1、一、運動分解的任意性,不限于正交分解，更不限于沿水平、豎直方向的正交分解. 可以根據(jù)解題需要沿選 定方向分解.,知識與方法研究,運動的分解與合成是不同于參照系變化時（KK）對運動描述的伽利略或洛侖茲 變換, 是在一個參照系中進行的.,例1 足球運動員在球門正前方距離球門S遠處的O點踢出一球，球從球門高為h的橫梁下邊沿射入球門. 問球以怎樣的角度 射出，才能使射出的初速度v0最??？,O,C,B,S,h,解一,建立如圖的坐標系，,則有,消去t 得：,進而得：,所以,將v0做水平、豎直的正交分解.,v0,O,C,B,S,h,v0,解二,如圖，建立坐標系.,則有,將v0、g均沿x、y方向進行分解.,足

2、球到達B時，,所以有,消去t 得：,所以,此時,O,C,B,S,h,v0,解三,建立如圖的坐標.,據(jù)圖中的幾何關系，,由正弦定理有：,即,由左邊的等式得：,將此代入右邊的等式：,所以,此時,則x方向為勻速直線運動，y方向為自由落體運動.,現(xiàn)在足球在x軸方向、y軸方向的分運動各是什么運動？,O,C,B,S,h,v0,題后總結與思考 本題充分說明運動分解的任意性. 如果愿意，還有一種如圖的有效分解方式！,例2 彈性小球從高h處自由落下，落到與水平面成角的足夠長的斜面上，碰撞 后以同樣大小的速度彈回來. （1）求每個彈回點（第一點和第二點，第二點和第三點，第n點和第（n+1） 點）間的距離x1-2、

3、x2-3、x3-4、x n-(n+1). （2）求當斜面以勻速度u沿豎直方向向上運動時的x1-2的數(shù)值.,解,小球第一次與斜面相碰（前、后）的速度大小為,則小球在兩個碰點之間的在x、y方向的分 運動均是勻變速直線運動.,于是,以斜面為參照系.,建立如圖所示的坐標系.,第一次碰后（第二次碰前）的運動方程為：,令 y 1=0，可得第一與第二次碰撞的時間間隔為,代入x1的計算式后可得,第二次碰后瞬間的速度大小等于第 二次碰前瞬間的速度大?。?顯然，,進而可知每相鄰兩次相碰的時間間隔均相等，,以此類推，,碰后瞬間在y方向的速度大小均相等.,于是,可知在每次碰前,為,小球每一次碰后瞬間的x方向分速度 將

4、比前一次增加,因而每接連兩次相碰的間距將比相鄰的兩次接連相碰的間距增加,所以第n次碰撞與第(n+1)次碰撞之間的間距為,題后思考 能否建立水平方向的 x 坐標與豎直方向的y 坐標解本題？ 能否建立斜面方向的x坐標與豎直方向的y坐標求解？,（2）求當斜面以勻速度u沿豎直方向向上運動時 的x1-2的數(shù)值.,此時，仍以斜面為參照系. 則小球第一次與斜 面相碰時速度大小便由（1）中的v10變成了(v10+u).,所以將（1）中相關式子中的v0代換為（v0+u），,于是,讓質點的做某種軌跡為給定的曲線的運動 確定質點在運動軌跡上各處的v和a心 由向心加速度公式求 在選擇質點的運動時，盡量考慮如何方便 得

5、到曲線各處的v和a心,二、曲率半徑的物理求法,1、從曲率圓的角度看平面光滑曲線運動的速度和加速度,表示速度大小的變化快慢,表示速度方向的變化快慢,y,o,p1,p,x,2、由物理運動學求曲率半徑思路：,例3 試求橢圓 的頂點處的曲率半徑.,解,橢圓的參數(shù)方程為,可以選擇質點沿橢圓軌道的運動為：,在x方向和y方向的分運動為簡諧振動的運動.,(其簡諧振動方程即為以上橢圓的參數(shù)方程),于是有,在圖中頂點A處：,x,y,0,A,B,所以,同理可得,例4 求滾輪線的最高點的曲率半徑和1最低點的曲率半徑2.,解,o,P,為方便計，設輪子做勻速的純滾動.,設輪心O相對地面的速度為v0 .,P在最高點處相對于

6、地面的速度大小為,P在最低點處相對于地面的速度大小為,故,則,P,P,P,o,o,o,o,P,v0,滾輪線最低處的曲率半徑為,P,P,P,在滾輪線的最高點處和最低點處，,故,o,o,o,題后總結 此兩題的解法屬于物理運動學的求法; 曲率半徑還有物理動力學的求法這將在以后研究.,三、兩運動曲線（包括直線）的交點的運動,注 意 交點并非曲線上的一個固定點，而是兩條曲線相交而成的幾何點. 兩曲線并非均作平動.,1、幾種交點的運動情況,（1）直線與直線的交點,（2）曲線與曲線的交點,（3）直線與曲線的交點,2、如何求交點的速度,決不能 ！,（1）由速度的定義出發(fā)求.,（2）從相對運動出發(fā)求.,例5 如

