1、精選文檔高級宏觀經(jīng)濟學_第四版_中文_羅默課后題答案第2章無限期模型與世代交疊模型2.1 考慮N個廠商，每個廠商均有規(guī)模報酬不變的生產(chǎn)函數(shù)Y=FK,AL,，或者采用緊湊形式Y=ALfk。假設f0,f0，則積分項收斂，為1-n，則：-1=WL(0)H-n（7）將方程（7）代入（4）：Ct=eR(t)-tWL(0)H-n（8）因此，初始消費為：C0=WL(0)H-n（9）個人的初始財富為WL(0)H，方程（9）說明消費是初始財富的一個不變的比例。-n為個人的財富邊際消費傾向?？梢钥闯?，這個財富邊際消費傾向在平衡增長路徑上是獨立于利率的。對于折現(xiàn)率而言，越大，家庭越厭惡風險，越會選擇多消費。2.5

2、設想某家庭的效用函數(shù)由（2.1）（2.2）式給定。假設實際利率不變，令W表示家庭的初始財富加上終生勞動收入的現(xiàn)值(2.6)的右端。已知r、W和效用函數(shù)中的各參數(shù)，求C的效用最大化路徑。U=t=0e-tuCtL(t)Hdt2.1uCt=Ct1-1-2.2答：本題目是在家庭的預算約束下最大化一生的效用，即：maxU=t=0e-tuCtL(t)Hdt（1）s.t. t=0e-rtCtL(t)Hdt=W（2）W代表家庭的初始財富加上家庭一生勞動收入的現(xiàn)值，利率r是常數(shù)。建立拉格朗日方程如下：L=t=0e-tCt1-1-L(t)Hdt+W-t=0e-rtCtL(t)Hdt求一階條件，可得：LCt=e-t

3、Ct-L(t)H-e-rtLtH=0抵消L(t)/H，得：e-tCt-=e-rt（3）兩邊對時間t求導，可得：e-t-Ct-1Ct-e-tCt-+re-rt=0得到下面的方程：-CtCte-tCt-e-tCt-+re-rt=0（4）將方程（3）代入（4），可得：-CtCt e-rt-e-rt+re-rt=0抵消e-rt然后求消費的增長率CtCt，可得：CtCt=r-（5）由于利率r是常數(shù)，所以消費的增長率為常數(shù)。如果r，則市場利率超過貼現(xiàn)率，則消費會增加；反之，如果r，則決定了消費增長的幅度。值越低，也就是替代彈性越高，1越高，即消費增長的越快。重寫方程（5），得：lnCtt=r-（6）對方程

4、（6）積分，積分區(qū)間是從時間=0到時間=t，可得：lnCt-lnC0=r-=0=t上式可以簡化為：lnCtC0=(r-)/t（7）對方程（7）兩邊取指數(shù)，可得：CtC0=e(r-)/t，整理得：Ct=C0e(r-)/t（8）下面求解初始消費，將方程（8）代入（2），可得：t=0e-rtC0e(r-)/tL(t)Hdt=W將Lt=entL0代入上式，可得：C0L(0)Ht=0e-r+r-nt/dt=W（9）只要-r+r-n/0，從而保證積分收斂，則求解方程（9）可得：t=0e-r+r-nt/dt=-r+r-n（10）將方程（10）代入（9）中，求解C0：C0=WL0H-r+r-n（11）將方程（

5、11）代入（8），求解Ct：Ct=e(r-)/tWL0H-r+r-n（12）上式便是C的效用最大化路徑。2.6 生產(chǎn)力增長減速與儲蓄。設想一個正處于平衡增長路徑上的拉姆塞卡斯庫普曼期模型，假設g永久性下降。（a）k=0曲線會如何變化（如果有影響）？（b）c=0曲線會如何變化（如果有影響）？（c）當g下降時，c如何變化？（d）用一個式子表示g的邊際變化對平衡增長路徑上儲蓄率的影響。能否判斷此表達式的正負？（e）設生產(chǎn)函數(shù)是柯布道格拉斯函數(shù)fk=k，請用、n、g、和重新表示（d）中的結果。（提示：利用等式fk*=+g。）答：（a）關于資本的歐拉方程為：kt=fkt-ct-n+gkt（1）該方程描述

