1、距離空間的可分性 有理數(shù)在實(shí)數(shù)集中的稠密性,第三節(jié) 距離空間的可分性與完備性,距離空間的完備性 實(shí)數(shù)的完備性,一般距離空間的完備化,已知：在實(shí)直線上， 存在一個(gè)處處稠密的可數(shù)子集Q, 且成立完備性定理（即柯西收斂原理)。 問(wèn)題：在一般的距離空間中，是否存在一個(gè)處處稠密 的可數(shù)子集？完備性定理是否總成立？,一、距離空間的可分性,1.距離空間中的稠密子集,定義1（稠密性) 設(shè)X是距離空間，AX, BX. (1) B在A中稠密, 若對(duì)于xA, xn B, 使xnx (n) (2) B在X中處處稠密 (或B是X的一個(gè)稠密子集), 若對(duì)于 xX, xn B, 使xnx (n).,例1 有理數(shù)集在R中處處

2、稠密.,例2 Rn中的有理點(diǎn)集在Rn中稠密可數(shù).,例3 多項(xiàng)式集合P在Ca,bLpa,b中處處稠密. (魏爾斯特拉斯一致逼近定理: x(t)Ca,b, pn(t)P,使pn(t)x(t)(n), 即pn(t)按Ca,b中的距離收斂于x(t).),例4 a,b上的有界可測(cè)函數(shù)集合Ba,b在Lpa,b(p1)中處處稠密.,證: x(t)Lpa,b, 定義函數(shù)列,xn(t) (n=1,2,)是a,b上的有界可測(cè)函數(shù), 且有,x(t)Lpa,b x(t)pL1a,b0, 0, 使當(dāng)E0E=a,b, m(E0)時(shí), 有,N,當(dāng)nN時(shí), m(E(xn),xnx(n) Ba,b在Lpa,b中稠密,(L積分的

3、絕對(duì)連續(xù)性),例5 a,b上的連續(xù)函數(shù)集合Ca,b按Lpa,b中的距離在Lpa,b中處處稠密.,證: 由上例知Ba,b在Lpa,b中稠密, 只要證明按Lpa,b中的距離Ca,b在Ba,b 中稠密即可.,x(t)Ba,b, x(t)K. 0, =(/2K)p, y(t)Ca,b使得 m(E(x(t)y(t) (由魯金定理) 不妨設(shè)y(t) K, E0=E(x(t) y(t),(x,y) Ca,b在Ba,bLpa,b中稠密.,2. 距離空間的可分性,定義2 (可分距離空間) 設(shè)X是距離空間. X是可分距離空間, 若X中存在一個(gè)處處稠密且可數(shù)的子集.,注: 1) AX是可分集存在稠密點(diǎn)列xnA,2)

4、 X不可分X中沒有任何處處稠密的可數(shù)子集。,X是可分距離空間存在稠密點(diǎn)列xnX,例1 R是可分的. (有理數(shù)集在R中處處稠密、可數(shù)),例3 多項(xiàng)式集合P是可分的.（有理系數(shù)多項(xiàng)式集合P0在多項(xiàng)式集合P中可數(shù)稠密）,例2 Rn是可分的. ( Rn中的有理點(diǎn)集在Rn中稠密可數(shù)),例4 Ca,b 是可分的.（多項(xiàng)式集合P在C a,b中處處稠密, 因而有理系數(shù)多項(xiàng)式集合P0在PC a,b中處處稠密可數(shù)）,證：1) 設(shè)x(t)Ca,b, 由魏爾斯特拉斯一致逼近定理, 0, p(t)P Ca,b,使 (x,p)=max|x(t)-p(t)|0, p0(t)P0 P, 使 (p,p0)=max|p(t)-p

5、0(t)| 0, p0(t)P0 P Ca,b, 使 (x,p0)=max|x(t)-p0(t)| max|x(t)-p(t)|+max|p(t)-p0(t)| p0(t)S(x,)P0按Ca,b中距離在Ca,b中稠密; 而P0Ca,b是可數(shù)集，因而Ca,b 可分的。,p0(t)S(x,)P0 按Lpa,b中距離在Lpa,b中稠密; 而P0是可數(shù)集，因而Lpa,b 可分的。,證 設(shè)x(t)Ca,b, 由上例有0, 有理系數(shù)多項(xiàng)式 p0(t)P0，使 C(x,p0)=max|x(t)-p0(t)| /(b-a)1/p,例5 Lpa,b是可分的.（多項(xiàng)式集合P在Ca,bLpa,b中稠密有理系數(shù)多項(xiàng)

