1、信號(hào)與系統(tǒng)習(xí)題與答案第一章1.1畫出信號(hào)1.2已知信號(hào)1.3已知信號(hào)f (t)sin a(tt0 )的波形。a(t t0 )f (t)(t1) u(t1)u(t2)，畫出 f ( 2t 3) 的波形。f (t)(t1) u(t1)u(t2)，試求它的直流分量。答案： 01.4 已知信號(hào) f (t )(t 1) u(t 1)u(t2)，試求它的奇分量和偶分量。答案：偶分量：0.5(1 t ) u(t2)u(t1)u(t1)u(t1)0.5(t1) u(t1)u(t2)奇分量： 0.5(t 1) u(t2)u(t1)t u(t1)u(t1)0.5(t1) u(t1)u(t2)1.5信號(hào) f (t)

2、0t0 是否是奇異信號(hào)。t 2t0答案：二階以上導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，是奇異信號(hào)。1.6已知 f (t) 是有界信號(hào)，且當(dāng) t時(shí) f (t)0 ，試問(wèn) f (t ) 是否是能量有限信號(hào)。答案：不一定。1.7對(duì)一連續(xù)三角信號(hào)進(jìn)行抽樣，每周期抽樣8點(diǎn)，求抽樣所得離散三角序列的離散角頻率。答案：/ 41.8以 Ts 0.5s的抽樣間隔對(duì)下列兩個(gè)三角信號(hào)抽樣，寫出抽樣所得離散序列的表達(dá)式，畫出它們的波形。比較和說(shuō)明兩波形的差別，為什么？（ 1） f 1(t)cos t（2） f 2 (t)15cost44答案：兩個(gè)離散序列是相同的。1.9判斷下列信號(hào)是否是周期信號(hào)。如果是周期信號(hào)，試確定其周期。（ 1）f (t

3、 )A sin 4t B cos7t C cos9tjn（ 2）f d (n)e81.10 求下列表達(dá)式的函數(shù)值答案：是周期函數(shù)，周期T2。答案：是周期信號(hào)，周期N16（ 1）f (tt0 )(t )dt ；答案： f(t 0 )（ 2）f (t0 t )(t )dt ；答案： f(t 0 )（ 3）(tt0 )u(tt0 2)dt ；答案：當(dāng) t00 時(shí)為 1；當(dāng) t00 時(shí)為 0（ 4）(tt0 )u(t2t0 )dt ；答案：當(dāng) t00 時(shí)為 1；當(dāng) t00 時(shí)為 0（ 5）(e tt)(t2) dt ；答案： e22（ 6）(tsin t)(t6)dt ；答案：/ 6 1/ 2（ 7）

4、ejt(2t )(t t 0 ) dt ；答案： 1/ 2ej t 01.11 判斷下列系統(tǒng)是否線性、時(shí)不變和因果（ 1） r (t )de(t )答案：線性，時(shí)不變，因果dt；（ 2） r (t )e(t )u(t ) ；答案：線性，時(shí)變，因果（ 3） r (t )sine(t ) u(t) ；答案：非線性，時(shí)變，因果（ 4） r (t )e(1t ) ；答案：線性，時(shí)變，非因果（ 5） r (t )e(2t) ；答案：線性，時(shí)變，非因果（ 6） r (r )e2 (t ) ；答案：非線性，時(shí)不變，因果1.12 試證明： f (t ) (t ) f (0) (t)f ( 0) (t) 。第二

5、章2.1 已知系統(tǒng)微分方程d2 r (t)5 dr (t)6r (t) 2 d 2e(t )6 de(t )dt2dtdt 2dtt激勵(lì)信號(hào)為e(t ) (1 e )u(t) ，初始狀態(tài) r (0 )1， r (0 ) 0求系統(tǒng)的全響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)、自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)。答案：全響應(yīng)：9e 2 t2e 3t2e t零輸入響應(yīng)：3e零狀態(tài)響應(yīng)：(6e2t2e3t2t2e t )u(t)自由響應(yīng)：9e 2 t2e 3t強(qiáng)迫響應(yīng)：2e t2.2 根據(jù)下列系統(tǒng)的微分方程，求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。（ 1） dr (t )3r (t )2 de(t)dtdt答案： 2 (t )6e 3t u(t)