6、了資本的動態(tài)方程，在拉姆塞模型中，該方程描述了技術特征，是該模型的核心，它與消費的動態(tài)方程一起構成了該模型的歐拉方程組，從而決定了該模型的最終解。圖2-1 拉姆塞模型在平衡增長路徑上，k=0，由此可以推出：c=fk-n+gk。在該方程中，當g永久性地下降時，會導致消費c上升以保持方程的均衡。因而在圖形上k=0曲線向上移動。同時，保持k不變，g永久性地下降會導致持平投資下降，這樣就會有更多的資源用于消費。由于持平投資n+g下降的幅度更大，因而在更高的k水平上，k=0向上移動得更大。圖2-1是該模型的圖示。（b）每單位有效勞動消費的歐拉方程為：ctct=fkt-g（2）該方程描述了消費的動態(tài)方程，

7、在拉姆塞模型中，該方程描述了偏好特征，是該模型的核心，它與資本的動態(tài)方程一起構成了該模型的歐拉方程組，從而決定了該模型的最終解。在平衡增長路徑上，要求c=0，即fk=+g，在g永久性地下降時，為保持c=0，fk必須下降。由于fk0，因而fk下降必然導致k上升。因此，c=0必須上升，在圖形上表現(xiàn)為c=0向右移動，如圖2-1所示。（c）在g永久性地下降時，由于每單位有效勞動的資本是由歷史上的投資決定的，因而不會發(fā)生不連續(xù)的變化。它仍然保持在平衡增長路徑k*處。與此相反，每單位有效勞動的消費則會隨著g永久性地下降而迅速變化。為使經(jīng)濟從舊的平衡增長路徑達到新的平衡增長路徑，每單位有效勞動的消費c必將發(fā)

8、生變化。不過，此處無法確定新的平衡增長路徑處于舊的均衡點的上邊還是下邊，因而無法確定每單位有效勞動的消費c是上升還是下降。存在一種特殊情況，即如果新的平衡增長路徑恰好位于舊的均衡點的右上方，則每單位有效勞動的消費c甚至可能保持不變。因此，c和k逐步移動到新的平衡增長路徑，此時的值高于原先的平衡增長路徑值。（d）在平衡增長路徑上，產(chǎn)出中被儲蓄的部分為：fk*-c*fk*因為k保持不變，即k=0，位于一條均衡的增長路徑上，則由方程（1）可知：fk*-c*=n+gk*由上面兩個式子可以推出在平衡增長路徑上，產(chǎn)出中被儲蓄的份額為：s=n+gk*fk*（3）對方程（3）兩邊關于g求導數(shù)，可得：sg=fk

9、*n+gk*g+k*-n+gk*fk*k*gfk*2可以再簡化為：sg=n+gfk*-k*fk*k*g+fk*k*fk*2（4）由于k*由fk=+g決定，對該式兩邊關于g求導數(shù)，可得：fk*k*g=，從而求出k*g為：k*g=fk*0（5）將方程（5）代入（4）中，可得：sg=n+gfk*-k*fk*+fk*k*fk*fk*2fk*（6）在方程（6）中，分母fk*2fk*為負，分子中第一項為正，而第二項為負，因而無法確定正與負。因此，無法判斷在平衡增長路徑上g永久性地下降會使s上升還是下降。（e）將柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)fk=k，fk=k-1和fk=-1k-2代入方程（6）中，可得：sg=n+g

