扇（環(huán)）2.f(x,y)：、除此之外一般選擇直角坐標(biāo)系。;.第六章常微分方程第 1節(jié) 基本概念1. 常微分方程含未知函數(shù)的 數(shù)的方程。2. 階未知函數(shù)有幾 ，就是幾 的微分方程。3. 解通解：含有任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與 數(shù)相同。特解：通解中的任意常數(shù)確定。初

13、始條件： y(=，=， ，=4. 性方程y 和 y 的各 數(shù)都是以一次式出 的。第 2節(jié) 一階微分方程1. 可分離 量的微分方程： 化：=f(x) g(x)=兩 同 分2. 次微分方程：如果=f( )，那么 =u， y=x u(x)那么=u(x)+x 入原方程得： u+x=f(u)=（可分離 量）3. 一 性微分方程通式： +p(x)y=q(x)，若 q(x)， 稱之 一 性 次微分方程。一 性 次微分方程通解：y=c一 性非 次微分方程通解：y=(;.第 3節(jié) 高階微分方程1. 可降階的高階微分方程a)逐次積分解決。b)令 u(x)=,則=。代入原式。c)令=p(y),則=。代入原式。2. 線性微分方程解的結(jié)構(gòu)通式（二階為例）：+q(x) y=f(x)若 f(x)=0 則為齊次。（1）若 y(x)為齊次的解，則ky(x)仍然是它的解。（2）若,是齊次的解，則仍然是它的解。（3）接（ 2）若,線性無(wú)關(guān)，則是它的通解。（4）若 y是齊次的通解，是非齊次的特解，則 y=y+是非齊次的通解。3. 二階常系數(shù)線性微分方程通式：+q