1、平面向量的數(shù)量積,走進(jìn)高考第一關(guān) 基礎(chǔ)關(guān),教 材 回 歸1. 向量的夾角(1)已知兩個(gè)_向量a和b,作 =a, =b,則AOB=叫做向量a與b的夾角.(2)向量夾角的范圍是_,a與b同向時(shí),夾角=_;a與b反向時(shí),夾角=_.(3)如果向量a與b的夾角是_,我們說a與b垂直,記作_.,非零,0,0,90,ab,2. 向量的投影_(_)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)投影.3. 平面向量數(shù)量積的定義ab=_(是向量a與b的夾角),規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為_.,|a|cos,|b|cos,|a|b|cos,0,4. 向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a,b都是非零向量,e是與b方向相同的單位向量,是a與

2、e的夾角,則(1)ea=_=_.(2)ab=_.(3)當(dāng)a與b同向時(shí),ab=_;特別地,aa=_或|a|=_.,a e,|a|cos,a b=0,|a|b|,|a|2,(4)cos=_.(5)|ab|_|a|b|.5. 向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)ab=_.(交換律)(2)(a)b=_=_.(數(shù)乘結(jié)合律)(3)(a+b)c=_.(分配律)6. 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=_.(2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),是a與b的夾角,則cos= .,b a,(a b),a (b),a c+b c,(3)若向量a的起點(diǎn)坐標(biāo)和終點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1

3、,y1),(x2,y2),則|a|=_,這就是平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式.(4)設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,yy2),則ab_.,a b=0,x1x2+y1y2=0,考 點(diǎn) 陪 練1. 設(shè)abc是任意向量,mR,則下列等式不一定成立的是( )A. (a+b)+c=a+(b+c)B. (a+b)c=ac+bcC. m(a+b)=ma+mbD. (ab) c=a(b+c),答案:D,2. P是ABC所在平面上一點(diǎn),若 = = ,則P是ABC的( )A. 外心 B. 內(nèi)心C. 重心 D. 垂心,答案:D,3. 已知a 5b均為單位向量,它們的夾角為60,那么|a+3b|等于( ),答案:C,4.

4、非零向量 =a, =b,若點(diǎn)B關(guān)于 所在直線的對(duì)稱點(diǎn)為B1,則向量 為( ),答案:A,5. (2010福建福州質(zhì)檢)(基礎(chǔ)題,易)直角坐標(biāo)系xOy中, =(2,1), =(3,k),若三角形ABC是直角三角形,則k的可能值的個(gè)數(shù)是( )A. 1 B. 2C. 3 D. 4,答案:B,解析: - = =(-1,1-k),(1) =0k=-6,(2) =0k=-1,(3) =0k2-k+3=0,由0得無解.,解讀高考第二關(guān) 熱點(diǎn)關(guān),類型一:數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算,解題準(zhǔn)備:1. |a|b|cos叫做向量a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作ab,即ab=|a|b|cos. 2. 設(shè)a=(a1,a2),b=(

5、b1,b2),則ab=a1b1+a2b2. 3. 向量的數(shù)量積是歷年高考命題的熱點(diǎn),涉及到本知識(shí)點(diǎn)時(shí),主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算、化簡(jiǎn)、證明問題.,(1)設(shè)abc是任意的非零向量,且互不共線.給出以下命題:(ab)c-(ca)b=0;|a|-|b|a-b|;(bc)a-(ca)b不與c垂直;(3a+2b)(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中是真命題的是_.,類型二:利用數(shù)量積解決長(zhǎng)度垂直問題,解題準(zhǔn)備:常用的公式與結(jié)論有:|a|2=a2=a a或|a|= = ; |ab|= = ; 若a=(x,y),則|a|= .其中兩個(gè)公式應(yīng)用廣泛,需重點(diǎn)把握.abab=0(a,b均為非零向量);