10、k*-k*k*-1+k*k*-1k*-2k*k*-1k*-2簡化為：sg=n+gk*1-1-k*k*-1-1-k*k*-1k*-1從上式可以推出：sg=-n+g-+g+g2最終有下面的結果：sg=-n-+g2=-n+g22.7 說明下列變化如何影響圖2.5中的c=0線和k=0線，并在此基礎上說明其如何影響平衡增長路徑上的c值和k值。（a）上升（b）生產(chǎn)函數(shù)向下移動。（c）折舊率由本章中假設的零變?yōu)槟骋徽怠D2-2 鞍點路徑答：（a）關于c與k的歐拉方程為：ctct=fkt-g（1）kt=fkt-ct-n+gkt（2）的上升即消費的跨期替代彈性1/下降，表明家庭不太愿意接受消費的跨期替代，同時

11、表明隨著消費的上升，消費的邊際產(chǎn)品下降得很快。這種情況使家庭更偏好于即期消費。由于沒有出現(xiàn)在資本積累方程（2）中，因而資本積累方程不受的上升的影響。在消費的動態(tài)方程中，在平衡增長路徑上c=0，從而fk=-g，由于的上升，因而fk必須上升，又因為fk0的情況時，消費和資本的歐拉方程變?yōu)椋篶tct=fkt-g（1）kt=fkt-ct-n+g+kt（2）對方程（1）和（2）分別在c=c*和k=k*處進行一階泰勒展開，可得：c=ckk-k*+ccc-c*（3）k=kkk-k*+kcc-c*（4）定義c=c-c*和k=k-k*，因為c*和k*為常數(shù)，所以c=c且k=k，將（3）和（4）重寫為：c=ckk

12、+ccc（5）k=kkk+kcc（6）對方程（1）和（2）計算偏導數(shù)：ckbgp=fk*c*（7）ccbgp=fk*-g（8）kkbgp=fk*-n+g+（9）kcbgp=-1（10）將方程（7）和（8）代入（5），將方程（9）和（10）代入（6），可得：c=fk*c*k（11）k=fk*-n+g+k-c =+g-n+g+k-c =k-c（12）方程（12）的第二步用到了fk*=+g，第三步用到了定義=-n-1-g。對方程（11）除以c以求c的增長率，對方程（12）除以k以求k的增長率：cc=fk*c*kc（13）kk=-ck（14）可以發(fā)現(xiàn)該結果與教材中不存在折舊率的增長率一樣，也就是說折舊

13、率的存在對增長率沒有影響。因此，經(jīng)濟在向平衡增長路徑移動時的c和k的不變增長率與教材中的結果應該一致。令=cc方程（13）可以推出：ck=fk*c*1（15）由方程（15），令（13）和（14）相等，可得：=-fk*c*1，求解可得：=2-4fk*c*122如果為正，則經(jīng)濟會偏離穩(wěn)定點，所以必為負：1=-2-4fk*c*122現(xiàn)在考慮柯布道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)fk=k，分別求其一階導和二階導：fk*=k*-1=r*+（16）fk*=k*-1=-1k*-2（17）將方程（16）兩邊同時平方：r*+2=2k*2-2，將其代入（17）式：fk*=r*+2-1k*=-1r*+2fk*定義平衡增長路徑上的儲蓄

14、率為s*，則平衡增長路徑上的消費為：c*=1-s*fk*（18）將方程（17）和（18）代入（15）：1=-2-4-1r*+2fk*1-s*fk*2化簡為：1=-2+41-r*+21-s*2（19）在平衡增長路徑上，c=0意味著r*=+g，即：r*+=+g+（20）另外，實際投資等于持平投資：s*fk*=n+g+k*，可以推出：s*=n+g+k*fk*=n+g+k*-1（21）上步用到了r*+=k*-1，由（21）可以推出：1-s*=r*+-n+g+r*+（22）將方程（20）和（22）代入到（19）中，可得：1=-2+41-+g+g+-n+g+2上式與教材中的（2.39）極其相似，它表明了消