7、圖，一平面內有l(wèi)1、l2兩細桿，相交成角. 細桿分別以垂直于自身桿長的速度勻速運動. 求兩桿的交點P相對于紙面的速率.,解一,由定義出發(fā)求速度,在圖中：,由余弦定理有,所以,（求出交點相對某一曲線的速度，再疊加上此曲線的速度）,l1,l2,P,v1,v2,P1,A,B,P2,P3,解二,由相對運動出發(fā)求速度,先求出交點相對于桿l1的速率v1：,在圖中：,所以,進一步得交點P相對于地面的速率：,例6 如圖, 在o-xy平面內有一個圓, 在y軸上放一根細桿,從t=0開始, 細桿以速度v0朝 x軸正方向勻速平動. 試求細桿與第一象限內的圓弧的交點的向心加速度與時間t的關系.,x,y,O,v0,解一,

8、交點的運動方向總是沿圓的切線方向.,設在t 時刻交點在P點，經(jīng)過小量時間t， 交點由P點運動到P1點.,P0,則,而,由、消去 ：,將,代入即得,所以,（其中 ）,由速度定義出發(fā)解答.,所以,x,y,O,v0,P,P0,解二,由相對運動出發(fā)解.,P3,則,所以便有,進一步便可得到交點 P 的向心加速度.,v0,（3）兩平面光滑曲線交點速度的最簡求法研究,如圖，L1、L2的交點P相對地面的速度為 .,分別作L1、L2的切線l1、l2.,則,則,在地面參照系中沿l1、l2方向分解,在地面參照系中沿l1、l2方向分解,重解例5：,l1,l2,P,v1,v2,由余弦定理求合：,重解例6：,所以,進一步

9、便可得到交點 P 的向心加速度.,題后總結與思考 該方法僅局限于光滑平面運動曲線的交點！ 此方法是否僅限于兩曲線作平動的情況？請論證.,疑難題目解答研究,例7 如圖，光滑水平面上兩根剛性細桿OM、ON成15夾角交于O點，小球在OM 的內側與O相距l(xiāng)=20cm的P點處，以與MO成30角方向的初速朝ON桿運動，初速度大 小為v0=10cm/s. 試問小球能否回到P處？若能，則須經(jīng)多少時間回到P處？,解,小球作的是勻速折線運動.,M,N,P,O,l,300,150,而光線經(jīng)鏡面反射后的行進等效 于光線沿原入射方向的行進.,因此光線在兩平面鏡之間的不斷 反射可等效為光線沿PP直線傳播.,可將小球的運動

10、類比為光線在平 面鏡M、N之間的反射.,由于,因此光線能夠沿原路返回到P點.,M,N,P,O,l,P,300,150,P,所以小球從P點出發(fā)到又回 到P點，總的路程即為PP=2PP.,所經(jīng)歷的時間為,S,S,（a）,（b）,取t = 0時白色點在A位置.,A,B,C,（K=0、1、2、3、）,解,例8 圖（a）中的黑色圓盤上有白色點S，盤繞中心軸以 f0= 50He的頻率旋轉，如 果用頻率為 f 的頻閃光去照射該盤，在盤上能看到穩(wěn)定地出現(xiàn)如圖（b）的三個白色 點. 請算出兩種可能的 f 值，其一大于f0，其二小于f0 . 又若取f = 51He，那么在盤上能 觀察到什么現(xiàn)象？,則白點在B位置的

11、時刻：,（K=0、1、2、3、）,白點在C位置的時刻：,1200,1200,1200,則白點在A位置的時刻：,（K=0、1、2、3、）,（1）若白點在B處,這要求頻閃周期為,白點在C位置.,白點在A位置.,則頻閃光第二次照亮圓盤時：,即有,S,S,（a）,（b）,A,B,C,1200,1200,1200,設t = 0時頻閃光第一次照亮圓盤（即看見白色點在A）.,如此重復，便能在圓盤上到三個穩(wěn)定的白點.,（K 1=0、1、2、3、）.,（b）,A,B,C,（2）若頻閃光第二次照亮時，白點在C處,這要求頻閃周期為,（K2=0、1、2、3、）,白點在 B位置.,白點在 A位置.,綜上可知，頻閃光的可