6、（ 2） d2 r (t)dr (t)r (t )de(t )e(t )dt 2dtdt答案： (1/ 2j3 / 6)e(1/ 2j3 / 2)t(1/ 2 j 3 / 6)e( 1/ 2 j 3 / 2 )t u(t )1 t333u(t)或者： e 2costtsin232（ 3） dr (t )2r (t )d2 e(t)de(t )3()dtdt 23dte t答案： (t)(t ) e2 t u(t )2.3 已知一線性時(shí)不變系統(tǒng)，初始狀態(tài)為零，單位沖激響應(yīng)為h0 (t) 。當(dāng)輸入為 x0 (t) 時(shí)，輸出為y0 (t) ，如題圖2.3 所示。現(xiàn)已知下面一些線性時(shí)不變系統(tǒng)，其單位沖

7、激響應(yīng)h(t ) 和激勵(lì) x(t ) 分別如下，根據(jù)這些信息，是否可以確定系統(tǒng)的輸出y(t ) 。如果可以，畫出它的波形。（ 1） h(t)h0 (t ) ； x(t )2x0 (t)答案： y(t )2 y0 (t)y0 (t)（ 2） h(t)h0 (t ) ； x(t )x0 (t )x0 (t2)1答案： y(t )y0 (t )y0 (t2)02t題圖 2.3（ 3） h(t ) h0(t1) ； x(t)x0 (t 2)答案： y(t )y0 (t1)（ 4） h(t) h0(t ) ； x(t )x0 (t)答案：不能確定（ 5）（ 6）h(t )h0 ( t ) ； x(t)x

8、0 ( t)答案： y(t )y0 (t)d；dh(t )dt h0 (t)x(t)dt x0 (t)答案： y(t )(t)(t 2) / 2rzs (t )t)e(2.4已知一線性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)激勵(lì)e(t ) 的零狀態(tài)響應(yīng)為e (t2)d，求系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t ) 。h(t )te(t) (2)d答案：e tte(2)de t e2 u(t 2) e2 t u(t 2)或者，變量替換，改寫r zs(t)t 2e ( t 2 )e()d，由此得h(t)e ( t2 ) u(t2)2.5 求下列函數(shù)f1 (t )和 f 2 (t) 的卷積 f1 (t)f 2 (t)（ 1） f1 (t )

9、u(t ) ，f 2 (t )e at u(t)答案：1e atu(t)a（ 2） f1 (t )(t1)(t1) ， f 2 (t ) cost答案： cos(t1)cos (t1)（ 3） f1 (t )(t) ， f 2 (t )(t1)答案：(t1)（ 4） f1 (t )(1 t ) u(t)u(t1)， f 2 (t )u(t1)u(t2)答案：1 (t 21)u(t1)u(t2)1 t 2t3u(t 2)u(t3)2222.6已知 f1 (t ) 和 f 2 (t ) 的波形，如題圖2.6所示，繪出f1 (t )f 2 (t) 的波形。f1 (t )f 2 (t)1(t2)(t2

10、)tt-3-2-10123-3-2-10123題圖 2.6答案： f1 (t)f2 (t )f1(t2)f1 (t2)第三章3.1 求解差分方程（1） rd (n) 3rd (n 1) 2rd ( n 2)0 ， rd ( 1)2 ， r d ( 2) 1答案： 4( 1) n12( 2) n（ 2） rd (n) 2rd (n1) rd (n 2) 3n ， rd ( 1)0 ， rd ( 2)0答案： (7 / 16)(1) n(1/ 4)n( 1)n(9 /16)3n3.2求以下方程的單位樣值響應(yīng)10rd (n)13rd (n1)4rd (n 2)30ed (n) 21ed (n 1)答

11、案： 15(4 / 5) n12(1/ 2) n ud (n)3.3某 系 統(tǒng) 的 輸 入 輸 出 關(guān) 系 可 由 二 階 常 系 數(shù) 差 分 方 程 描 述 ， 輸 入 為 ed (n)ud (n) 時(shí) 的 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 為rd (n)2 n3(5n )10 ud (n) ，試確定此二階差分方程。答案： rd ( n)7rd (n1) 10r d (n2) 14ed (n)85ed ( n 1)111ed (n2)3.4已知系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)為hd ( n)n ud (n) ， 01 ，求激勵(lì)為 ed ( n)n ud ( n) （ 01，）的系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)。n1n 1答案 : rd (

12、n)3.5 已知 ed (n)hd (n)答案： rd ( 2)1; rdrd (7)4; rdud ( n)ud (n 1)ud (n(3)2; rd ( 4)3; rd(8)3; rd (9)2; rd6) ，求 ed (n) 和 hd ( n) 的卷積和。(5)4; rd (6)5;(10) 1，其他為零。第四章4.1 繪出以下幾種參數(shù)的周期矩形波信號(hào)的幅值譜，比較這些參數(shù)變化對(duì)頻譜的影響（ 1）方波幅值（ 2）方波幅值（ 3）方波幅值（ 4）方波幅值E1，方波寬度1，周期 T14 ；E2，方波寬度1，周期 T14；E1 ，方波寬度2，周期 T14；E1，方波寬度1，周期 T18 。4.

