1、日照東方古代與中世紀(jì)的東方數(shù)學(xué),一、中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué) 二、印度數(shù)學(xué) 三、阿拉伯?dāng)?shù)學(xué) 四、中國與印度、阿拉伯的數(shù)學(xué)交流,1,第三章 中世紀(jì)的中國數(shù)學(xué),希臘幾何的演繹精神，隨著希臘文明的衰微而在整個中世紀(jì)的歐洲湮沒不彰。數(shù)學(xué)史上繼希臘幾何興盛時期之后是一個漫長的東方時期。中世紀(jì)（公元5-17世紀(jì)）數(shù)學(xué)的主角，是中國、印度與阿拉伯地區(qū)的數(shù)學(xué)。,與希臘數(shù)學(xué)相比，中世紀(jì)的東方數(shù)學(xué)表現(xiàn)出強(qiáng)烈的算法精神，特別是中國與印度數(shù)學(xué)，著重算法的概括，不講究命題的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。,就繁榮時期而言，中國數(shù)學(xué)在上述三個地區(qū)是延續(xù)最長的。從公元前后至公元14世紀(jì)，先后經(jīng)歷了三次發(fā)展高潮，即兩漢時期、魏晉南北朝時期以及宋元時期，其中宋

2、元時期達(dá)到了中國古典數(shù)學(xué)的頂峰。,2,3.1周髀算經(jīng)與九章算術(shù),3.1.1 古代背景,第一章中已涉及了中國遠(yuǎn)古數(shù)與形概念的萌芽。殷商甲骨文中已經(jīng)使用完整的十進(jìn)制記數(shù)。至遲到春秋戰(zhàn)國時代，又開始出現(xiàn)嚴(yán)格的十進(jìn)位值制籌算記數(shù)。,孫子算經(jīng)中記載的籌算記數(shù)法則說：“凡算之法，先識其位。一縱十橫，百立千僵。千十相望，百萬相當(dāng)”。,3,縱式用來表示個位、百位、萬位，數(shù)字；橫式用來表示十位、千位、十萬位、數(shù)字?？v、橫相間，零則以空位表示。這樣，數(shù)76 031用算籌表示出來是 。這種十進(jìn)位值記數(shù)法是中國古代數(shù)學(xué)對人類文明的特殊貢獻(xiàn)。,關(guān)于幾何學(xué)，史記“夏本紀(jì)”記載說：夏禹治水，“左規(guī)矩，右準(zhǔn)繩”。“規(guī)”是圓規(guī)

3、，“矩”是直尺，“準(zhǔn)繩”則是確定鉛垂方向的器械。,4,中國古代數(shù)學(xué)的萌芽,社會歷史背景條件 相對封閉的疆域 大河背景下的農(nóng)耕文化 集中的王權(quán) 中國數(shù)學(xué)的特點(diǎn) 形成了以計算為核心的算法理論 具有濃郁應(yīng)用色彩 中國數(shù)學(xué)的成就 第一部數(shù)學(xué)著作九章算術(shù)（大約公元前200年左右） 公元3世紀(jì)至13世紀(jì)，創(chuàng)造了許多領(lǐng)先于其它民族的眾多數(shù)學(xué)成果,形成國家數(shù)學(xué)教育的體制,5,中國古代數(shù)學(xué)的萌芽,中國古代數(shù)學(xué)的萌芽原始公社末期，私有制和貨物交換產(chǎn)生以后，數(shù)與形的概念有了進(jìn)一步的發(fā)展，仰韶文化時期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符號。到原始公社末期，已開始用文字符號取代結(jié)繩記事了。,6,中國古代數(shù)學(xué)的萌芽,西

