1、成都龍泉第二中學(xué)2015級高三下學(xué)期“二診”模擬考試試題數(shù)學(xué)（理工類）第卷（選擇題部分，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1. 已知集合，則集合等于（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】由條件得，。選b。2. 復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部是（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】由題意可得：，則復(fù)數(shù)的虛部是 故選a3. 在展開式中， 二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為 ，含項(xiàng)的系數(shù)為，則（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】在展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值為 a，a=20展開式中的通項(xiàng)公式：tr+1=，

2、令6r=5，可得r=1含x5項(xiàng)的系數(shù)為b=12，則故選：b4. 下列命題中真命題的個數(shù)是（ ）函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)；“若，則”的逆否命題為真命題；“”是“”成立的充要條件；命題：“，”，則命題的否定為：“，”a. 0 b. 1 c. 2 d. 3【答案】d【解析】因是偶函數(shù)，故是正確的；又因是真命題，其逆否命題也是真命題，故不正確；因當(dāng)“”時，“”成立，反之不成立，故是錯誤的；依據(jù)命題的否定的格式可知命題是正確的。綜合有三個命題是正確的，應(yīng)選答案d。5. 偶函數(shù)的圖象向右平移個單位得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則的值可以為 （ ）a. 1 b. 2 c. 3 d. 4【答案】b【解析】偶函數(shù)，=，

3、f（x）=asin（x+）=acosx，把它的圖象向右平移個單位得到y(tǒng)=acos（x）=acos（x）的圖象，再根據(jù)所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則 可以等于2，故選：b6. 如圖為某幾何體的三視圖，求該幾何體的內(nèi)切球的表面積為( ) a. b. 3 c. 4 d. 【答案】c【解析】幾何體為一個四棱錐,高為4,底面是邊長為3的正方形,設(shè)內(nèi)切球的半徑為,則,因此內(nèi)切球的表面積為 選c.點(diǎn)睛:利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高或內(nèi)切球的半徑，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計(jì)算得到高的數(shù)值7. 規(guī)定：對任意的各位數(shù)字不全相同

4、的三位數(shù)，若將各位數(shù)字按照從大到小、從左到右的順序排列得到的三位數(shù)，稱為原三位數(shù)的“和諧數(shù)”；若將各位數(shù)字按照從小到大、從左到右的順序排列得到的三位數(shù)，稱為原三位數(shù)的“新時代數(shù)”如圖，若輸入的，則輸出的為（ ）a. 2 b. 3 c. 4 d. 5【答案】c【解析】由題意知：輸入的，則程序運(yùn)行如下：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，此時程序結(jié)束，輸出，故選c8. 若一個四位數(shù)的各位數(shù)字相加和為，則稱該數(shù)為“完美四位數(shù)”，如數(shù)字“”.試問用數(shù)字組成的無重復(fù)數(shù)字且大于的“完美四位數(shù)”有（ ）個a. b. c. d. 【答案】d【解析】由題設(shè)中提供的信息可知：和為10四位數(shù)字分別是（0,1,2,7），（0,1

5、,3,6），（0,1,4,5）（0,2,3,5），（1,2,3,4）共五組；其中第一組（0,1,2,7）中，7排首位有種情形，2排首位，1、7排在第二位上時，有種情形，2排首位，0排第二位，7排第三位有1種情形，共種情形符合題設(shè)；第二、三組中3,、6與4、5分別排首位各有種情形，共有種情形符合題設(shè)；第四、五組中2、3、5與2、3、4分別排首位各有種情形，共有種情形符合題設(shè)。依據(jù)分類計(jì)數(shù)原理可符合題設(shè)條件的完美四位數(shù)共有種，應(yīng)選答案d。點(diǎn)睛：分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理是排列組合中的重要數(shù)學(xué)思想和方法。求解本題時，充分借助題設(shè)中的完美四位數(shù)的定義，巧妙運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行分析求解，從

6、而使得問題巧妙獲解。9. 設(shè)變量y滿足約束條件則z|x3y|的最大值為( )a. 8 b. 4 c. 2 d. 【答案】a【解析】由題意作出滿足條件的可行域如圖中陰影部分，則對于目標(biāo)函數(shù)z=|x3y|，平移直線y=x可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)a（2，2）時，z=|x3y|取得最大值，代值計(jì)算可得zmax=|232|=8故選：a10. 已知正三棱錐的外接球半徑，分別是上的點(diǎn)，且滿足，則該正三棱錐的高為（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】設(shè)正三棱錐的底邊邊長為, 側(cè)棱長為,其外接球的球心 在該正三棱錐高上,且到四個頂點(diǎn)的距離相等.在正三角形中, ,在 中,由余弦定理求出,故,在 中,求出,又