6、設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則abx1x2+y1y2=0.,解析對(duì)于只有當(dāng)向量b,c的方向相同時(shí),二者才相等所以錯(cuò);考慮式對(duì)應(yīng)的幾何意義,由三角形兩邊之差小于第三邊知正確;由c)a-(ca)bc=0知(bc)a-(ca)b與c垂直,故錯(cuò);向量的乘法運(yùn)算符合多項(xiàng)式乘法法則,所以正確.所以正確命題的序號(hào)是.,分析利用|a|= 及abab=0即可解決問題.,典例2已知|a|=4,|b|=8,a與b的夾角是120.(1)計(jì)算|a+b|,|4a-2b|;(2)當(dāng)k為何值時(shí),(a+2b)(ka-b)?,解由已知,ab=48(- )=-16.(1)|a+b|2=a2+2ab+b2=16+2(-

7、16)+64=48,|a+b|=4 .|4a-2b|2=16a2-16ab+4b2=1616-16(-16)+464=3162.|4a-2b|=16 .(2)若(a+2b)(ka-b),則(a+2b)(ka-b)=0,ka2+(2k-1)ab-2b2=0.16k-16(2k-1)-264=0,k=-7.,評(píng)析(1)利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用,要掌握此類問題的處理方法:|a|2=a2=aa;|ab|2=a22ab+b2;若a=(x,y),則|a|= .(2)非零向量abab=0是非常重要的性質(zhì),它對(duì)于解決平面幾何圖形中有關(guān)垂直問題十分有效,應(yīng)熟練掌握,若a=(x1,y1),b=(x

8、2,y2),則abx1x2+y1y2=0.,類型三:利用數(shù)量積解決夾角問題,解題準(zhǔn)備:1. 涉及到與夾角有關(guān)的問題,往往利用向量的夾角公式解決,這也是平面向量數(shù)量積的一個(gè)重要考點(diǎn).2. cos= ;設(shè)a=(a1,a2),b=(b1,b2),則cos= .3. 在應(yīng)用上述公式求夾角時(shí),要考慮夾角的取值范圍.,典例3已知ab都是非零向量,且|a|=|b|=|a-b|.求a與a+b的夾角.分析由公式cos= 可知,求兩個(gè)向量的夾角關(guān)鍵是求數(shù)量積及模的積.本題中|a|=|b|=|a-b|的充分利用是求數(shù)量積的關(guān)鍵,考慮怎樣對(duì)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化.,評(píng)析(1)求兩個(gè)向量的夾角,需求得ab及|a|,|b|或得出它

9、們的關(guān)系,注意夾角的取值范圍是00,1800.正確理解公式是關(guān)鍵.(2)向量有兩種表示形式,即坐標(biāo)法和幾何法,解題時(shí)要靈活選擇.本題通過比較兩種方法發(fā)現(xiàn),利用向量的幾何形式解答此類題目顯得更加簡(jiǎn)捷和直觀.,笑對(duì)高考第三關(guān) 成熟關(guān),名 師 糾 錯(cuò),誤區(qū):向量的模與數(shù)量積的關(guān)系不清致誤,典例已知向量a,b滿足|a|=|b|=1,且|a-kb|= |ka+b|,其中k0.(1)試用k表示ab,并求出ab的最大值及此時(shí)a與b的夾角的值;(2)當(dāng)ab取得最大值時(shí),求實(shí)數(shù),使|a+b|的值最小,并對(duì)這一結(jié)果作出幾何解釋.,剖析本題可以通過對(duì)已知條件兩端平方解決,容易出現(xiàn)的問題是對(duì)向量模與數(shù)量的關(guān)系不清導(dǎo)致

10、錯(cuò)誤,如認(rèn)為|a-kb|=|a|-|kb|或|a-kb|2=|a|2-2k|a|b|+k2|b|2等都會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果.第二個(gè)易錯(cuò)之處就是在得到ab=- 后,忽視了k0的限制條件,求錯(cuò)最值.,評(píng)析向量的模與數(shù)量積.向量的模與數(shù)量積之間有關(guān)系式|a|2=a2=aa,這是一個(gè)簡(jiǎn)單而重要但又容易用錯(cuò)的地方,由這個(gè)關(guān)系還可以得到如|ab|2=|a|22ab+|b|2,|a+b+c|=|a|2+|b|2+|c|2+2ab+2bc+2ca等公式,是用向量的數(shù)量積解決向量模的重要關(guān)系式.在解決與向量模有關(guān)的問題時(shí)要仔細(xì)辨別題目的已知條件,用好向量的模與數(shù)量積之間的關(guān)系.,變式:設(shè)非零向量a,b的夾角為60,