4、安半坡出土的陶器有用18個圓點(diǎn)組成的等邊三角形和分正方形為100個小正方形的圖案，半坡遺址的房屋基址都是圓形和方形。為了畫圓作方，確定平直，人們還創(chuàng)造了規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等作圖與測量工具。據(jù)史記夏本紀(jì)記載，夏禹治水時已使用了這些工具。,7,商代(又稱殷代，約公元前17世紀(jì)約前11世紀(jì))：1899年在河南安陽發(fā)掘出來的殷墟龜甲和獸骨上所刻的象形文字(甲骨文，公元前14世紀(jì))。 自然數(shù)的記法：10進(jìn)位制，最大的數(shù)字是3萬。,8,中國古代數(shù)學(xué)的萌芽,與此同時，殷人用十個天干和十二個地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個名稱來記60天的日期；在周代，又把以前用陰、陽符號構(gòu)成的八卦表示八種事物發(fā)展為六十四卦

5、，表示64種事物。,9,太極八卦圖,“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦?！?圖中每個陽、陰爻分別代表數(shù)9與數(shù)6，其中數(shù)字的配置依照“九六”說，是一種均衡的數(shù)字配置。在八卦中，相對稱的卦象，如乾與坤，其象數(shù)之和均為45。它與洛書中1至9的數(shù)字之和相同,10,周(約公元前11世紀(jì)公元前256年)：奴隸制經(jīng)濟(jì)獲得進(jìn)一步的發(fā)展. “數(shù)”作為六藝之一，開始形成一個學(xué)科。 算籌記數(shù)和四則運(yùn)算已經(jīng)開始 春秋戰(zhàn)國時期：人們已經(jīng)能熟練地進(jìn)行籌算。,11,中國古代數(shù)學(xué)的萌芽,“數(shù)學(xué)”一詞相當(dāng)于我國古代的“算術(shù)” 數(shù)學(xué)一詞，在中國最早出現(xiàn)在12世紀(jì)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的著作中。他指出“物生有象，象生有數(shù)，乘除

6、推闡，務(wù)究造化之源者，是數(shù)學(xué)”。,12,中國古代數(shù)學(xué)的萌芽,戰(zhàn)國時期的百家爭鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，尤其是對于正名和一些命題的爭論直接與數(shù)學(xué)有關(guān)。 儒家以“九數(shù)”為核心，具有鮮明的政治和人文色彩，并以周易象數(shù)學(xué)宇宙論為哲學(xué)依托. 墨家則以幾何學(xué)為核心，具有一定的抽象性和思辨性，以墨經(jīng)的邏輯學(xué)為其論說的工具。 名家認(rèn)為經(jīng)過抽象以后的名詞概念與它們原來的實(shí)體不同，他們提出“矩不方，規(guī)不可以為圓”，把“大一”(無窮大)定義為“至大無外”，“小一”(無窮小)定義為“至小無內(nèi)”。還提出了“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”等命題。 九章算術(shù)中的名題：“女子善織，日子倍”。,13,名家,戰(zhàn)國時諸子百家之一。先秦

7、時期以辯論名實(shí)問題為中心的一個思想派別,重視“名”(概念)和“實(shí)”(事)的關(guān)系的研究。 以正名辨義為主，主要代表為鄧析 、惠施 、公孫龍等。莊子天下有名家辯辭的記錄。 史記太史公自序：“名家苛察繳繞故曰使人儉而善失真?！?漢書藝文志：“名家者流，蓋出於禮官?！?梁啟超 論諸家之派別：“名家言起於鄭之鄧析 ，而宋之惠施及趙之公孫龍大昌之。”,14,中國古代數(shù)學(xué)的萌芽,墨家認(rèn)為名來源于物，名可以從不同方面和不同深度反映物。墨家給出一些數(shù)學(xué)定義。例如圓、方、平、直、次(相切)、端(點(diǎn))等等。 墨家是中國古代主要哲學(xué)派別之一，約產(chǎn)生于戰(zhàn)國時期。創(chuàng)始人為墨翟。墨家是一個紀(jì)律嚴(yán)密的學(xué)術(shù)團(tuán)體，其首領(lǐng)稱“矩子

