1、復(fù)合泊松過程,本節(jié)主要講述復(fù)合泊松過程的有關(guān)性質(zhì)及應(yīng)用,非齊次泊松過程的定義及性質(zhì),本章復(fù)習(xí)及作業(yè),3 泊松過程推廣,一.復(fù)合泊松過程的有關(guān)性質(zhì)及應(yīng)用,定義 設(shè) N(t),t0 是參數(shù)為 的Poisson過程, Yk.k=1,2,是一列獨立同分布的隨機變量,且與 N(t),t0獨立,稱 X(t),t0為復(fù)合Poisson過程.,若將N(t)表示0,t)內(nèi)的隨機點數(shù), Yk表示第k個隨機點 所攜帶的某種(能)量,則總量為,即 X(t),t0為復(fù)合Poisson過程,定理1 設(shè) X(t),t0為復(fù)合Poisson過程.則, X(t),t0的一維特征函數(shù)為,其中f(u)是Yn(n=1,2,)的特征函

2、數(shù), 若,定理2：設(shè)X(t)，t0是復(fù)合泊松過程，則X(t)，t0是平穩(wěn)的獨立增量過程.,證明分兩步，一證其獨立增量性，二證其平穩(wěn)增量性,證明：獨立增量性,平穩(wěn)增量性,的特征函數(shù)是t-s的函數(shù).,例1：求復(fù)合泊松過程的相關(guān)函數(shù),應(yīng)用復(fù)合泊松過程的簡單應(yīng)用,例：某人負責(zé)訂閱雜志，設(shè)前來訂閱的顧客是一天內(nèi)平均到達率為8的泊松過程.他們分別以概率1/2,1/3,和1/6訂閱1季度、2季度和3季度的雜志，其選擇是相互獨立的.每次訂閱1季度時，該負責(zé)人可得1元手續(xù)費.令X(t)表示在0,t)內(nèi)此人所得的手續(xù)費，試求EX(t),DX(t),以及相應(yīng)的特征函數(shù).,例：考慮保險公司的全部賠償.假設(shè)參加人壽保險

3、者不幸死亡的人數(shù)N(t)是具有強度為的泊松過程.用Yn描述第n個死亡者（即保險值Yn是獨立同分布的）.令X(t)表示0,t)內(nèi)，保險公司必須付出的全部賠償.令YnE(a),試求0,t)內(nèi)保險公司的平均賠償額，方差和特征函數(shù).,二.非齊次泊松過程,稱計數(shù)過程N(t), t 0為具有跳躍強度函數(shù)(t)的非齊次泊松過程，如果滿足 (1)N(0)=0; (2)N(t)是獨立增量過程; (3),例 某路公共汽車從早晨5時到晚上9時有車發(fā)出，乘客流量為(t)(t=0為早晨5時，t=16為晚上9時) 假設(shè)乘客數(shù)在不相重疊時間間隔內(nèi)是相互獨立的，求12時至14時有2000人來站乘車的概率，并求這兩小時內(nèi)來站乘

4、車人數(shù)的數(shù)學(xué)期望。,解 12時至14時為t7,9 在0,t內(nèi)到達的乘車人數(shù)N(t)服從參數(shù)為(t)的非齊次泊松過程 12時至14時乘車人數(shù)的數(shù)學(xué)期望為 12時至14時有2000人來站乘車的概率為,例：設(shè)某設(shè)備的使用年限為10年，在前5年內(nèi)平均2.5年需要維修一次，后5年平均2年需維修一次，求在使用期限內(nèi)只維修過1次的概率。,解：因為維修次數(shù)與使用時間有關(guān)，所以該過程是非齊次泊松過程，強度函數(shù)為,則,例： 兩個獨立泊松過程的和是非為泊松過程？兩個獨立泊松過程的差是非為泊松過程？是否是復(fù)合泊松過程？,例： 設(shè)0,t內(nèi)進入某一計數(shù)器的質(zhì)點數(shù)為N(t)，N(t),t0是一強度為的泊松過程，再設(shè)到達計數(shù)

5、器的每一個質(zhì)點被記錄下來的概率為p,Y(t)是0,t內(nèi)記錄下來的質(zhì)點數(shù).試證Y(t),t0是一復(fù)合泊松過程，并求其均值函數(shù)和方差函數(shù)及 P(Y(t)=0),例 設(shè)在0, t內(nèi)事件A已經(jīng)發(fā)生n次，求第k次(kn) 事件A發(fā)生的時間Tk的條件概率密度函數(shù). 解,t,Tk,0,s,Tn,s+h,令h0，則有,（Bata分布）,例 設(shè)X1(t), t0和X2(t), t0是兩個相互獨立的泊松過程，它們在單位時間內(nèi)平均出現(xiàn)的事件數(shù)分別為1和2。記 為過程X1(t)的第k次事件到達時間,記 為過程X2(t)的第1次事件到達時間，求 即第一個泊松過程第k次事件發(fā)生比第二個泊松過程第1次事件發(fā)生早的概率。,解

6、 設(shè) 的取值為x， 的取值為y，,則 f(x, y)為 與 的聯(lián)合概率密度 由于X1(t)與X2(t)獨立，故,y,x,y=x,D,例 假設(shè)乘客按照參數(shù)為的Poisson過程來到一個火車站乘坐某次火車，若火車在時刻t啟動，試求在0,t內(nèi)到達火車站的乘客等待時間總和的數(shù)學(xué)期望,例：甲乙兩路公共汽車都通過某一車站.兩路公共汽車的到達分別獨立地服從10分鐘一輛（甲），15分鐘一輛（乙）的泊松分布.假定車總不會滿員，試問： (1)可乘坐甲或乙兩路公共汽車的乘客在此車站所需等待時間的概率分布及其均值. (2)只可乘坐乙路公共汽車的乘客在此車站等車的時候，恰好有兩輛甲路公共汽車通過的概率.,例（設(shè)備的故障

7、率）假定某一設(shè)備發(fā)生故障的次數(shù)服從非齊次泊松過程，下圖給出了自購入這個設(shè)備t個月后的故障率(t)次/月，這個設(shè)備的購買費用為K=21萬元，修理費用為C=2萬元/回.不考慮利息和經(jīng)濟變動，問時隔幾個月更新這設(shè)備是最合適的.,1/12,4/12,6,42,48,例：某一公共汽車站的乘客到達服從平均1分鐘1人的泊松過程，公共汽車的運行間隔服從812 分鐘的均勻分布.試求自某一公共汽車開出此站到另一公共汽車駛?cè)氪苏舅匠丝蛿?shù)的數(shù)學(xué)期望和方差.,例：某鎮(zhèn)有一小商店，每日8點開始營業(yè)，從811時顧客平均到達率線性增加，8時顧客平均到達率為5人/時；11時到達率達到最高峰20人/時；從1113時，顧客平均到達率不變，為20人/時，從1317時，顧客到達率線性下降，17