11、是否存在滿足條件的向量a,b,使得|a+b|=2|a-b|?無論是否存在都請(qǐng)說明理由.,解:假設(shè)存在向量a,b滿足|a+b|=2|a-b|,則|a+b|2=4|a-b|2,即|a|2+2ab+|b|2=4(|a|2-2ab+|b|2),3|a|2-10ab+3|b|2=0,由于ab=|a|b|cos60= |a|b|,故3|a|2-5|a|b|+3|b|2=0,|b|0,3( )2-5 +3=0,注意到 為實(shí)數(shù),對(duì)于上述以 為未知數(shù)的方程,=(-5)2-433=-110,上述方程無實(shí)數(shù)解,故滿足|a+b|=2|a-b|的向量a,b不存在.,解 題 策 略,1. 注意類比平行垂直關(guān)系的聯(lián)系與區(qū)別

12、,對(duì)于兩個(gè)非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)有(1)abab=0 x1x2+y1y2=0;(2)abab=|a|b|x1y2-x2y1=0.,2. 向量的長(zhǎng)度距離和夾角公式已知a=(a1,a2),則|a|= ,即向量的長(zhǎng)度等于它的坐標(biāo)平方和的算術(shù)平方根.如果A(x1,y1),B(x2,y2),則| |= .事實(shí)上這就是解析幾何中兩點(diǎn)間的距離公式.已知a=(a1,a2),b=(b1,b2),則兩個(gè)向量的夾角為cos= .用坐標(biāo)表示向量,利用向量的數(shù)量積可以解決有關(guān)垂直的問題,還可以求向量的長(zhǎng)度夾角,從而可以發(fā)現(xiàn)向量與解析幾何三角函數(shù)有密切的聯(lián)系.,快 速 解 題,典例求向量c,使它與

13、向量a=( ,-1)和b=(1, )的夾角相等,且|c|= .,解題切入點(diǎn)設(shè)c=(x,y),由題意,cos=cos,解下去便可,分析思維過程本題思路清楚,設(shè)出向量c=(x,y),使c與a夾角的余弦等于c與b夾角的余弦即可.又由|c|= ,聯(lián)立兩方程,解之即得.,快解如圖,由題設(shè)知,以a,b為邊的三角形為等腰直角三角形,直角邊長(zhǎng)為2,斜邊AB長(zhǎng)為2 ,斜邊上的中線OC長(zhǎng)恰 為 .且OC平分直角AOB,點(diǎn)C為AB的中點(diǎn),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得c=( , ),且-c也滿足題意或c=(- ,- ).,方法與技巧詳解是求向量的夾角求模,屬最基本的知識(shí)運(yùn)用.而快解卻準(zhǔn)確地抓住了題設(shè)條件,只運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式就可以

14、獲解了.普通情況下,解題技巧運(yùn)用的并不多,主要是發(fā)現(xiàn)題目的特點(diǎn).,得分主要部分夾角公式的運(yùn)用,由題設(shè)得兩個(gè)方程,解方程組.,易丟分原因詳解中,解方程時(shí),分母有理化不出錯(cuò)就不會(huì)丟分.而快解卻很容易丟分,圖中OC很明顯,但- 從圖中反映不出來,做題時(shí)應(yīng)十分注意.,教 師 備 選,定比分點(diǎn)公式的應(yīng)用,定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式關(guān)鍵是分清起點(diǎn)終點(diǎn)分點(diǎn),要記準(zhǔn)公式形式.,典例(青島聯(lián)考)已知A(3,-4),B(-9,2),若點(diǎn)P滿足 =- ,求點(diǎn)P的坐標(biāo).,分析這是利用線段定比分點(diǎn)分式,求點(diǎn)的坐標(biāo)的基本題目.由于AB哪個(gè)點(diǎn)都可以做分點(diǎn),所以就有不同的做法.由 =- ,知 和 共線.,評(píng)析(1)前兩種解法都是利用線