8、”，其成員到各國為官必須推行墨家主張，所得俸祿亦須向團(tuán)體奉獻(xiàn)。墨家學(xué)派有前后期之分，前期思想主要涉及社會政治、倫理及認(rèn)識論問題；后期墨家在邏輯學(xué)方面有重要貢獻(xiàn) 。,15,16,17,中國古代數(shù)學(xué)的萌芽,墨家不同意“一尺之棰”的命題，提出一個“非半”的命題來進(jìn)行反駁：將一線段按一半一半地?zé)o限分割下去，就必將出現(xiàn)一個不能再分割的“非半”，這個“非半”就是點(diǎn)。,18,中國古代數(shù)學(xué)的萌芽,名家的命題論述了有限長度可分割成一個無窮序列，墨家的命題則指出了這種無限分割的變化和結(jié)果。名家和墨家的數(shù)學(xué)定義和數(shù)學(xué)命題的討論，對中國古代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展是很有意義的。,19,墨經(jīng):點(diǎn)、線、面、方、圓等幾何概念 考工記

9、:分?jǐn)?shù)比例、角度大小的區(qū)分、標(biāo)準(zhǔn)容器的計算等荀子管子: “九九”乘法口訣。 春秋: “初稅畝”，測量田畝面積和計算的方法。 莊子天下篇:“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，樸素的 極限觀念。,墨經(jīng)： 點(diǎn)：端,體之無厚而最前者也; 直線：直, 參也; 圓：圓, 一中同長也.,史記:齊威王與田忌賽馬,對 策論的最早例證。,20,3.1.2周髀算經(jīng),在現(xiàn)存的中國古代數(shù)學(xué)著作中，周髀算經(jīng)是最早的一部。 作者不祥，成書年代應(yīng)不晚于公元前2世紀(jì)西漢時期，但書中涉及的數(shù)學(xué)、天文知識，有的可追溯到西周（公元前11世紀(jì)-前8世紀(jì)）。這部著作實(shí)際上是從數(shù)學(xué)上討論“蓋天說”（天圓地方）宇宙模型，反映了中國古代數(shù)學(xué)與天

10、文學(xué)的密切聯(lián)系。從數(shù)學(xué)上看，周髀算經(jīng)主要的成就是分?jǐn)?shù)運(yùn)算、勾股定理及其在天文測量中的應(yīng)用，其中關(guān)于勾股定理的論述最為突出。,“周髀”是測量日影的工具八尺長竿,21,蓋天說,勾股定理,宋版書影,日高術(shù),周髀算經(jīng): 數(shù)學(xué)著作,天文學(xué)著作. “蓋天說”的代表. 約成書于西漢時期(公元前2世紀(jì)). 數(shù)學(xué)內(nèi)容:學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法、用勾股定理來計算高深遠(yuǎn)近和比較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)計算等.,22,周髀算經(jīng),蓋天說認(rèn)為大地象個平面，天象口大鍋扣在地上。 注：到西漢時期，有蓋天說、渾天說和宣夜說。 渾天說認(rèn)為天是球形的，大地在中間。 宣夜說認(rèn)為宇宙是無限的空間，天體浮生于其中，其運(yùn)動需要“氣”的作用。,23,24,第一卷敘

11、述了西周開國時期（約公元前1100年）周公商高的問答：,25,周髀算經(jīng)上卷 :勾股定理的證明,昔者周公問于商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請問昔者包犧立周天歷度夫天可不階而升，地不可得尺寸而度，請問數(shù)安從出？” 商高曰：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為句廣三，股修四，徑隅五。既方之，外半其一矩，環(huán)而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。故禹之所以治天下者，此數(shù)之所生也?！?26,“勾廣三,股修四,徑隅五”,商高定理-勾股定理,返回,“以日下為勾,日高為股,勾股各自乘,并而開方除之,得邪至日.”,27,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期,周人的測日影表 古代認(rèn)為夏至

