1、,3.2,一元二次不等式及其解法,主要內(nèi)容,一元二次不等式的應(yīng)用,一元二次不等式的解法,探究,不等式的分類，有哪些不等式？,絕對(duì)不等式：對(duì)于一切實(shí)數(shù)都成立的不等式,矛盾不等式：對(duì)于一切實(shí)數(shù)都不成立的不等式,條件不等式: 對(duì)于一定實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的未知數(shù)，不等式成立.,如 |x|0, x2+10, (a+b)20,如 |x+1|0, x2+10, (a+b)20,如 |x+1|1,1.依據(jù)不等式成立的條件分為以下三類：,2. 依據(jù)未知數(shù)的個(gè)數(shù)，可分為一元不等式、二元不等式、多元不等式,如： x+23x是一元不等式 x+y1是二元不等式,3. 依據(jù)未知數(shù)的最高次數(shù)，可分為一次不等式、二次不等式、高次不等

2、式,如： x+23x是一次不等式 x2+x2 是二次不等式 x（x+1）（x-2）0是高次不等式,4. 依據(jù)其它形式： 如含有絕對(duì)值的不等式, 含有分式的不等式, 無理不等式、超越不等式等.,如：1) |x-2|3,4） log2xx2-4x,復(fù)習(xí),一元一次不等式的解法,ax+b0,當(dāng)a=0,b0時(shí)，不等式的解集為R,當(dāng)a=0,b0時(shí)，不等式的解集為,當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為x|x ,當(dāng)a0時(shí)，不等式的解集為x|x ,(其中a，b為常數(shù)，x為未知數(shù)）,思考？,一元二次不等式的解集如何求呢？,我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.,如關(guān)于x的一元二次不等式

3、 ax2+bx+c0 其中a，b，c是常數(shù).,探究,如何求解一元二次不等式? 如x2-5x0,首先探究一元二次不等式x2-5x0和一元二次函數(shù)y=x-5x及一元二次方程x2-5x=0的關(guān)系.,1. 方程x2-5x=0的解為x1=0,x2=5為二次函數(shù)y=x2-5x的零點(diǎn).,2. 一元二次函數(shù)y=x2-5x的圖象,x,y,0,觀察函數(shù)的圖象知,1) 當(dāng)x5時(shí)，函數(shù)圖象位于x軸上方，此時(shí) y=x2-5x0;,2) 當(dāng)x=0或x=5時(shí)， y=x2-5x=0;,3)當(dāng)0x5時(shí)，函數(shù)圖象位于x軸下方，此時(shí) y=x2-5x0;,所以，不等式x2-5x0的解集為,同時(shí) 不等式x2-5x0的解集為,不等式x2

4、-5x0的解集為,不等式x2-5x0的解集為,結(jié)論,一般地， 如果對(duì)于一元二次方程,ax2+bx+c=0（a0),有兩個(gè)不等的根 x1 = ，x2=,那么，不等式ax2+bx+c0(a0)的解集為,一元二次不等式的解法,其中,不等式ax2+bx+c0(a0)的解集為,不等式ax2+bx+c0)的解集為,不等式ax2+bx+c0(a0)的解集為,例1. 解下列一元二次不等式,1）x2-3x+20,3）-2x2+3x+20,2）x2-x-10,4）x(1-x)x(2x-3)+1,1）x2-3x+20,解： 方程x2-3x+2=0的解為x1=1, x2=2,所以不等式x2-3x+20的解集為 x|x

5、2,且二次項(xiàng)系數(shù)為1, 而10，如圖所示：,2）x2-x-10,解：方程x2-x-1=0的解為x1= , x2=,所以不等式x2-x-10的解集為 x| x ,且二次項(xiàng)系數(shù)為1, 而10，如圖所示：,3）-2x2-3x+20,方程2x2-3x-2=0的解為x1= , x2=2,所以原不等式的解集為 x| x2,解：由于二次項(xiàng)系數(shù)為-20, 先同解變形原不等式為 2x2+3x-20,方程3x2-4x+1=0的解為x1= , x2=1,所以原不等式的解集為 x| x1,解：先把不等式化為二次項(xiàng)為正數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式, 通過去括號(hào)，移項(xiàng)合并，同解變形原不等式為 3x2-4x+10,4）x(1-x)x(2x-

6、3)+1,探究,上述例子中對(duì)應(yīng)的一元二次方程都有兩個(gè)不等的實(shí)根,如果一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根或沒有實(shí)根，如何確定相應(yīng)的一元二次不等式的解集呢?,ax2+bx+c=0(a0),2）當(dāng)根的判別式=b2-4ac=0時(shí)，二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；,3）當(dāng)根的判別式=b2-4ac0時(shí)，二次方程沒有實(shí)根.,1）當(dāng)根的判別式=b2-4ac0時(shí)，二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根；,1）4x2-4x+10,2）-x2+2x-30,例2. 解下列一元二次不等式,解：1） 原不等式變?yōu)椋?x-1)20. 方程 4x2-4x+1=0 有兩個(gè)相等的實(shí)根x1=x2=,二次函數(shù)y=4x2-4x+1的圖象開口向上，與x軸有且只