13、2 f (t ) 為周期信號(hào)，周期為T1 ， f (t ) 在四分之一周期區(qū)間 (0,T1 / 4) 的波形如題圖 4.2所示，其他各四分之一周期的波形是已知四分之一周期波形的重復(fù)，但可能水平或垂直翻轉(zhuǎn)。畫出以下條件下f (t ) 在一個(gè)周期區(qū)間( T1 / 2,T2 / 2) 的波形。f (t)（ 1） f (t) 是偶函數(shù)，只含偶次諧波；（ 2） f (t) 是偶函數(shù)，只含奇次諧波；（ 3） f (t) 是偶函數(shù)，含有偶次和奇次諧波；t（ 4） f (t) 是奇函數(shù)，只含偶次諧波；T1 / 2T1 / 40T1 / 4T1 / 2（ 5） f (t) 是奇函數(shù)，只含奇次諧波；題圖 4.2（

14、 6） f (t) 是奇函數(shù)，含有偶次和奇次諧波。（提示：用內(nèi)積為零判斷。）4.3 說(shuō)明傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù) F (k1 ) 的模、幅角、實(shí)部、虛部所表示的物理意義。答案： F (k 1 ) 的模表示各頻率分量的幅值，F(xiàn) (k 1 ) 的幅角表示各頻率分量的相位F (k 1 ) 的實(shí)部表示各頻率分量的余弦分量的幅值F (k 1 ) 的虛部表示各頻率分量的正弦分量的幅值第五章5.1 利用傅立葉變換的性質(zhì)，求題圖5.1 所列兩信號(hào)的傅立葉變換。f1 (t)f 2 (t)f1 (t) cos10 t22tt-101-101題圖 5.1答案： F1 ( )2Sa 2 () ； F2 ()Sa2 (10 )S

15、a2 (10)2225.2試證明：如果f (t) 是實(shí)函數(shù)， F ()F f (t ) ，則有F f e (t)Re F ()F f o (t )j Im F ( )其中 f e (t) 和 f o (t) 分別是 f (t ) 的偶分量和奇分量（f (t) 可分解為偶分量和奇分量之和）。5.3已知非周期三角波信號(hào)f (t ) 的波形如題圖 5.3所示，其傅立葉變換為F ( ) F f (t )F ( ) e j ( ) ，利用傅立葉變換的性質(zhì)（不做積分運(yùn)算），求：f (t)（1）( ) ；答案：（2）F (0) ；答案： 42（3）F ()d；答案： 2（4） F1 Re F () 。答案：

16、 f (t ) f ( t )25.4 已知 F ()Ff (t )，求下列函數(shù)的傅立葉變換t-1013題圖 5.3（ 1） (t2) f ( 2t )答案：F ()jdF ()222d（ 2） f (1t )答案： F ()ej（ 3） t df (t)dt答案：F ()dF ()d5.5 利用傅立葉變換的對(duì)稱特性，求傅立葉變換F ()(0 ) 所對(duì)應(yīng)的時(shí)域信號(hào)f (t ) 。答案 :e j0 t25.6已 知 周 期 方 波 信 號(hào) g p (t)u t 14ku(t1 4k )和 余 弦 信 號(hào) q p (t )cos5 t ， 試 畫 出信 號(hào)kf p (t)g p (t) qp (t

17、) 的頻譜。5.7畫出題圖5.7 所示頻譜的時(shí)域波形。答案： (a) 參見講義第五章圖513； (b)1Sa( t ) 1 cos2 t425.8用一沖激抽樣序列 sp (t )(t n) 分別對(duì)周期信號(hào)f p1 (t)cos t 和 f p 2 (t )cos3 t 進(jìn)行抽樣，畫出抽n樣后兩信號(hào)的時(shí)域波形和頻域波形。5.9 試證明：一個(gè)時(shí)間有限信號(hào)一定頻率無(wú)限；一個(gè)頻率有限信號(hào)一定時(shí)間無(wú)限。提示： 時(shí)間有限信號(hào)乘以一個(gè)足夠?qū)挼木匦尾ㄐ盘?hào)仍為原信號(hào)。 時(shí)域相乘， 頻域相卷。 矩形波信號(hào)頻率無(wú)限，和任何信號(hào)相卷都是頻率無(wú)限。Sp ( )1F ( )12020211（ a）（ b）題圖 5.7第六

