1、,線 性 代 數(shù),上課班級(jí): AP08061,62,63.,上課時(shí)間: 08-09學(xué)年度第二學(xué)期;1-18周,周四10:00-11:40.,上課地點(diǎn): 主樓250.,課程類型: 必修(考查)，3學(xué)分.,教學(xué)目的: 線性代數(shù)課程是研究線性空間(主要是有限維)和線性變換理論的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課,它在數(shù)學(xué)和現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)以及眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.因此,工科學(xué)生必須具備有關(guān)線性代數(shù)的基礎(chǔ)理論知識(shí)以及解決實(shí)際問題的能力, 從而為學(xué)習(xí)后續(xù)課程和進(jìn)一步擴(kuò)大數(shù)學(xué)知識(shí)打下必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).,教學(xué)方法: 課堂授課.,教學(xué)內(nèi)容與時(shí)間分配: 1-行列式(6學(xué)時(shí)) 2-矩陣及其應(yīng)用(6學(xué)時(shí)) 3-矩陣的初等變換及線性方程組(

2、6學(xué)時(shí))4-向量組的線性相關(guān)性(8學(xué)時(shí)) 5-相似矩陣及二次型(6學(xué)時(shí)).,主講教師: 金迎迎,第一次課,基本要求: 熟練掌握二、三階行列式的定義與計(jì)算方法(對(duì)角線法則),了解n階行列式的定義, 理解和熟練掌握行列式的基本運(yùn)算性質(zhì),會(huì)計(jì)算簡單的n階行列式;理解和掌握克拉默法則（Cramers rule).,教學(xué)內(nèi)容與時(shí)間分配: 第一次課(2學(xué)時(shí)): 1 二階與三階行列式; 2 全排列及其逆序數(shù); 3 n階行列式的定義; 第二次課(2學(xué)時(shí)): 4 對(duì)換; 5 n階行列式的性質(zhì); 6 行列式按行展開定理; 第三次課(2學(xué)時(shí)): 7 克拉默法則.,第一章 行 列 式(determinant),本次課

3、1的教學(xué)要求 1、熟練掌握二階、三階行列式的定義和對(duì)角線法則. 2、理解全排列及其逆序數(shù)的概念，會(huì)求排列的逆序數(shù). 3、了解 n 階行列式的第一種定義方法,會(huì)用定義計(jì)算特殊形式的 n 階行列式.,用消元法解二元線性方程組,一、二階行列式的引入,第一章 行 列 式,第一節(jié) 二階與三階行列式,方程組的解為,由方程組的四個(gè)系數(shù)確定.,由四個(gè)數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排 稱列）的數(shù)表,定義,即,主對(duì)角線,副對(duì)角線,對(duì)角線法則,二階行列式的計(jì)算,若記,對(duì)于二元線性方程組,系數(shù)行列式,則二元線性方程組的解為,注意 分母都為原方程組的系數(shù)行列式.,例1,解,二、三階行列式,定義,記,（6）式稱為數(shù)表（5）

4、所確定的三階行列式.,對(duì)角線法則,注意 紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三 元素的乘積冠以負(fù)號(hào),說明1 對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式,如果三元線性方程組,的系數(shù)行列式,利用三階行列式求解三元線性方程組,若記,或,記,即,得,得,則三元線性方程組的解為:,例,解,按對(duì)角線法則，有,例3,解,方程左端,例4 解線性方程組,解,由于方程組的系數(shù)行列式,同理可得,故方程組的解為:,二階和三階行列式是由解二元和三元線性方 程組引入的.,三、小結(jié),一、概念的引入,引例,用1、2、3三個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？,解,1 2 3,1,2,3,百位,3種放法,十位,1,2,3,1,個(gè)位