7、,由勾股定理有,求得,設(shè)頂點(diǎn) 在底邊上射影為 ,在中, ,而 ,算出 ,所以該正三棱錐的高.選a.點(diǎn)睛:本題考查了利用外接球的半徑求正三棱錐的高,屬于中檔題. 本題思路: 由已知條件分別求出的表達(dá)式,解出之間的關(guān)系,再利用外接球的球心到各頂點(diǎn)距離相等,求出的值,再求出正三棱錐的高.11. 已知函數(shù)（0且1）的圖像恒過定點(diǎn)a，若直線（）也經(jīng)過點(diǎn)a，則3m+n的最小值為（ ）a. 16 b. 8 c. 12 d. 14【答案】b【解析】由題意，函數(shù)f（x）=loga（x+4）1（a0且a1），令x+4=1，可得x=3，帶入可得y=1圖象恒過定點(diǎn)a（3，1）直線（m，n0）也經(jīng)過點(diǎn)a，即那么：3m+

8、n=（3m+n）（）=2+5=8（當(dāng)且僅當(dāng)n=m=2時，取等號）3m+n的最小值為8故選：b點(diǎn)睛：本題主要考查基本不等式，其難點(diǎn)主要在于利用三角形的一邊及這條邊上的高表示內(nèi)接正方形的邊長.在用基本不等式求最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三相等.一正：關(guān)系式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；二定：關(guān)系式中，含變量的各項(xiàng)的和或積必須有一個為定值；三相等：含變量的各項(xiàng)均相等，取得最值.12. 已知拋物線：的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且傾斜角為的直線交曲線于，兩點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)到軸的距離為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】由題意知過點(diǎn)的直線方程為，聯(lián)立方程消去得：. 設(shè)，則，所以弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故到軸的距離為，故選

9、d第卷（非選擇題部分，共90分）二、填空題：本題共4題，每小題5分，共20分13. 已知向量，若向量與的夾角為，則實(shí)數(shù)的值為_【答案】【解析】,顯然 ,所以.14. 若，滿足約束條件則的最小值為_【答案】-4【解析】由題意可知，線性區(qū)域是如圖的陰影部分，由，則為直線的截距，由圖可知，當(dāng)時，取到最小值.15. 學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽出了一個容量為n且支出在20,60)元的樣本，其頻率分布直方圖如右圖，其中支出在50,60)元的同學(xué)有30人，則n的值為_【答案】100【解析】由題意可知：前三個小組的頻率之和=（0.01+0.024+0.036）10=0.7，支出在50，60）

10、元的頻率為10.7=0.3，n的值=100；故答案為：100點(diǎn)睛：利用頻率分布直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)時，易出錯，應(yīng)注意區(qū)分這三者在頻率分布直方圖中：(1)最高的小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和16. 已知在平面四邊形中，則四邊形面積的最大值為_【答案】【解析】設(shè) ,則在 中,由余弦定理有,所以四邊形面積 ,所以當(dāng) 時, 四邊形面積有最大值 .點(diǎn)睛: 本題主要考查解三角形, 屬于中檔題. 本題思路: 在 中中,已知長,想到用余弦定

11、理求出另一邊的表達(dá)式,把 四邊形面積寫成 這兩個三角形面積之和,用輔助角公式化為,當(dāng) 時, 四邊形面積有最大值 .三、解答題:（本題包括6小題，共70分。要求寫出證明過程或演算步驟）17. 已知函數(shù).（）求函數(shù)在的單調(diào)遞減區(qū)間；（）在銳角中，內(nèi)角，的對邊分別為，已知，求的面積.【答案】(1) 函數(shù)在的單調(diào)遞減區(qū)間為和 (2) 【解析】試題分析：（）結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角公式化簡函數(shù)得，求減區(qū)間，只需即可，結(jié)合求交集即可；（）由，結(jié)合銳角，可得，由正弦定理將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而可求面積.試題解析：（）由已知得 .，又函數(shù)在的單調(diào)遞減區(qū)間為和. （）由（1）知銳角， 又，即.又 .18. 某職稱晉級評定機(jī)構(gòu)

12、對參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，繪制了頻率分布直方圖（如圖所示），規(guī)定80分及以上者晉級成功，否則晉級失?。M分為100分）（1）求圖中的值；（2）根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并判斷能否有85%的把握認(rèn)為“晉級成功”與性別有關(guān)？（參考公式：，其中）（3）將頻率視為概率，從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取4人進(jìn)行約談，記這4人中晉級失敗的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望【答案】(1) (2) 有超過85%的把握認(rèn)為“晉級成功”與性別有關(guān)(3)見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)頻率和為1，列方程求出a的值；（2）由頻率分布直方圖計(jì)算晉級成功的頻率，填寫列聯(lián)表，計(jì)算觀測值k2，對照臨界值

