1、數學物理方程 Equation for Mathematical Physics,第二章 分離變量法 Chpt2 Separation of variables method,2.1 分離變量法概述,求解數學物理方程定解問題的主要方法有：分離變量法(也叫駐波法、富氏級數法)、行波法(達朗貝爾法)、積分變換法、Green函數法(鏡象法)等等。其中分離變量法是最常用、最基本和最重要的方法。 分離變量法的物理背景是波動現象，它的結構特點是時間和空間函數的乘積形式。于是這給我們一個啟示：波動方程的解是否可以具有變量分離形式的解（即時間空間分離）？,2.1 分離變量法概述,一、基本思想： 1、利用變量分

2、離形式的解，把求解偏微分方程定解問題化為常微分方程的定解問題； 2、先尋找方程滿足齊次邊界條件的特解，然后利用解的疊加原理求出偏微分方程定解問題的形式解； 3、分離變量法屬于直接求方程特解的方法。,2.1 分離變量法概述,分離變量法解題的難易程度與選擇的坐標系有關。 常用的坐標系有： 直角坐標系(笛卡爾坐標系) ：適合于求解區(qū)域為矩形域； 極坐標系：適合于求解區(qū)域為圓形或扇形域； 柱坐標系：適合于求解區(qū)域為圓柱形域； 球坐標系：適合于求解區(qū)域為球形域。 因此，當偏微分方程的研究區(qū)域為矩形、圓形、扇形、圓柱形、球面等區(qū)域時，特別適合使用分離變量法求解。,2.1 分離變量法概述,分離變量法解題的求

3、解步驟-五步： (1)分離變量； (2)求解常微分方程的本征值問題(Eigenvalue problem); (3)決定解的基本結構(本征解)； (4)解的疊加； (5)確定方程中的疊加系數。,2.1 分離變量法概述,掌握直角坐標系下使用分離變量法求解偏微分方程的思路和步驟； 掌握直角坐標系下齊次方程、齊次邊界條件下分離變量法的求解方法; 掌握求解非齊次方程的固有函數法和沖量定理法； 掌握非齊次邊界條件齊次化的方法； 學習其它坐標系下使用分離變量法求解偏微分方程的方法。,本章主要內容,講解內容安排,2.1 分離變量法概述 2.2 直角坐標系下的分離變量法 2.2.1 齊次方程定解問題的解法 2

4、.2.2 非齊次方程定解問題的解法 2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化 2.2.4 高維定解問題的解法 2.3 極坐標系下的分離變量法 2.4 Sturm-Liouville問題,2.1 分離變量法概述,2.2 直角坐標系下的分離變量法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,end,2.2.1 齊次方程定解問題的

5、解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,Fig1. Normal modes of vibration for a standing wave on a string fixed at both ends,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解

6、法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,end,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 非齊次方程定解問題的解法,2.2.1 非齊次方程定解問題的解法,2.2.1 非齊次方程定解問題的解法,2.2.1 非齊次方程定解問題的解法,2.

7、2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.1 齊次方程定解問題的解法,2.2.2 非齊次方程定解問題的解法,對于非齊次方程的定解問題，不能直接使用分離變量法，可以采用下列幾種辦法求解這種問題： (一)、 固有函數法 (二) 、沖量定理法 (三) 、積分變換法（第四章講）,2.2.2 非齊次方程定解問題的解法,2.2.2 非齊次方程定解問題的解法,2.2.2 非齊次方程定解問題的解法,2.2.2 非齊次方程定解問題的解法,2.2.2 非齊次方程定解問題的解

8、法,2.2.2 非齊次方程定解問題的解法,2.2.2 非齊次方程定解問題的解法,2.2.2 非齊次方程定解問題的解法,2.2.2 非齊次方程定解問題的解法,2.2.2 非齊次方程定解問題的解法,2.2.2 非齊次方程定解問題的解法,小 結,2.2.2 非齊次方程定解問題的解法,如果邊界條件為非齊次的，怎么辦？,注：Laplace方程除外，邊界條件非齊次，仍然可以用分離變量法求之(見下節(jié))。,2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化,2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化,2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化,2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化,2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化,2.2.3 非齊次邊界條件

9、的齊次化,2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化,ut,wt,2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化,2.2.3 非齊次邊界條件的齊次化,目前，數學物理方程中一般都僅給出了一維空間的波動方程或熱傳導方程的分離變量法的解，很少見到如何用分離變量法求解高維空間的邊值或混合問題，本節(jié)討論高維空間下求解偏微分方程的分離變量法的技巧。,2.2.4 高維定解問題的解法,2.2.4 高維定解問題的解法,2.2.4 高維定解問題的解法,2.2.4 高維定解問題的解法,2.2.4 高維定解問題的解法,2.3 極坐標下的分離變量法,2.3 極坐標下的分離變量法,2.3 極坐標下的分離變量法,2.3 極坐標下的分離變量法,2.3 極坐標下的分離變量法,2.3 極坐標下的分離變量法,2.4 Sturm-Liouville問題,2.4 Sturm-Liouville問題,固有值問題,分離變量法中典型齊次問題的一些結論,分離變量法中典型齊次問題的一些結論,分離變量法中典型齊次問題的一些結論,不同邊界條件定解問題的固有函數系,分離