1、第4講,離散型隨機(jī)變量期望與方差,1離散型隨機(jī)變量的均值和方差,一般地，若離散型隨機(jī)變量 X 的分布列為,則稱 E(X)_為隨機(jī)變量 X 的均值或數(shù)學(xué)期望它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平,x1p1x2p2xipixnpn,2均值和方差的性質(zhì),設(shè) a，b 是常數(shù)，隨機(jī)變量 X，Y 滿足 YaXb， 則 E(Y)E(aXb)_，D(Y)D(aXb)_ 3兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布及超幾何分布的均值和方差 (1)若 X 服從兩點(diǎn)分布，則 E(X)_，D(X)_ (2)若 XB(n，p)，則 E(X)_，D(X)_,aE(X)b,a2D(X),np(1p),x1E(X)2p1x2E(X)2p2,xnE(X

2、)2pn,p(1p),p,np,1已知隨機(jī)變量的分布列是：,B,則 D()( ) A0.6,B0.8,C1,D1.2,2已知隨機(jī)變量B(n，p)，且 E()2.4，D()1.44，,則n,p的值為( ),An4，p0.6 Cn8，p0.3,Bn6，p0.4 Dn24，p0.1,B,A.,3已知 X 的分布列如下表，設(shè) Y2X1，則 Y 的數(shù)學(xué)期望,是(,),B,1 6,2 B. 3,C1,29 D. 36,4(2011 年上海)馬老師從課本上抄錄一個(gè)隨機(jī)變量的概率 分布律如下表請(qǐng)小牛同學(xué)計(jì)算的數(shù)學(xué)期望，盡管“！”處無(wú)法 完全看清，且兩個(gè)“？”處字跡模糊，但能肯定這兩個(gè)“？”處的,數(shù)值相同據(jù)此，

3、小牛給出了正確答案 E()_.,2,5.已知離散型隨機(jī)變量 X 的分布列如下表若 E(X)0，D(X),1，則 a_，b_.,考點(diǎn)1,離散型隨機(jī)變量的均值和方差,例1：(2011 年湖南改編)某商店試銷某種商品20 天，獲得如 下數(shù)據(jù)： 試銷結(jié)束后(假設(shè)該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設(shè)某天 開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)有該商品 3 件，當(dāng)天營(yíng)業(yè)結(jié)束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存 貨少于 2 件，則當(dāng)天進(jìn)貨補(bǔ)充至 3 件，否則不進(jìn)貨，將頻率視為 概率,(1)求當(dāng)天商品不進(jìn)貨的概率； (2)記 X 為第二天開(kāi)始營(yíng)業(yè)時(shí)該商品的件數(shù)，求 X 的分布列和 數(shù)學(xué)期望及方差,先求出離散型隨機(jī)變量的分布列，然后再代入公 式求其數(shù)學(xué)期

4、望和方差,標(biāo)與否互不影響若A項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率為，B項(xiàng)技術(shù)指標(biāo),達(dá)標(biāo)的概率為.按質(zhì)量檢驗(yàn)規(guī)定：兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)都達(dá)標(biāo)的零件為合,【互動(dòng)探究】,1(2011 年廣東惠州調(diào)研)某工廠在試驗(yàn)階段大量生產(chǎn)一種零 件這種零件有 A、B 兩項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)需要檢測(cè)，設(shè)各項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá),3 4,8 9,格品,(1)一個(gè)零件經(jīng)過(guò)檢測(cè)至少一項(xiàng)技術(shù)指標(biāo)達(dá)標(biāo)的概率；,(2)任意依次抽取該種零件 4 個(gè)，設(shè)表示其中合格品的個(gè)數(shù)，,求分布列及 E()，D(),考點(diǎn)2,均值與方差的應(yīng)用,例2：某校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的實(shí)驗(yàn)考查方案：考生從 6 道備選題中一次性隨機(jī)抽取 3 題，按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí) 驗(yàn)操作規(guī)定：至少正確完成其中