12、時立一8尺高的標(biāo)竿，它的影長正好是6尺。 “求邪至日者，以日下為勾，以日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日從髀所旁至日所十萬里。”,日高公式（重差術(shù)）：,28,影差d =后影長BD 前影長AC = b a,表距AB = e,29,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期,第二章 敘述陳子榮方的對話。 陳子是周代的天文算學(xué)家，榮方是當(dāng)時天文算學(xué)的愛好者。榮方對陳子的數(shù)學(xué)才能很羨慕，十分虛心地向陳子求教。陳子教給榮方學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的方法，同時還教給榮方具體解決問題的方法。,30,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期,關(guān)于數(shù)學(xué)特點(diǎn)。 榮方請教陳子：“今者竊聞夫子之道。知日之高大，光之所照，一日所行，遠(yuǎn)近之?dāng)?shù)，人所望見，

13、四極之窮，列星之宿，天地之廣，夫子之道皆能知之。其信有之乎？” 陳子曰：“然，引皆算術(shù)之所及?！标愖佑衷唬骸按艘嗤h(yuǎn)起高之術(shù)，夫道術(shù)，言約而用博”,31,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期,關(guān)于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法 陳子對榮方說：“思之未熟。則子之于數(shù)，未能通類。問一類而以萬事達(dá)者，謂之知道?！?“夫道術(shù)所以難通者，既學(xué)矣，患其不博。既博矣，患其不習(xí)。既習(xí)矣，患其不能知?！?32,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時期,關(guān)于學(xué)習(xí)態(tài)度。 “夫?qū)W同業(yè)而不能入神者，此不肖無智而業(yè)不能精習(xí)。”,33,中國數(shù)學(xué)史上最先完成勾股定理證明的數(shù)學(xué)家，是公元3世紀(jì)三國時期的趙爽（吳）。趙爽注周髀算經(jīng)，作“勾股圓方圖”，其中的“弦圖”，相當(dāng)于

14、運(yùn)用面積的出入相補(bǔ)證明了勾股定理。,考察以一直角三角形的勾和股為邊的兩個正方形的合并圖形，其面積應(yīng)有 如果將這合并圖形所含的兩個三角形移補(bǔ)到圖中所示的位置，將得到一個以原三角形之弦為邊的正方形，其面積應(yīng)為 ，因此,34,勾股定理的證明,弦 圖,35,古代數(shù)學(xué)家趙爽,趙爽，又名嬰，字君卿，中國數(shù)學(xué)家。東漢末至三國時代吳國人。他是我國歷史上著名的數(shù)學(xué)家與天文學(xué)家。生平不詳，約生活于公元3世紀(jì)初。趙爽的周髀算經(jīng)注逐段解釋周髀經(jīng)文。,36,古代數(shù)學(xué)家趙爽,趙爽自稱負(fù)薪余日，研究周髀，遂為之作注，可見是一個未脫離體力勞動的天算學(xué)家。,37,3.1.3九章算術(shù),九章算術(shù)是中國古典數(shù)學(xué)最重要的著作。成書年代

15、至遲在公元前1世紀(jì)，其中的數(shù)學(xué)內(nèi)容，有些也可以追溯到周代。 周禮記載,西周貴族子弟必學(xué)的六門課程（“六藝”）中有一門是“九數(shù)”，劉徽九章算術(shù)注“序”中就稱九章算術(shù)是由“九數(shù)”發(fā)展而來，并經(jīng)過西漢張蒼（?-公元前152）、耿壽昌等人刪補(bǔ)。,九章算術(shù)采用問題集的形式，全書246個問題，分成九章。,38,中國古代數(shù)學(xué)體系形成,九章算術(shù)是戰(zhàn)國、秦、漢封建社會創(chuàng)立并鞏固時期數(shù)學(xué)發(fā)展的總結(jié)，就其數(shù)學(xué)成就來說，堪稱是世界數(shù)學(xué)名著。例如分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算、今有術(shù)(西方稱三率法)、開平方與開立方(包括二次方程數(shù)值解法)、盈不足術(shù)(西方稱雙設(shè)法)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負(fù)數(shù)運(yùn)算的加減法則、勾股形解法(特