5、,1,2,3,2種放法,1種放法,種放法.,共有,第二節(jié) 全排列及其逆序數(shù),二、全排列及其逆序數(shù),問題,定義,把 個(gè)不同的元素排成一列，叫做這 個(gè)元素的全排列（或排列）.,個(gè)不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常用 表示.,由引例,同理,在一個(gè)排列 中，若數(shù) 則稱這兩個(gè)數(shù)組成一個(gè)逆序.,例如 排列32514 中，,定義,我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序, n 個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.,排列的逆序數(shù),3 2 5 1 4,定義 一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù).,例如 排列32514 中，,3 2 5 1 4,逆序數(shù)為3,1,故此排列的逆序數(shù)為3+1+0+1+0=5.,計(jì)算排列

6、逆序數(shù)的方法,方法1,分別計(jì)算出排在 前面比它大的數(shù) 碼之和即分別算出 這 個(gè)元素 的逆序數(shù)，這個(gè)元素的逆序數(shù)的總和即為所求 排列的逆序數(shù).,逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;,逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.,排列的奇偶性,分別計(jì)算出排列中每個(gè)元素前面比它大的數(shù)碼 個(gè)數(shù)之和，即算出排列中每個(gè)元素的逆序數(shù)， 這每個(gè)元素的逆序數(shù)之總和即為所求排列的逆 序數(shù).,方法2,例1 求排列32514的逆序數(shù).,解,在排列32514中,3排在首位,逆序數(shù)為0;,2的前面比2大的數(shù)只有一個(gè)3,故逆序數(shù)為1;,3 2 5 1 4,于是排列32514的逆序數(shù)為,5的前面沒有比5大的數(shù),其逆序數(shù)為0;,1的前面比1大的數(shù)

7、有3個(gè),故逆序數(shù)為3;,4的前面比4大的數(shù)有1個(gè),故逆序數(shù)為1;,例2 計(jì)算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性.,解,此排列為偶排列.,解,當(dāng) 時(shí)為偶排列；,當(dāng) 時(shí)為奇排列.,解,當(dāng) 為偶數(shù)時(shí)，排列為偶排列，,當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，排列為奇排列.,2 排列具有奇偶性.,3 計(jì)算排列逆序數(shù)常用的方法有2 種.,1 個(gè)不同的元素的所有排列種數(shù)為,三、小結(jié),一、概念的引入,三階行列式,說明,（1）三階行列式共有 項(xiàng)，即 項(xiàng),（2）每項(xiàng)都是位于不同行不同列的三個(gè)元素的 乘積,第三節(jié) n 階行列式的定義,（3）每項(xiàng)的正負(fù)號(hào)都取決于位于不同行不同列 的三個(gè)元素的下標(biāo)排列,例如,列標(biāo)排列的逆序數(shù)為,列標(biāo)排列的逆序

8、數(shù)為,偶排列,奇排列,二、n 階行列式的定義,定義,說明,1、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的;,2、 階行列式是 項(xiàng)的代數(shù)和;,3、 階行列式的每項(xiàng)都是位于不同行、不同列 個(gè)元素的乘積;,4、 一階行列式 不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆;,例1計(jì)算對(duì)角行列式,分析,展開式中項(xiàng)的一般形式是,從而這個(gè)項(xiàng)為零，,所以 只能等于 ,同理可得,解,即行列式中不為零的項(xiàng)為,例2 計(jì)算上三角行列式,分析,展開式中項(xiàng)的一般形式是,所以不為零的項(xiàng)只有,解,例3,同理可得下三角行列式,例4 證明對(duì)角行列式,證明,第一式是顯然的,下面證第二式.,若記,則依行列式定義,證畢,1 、行列式是一種特定的算式，它是根據(jù)求解方程個(gè)數(shù)和未知量個(gè)數(shù)相同的一次方程組的需要而定義的.,2、 階行列式共有 項(xiàng)，每項(xiàng)都是位于不同行、不同列 的 個(gè)元素的乘積,正負(fù)號(hào)由下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定.,三、小結(jié),思考題,2、分別用兩種方法求排列16352487的逆序數(shù).,1、