5、 2 題的便可通過(guò)已知 6 道備 選題中考生甲有 4 題能正確完成，2 題不能完成；考生乙每題正確 2 3 (1)分別寫(xiě)出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列，并計(jì) 算數(shù)學(xué)期望； (2)試用統(tǒng)計(jì)知識(shí)分析比較兩考生的實(shí)驗(yàn)操作能力,完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響. 求：,從做對(duì)題數(shù)的數(shù)學(xué)期望考察，兩人水平相當(dāng)；從做對(duì)題數(shù)的 方差考察，甲較穩(wěn)定；從至少完成 2 題的概率考察，甲獲得通過(guò) 的可能性大因此可以判斷甲的實(shí)驗(yàn)操作能力較強(qiáng),隨機(jī)變量的分布列刻畫(huà)了隨機(jī)變量取值的概率 規(guī)律隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反 映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫(huà)了隨 機(jī)變

6、量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)，一般先比 較均值，若均值相同，再由方差決定,【互動(dòng)探究】,2某俱樂(lè)部舉行迎圣誕活動(dòng)，每位會(huì)員交 50 元活動(dòng)費(fèi)，可 享受 20 元的消費(fèi)，并參加一次游戲：擲兩顆正方體骰子，點(diǎn)數(shù)之 和為 12 點(diǎn)獲一等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)價(jià)值為 a 元的獎(jiǎng)品；點(diǎn)數(shù)之和為 11 或 10 點(diǎn)獲二等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)價(jià)值為 100 元的獎(jiǎng)品；點(diǎn)數(shù)之和為 9 或 8 點(diǎn)獲三 等獎(jiǎng)，獎(jiǎng)價(jià)值為 30 元的獎(jiǎng)品；點(diǎn)數(shù)之和小于 8 點(diǎn)的不得獎(jiǎng) 求：(1)同行的三位會(huì)員一人獲一等獎(jiǎng)、兩人獲二等獎(jiǎng)的概率； (2)如該俱樂(lè)部在游戲環(huán)節(jié)不虧也不贏利，求 a 的值,考點(diǎn)3,均值與方差與其他知識(shí)的結(jié)合,例 3：(201

7、1 屆廣東韶關(guān)摸底)A、B 兩個(gè)投資項(xiàng)目的利潤(rùn)率分 別為隨機(jī)變量 x1和x2.根據(jù)市場(chǎng)分析，x1和x2的分布列分別為：,(1)在 A、B 兩個(gè)項(xiàng)目上各投資 100 萬(wàn)元，y1 和 y2 分別表示投 資項(xiàng)目 A 和 B 所獲得的利潤(rùn)，求方差 Dy1、Dy2； (2)將 x(0 x100)萬(wàn)元投資 A 項(xiàng)目，100 x 萬(wàn)元投資 B 項(xiàng)目， f(x)表示投資 A 項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差與投資 B 項(xiàng)目所得利潤(rùn)的方差 的和. 求f(x)的最小值，并指出 x 為何值時(shí)，f(x)取到最小值注：,D(axb)a2Dx,解析：(1)由題設(shè)可知y1 和 y2 的分布列分別為：,E(y1)50.8100.26， D

8、(y1)(56)20.8(106)20.24. E(y2)20.280.5120.38， D(y2)(28)20.2(88)20.5(128)20.312.,本題利用隨機(jī)變量方差的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為二次函 數(shù)的最值問(wèn)題,【互動(dòng)探究】,3(2011 年廣東揭陽(yáng)模擬)某單位甲乙兩個(gè)科室人數(shù)及男女工 作人員分布情況見(jiàn)下表現(xiàn)采用分層抽樣方法(層內(nèi)采用不放回簡(jiǎn) 單隨機(jī)抽樣)從甲、乙兩個(gè)科室中共抽取 3 名工作人員進(jìn)行一項(xiàng)關(guān) 于“低碳生活”的調(diào)查.,(1)求從甲、乙兩科室各抽取的人數(shù)；,(2)求從甲科室抽取的工作人員中至少有 1 名女性的概率； (3)記表示抽取的 3 名工作人員中男性的人數(shù)，求的分布列,及數(shù)學(xué)期望,1掌握離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差計(jì)算公式，特別的二,項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差的規(guī)律,2數(shù)學(xué)期望和方差的意義及在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用,(