16、別是勾股定理和求勾股數(shù)的方法)等，水平都是很高的。其中方程組解法和正負(fù)數(shù)加減法則在世界數(shù)學(xué)發(fā)展上是遙遙領(lǐng)先的。就其特點(diǎn)來說，它形成了一個以籌算為中心、與古希臘數(shù)學(xué)完全不同的獨(dú)立體系。,39,中國古代數(shù)學(xué)體系形成,秦漢時期強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的應(yīng)用性。成書于東漢初年的九章算術(shù)，排除了戰(zhàn)國時期在百家爭鳴中出現(xiàn)的名家和墨家重視名詞定義與邏輯的討論，偏重于與當(dāng)時生產(chǎn)、生活密切相結(jié)合的數(shù)學(xué)問題及其解法。 九章算術(shù)有幾個顯著的特點(diǎn)：采用按類分章的數(shù)學(xué)問題集的形式；算式都是從籌算記數(shù)法發(fā)展起來的；以算術(shù)、代數(shù)為主，很少涉及圖形性質(zhì)；重視應(yīng)用，缺乏理論闡述等。,40,九章算術(shù)的內(nèi)容是由周代的“九數(shù)”發(fā)展而來的。劉徽稱：“

17、周公制禮而有九數(shù)，九數(shù)之流則九章是矣”。,九章算術(shù)標(biāo)志著中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的知識體系已初步形成。代表了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)體系和思想方法的特點(diǎn)：注重實(shí)際問題的數(shù)值計算方法，缺少抽象的理論和邏輯系統(tǒng)性，使用算籌，形成世界上獨(dú)有的計算工具和程序化計算方法,明代刊印的九章算術(shù)注,41,中國古代數(shù)學(xué)體系形成,九章算術(shù)在隋唐時期曾傳到朝鮮、日本，并成為這些國家當(dāng)時的數(shù)學(xué)教科書。它的一些成就如十進(jìn)位值制、今有術(shù)、盈不足術(shù)等還傳到印度和阿拉伯，并通過印度、阿拉伯傳到歐洲，促進(jìn)了世界數(shù)學(xué)的發(fā)展。,42,1.方田：主要是田畝面積的計算和分?jǐn)?shù)的計算，是世界 上最早對分?jǐn)?shù)進(jìn)行系統(tǒng)敘述的著作。 2.粟米：組好事糧食交易的計算方法，

18、其中涉及許多比 例問題。 3.衰（讀作“翠”）分：主要內(nèi)容為分配比例的算法。 4.少廣：主要講開平方和開立方的方法。 5.商功：主要是土石方和用工量等工程數(shù)學(xué)問題，以體 積的計算為主。 6.均輸：計算稅收等更加復(fù)雜的比例問題。 7.盈不足：雙設(shè)法的問題。 8.方程：主要是聯(lián)立一次方程組的解法和正負(fù)數(shù)的加減 法，在世界數(shù)學(xué)史上是第一次出現(xiàn)。 9.勾股：勾股定理的應(yīng)用。,九章算術(shù)的內(nèi)容,43,(一）算術(shù)方面,（1）分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算法則。九章算術(shù)“方田”章給出了完整的分?jǐn)?shù)加、減、乘、除以及約分和通分運(yùn)算法則。,“約分術(shù)：可半者半之不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也以等數(shù)約之”,44

19、,（2）比例算法。九章算術(shù)“粟米”、“衰分”、“均輸”諸章集中討論比例問題，并提出“今有術(shù)”作為解決各類比例問題的基本算法。,a: b=c: x,設(shè)從比例關(guān)系,求x, 九章算術(shù)稱a為“所有率”，b為“所求率”，c為“所有數(shù)”，x為“所求數(shù)”。今有術(shù)相當(dāng)于,“今有術(shù)曰：以所有數(shù)乘所求率為實(shí)，以所有率為法實(shí)如法而一”,45,以“今有術(shù)”為基礎(chǔ)，“衰分”章處理正、反比例分配問題，“衰分”就是按一定級差分配?！熬敗闭聞t運(yùn)用比例分配解決糧食運(yùn)輸負(fù)擔(dān)的平均分配。,（3）盈不足術(shù)?！坝蛔恪毙g(shù)是以盈虧類問題為原型，通過兩次假設(shè)來求繁難算術(shù)問題的解的方法。,46,九章算術(shù)中典型的盈虧類問題如： 今有共買物，