12、取頻率范圍為：,其中，大于f0 的 f 有：,小于f0 的 f 有：,如此重復，便能在圓盤上到三個穩(wěn)定的白點.,即有,圖（c）,A,若f 稍大于f0 (如f =51He)，則T 稍小于T0 ，這意味著白點 在A位置被照亮后，經(jīng)過時間T 順時針將轉過大半周（T/T0周）.,白點倒退一周所需的時間為,倒退的頻率為,這相當于逆時針轉過小半周即（1-T/T0 ）周又被照亮， 故會看見白點逆時針倒退.,題后總結 通過該題知道了： 為什么看電影時，有時看見汽車前進 而車輪卻反轉？,例9 如圖，OABC是一桌球臺面. 取OA為 x 軸，OC為y 軸，P是紅球，坐標為 (x, y), Q是白球，坐標為（x,

13、y ), (圖中未畫出Q球在臺面上的位置）. 已知OA=BC=25 分米，AB=OC=12分米.,A,B,C,O,P,Q,x,y,(x, y),解,（1）若P球的坐標為：x=10分米，y=8分米. 問 Q球的位置在什么范圍內時，可使擊出的Q球順次與 AB、BC、CO和OA四壁碰撞反彈，最后擊中P球？,（2）P球有沒有一些位置是Q球無論在什么位置 出發(fā)，按上述次序從四壁反彈后都無法擊中的？如 沒有，加以證明；如有，找出這些位置的范圍. （白球Q同四壁的碰撞均為彈性碰撞，兩球體積很 小，可看作質點.）,如右圖，你能不能讓白球與桌璧N M 彈性相碰后擊中紅球?,A,B,C,O,P,Q,x,y,(0,

14、12),(25,12),(25,0),(10,8),給球桌各頂點及紅球的位置標注上坐標,(0,0),（1）,如果白球對著鏡像點P2擊在CO上就能射向P1;,如果白球對著鏡像點P3擊在OC上就能射向P2；,如果白球對著鏡像點P4擊在BA上就能射向P3.,A,B,C,O,P,Q,x,y,(0,12),(25,12),(25,0),(10,8),(0,0),P1(10,-8),P2(-10,-8),P3(-10,32),P4(60,32),2、為了保證白球能對著P4點且擊在BA上，白球應該放在什么區(qū)域？,3、白球放在該區(qū)域是否能保證經(jīng)BA反彈后能擊在BC上？,4、白球是否擊在BC上任何地方都能反彈后

15、又擊在CO上？比如放在圖中所示的點處？,A,B,C,O,P,Q,x,y,(0,12),（25,12),(25,0),(10,8),(0,0),P1(10,-8),P2(-10,-8),P3(-10,32),P4(60,32),E,5、白球應該對著P3擊在BC上的什么地方才能保證經(jīng)BC反彈后能擊在CO上？,E點坐標為(15,12).,(15,12),A,B,C,O,P,Q,x,y,(0,12),（25,12),(25,0),(10,8),(0,0),P1(10,-8),P2(-10,-8),P3(-10,32),P4(60,32),E (15,12),D,(25,4),6、白球應該對著P4擊在B

16、A上的什么地方才能保證經(jīng)BA反彈后能擊在EC上？,D點坐標為(25,4).,A,B,C,O,P,Q,x,y,(0,12),（25,12),(25,0),(10,8),(0,0),P1(10,-8),P2(-10,-8),P3(-10,32),P4(60,32),E(15,12),Q,D,(25,4),(20,0),7、白球應該放在什么區(qū)域才能保證對著P4擊在DA上？,H點的坐標(20,0).,A,B,C,O,P,Q,x,y,(0,12),（25,12),(25,0),(10,8),(0,0),P1(10,-8),P2(-10,-8),P3(-10,32),P4(60,32),E(15,12),

17、D,H,(25,4),(20,0),最終結論：,白球應放在三角形DAH以內的區(qū)域.,（但不能放在HD、DA邊上）,（2）P球有沒有一些位置是Q球無論在什么位置出發(fā)，按上述次序從四壁反彈后都 無法擊中的？如沒有，加以證明；如有，找出這些位置的范圍.,A,B,C,O,P,Q,x,y,(0,12),(25,12),(25,0),(0,0),P1(10,-8),P2(-10,-8),P3(-10,32),P4(60,32),E,D,H,(12.5,12),連接P3、A點，交BC于E點，,當紅球P放在三角形CEO以內的區(qū)域以及其邊上時，無論白球從何處開始擊出，不可 能擊中紅球.,E,若P點左移，,D點下移，,三角形DAH的面積就會縮小,則E點左移，,E點的坐標為(12.5,12).,最終結論：,連接E、O.,鏡面反射后的光線的行進可等效處理為在 虛像空間中光線沿原入射方向的直線行進,P1,M,N,P2,P3,P4,M ,N,M ,P2,