6、式集合P0在Lpa,b中稠密可數(shù)）,例6 l p(p1)與c 都是可分的. （有理點(diǎn)集A=x=(x1,xn,0,)|xiQ在lp (p1)和c中都處處稠密）,例7 設(shè)X是離散距離空間, 證明X 可分X是可數(shù)集,證：在離散距離空間中設(shè)有稠密真子集，所以X中唯一的稠密子集只有X自身。 故X 可分X可數(shù)。,注：可見并非所有的距離空間都是可分的。,注：定義在任何一個(gè)勢(shì)為(即不可數(shù))非空集合上的離散距離空間一定是不可分的。(上例中的A也是不可分的。),2）證明m中沒有可數(shù)稠密子集(反證法) . 設(shè)m可分 A0=x=(1,2,n,)|i|Km可數(shù), 且在m中稠密 A0=xk, xk=(1(k),2(k),

7、 n(k)A0 ，且 AmS(xk,1/3） (k=1,2,) A0可數(shù), A不可x,yA, x y, 并x0A0, 使S(x0,1/3) x,y 1= (x,y) (x,x0)+ (x0,y)1/3+1/3=2/3, 矛盾, 故m不可分.,例8 有界序列空間m都是不可分的. 證： 1）首先證明m中存在不可數(shù)集. 設(shè)A=x=(1,2,n,)|i=0 or 1 m x=(1,n,)A, y=(1,n, )A, (x y) (x,y) =sup|i-i|=1, 0,1=x=0.1,2,n|i=0 or 1AAm不可數(shù),二、距離空間的完備性,1.距離空間中的基本列（或柯西列）,定義3（基本列) 設(shè)X

8、是距離空間，xnX. xn是X中的基本列, 若當(dāng)m, n時(shí), 有xm-xn0, 即對(duì)于 0, N=N(), 當(dāng)m, nN時(shí), 有 (xm,xn)0, N, 當(dāng)m,n N時(shí), 同時(shí)有(xn,x)N時(shí), 有(xm,xn)(xn,x)+(xm,x) xn是基本列 2) 但距離空間中基本列未必是收斂列. (不同于實(shí)數(shù)域) 例如, X=(0,1), x,yX, (x,y)=|x-y|, 點(diǎn)列xn=1/(n+1) 是X中的基本列, 但它在X中不收斂 3) 距離空間中的任何基本列都是有界列 (同實(shí)數(shù)域).,例1 R按通常距離(x,y)=|x-y|完備. (R上每個(gè)基本列都收斂) 例2 坐標(biāo)平面上的有限點(diǎn)集X

9、 按通常的距離定義是完備的距離空間 證: 因?yàn)閄中的基本列只能是“常駐點(diǎn)列”，即其中元素列出有： x1,x2,xr,xk,xk,xnxk, 因此X是完備的,定義4 (完備距離空間) X是完備距離空間, 如果X中的任何基本列都收斂于X中的點(diǎn).,2. 完備距離空間,注: 1) 在完備的距離空間中, 基本列一定是收斂的. 2) X是不完備的距離空間, 是指X中存在著不收斂于X內(nèi)的點(diǎn)的基本列.,例3 離散距離空間是完備的距離空間. 證：因?yàn)殡x散距離空間中的基本列的元素都相同，因而收斂。,例4 Ca,b按距離(x,y)=max|x(t)-y(t)|是完備距離空間. 證：設(shè)xnCa,b是基本列 0, N=

10、N(), 當(dāng)m,nN時(shí), 有 (xn,xm)=max|xn(t)-xm(t)|N時(shí)，有|xn(t)-xm(t)| x(t), 使得xn(t)x(t) (一致) （柯西一致收斂定理) 又xn=xn(t)Ca,bxn(t)在a,b上連續(xù) x(t)在a,b上連續(xù) (一致收斂函數(shù)列的保連續(xù)性質(zhì)) x(t)Ca,bxCa,b,使得xnxX是完備的。,例5 Rn 按歐氏距離構(gòu)成的歐氏空間是完備的.,證: x(k)Rn為一基本列,對(duì)于i=1,2,n, 當(dāng)k,jN時(shí), 有,設(shè)xi(k)xi (k) (i=1,2,n) , 令x=(x1,xn)Rn,（k）,Rn按歐氏距離構(gòu)成的歐氏空間是完備的.,xi(k)是基

11、本列, 因而xi(k)收斂, 0, N,當(dāng)k,jN時(shí), 有, 0, N,當(dāng)kN, j時(shí)，有,例6 空間Lpa,b、lp、 l (or m)、c 均為完備的距離空間。,證: x(k)l為一基本列,對(duì)于i=1,2,n, 當(dāng)k,jN時(shí),有|xi(k)xi(j)| 對(duì)每個(gè)i，xi(k)是基本列，因而收斂。,設(shè)xi(k) xi (k) (i=1,2,n,), 令 x=(x1,xn,),(下面證xl) 當(dāng)nN時(shí)，有,x(k)l xi(k)Mk, (k=1,2,) xixi-xi(k) + xi (k)+Mk, i=1,2, x=x1,x2,xn,)l, 0, N,當(dāng)k,jN時(shí), 有,例7 有理數(shù)集Q按距離

