1、精品 料推薦 5-7 晶體中電子的能態(tài)密度5 7 1 底附近的能 密度在本章第一 中，我 已 得到自由 子的 密度n （ e），n (e) 4 v 2m321e 2 h2（5-7-1 ）而且 n(e)e 的關(guān)系曲 已由 5-7-1 出。晶體中 子受到周期性 的作用，其能量e(k)與波矢的關(guān)系不再是拋物 性 ，因此式（ 5-7-1）不再適用于晶體中 子。下面以 束 理 的 立方 構(gòu)晶格的s 子狀 例， 分析晶體中 子 密度的知 。圖 5-7-1自由電子能態(tài)密度e k由前面的 束 理 ，我 已 得到 立方 構(gòu)晶格的s 能 的 e(k)形式 ：sj02j1 coskxacosk yacoskza （

2、5-7-2 ）其中能量極小植在點 k=(0, 0, 0) ，其能量 e ksj06j1 ，所以在 點附近的能量，可以通 將 e( k ) 展開 在 k=0 的泰勒 數(shù)而得到，以cos x1x2 2l ，取前兩 代入，可以得到：e ksj02j1 31 a2 kx2 k 2y kz2es ( )j1a2 kx2ky2kz2 （5-7-3 ）2在第五 ，我 已 根據(jù)有效 量的定 ，算得 立方晶格s 帶 點 的有效 量 一個 量，m*h20 （ 5-7-4 ）2a2 j1代入后，可得到e kes( )h2k 25-7-5 ）* （2m式（ 5-7-5）表明：在能 底k=0 附近，等能面是球面，如果以

3、e(k )es( ) 及 m* 分 代替自由 子的能量 e 及 量 m，就可得到晶體中 子在能 底附近的能 密度函數(shù)：2m*315-7-6 ）n (e) 4 v (2) 2 e( k)es( ) 2 （h5 7 2 附近的能 密度能 在 k(a,a,a) 的 r 點 ，容易知道，其能量 e ksj06j1 。以 r 點附近的1精品 料推薦波矢 k(kx ,ky ,akz ) 代入 e(k)表達式中，就得到在能量極大 附近的能量表達式：aae ksj02j1cos(kx a)cos(ky a) cos(kza) （ 5-7-7 ）再利用 (cos()cos cossinsin，就可得到：e(k

4、)sj02j1 (cos kxacoskyacos kza) （5-7-8 ）將式中余弦函數(shù)展開 cos x 1x2 2 l后，上式 成：e(k )sj02j131 a2 ( kx2k y2kz2 )2es ( r)h2* 22kz25-7-9 ）kxky （2m或?qū)懗蒭s( r)e( k)h22ky225-7-10 ）* kxkz （2m式中 m*h2， ki是波矢 k 與能 r 的波矢之差。所以，若以r 點 原點建立坐 系kx , ky ,kz ，2a2 j1則 ki 的意 就與 ki的意 是一 的。因此，式（5-7-10 ）表示能量極大 附近的等能面是一些以r 點 球心的球面。 ，我 就

5、得到能 極大 附近的 密度函數(shù)：n (e)2m*312 （5-7-11 ）4 v (h2 )2 es( r) e( k ) 然，式（ 5-7-10 ）和式（ 5-7-11）是從一個特例出 得到的，但卻具有普遍意 。也就是 ，當(dāng)能 極 的有效 量是各向同性的，等能面是球面 ，式（5-7-10 ）和（ 5-7-11 ）均適用。5 7 3非極 點 能 密度當(dāng)能量 離極 點 ，晶體 子的等能面不再是球面。 c5-7-2 出在 kz 0 截面上的 立方晶格 子等能面示意 。從 看出，從原點（ 點，是能 底）向外，等能面基本上保持 球面的原因在于周期性 的作用，使晶體 子能量下降， 得到a與自由 子相同的

6、能量e，晶體 子的波矢 k 就必然要大。當(dāng)能量超 界上的 a 點的能量 ea ，等能面將不再是完整的 合面。在 角 c 點（能量極大 ）附近，等能面是被分割在 角圖 5-7-2附近的球面，到達 c 點 ，等能面 成幾個 角點。緊束縛近似等能面在能量接近ea ，等能面向外突出，所以， 些等能面之2精品 料推薦間的體積顯然比球面之間的體積大，因而所包含的狀態(tài)代表點也較多，使晶體電子的態(tài)密度在接近ea 時比自由電e自由電子子的顯著增大（見 圖 5-7-3）。當(dāng)能量超過ea 時，由于等近自由電子ec能面開始殘破， 它們之間的體積愈來愈小，最后下降為零。ea因此，能量在 ea 到 ec 之間的態(tài)密度將隨

7、能量增加而逐漸減小，最后下降為零，如 圖 5-7-3所示。如果考慮兩個沒有交疊的能帶的態(tài)密度，下面一個帶的態(tài)密度曲線亦如 圖 5-7-3 所示，在能帶頂處態(tài)密度為零。圖 5-7-3自由電子與晶體中電子態(tài)密度在禁帶內(nèi)亦一直保持為零（因禁帶內(nèi)無電子的量子態(tài)存在），當(dāng)能量到達上面能帶的帶底時，態(tài)密度才又隨能量的增加而增加，如 圖 5-7-4 （ a）所示。如果所考慮的能帶有交疊，則兩能帶態(tài)密度也會發(fā)生交疊，態(tài)密度函數(shù)如圖5-7-4（ b）所示?？梢?，交疊能帶與不交疊能帶的態(tài)密度函數(shù)是很不相同的，這一點，可以從軟x 射線發(fā)射譜中得到證明。當(dāng)晶體受到能量約為102 103 電子伏特的電子撞擊時， 低能帶

8、中的一些電子被激發(fā)，因而在能帶中留下空能級。由于低能帶是很窄的，可近似看作是分立能級。當(dāng)高能帶中的電子落入低能帶中的空能級上時，就發(fā)射出 x 射線。因這種 x 射線的波長較長 (約100?) ，所以，稱之為軟x 射線軟 x 射線發(fā)射譜的強度i(e) 與能量等于 e 處的態(tài)密度n(e) 成正比，亦與能量為 e 的電子向空能級（ a）(b)躍遷的幾率w(e)( 或稱發(fā)射幾率 )成正比，即i(e) w(e)n(e)上式中的 w(e) 是一個隨 e 連續(xù)緩變的函數(shù)，所以，可以認為， i(e) 主要由 e（ e)圖 5-7-4 （ a）不交疊能帶（b）交疊能帶隨 e 的變化來決定。也就是說，軟x 射線發(fā)射譜的形狀直接反映出晶體電子態(tài)密度的特征。圖 5-7-5 是幾種典型的金屬與非金屬的x 射線發(fā)射譜 由圖看出， 各晶體的發(fā)射譜在低能方面都是隨能量增加而逐漸上升的，說明從能帶底起，隨著電子能量的增加，態(tài)密度逐漸增大；在高能端， 金屬的 x 射線發(fā)射譜是突然下降的，所對應(yīng)的能量大致與費米能相同；非金屬的發(fā)射增則隨能量增加而逐漸下降為零這正好反映了金屬與非金屆的電子填充能帶的狀況。金屬中的電子沒有填滿能帶，電子填充的最高能級的能量約為ef ，態(tài)密度n ( e)0 ，所以，發(fā)射譜就突然下降