15、費與資本的調整速度（將=13，=4%，n=2%，g=1%，=1，=3%代入上式，得到1=-8.8%）要快于不存在折舊時的調整速度。2.9 拉姆塞模型的解析解來自于史密斯(Smith,2006)。考慮生產(chǎn)函數(shù)柯布-道格拉斯函數(shù)的拉姆塞模型，yt=k(t)的情形，假設相對風險規(guī)避系數(shù)與資本份額相等。（a）平衡增長路徑上的k值（即k*）為多少？（b）平衡增長路徑上的c值（即c*）為多少？（c）令z(t)表示資本產(chǎn)出比k(t)y(t)，x(t)表示消費資本比c(t)k(t)。請用z、x和模型參數(shù)表示zt和xtx(t)。（d）暫且猜測x在鞍點路徑上是常數(shù)，根據(jù)這一猜想：（i）給定初始值z(0)，求z的路

16、徑。（ii）給定初始值k(0),求y的路徑。經(jīng)濟沿鞍點路徑向平衡增長路徑收斂的速度是否是常數(shù)？（e）上述猜測的解是否滿足c與k的運動方程(2.24)與(2.25)？答：（a）已知yt=k(t)（1）從正文可知，在c=0時，存在fk=+g。利用方程（1）計算得到k*=+g11-（2）（b）與(a)題類似，根據(jù)正文可知，在k=0時，存在c*=fk-n+gk。利用方程（1）計算得到：c*=+g1-n+g+g11-（3）（c）設zt=k(t)y(t)和xt=c(t)k(t)。將方程（1）代入zt的定義得到：k=z11-k1-=z（4）將方程（4）代入xt的定義，得到：ck-=xz（5）使用方程（4），

17、考慮zt=k(t)y(t)的時間導數(shù)，得到：z=1-k-k（6）從正文的方程（2.25）知道，k=k-c-n+gk，方程（6）可表示成：z=1-k-k-c-n+gk（7）為簡化上式，將方程（4）和方程（5）代入上式，得到：z=1-1-xz-n+gz（8）現(xiàn)在，對數(shù)化xt=c(t)k(t)，考慮其時間導數(shù)，得到:xx=cc-kk（9）根據(jù)正文的方程（2.24）和方程（2.25），上式可表示成：xx=k-1-g+-k+c+n+gkk（10）將方程（4）和方程（5）代入上式，再利用=得到：xx=x+n-（11）（d）（i）根據(jù)x為常量的假設，方程（8）可表示成z=1-1-n+g+x*z（12）為確定

18、z的變化路徑，考慮方程（12）方程（12）為線性非齊次常微分方程。該方程的解包括通解zc和zp。簡單地設=1-n+g+x*。為求通解，考慮相應的齊次方程z+z=0，A1是積分常數(shù)，求解zz的微分方程得到通解:zc=A1e-t（13）為求特解，考慮非齊次方程z+z=1-，A2是積分常數(shù)，利用積分因子得到特解：zp=1-+A2e-t（14）因此，方程（12）的zc解表示成z=zc+zp=1-+A1+A2e-t（15）利用初始條件，z0替換A1+A2，得到：z=1-+z0-1-e-t（16）為簡化1-，使用方程（2）和（3）消去x*，利用方程（4）得到：z=z*+e-tz0-z*（17）(ii) 可

19、將方程（4）代入方程（1），求解y的路徑。由于已經(jīng)得到z的路徑，將z的路徑代入方程（17），得到：y=z*+e-tz0-z*1-（18）使用k表示z的方程（4），上式可表示成：y=k*1-+e-tk01-k*1-1-（19）現(xiàn)在，分析經(jīng)濟趨向平衡增長路徑的收斂速度是否不變。方程（19）兩端同減方程（2）確定的平衡增長路徑y(tǒng)*=k*=+g1-，再取對數(shù)求導：lny-y*=lnz1-+g1-（20）考慮上式的時間導數(shù)，得到：lny-y*t=1-z1-1zz1-+g1-（21）上式顯然不是常數(shù)，收斂速度也不是常數(shù)。（e）需要知道正文的方程（2.24）和方程（2.25）,或cc=k-1-g和k=k-c