18、章6.1求下列信號(hào)拉普拉斯變換的收斂域（ 1） 2(t ) e2t ；答案：2（ 2） te3t ；答案：3（ 3） e tsin 2t ；答案：16.2用拉普拉斯變換求解下列微分方程（第2 章習(xí)題）d2 r(t)5 dr (t)dt2dt激勵(lì)信號(hào)為 e(t )答案： r (t )6.3 由下列系統(tǒng)函數(shù)（ 1）H ( s)6r (t )2 d2 e(t )6 de(t)dt 2dt(1 e t )u(t) ，初始狀態(tài) r (0 )1， r (0) 09e 2 t2e 3t2e tH (s) 求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)特性H ()s2；答案：2j2s24s 84 j8（ 2） H (s)2答案：頻率響應(yīng)特

19、性不存在s2；16.4 已知電路如題圖6.4 所示，求i L (t )（ 1）系統(tǒng)函數(shù)I L (s)；H ( s)1HI S (s)1i S (t)vC (t)1F1（2）求 vC (0) V0， iL (0)I 0 初始條件下的電感電流的零輸入響應(yīng)i Lzi (t) ，說(shuō)明用 H (s) 描述系統(tǒng)特性的不足。答案：（1）11s（2） i L (t) (V0I 0 )te tI 0 e t從系統(tǒng)函數(shù)看，只有一個(gè)單極點(diǎn)。從零輸入響應(yīng)看，有一個(gè)二階特征頻率。系統(tǒng)函數(shù)沒(méi)有完全反映系統(tǒng)的內(nèi)在特性。第七章7.1已知一連續(xù)周期信號(hào)，最高頻率f m20 kHz ，欲通過(guò)抽樣和離散傅立葉級(jí)數(shù)計(jì)算此信號(hào)頻譜。現(xiàn)

20、在所關(guān)心的信號(hào)的最高頻率分量是16kHz ，為了使得對(duì)此頻率分量的頻譜計(jì)算不存在混疊誤差，試問(wèn)抽樣頻率f s 最小必須選擇多少。答案：信號(hào)的16 20kHz 頻域范圍允許存在混疊，16kHz 以下頻率范圍不允許存在混疊，所以f s 最小必須選擇36kHz 。7.2以 Ts0.1s的抽樣間隔對(duì)余弦信號(hào)f ap (t )Acos t 抽樣，試問(wèn) f ap (t) 的角頻率為那些值時(shí)， 都能抽樣得同樣的離散序列 f dp ( n) Acos( 0.25n) 。答案：Ts2m0.25( 2m0.25) Ts(20m2.5)7.3已知連續(xù)周期信號(hào)f ap (t )cos 2t ，以s2T1 的抽樣間隔對(duì)

21、 fap (t) 進(jìn)行抽樣， 抽樣長(zhǎng)度分別為1 和1 ，T1T9T2T是否存在泄漏誤差？畫出抽樣長(zhǎng)度2T1 時(shí)抽樣序列離散傅立葉級(jí)數(shù)的頻譜波形。答案： T1Ts4.5 。抽樣長(zhǎng)度為 T1 時(shí)，不是完整周期抽樣， 存在泄漏誤差。 抽樣長(zhǎng)度為2T1 時(shí)，是完整周期抽樣，不存在泄漏誤差。當(dāng)抽樣長(zhǎng)度為2T1 時(shí)，離散傅立葉級(jí)數(shù)的基波分量為零，二次諧波存在。圖略。7.4 理解和說(shuō)明連續(xù)周期信號(hào)抽樣過(guò)程中，連續(xù)信號(hào)周期T1 、連續(xù)信號(hào)角頻率1 、離散信號(hào)周期N1 、離散信號(hào)角頻率1 、抽樣間隔 Ts 、抽樣角頻率s 等參數(shù)之間的關(guān)系，理解離散信號(hào)頻譜和連續(xù)信號(hào)頻譜的對(duì)應(yīng)關(guān)系。第八章8.1已知 xd (n)

22、a n ud (n) （ a1），求 xd (n) 的 DTFT 。答案：e je ja8.2已知非周期矩形方波信號(hào)g a (t )ua (tT1 )ua (tT1 ) ，以 TsT1 的抽樣間隔對(duì)ga (t) 進(jìn)行抽樣得22mg d (n)， 然 后 計(jì) 算 G d (e j )DTFT g d (n)， 分 析 和 定 性 畫 出 m3 ， m5 和 m 7 時(shí) 的Gd (e j)DTFT g d (n) 的波形，并和ga (t) 的傅立葉變換波形進(jìn)行比較。答案：當(dāng) m3 時(shí)， G d (e j) 12 cos當(dāng) m5 時(shí)， Gd (e j)12 cos2cos 2當(dāng) m3 時(shí)， Gd (