7、 有一個(gè)交點(diǎn)( ,0)， 除了這個(gè)交點(diǎn)外，所有的函數(shù) 值y都大于零. 所以不等式4x2-4x+10的解集為,2）-x2+2x-30,解：1） 原不等式變?yōu)閤2-2x+30. 由于=-80, 方程 x2-2x+3=0 無實(shí)根;,二次函數(shù)y=x2-2x+3的圖象開口向上，與x軸沒有交點(diǎn)，不存在x使得函數(shù)值y=x2-2x+30.,所以原不等式的解集為空集,一元二次不等式解法小結(jié),R,一元二次不等式的應(yīng)用,例3. 某同學(xué)要把自己的計(jì)算機(jī)接入因特網(wǎng)，現(xiàn)有ISP（網(wǎng)絡(luò)服務(wù)公司）公司可以選擇. 公司A每小時(shí)收費(fèi)1.5元（不足1小時(shí)按1小時(shí)計(jì)算）；公司B的收費(fèi)原則是：在用戶上網(wǎng)的第1小時(shí)內(nèi)（含恰好1小時(shí)，下同

8、）收費(fèi)1.7元，第2小時(shí)內(nèi)收費(fèi)1.6元，以后每小時(shí)減少0.1元（若用戶一次上網(wǎng)時(shí)間超過17小時(shí)，按17小時(shí)計(jì)算）.,分析：一般說來， 一次上網(wǎng)時(shí)間不會(huì)超過17小時(shí)，所以不妨假設(shè)一次上網(wǎng)時(shí)間小于17小時(shí). 此時(shí)比較一次上網(wǎng)在多長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)能夠保證選擇公司A的上網(wǎng)費(fèi)用小于或等于選擇B所需費(fèi)用.,解：假設(shè)一次上網(wǎng)x小時(shí)，則公司A收取的費(fèi)用為1.5x（元）. 公司B收取的費(fèi)用為,如果能夠保證選擇公司A比選擇公司B所需費(fèi)用少，則,整理得 x2-5x 0,解集為 x|0 x5,所以，當(dāng)一次上網(wǎng)在5小時(shí)以內(nèi)時(shí)，選擇公司A的費(fèi)用小于或等于選擇公司B的費(fèi)用；超過 5小 時(shí)，選擇公司B的費(fèi)用少.,例4.某種汽車在水泥

9、路面上的剎車距離s m和汽車車速x km/h有如下關(guān)系：,在一次交通事故中，測(cè)得這種車的剎車距離大于39.5m, 那么這輛汽車剎車前的車速至少為多少？（精確到0.01 km/h）,移項(xiàng)整理得,x2+9x-71100,顯然10,方程x2+9x-7110=0有兩個(gè)實(shí)根，即 x1-88.94, x279.94. 所以不等式的解集為,解：設(shè)這輛汽車剎車前的車速至少為xkm/h,根據(jù)題意，我們得到,所以，這輛汽車剎車前的車速至少為79.94km/h.,練習(xí)某種商品每件60元，不加稅收時(shí)，每年大約銷售80萬件.若政府收附加稅，每銷售100元要征收R元（叫做稅率R%）,則每年的銷售量將減少 萬件，要使每年在

10、此項(xiàng)經(jīng)營(yíng)中收取稅金不少于128萬元，求R的取值范圍.,反思提高,例5解關(guān)于x的不等式x2+(2-a2)x-2a20.,解：（x+2）(x-a2)0 方程（x+2）(x-a2）=0的根為 x1=-2,x2=a2 而a2-2,所以原不等式的解集為 得x| xa2,分析：這是一個(gè)帶字母系數(shù)的一元二次不等式, 有時(shí)需要對(duì)字母進(jìn)行討論.,例6解關(guān)于x的不等式x2-(2+a)x+2a0.,解：原不等式化為（x-2）(x-a)0 方程（x-2）(x-a）=0的根為 x1=2,x2=a,分析：這是一個(gè)帶字母系數(shù)的一元二次不等式,有時(shí)需要對(duì)字母進(jìn)行討論.,若a2,則原不等式的解集為x|2xa;,若a=2,則原不

11、等式的解集為空集;,若a2,則原不等式的解集為x|ax2.,例7.若不等式x2-mx+n0的解集為x|-5x1，求實(shí)數(shù)m、n的值.,解：根據(jù)解集為x|-5x1可構(gòu)造一元二次方程：,（x+5）（x-1）0,即： x2+4x-5 0,與原不等式對(duì)照得 m=-4, n=-5.,例8關(guān)于x的方程（m-2）x2+(2m-3)x+m=0有兩個(gè)均大于1的根，求m的取值范圍.,解：設(shè)x1,x2為已知方程的兩個(gè)根，則,把根與系數(shù)關(guān)系帶入上式得,解不等式組得,例9關(guān)于x的不等式ax2+ax+a-10的解集為，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.,解：當(dāng)a=0,原不等式變?yōu)?10, 解集為R, 不合題意；,得 a,綜合上述 a,當(dāng)a0時(shí)，原不等式為一元二次不等式，a應(yīng)滿足,1若不等式ax2+bx+10的解集為 ，則求實(shí)數(shù)a、b的值.,3已知關(guān)于x的方程x2+(m+2)x+m+5=0,問當(dāng)實(shí)數(shù) m在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，方程有兩個(gè)不同的正根？,2已知關(guān)于x的不等式（a2-4）x2+(a+2)x-10的解集為空集，求a的取值范圍.,練習(xí)題,2.解答：如果a=-2, 原不等式為0 x2+0 x-10,解集為空集，故a=-2符合要求；