20、-(n+g)是否成立。使用方程（2.24）和方程（2.25）求解x/x，x/x成立的充要條件是方程（2.24）和方程（2.25）成立。已經(jīng)方程（2.25）成立，以前使用該方程求解z。因此xx=0的充分必要條件是cc=0。假設xx=0，根據(jù)方程（11）可得：x*=-n（22）根據(jù)（a）題和（b）題，在平衡增長路徑上，x*等于+gg-(n+g)，方程（22）可表示成：x*=-n（23）上式等同于方程（11），方程（2.24）和方程（2.25）得以成立。2.10拉姆塞-卡斯-庫普曼斯模型中的資本稅?？紤]處于平衡增長路徑上的拉姆塞-卡斯-庫普曼斯經(jīng)濟。假設在某一時刻（我們稱作0時），政府采取了一項對投

21、資所得按稅率征稅的政策，因此家庭面臨的實際利率變?yōu)閞t=1-fkt。假設政府將稅收收入以一次性轉移支付的形式返還給家庭。最后，假設稅收政策是意料之外的。（a）該稅收政策如何影響c=0和k=0線?（b）經(jīng)濟在0時會對該稅收政策作出何種反應？0時之后的動態(tài)學又是如何？（c）c和k在新舊兩種平衡增長路徑上的值有何不同？（d）本小題基于巴羅、曼昆和薩拉伊馬丁Barro, Mankiv, and Sala-i-Martin,1995假設存在許多與本題相同的國家，各國工人們的偏好相同，但各國間的投資收入稅率可以不同。假設各國都處于其平衡增長路徑。(i)證明平衡增長路徑上的儲蓄率y*-c*y*關于是遞減的。

22、(ii)低、高k*、高儲蓄率國家的居民是否有動機向低儲蓄率國家投資？為什么？（e）(c)小題中的答案是否說明補貼投資（即讓0）并通過一次性稅收為補貼籌資的政策可以提高福利？為什么？（f）如果政府并不返還稅收收入，而是將其用于政府購買，（a）小題和（b）小題中的答案會如何變化？答：（a）由于資本的稅后報酬變?yōu)椋簉t=1-fkt，家庭將改變每單位有效勞動的消費增長率來實現(xiàn)一生效用的最大化，即：ctct=1-fkt-g（1）在平衡增長路徑上，c=0要求1-fkt=+g，即稅后報酬率為+g。為保持c=0，fkt必須上升，又因為fk，所以資本存量必須下降。因此，c=0這條曲線將會左移，如圖2-8所示。圖

23、2-8 對投資增稅的影響家庭的每單位有效勞動的資本的歐拉方程仍為：kt=fkt-ct-n+gkt（2）由于政府將由這種稅收征集的收入又通過總量性轉移支出返還給家庭，所以家庭投資決策不受影響，因而k=0的軌跡不變。（b）在0時刻，由于資本的存量由歷史上的投資決策所決定，因而資本不會發(fā)生非連續(xù)的變化。資本仍然保持在原來的平衡增長路徑上的k*處。在0時刻，與每單位有效勞動的資本相反，每單位有效勞動的消費會由于征稅而立刻發(fā)生變化。由于稅收政策的這種變化是非預期性的并且是毫無準備的，因此消費的變化是非連續(xù)的。由于政府的這種稅收征集，儲蓄和資本積累的回報會比以前低，家庭會轉而減少儲蓄，增加消費，在圖2-8

24、上表現(xiàn)為c向上移動到A點，然后沿著新的均衡路徑移動。經(jīng)濟沿著新的鞍點均衡路徑緩慢移動，最終移動到新的均衡點Enew。（c）由圖2-8可知，由于稅收扭曲了經(jīng)濟刺激，因此稅后處在新的平衡增長路徑上的c與k的值將變小。（d）（i）由上述的分析可以看出，稅率越高，在平衡增長路徑上的k*越小，而且c=0曲線向左移動得越多，因而有k*0。在平衡增長路徑上，儲蓄率可以表示為：fk*-c*fk*，同時，k=0時，由kt=fkt-ct-n+gkt可以推出fk*-c*=n+gk*，由此可以將儲蓄率表示為：s=n+gk*fk*（3）對方程（3）兩邊求關于稅率的導數(shù)：s=n+gk*fk*-n+gk*fk*k*fk*2