23、 ej)12 cos2cos 22 cos3Gd (e j ) 是周期的。隨著m 的增大， Gd (e j) 在一個(gè)周期內(nèi)的波形接近于 Ga ( ) 。第九章9.1 求以下序列的 Z變換，給出收斂域。（1） xd (n)d (n1)d (n)d ( n1)答案： X d (z)z1z 10z1n2zz1（2） xd ( n)答案： X d ( z)z222z1z22（ 3） xd (n) Ar n cos(1n)ud (n)Ae jzAe jzzr答案：X d (z)2z r e j 12z re j11n4z1（ 4） xd (n)ud (n)答案： X d (z)z44z149.2 求 X

24、 d ( z)3z1的逆 Z 變換。收斂域分別為： （1） z2；（ 2） z0.5；（ 3） 0.5 z2 。2 5z 12z 2答案：( )zzzX dz 21z2n1n（ 1）當(dāng)收斂域?yàn)閦2ud( n)時(shí)，為右邊序列，有xd (n)2 ud (n)2n（ 2）當(dāng)收斂域?yàn)閦0.5時(shí)，為左邊序列，有xd (n)nud (n1)1ud (n1)22n（ 3）當(dāng)收斂域?yàn)?0.5z2 時(shí)，為雙邊序列，有 xd ( n)nud (n1)1ud(n)221 esTs9.3 因果信號(hào) ea (t) 的抽樣序列為 ed ( n) ，抽樣間隔為 Ts ，ea (t ) 的拉普拉斯變換為Ea( s), 求 Z

25、xd (n)s( s1)（提示：利用拉普拉斯變換和Z 變換的關(guān)系、拉普拉斯變換的時(shí)移特性、Z 變換的時(shí)移特性） 。答案： Ea (s)111e sTsss1根據(jù)拉普拉斯變換時(shí)移特性，有ea (t)ea0 (t )ea0 (tTs )根據(jù)拉普拉斯變換和Z 變換的關(guān)系，有zzZ xd 0 (n)1ze Tsz根據(jù) Z 變換的時(shí)移特性，有Z xd (n) Zxd 0 (n)Z xd 0 (n1)zz1z 1 z1ze Ts1e Tsze Ts9.4 用單邊 Z 變換解下列差分方程（ 1） yd (n2)yd (n1)yd (n)u d ( n) ， yd (0)1 ， yd (1)2yd(n)1 1

26、 2 3j 21 2 3j 233e33e3答案：12 cos 243 sin 2nn33333（ 2） yd (n)0.1yd (n1)0.02 yd (n2)10ud (n) ， yd (1) 4 ， yd ( 2) 6答案： yd (n)9.260.66( 0.2)n0.2(0.1)n ud (n)9.5離散系統(tǒng)對(duì)輸入xd 1 (n)ud ( n) 的零狀態(tài)響應(yīng)為yd 1 ( n) 2(10.5n)ud (n) ，若 xd 2 (n)0.5n ud (n) ，求它的響應(yīng) yd 2 (n) 。答案： Zxd1 (n)zz1Zyd 2 ( n)2zzz1( z1) 22z3系統(tǒng)函數(shù) H d

27、(z)z1Yd 2 (z) H d (z) X d 2 ( z)4z2zz0.5z1yd 2 (n) (4 0.5n2)ud (n)9.6已知離散系統(tǒng)差分方程表示式y(tǒng)d (n)3 yd (n 1)1 yd (n2)xd (n)1 xd ( n1)483（ 1）求系統(tǒng)函數(shù)和系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)；（ 2）畫系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖；（ 3）粗略畫出系統(tǒng)幅頻響應(yīng)特性曲線。答案：系統(tǒng)函數(shù)： H d ( z)24z 28z24 z218z310n7n11(n)單位樣值響應(yīng)：hd (n)23ud34零、極點(diǎn)： z10; z21; p11 ; p213249.7 定性畫出下列類型的模擬和數(shù)字濾波器的幅頻特性圖，即系統(tǒng)頻率響應(yīng)特性H a ( j ) 和 H d (e j) 的函數(shù)曲線。（ 1）低通；（ 2）高通；（3）帶通；（ 4）帶阻；（ 5）全通。第十章10.1已知序列 ed (n)4,3,