1、1,習(xí)題課,級數(shù)的收斂、求和與展開,三、冪級數(shù)和函數(shù)的求法,四、函數(shù)的冪級數(shù)和付式級數(shù) 展開法,一、數(shù)項級數(shù)的審斂法,二、求冪級數(shù)收斂域的方法,第十一章,2,(在收斂域內(nèi)進(jìn)行),基本問題：判別斂散；,求收斂域；,求和函數(shù)；,級數(shù)展開.,為傅立葉級數(shù).,為傅氏系數(shù)) 時,時為數(shù)項級數(shù);,時為冪級數(shù);,3,一、數(shù)項級數(shù)的審斂法,1. 利用部分和數(shù)列的極限判別級數(shù)的斂散性,2. 正項級數(shù)審斂法,必要條件,發(fā) 散,滿足,比值審斂法,根值審斂法,收 斂,發(fā) 散,不定,比較審斂法,用它法判別,積分判別法,部分和極限,4,3. 任意項級數(shù)審斂法,為收斂級數(shù),Leibniz判別法: 若,且,則交錯級數(shù),收斂

2、,概念:,且余項,5,例1. 若級數(shù),均收斂 , 且,證明級數(shù),收斂 .,證:,則由題設(shè),收斂,收斂,收斂,練習(xí)題: P257 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5,6,解答提示:,P257 題2. 判別下列級數(shù)的斂散性:,提示: (1),據(jù)比較判別法, 原級數(shù)發(fā)散 .,因調(diào)和級數(shù)發(fā)散,7,利用比值判別法, 可知原級數(shù)發(fā)散.,用比值法, 可判斷級數(shù),因 n 充分大時,原級數(shù)發(fā)散 .,用比值判別法可知:,時收斂 ;,時, 與 p 級數(shù)比較可知,時收斂;,時發(fā)散.,再由比較法可知原級數(shù)收斂 .,時發(fā)散.,發(fā)散,收斂,8,P257 題3. 設(shè)正項級數(shù),和,也收斂 .,提示: 因,存在 N 0,又因,利

3、用收斂級數(shù)的性質(zhì)及比較判斂法易知結(jié)論正確.,都收斂, 證明級數(shù),當(dāng)n N 時,另解：由于,判斷之！,9,P257 題4. 設(shè)級數(shù),收斂 , 且,是否也收斂？說明理由.,但對任意項級數(shù)卻不一定收斂 .,問級數(shù),提示: 對正項級數(shù), 由比較判別法可知,級數(shù),收斂 ,收斂,級數(shù),發(fā)散 .,例如, 取,10,P257 題5. 討論下列級數(shù)的絕對收斂性與條件收斂性:,提示: (1),p 1 時, 絕對收斂 ;,0 p 1 時, 條件收斂 ;,p0 時, 發(fā)散 .,(2) 因各項取絕對值后所得強級數(shù),原級數(shù)絕對收斂 .,故,11,因,單調(diào)遞減, 且,但,所以原級數(shù)僅條件收斂 .,由Leibniz判別法知級

4、數(shù)收斂 ;,12,因,所以原級數(shù)絕對收斂 .,13,二、求冪級數(shù)收斂域的方法, 標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù): 先求收斂半徑 R ,再討論, 非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級數(shù),通過換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式,直接用比值法或根值法,處的斂散性 .,P257 題7. 求下列級數(shù)的斂散域:,練習(xí):,14,解:,當(dāng),因此級數(shù)在端點發(fā)散 ,時,時原級數(shù)收斂 .,故收斂域為,15,解: 因,故收斂域為,級數(shù)收斂;,一般項,不趨于0,級數(shù)發(fā)散;,16,例2.,解: 分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級數(shù),極限不存在, 原級數(shù) =, 其收斂半徑,注意:,17, 求部分和式極限,三、冪級數(shù)和函數(shù)的求法,求和, 映射變換法,逐項求導(dǎo)或求積分,對和式積分或求

5、導(dǎo),直接求和: 直接變換,間接求和: 轉(zhuǎn)化成冪級數(shù)求和, 再代值,求部分和等, 初等變換法: 分解、套用公式,（在收斂區(qū)間內(nèi)）, 數(shù)項級數(shù) 求和,18,例3. 求冪級數(shù),法1 易求出級數(shù)的收斂域為,19,法2,先求出收斂區(qū)間,則,設(shè)和函數(shù)為,20,練習(xí):,解: 原式=,的和.,P258 題9(2). 求級數(shù),21,練習(xí):,解: (1),顯然 x = 0 時上式也正確,故和函數(shù)為,而在,x0,P258 題8. 求下列冪級數(shù)的和函數(shù)：,級數(shù)發(fā)散,22,(4),23,顯然 x = 0 時, 和為 0 ;,根據(jù)和函數(shù)的連續(xù)性 , 有,x = 1 時,級數(shù)也收斂 .,即得,24,四、函數(shù)的冪級數(shù)和付式級數(shù)展開法, 直接展開法, 間接展開法,練習(xí):,1. 將函數(shù),展開成 x 的冪級數(shù)., 利用已知展式的函數(shù)及冪級數(shù)性質(zhì), 利用泰勒公式,解:,1. 函數(shù)的冪級數(shù)展開法,25,2. 設(shè), 將 f (x)展開成,x 的冪級數(shù) ,的和. ( 01考研 ),解:,于是,并求級數(shù),26,27,2. 函數(shù)的付式級數(shù)展開法,系數(shù)公式及計算技巧;,收斂定理;,延拓方法,練習(xí):,上的表達(dá)式為,將其展為傅