25、可以簡化為：s=n+gfk*k*-n+gfk*k*fk*fk*k*=n+gfk*k*1-k*fk*fk*由于資本的收入份額為k*fk*fk*=Kk*，以及k*0，可以改寫上式為：s=n+gfk*k*1-Kk*0（4）以上便證明了平衡增長路徑上的儲蓄率y*-c*y*關于是遞減的。（ii）在低稅率、高資本存量和高儲蓄的國家的公民沒有動力去投資于低儲蓄的國家。由（a）可知，在平衡增長路徑上c=0，可以推出1-fkt=+g，即稅后的資本回報為+g，假定在國家之間偏好與技術特征是相同的。因而在低儲蓄國家資本的稅后回報與高儲蓄國家的資本的稅后回報相同。因此，在低稅率、高資本存量和高儲蓄的國家的公民沒有動力

26、去投資于低儲蓄的國家。（e）補貼投資不會增加福利。原先的市場結果便已經(jīng)是中央計劃者能夠達到的社會效用最大化水平了，它給予了家庭最高可能的終生效用水平。從初始的E點開始，投資補貼能夠使消費短期內下降到A點，但最終經(jīng)濟會沿著新的平衡增長路徑達到更大的消費水平Enew點?？梢园l(fā)現(xiàn)短期的效用損失會超過長期的效用收益（都用現(xiàn)值形式表示），如圖2-9所示。圖2-9 對投資補貼不會增加福利（f）假定政府未將稅收所得返給家庭，而是用于政府購買。令Gt為每單位有效勞動的政府購買，則每單位有效勞動的資本存量變化的歐拉方程仍為：kt=fkt-ct-Gt-n+gkt（5）政府購買被視為是政府的消費而不是投資，這將不會

27、增加資本存量。由（5）可得，k=0曲線將向下移動。如圖2-10所示。由（a）可知，由于政府征稅，c=0曲線向左移動，k*移動到knew*，在新的平衡增長路徑上，每單位有效勞動的消費會低于存在政府的總量稅返還的情況。如圖2-10所示。圖2-10 稅收全部用于政府購買對經(jīng)濟的影響2.11應用相圖分析預期變化的影響?？紤]習題2.10中提到的政策，假設政府并不是在0時宣布并執(zhí)行該政策，而是在0時宣布將在以后某一時刻t1對投資收入按照稅率征稅。（a）用相圖畫出t1之后c和k的動態(tài)學。（b）c在t1時刻的變化是否連續(xù)？為什么？（c）用相圖畫出t1之前c和k的動態(tài)學。（d）根據(jù)（a）、（b）和（c）的答案，

28、c在0時應如何變化？（e）總結上述4個小問題，并把c和k的路徑描繪為時間的函數(shù)。答：（a）-（c）在開始征稅的時間t1之前，描述經(jīng)濟動態(tài)變化的方程為：ctct=fkt-g（1）kt=fkt-ct-n+gkt（2）對于方程（1），在平衡增長路徑上，c=0可以推出fk=+g。由于政府返還總量稅，資本積累方程不受影響。在t1時刻征稅之后，c的歐拉方程為：ctct=1-fkt-g（3）在平衡增長路徑上，c=0可以推出1-fkt=+g，即稅后的回報為+g。因此，稅前的資本回報fkt高于稅后的資本回報。為保持c=0，fkt必須上升，從而k必須下降。因此，在t1時刻，c=0曲線必須向左移動。如圖2-11所示