12、(x,y)=|x-y|是距離空間, 但不完備. 事實(shí)上，在有理數(shù)集Q中，有理數(shù)列(1+1/n)n收斂, 因而是基本列, 但其極限為eQ，故Q不完備.,例8 a,b上實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式全體Pa,b按Ca,b中通常的距離構(gòu)成Ca,b的子空間, 但它是不完備的距離空間。 事實(shí)上, 存在多項(xiàng)式列 pn(t)一致收斂于x(t): x(t)Ca,b.x(t)Pa,b,(但是確實(shí)存在著不完備的距離空間),例9 C0,1按距離 構(gòu)成的距離空間,是L10,1的子空間，但它按1(x,y)不完備.,(m=1,2,),xm C0,1是基本列。,證: 構(gòu)造函數(shù)列xm(t)C 0,1:,如果存在x(t) 使1(xm,x)0 (

13、m), 由于,顯然x(t)C0,1，所以C0,1按距離1 (x,y)不完備。,可以證明xm在C0,1 中按1(x,y)不收斂。,例10 Ca,b按距離 構(gòu)成的距離,空間是L2a,b的子空間，但它按2(x,y)不完備.,證: 構(gòu)造函數(shù)列xn(t)Ca,b:, |xn(t) |/2, 且在a,b上處處有,（勒貝格有界收斂定理）,xn(t)按距離2收斂于x(t) xn(t)是距離空間(Ca,b, 2)中的基本列 （距離空間中的任何收斂點(diǎn)列都是基本列） 基本列xn(t)的極限函數(shù)x(t)a,b 距離空間(Ca,b, 2)不完備。,注 證明一個(gè)距離空間X不完備，通常有兩種方法： 1) 構(gòu)造X中的一個(gè)基本

14、列，然后說(shuō)明該基本列在X中無(wú)極限； 2) 直接構(gòu)造X中的一個(gè)極限函數(shù)不屬于X的收斂點(diǎn)列，該點(diǎn)列一定是X中的基本列 。,定理1 (完備距離空間的性質(zhì)) 設(shè)X是完備距離空間, 1)xn是基本列xn是收斂點(diǎn)列xX, 使xnx 2) FX, F是X的閉子空間F是X的完備子空間 證：1）“充分性” 設(shè)xnX, xX，xnx 0, N0, 當(dāng)nN時(shí), (xn,x)N, mN時(shí), (xn,xm)(xn,x)+(x,xm) xn是基本列 “必要性” 設(shè)xn X是基本列, X完備xnX是收斂點(diǎn)列 （完備性定義） 2）“必要性” 設(shè)xnF X是基本列，F(xiàn)是X的閉子空間. X完備，xn是基本列 xX, 使xnx (

15、n) F閉 xF =Fxn在F中收斂F完備 “充分性” 設(shè)F完備. xnF，xnx xnF是基本列， F完備xF F是閉的。,3. 完備距離空間的兩個(gè)基本定理,定義5 （稀疏集與第二綱集）設(shè)X是距離空間 1）若X中任一個(gè)球都含有某一個(gè)球，使后者不含A的點(diǎn)，則稱A為X中的稀疏集（疏朗集）。 2）若A=An，每個(gè)An都在X內(nèi)稀疏，則稱A是在X內(nèi)的第一綱集, 而X內(nèi)的非第一綱集的集合稱為第二綱集. 注：1在稀疏集定義中，“任意球”可以是開球或閉球. 2在R中，有理數(shù)集是第一綱集，而無(wú)理數(shù)集是第二綱集。,定理3 設(shè)X是距離空間，A是稀疏集A不在X的任意球中稠密。,證 “” 設(shè)A稀疏 S(x0,), S

16、(x1 ,)S(x0,),使S(x1,)A= A不在S(x0,)中稠密 “” 設(shè)A不在任一球中稠密 S(x0,), x1S(x0,),但x1A S(x1, )S(x0,),使S(x1,)A=,定理4(第二綱集定理) 設(shè)X是完備的距離空間，則X是第二綱集。,推論: 給定完備的距離空間X,若AX是第一綱集,則AC 是第二綱集。 例如:由于有理數(shù)是R內(nèi)的第一綱集，故無(wú)理數(shù)是R內(nèi)的第二綱集。,注：1）閉球套定理是完備距離空間中的重要定理之一；刻劃了距離空間的完備性；是實(shí)數(shù)中的康托區(qū)間套定理的推廣。,2）第二綱集定理是完備距離空間的重要定理之二。,完備性可以使空間具有很好的性質(zhì)和廣泛的應(yīng)用，對(duì)于不完備的距離空間，它在應(yīng)用上將會(huì)造成很多困難。,4. 距離空間的完備化,問(wèn)題：能否在不完備的距離空間中補(bǔ)充一些新“點(diǎn)”， 使之成為完備的距離空間？,例如在有理數(shù)集Q中加入“無(wú)理數(shù)”，便得到完備度量空間R，并且Q在R中稠密。這就是所謂的距離空間完備化問(wèn)題。,定義6 （等距映射與等距同構(gòu)）設(shè)(X, X)和(Y, Y)是兩個(gè)距離