13、得出能有85%的把握認(rèn)為“晉級成功”與性別有關(guān)；（3）由晉級失敗的頻率估計(jì)概率，得xb（4，），計(jì)算對應(yīng)的概率，寫出x的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值試題解析：()由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1，可知，故.()由頻率分布直方圖知，晉級成功的頻率為，故晉級成功的人數(shù)為（人），故填表如下假設(shè)“晉級成功”與性別無關(guān)，根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得，所以有超過85%的把握認(rèn)為“晉級成功”與性別有關(guān)（iii）由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率為，將頻率視為概率，則從本次考試的所有人員中，隨機(jī)抽取1人進(jìn)行約談，這人晉級失敗的概率為，故可視為服從二項(xiàng)分布，即， 故 ， ， ， ， ，故的分布列為01234 或（.1

14、9. 如圖，三棱柱abca1b1c1中，側(cè)面aa1c1c底面abc，aa1=a1c=ac=2，ab=bc且abbc，（）求證：aca1b；（）求二面角aa1cb的余弦值【答案】(1) 見解析(2)【解析】試題分析：（）作ac的中點(diǎn)o，由a1a=a1c，且o為ac的中點(diǎn)，得a1oac，再由面面垂直的性質(zhì)可得a1o底面abc，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，ob、oc、oa1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出所用點(diǎn)的坐標(biāo)，由=0，可得aca1b；（）求出平面aa1c與平面a1cb的法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角aa1cb的余弦值試題解析：（）證明：作ac的中點(diǎn)o，a1a=a1c，且o為

15、ac的中點(diǎn)，a1oac，又側(cè)面aa1c1c底面abc，其交線為ac，且a1o平面aa1c1c，a1o底面abc，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，ob、oc、oa1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，由已知得：o（0，0，0），a（0，1，0），a1（0，0，），c（0，1，0），c1（0，2，），b（1，0，0）則有：，=0，aca1b；（）解：平面aa1c的一個法向量為設(shè)平面a1cb的一個法向量，由，取z=1，得cos=二面角aa1cb的余弦值為點(diǎn)睛：空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的

16、法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.20. 已知橢圓的離心率，兩焦點(diǎn)分別為，右頂點(diǎn)為，. （）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （）設(shè)過定點(diǎn)的直線與雙曲線的左支有兩個交點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，與圓交于兩點(diǎn)，若的面積為，求正數(shù)的值【答案】(1) (2) 【解析】試題分析：（）由已知，可得，又，即可得解.（）由可得，結(jié)合直線與雙曲線的左支有兩個交點(diǎn)，必有. .可得.試題解析：（）由已知，不妨設(shè)，即，又， ，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（）依題設(shè)，如圖，直線的斜率存在，設(shè)，由得，即，點(diǎn)到直線的距離為,整理得，解得或， 又由直線與圓相交，

17、有，解得，依題設(shè)，直線與雙曲線的左支有兩個交點(diǎn)，必有. .此時， 正數(shù).點(diǎn)晴:本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系. 直線和圓錐曲線的位置關(guān)系一方面要體現(xiàn)方程思想，另一方面要結(jié)合已知條件，從圖形角度求解聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解是一個常用的方法. 涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法計(jì)算弦長；涉及垂直關(guān)系時也往往利用根與系數(shù)關(guān)系、設(shè)而不求法簡化運(yùn)算；涉及過焦點(diǎn)的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解21. 設(shè)a 0，已知函數(shù)(x0)()討論函數(shù)的單調(diào)性；()試判斷函數(shù)在上是否有兩個零點(diǎn)，并說明理由【答案】(1)見解析(2) 函數(shù)沒有

18、兩個零點(diǎn)【解析】試題分析：（）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（）假設(shè)2個零點(diǎn)，推出矛盾即可試題解析：（），設(shè)，則，當(dāng)時，即，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，由得，, 可知，由的圖象得：在和上單調(diào)遞增； 在 上單調(diào)遞減 （）解法：函數(shù)在上不存在兩個零點(diǎn)假設(shè)函數(shù)有兩個零點(diǎn)，由（）知，因?yàn)?，則，即，由知，所以，設(shè)，則（）， 由，得，設(shè)，得，所以在遞增，得，即，這與（）式矛盾， 所以上假設(shè)不成立，即函數(shù)沒有兩個零點(diǎn)請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分。作答時請寫清題號，本小題滿分10分。22. 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程:在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建坐標(biāo)系，已知曲線c：sin2=2acos（a0），已知過點(diǎn)p（2，4）的直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線 與曲線c分別交于m，n（1）寫出曲線c和直線l的普通方程；（2）若|pm|，|mn|，|pn|成等比數(shù)列，求a的值【答案】(1) y2=2ax，y=x2 (2) a=1【解析】試題分析：（1）根據(jù)將曲線c的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，根據(jù)加減消元得直線l的普通方程；（2）由等比數(shù)列條件得(t1t2