15、段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式.在使用此公式時(shí),一定要分清始點(diǎn)分點(diǎn)終點(diǎn),注意 = ,這始分終順序一旦確定,其相應(yīng)的值也就確定了.解法1是始(A)分(P)終(B),P是外分點(diǎn),0,計(jì)算時(shí)比解法1好,尤其解法2中的=3是正整數(shù),前兩種解法以解法2較好.(2)點(diǎn)B點(diǎn)P點(diǎn)A可任選一個(gè)為起點(diǎn)(當(dāng)然選擇時(shí)以最有利于解題為準(zhǔn)),選好起點(diǎn)終點(diǎn)定比分點(diǎn)后,要確定好,并由內(nèi)(外)分點(diǎn)判斷的正(負(fù))號(hào).,(3)解法3并沒有用定比分點(diǎn)公式,而是直接根據(jù)已知條件 =- ,由“向量相等則其坐標(biāo)相等”,經(jīng)過坐標(biāo)的計(jì)算而求得P的坐標(biāo),解法并不比用公式繁瑣,而且緊扣向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則.,課時(shí)作業(yè)二十六 平面向量的數(shù)量積,一選擇題1. (能

16、力題,中)已知,在ABC中,若 2= + + ,則ABC是( )A. 等邊三角形B. 銳角三角形C. 直角三角形D. 鈍角三角形,答案:C,2. (2010高郵模擬)(能力題,中)已知向量 =(2,1), =(1,7), =(5,1),設(shè)M是直線OP上的一點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),那么 的最小值是( )A. -16 B. -8C. 0 D. 4,解析: = =(2,), =(1-2,7-), =(5-2,1-), =5(-2)2-8-8,故選B.,答案:B,3. (能力題,中)已知向量ae,|e|=1滿足:對(duì)任意tR,恒有|a-te|a-e|,則( )A. ae B. a(a-e)C. e(a-e)

17、 D. (a+e)(a-e),答案:D,4. (能力題,中)在O點(diǎn)測(cè)量到遠(yuǎn)處有一物體在做勻速直線運(yùn)動(dòng),開始時(shí)該物體位于P點(diǎn),一分鐘后,其位置在Q點(diǎn),且POQ=90,再過兩分鐘后,該物體位于R點(diǎn),且QOR=60,則tan2OPQ的值等于( )A. B. C. D. 以上均不正確,答案:C,解析:以O(shè)為原點(diǎn),OP為x軸,OQ為y軸建立直角坐標(biāo)系,設(shè)P(m,0),Q(0,n),則有 =2 ,得R(-2m,3n),由QOR=60,得cosQOR= = = ,得27n2=4m2,即tan2OPQ= .故選C.,答案:B,6. (2010濟(jì)南模擬)(能力題,中)在ABC中, =3,ABC的面積S ,則 與

18、 夾角的取值范圍是( ),答案：B,二填空題,7. (2010濟(jì)鋼模擬)(基礎(chǔ)題,易)已知|a|=2,|b|= ,a與b的夾角為45,要使b-a與a垂直,則=_.,2,解析:由b-a與a垂直,(b-a)a=ab-a2=0,所以=2.,8. (經(jīng)典題,中)在ABC中,O為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),若AM=2,則 ( + )的最小值是_.,-2,解析:令| |=x且0 x2,則| |=2-x. ( + )= 2 =-2(2-x)x=2 (x2-2x)=2(x-1)2-2-2. ( + )最小值為-2.,9. (能力題,中)已知a,b,c為ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,向量m=( ,-1),n=(cosA, sinA).若mn,且acosB=bcosA=csinC,則角B=_.,解析:mn= cosA- sinA=0,tanA= ,A= .又由正弦定理和acosB=bcosA=c sinC可知 sinA