20、人出八盈三；人出七不足四。問人數(shù)、物價各幾何？,一般地假設(shè)人數(shù)為 ，物價為 ，每人出錢 盈 ，出錢 不足 。九章算術(shù)“盈不足術(shù)”相當(dāng)于給出解法：,“盈不足術(shù)曰：置所出率，盈、不足各居其下令維乘所出率，并，以為實(shí)并盈、不足為法實(shí)如法而一盈、不足相與同其買物者，置所出率，以少減多余，以約法、實(shí)實(shí)為物價，法為人數(shù)”,47,分兩部分：第一部分是求每人出多少才不盈不朒，其公式是：,第二部分是求人數(shù)、物價的公式：,48,任何算術(shù)問題（不一定是盈虧類問題），通過兩次假設(shè)未知量的值，都可以轉(zhuǎn)換成盈虧類問題來求解。九章算術(shù)“盈不足”章就用這種方法解決了許多不屬于盈虧類的問題。,“盈不足術(shù)”在中世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)著作

21、中稱為“契丹算法”，即中國算法。,49,（二）代數(shù)方面,（1）方程術(shù)。“方程術(shù)”即線性聯(lián)立方程組的解法。,以“方程”章第1題為例： “今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問：上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？”,答曰：上禾一秉，九斗、四分斗之一；中禾一秉，四斗、四分斗之一；禾一秉，二斗、四分斗之三,50,方程術(shù)曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十九斗，于右方中、左禾列如右方以右行上禾遍乘中行而以直除又乘其次，亦以直除 然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除左方下禾不盡者，上為法，下為實(shí)實(shí)即下禾之實(shí)求中禾，以

22、法乘中行下實(shí)，而除下禾之實(shí) 余如中禾秉數(shù)而一，即中禾之實(shí)求上禾亦以法乘右行下實(shí)，而除下禾、中禾之實(shí)余如上禾秉數(shù)而一，即上禾之實(shí)實(shí)皆如法，各得一斗”,51,題中“禾”為黍米(黍,音“署”)，“秉”指捆，“實(shí)”是打下來的糧食。設(shè)上、中、下、禾各一秉打出的糧食分別為 （斗），則問題就相當(dāng)于解一個三元一次聯(lián)立方程組：,52,九章算術(shù)沒有表示未知數(shù)的符號，而是用算籌將 的系數(shù)和常數(shù)項排列成一個方陣（如圖,其中已將籌算數(shù)碼換作阿拉伯?dāng)?shù)碼），這就是“方程”一詞的來源。 “方程術(shù)”的關(guān)鍵算法叫“遍乘直除”，在本例中演算程序如下：,用圖(i)右行上禾 的系數(shù)3“遍乘”中行和左行各數(shù)，然后從所得結(jié)果按行分別“直除

23、”右行，即連續(xù)減去右行各數(shù)，就得到圖(ii)所示的新方程。,其次以圖(ii)中行中禾 的系數(shù)5遍乘左行各數(shù)，從所得結(jié)果直除中行并約分，右得到圖(iii)所示的新方程。其中左行未知量系數(shù)只剩一項，以4除11，即得下禾 （斗）。,53,為求上禾 和中禾 ，重復(fù)“遍乘直除”程序。以圖(iii)左行下禾 的系數(shù)4遍乘中行和右行各數(shù)，從所得結(jié)果按行分別直除左行并約分，最后得到圖(iv)所示的新方程。由此方程計算得,上禾 ，中禾 ，下禾 。,九章算術(shù)方程術(shù)的遍乘直除算法，實(shí)質(zhì)上就是我們今天所使用的解線性聯(lián)立方程組的消元法，西方文獻(xiàn)中稱之為“高斯消去法”。,54,（2）正負(fù)術(shù)。九章算術(shù)在代數(shù)方面的另一項突出