29、。圖2-11 t1時刻征稅使得c=0向左移動不過值得注意的是，資本的動態(tài)在實際征稅之前仍由原先的歐拉方程決定。在t1時刻征稅之后，消費c不可能發(fā)生不連續(xù)的變化，原因在于家庭已經(jīng)在事先知道了將要征稅的消息，家庭希望平滑消費。（d）在t1時刻征稅之后，消費不可能發(fā)生不連續(xù)的變化，同時經(jīng)濟會達到新的平衡增長路徑。在0時刻宣布并施行征稅后，c會立即由原先的均衡點E移動到平衡增長路徑上的A點，如圖2-12所示。圖2-12 征稅對c=0曲線的影響在A點，由于消費c太高，從而不足以將資本維持在原先的資本水平k*上，因此k開始下降。從0時刻到t1時刻，動態(tài)系統(tǒng)仍由原先的c=0的歐拉方程決定。消費在鞍點路徑之左

30、，因此消費開始上升。在t1時刻經(jīng)濟恰好移動到新的鞍點路徑，此時稅收開始執(zhí)行，并且動態(tài)系統(tǒng)仍由新的c=0的歐拉方程決定。因此，c開始下降，經(jīng)濟最終移動到新的鞍點Enew。（e）每單位有效勞動的消費與每單位有效勞動的資本如圖2-13所示。(1)每單位有效勞動的消費的圖示(2)每單位有效勞動的資本的圖示圖2-13 每單位有效勞動的消費、有效勞動的資本圖示2.12應用相圖分析暫時性變化的影響?？紤]習題2.11的如下兩種變形：（a）在0時刻，政府宣布將對0時到其后某一時刻t1間的投資收入按照稅率征稅，而此后投資收入仍將免稅。（b）在0時，政府宣布將對t1時其后某一時刻t2間的投資收入按照稅率征稅，而t1

31、之前和t2之后的投資收入仍將免稅。答：（a）第一問是分析預期到的稅收將在t1時刻結束，因而消費在t1時刻將不會發(fā)生非連續(xù)的變化。原因在于家庭的跨期消費最優(yōu)化要求家庭平滑消費。因此，在經(jīng)濟返回到舊的鞍點路徑時，消費必須在t1時刻位于舊的鞍點路徑上。在征稅之前，即到0時刻，和在結束征稅之后，即t1時刻之后，經(jīng)濟動態(tài)變化由下面兩個歐拉方程決定：ctct=fkt-g（1）kt=fkt-ct-n+gkt（2）資本積累的動態(tài)方程k=0不會受到征稅的影響，但是，消費的動態(tài)方程c=0則會受到征稅的影響。在0時刻到t1時刻，資本的稅后回報為1-fkt=+g，為了保證c=0成立，fkt必須上升，由于fk0或lnk

32、t1/1-時，上升意味著kt+1函數(shù)應該向上移動，相反，當lnkt0,和2kt+1kt2=sfkt1+g1+n0檢驗稻田條件：limk0kt+1kt=limkkt+1kt=1-1+g1+n1該函數(shù)的斜率小于1，則它必然與45線相交。由上可見，該函數(shù)定義良好且與45線只相交一次。如圖2-18所示。圖2-18 k在平衡增長路徑上的k*值注意，k=0并不是一個穩(wěn)定點，任何大于0的資本存量都會收斂于k*。例如，設某一點小于k*，由于kt+1大于kt，因此k值會不斷地變大，最終收斂于k*點。相反，設某一點大于k*，由于kt+1小于kt，因此k值會不斷地變小，最終收斂于k*點。在k*點，存在一條平衡增長路

33、徑。（c）在平衡增長路徑上，有kt+1=kt=k*，將其代入到方程（2）中，可得：k*=1-1+g1+nk*+s1+g1+nfk*上式可簡化為：k*1+n+g+ng-1+1+g1+n=s1+g1+nfk*再次簡化為：k*n+g+ng+=sfk*（3）由方程（3）求儲蓄率s，可得：s=n+g+ng+k*fk*（4）在平衡增長路徑上每單位有效勞動的消費為：c*=1-sfk*（5）將方程（4）代入（5）中，可得：c*=1-n+g+ng+k*fk* fk*=fk*-n+g+ng+k*fk*fk*上式再次化簡為：c*=fk*-n+g+ng+k*（6）為求得在平衡增長路徑上每單位有效勞動資本的邊際產(chǎn)品，將方程（6）關于k求