24、貢獻(xiàn)是負(fù)數(shù)的引進(jìn)。,九章算術(shù)正是在“方程”章中提出了“正負(fù)術(shù)”，即正、負(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則： “同名相除，異名相益，正無入負(fù)之，負(fù)無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負(fù)無入負(fù)之。”,對負(fù)數(shù)的認(rèn)識是人類數(shù)系擴(kuò)充的重大步驟。如果說古希臘無理量是演繹思維的發(fā)現(xiàn)，那么如前所述可以看到，中算負(fù)數(shù)則是算法思維的產(chǎn)物。,55,(3) 開方術(shù)。九章算術(shù)“少廣”章有“開方術(shù)”和“開立方術(shù)”，給出了開平方和開立方的算法。九章算術(shù)開方術(shù)本質(zhì)上是一種減根變換法，開創(chuàng)了后來開更高次方和求高次方程數(shù)值解之先河。,九章算術(shù)開方術(shù)實(shí)際上包含了二次方程 的數(shù)值求解程序，稱為“開帶從平方法”。,56,稍后的劉徽在“開方術(shù)注

25、”中明確提出了用十進(jìn)制小數(shù)任意逼近不盡根數(shù)的方法，他稱之為求微數(shù)法，并指出在開方過程中，“其一退以十為母，其再退以百為母，退之彌下，其分彌細(xì)，則朱冪雖有所棄之?dāng)?shù)，不足言之也.”,九章算術(shù)開方術(shù)中特別令人驚異之處，是指出了存在有開不盡的情形：“若開之不盡者，為不可開”，并給這種不盡根數(shù)起了一個專門的名字“面”。,57,開方術(shù): 開平方和開立方的算法,本質(zhì): 減根變換,過程: 開方術(shù)相當(dāng)于解方程: x2=A. 設(shè)解 x 是一個 k 位數(shù) , 令x=10k -1x1 , 方程變?yōu)? 102k -2x12 = A , 儀得x1的整數(shù)部分, 記為 , 令 ,則方程變?yōu)? ,其中,再議得x2的整數(shù)部分,記

26、為 ,令 , 則方程變?yōu)? , 其中 上述過程一直下去.,58,二次方程的數(shù)值求解算法稱為“開帶從平方法”. “開方術(shù)” 指出了開方有開不盡的情形： “若開之不盡者，為不可開”。 不盡根數(shù)專門的名字面,59,（三）幾何方面,九章算術(shù)“方田”、“商功”和“勾股”三章處理幾何問題。其中“方田”章討論面積問題，“商功”章討論體積問題，“勾股”章則是關(guān)于勾股定理的應(yīng)用。,各種幾何圖形的名稱就反映著它們的現(xiàn)實(shí)來源。如平面圖形有“方田”（正方形）、“直田”（矩形）、“圭田”（三角形）、“箕(ji)田”（梯形）、“圓田”（圓）、“弧田”（弓形）、“環(huán)田”（圓環(huán)）等；立體圖形則有“倉”（長方體）、“方亭”（平截頭方錐）、“陽馬”（底面為長方形而有一棱與地面垂直的錐體）以及“芻童”（上、下底面都是長方形的棱臺）等等。,60,第一章名為”方田“，列題38個，立術(shù)21條，主要講平面幾何圖形面積的計算方法，包括分?jǐn)?shù)算法。,61,九章算術(shù),例“有田廣二里，從三里。問為田幾何。” 答曰：二十二頃五十畝。 里田術(shù)曰：廣從里數(shù)相乘得積里。以三百七十五乘之，即畝數(shù)。,注：當(dāng)時稱長方形為方田或直田,62,九章算術(shù),例“今有圭田廣十二步，正從二十一步。問為田幾何？” 答曰：一百二十六步。 術(shù)曰：半廣以乘正從。,注：當(dāng)時稱三角形為圭田,63