1、簡單的線性規(guī)劃【考綱要求】1.了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實際背景。2.會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型。3.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；4.會從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決。5.熟練應(yīng)用不等式性質(zhì)解決目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解問題?！局R網(wǎng)絡(luò)】簡單的線性規(guī)劃二元一次不等式（組）表示的區(qū)域簡單應(yīng)用不等式（組）的應(yīng)用背景【考點梳理】【高清課堂：不等式與不等關(guān)系 知識要點】考點一：用二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax+

2、By+C=0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域.（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）要點詮釋：畫二元一次不等式或表示的平面區(qū)域的基本步驟：畫出直線（有等號畫實線，無等號畫虛線）；當(dāng)時，取原點作為特殊點，判斷原點所在的平面區(qū)域；當(dāng)時，另取一特殊點判斷；確定要畫不等式所表示的平面區(qū)域。簡稱：“直線定界，特殊點定域”方法?？键c二：二元一次不等式表示哪個平面區(qū)域的判斷方法因為對在直線Ax+By+c=0同一側(cè)的所有點(x ,y)，實數(shù)Ax+By+c的符號相同，所以只需在此直線的某一側(cè)任取一點(x0, y0)（若原點不在直線上，則取原點(0,0)最簡便）.把它的坐標(biāo)代入Ax+By+c，由其值的符號即可判斷二元一次不等式

3、Ax+By+c0(或0(或0(或0)表示直線的哪一側(cè).考點三：線性規(guī)劃的有關(guān)概念：線性約束條件：在一個問題中，不等式組是一組變量x、y的約束條件，這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不等式，故又稱線性約束條件線性目標(biāo)函數(shù)：關(guān)于x、y的一次式z=ax+by(a，bR)是欲達到最大值或最小值所涉及的變量x、y的解析式，叫線性目標(biāo)函數(shù)線性規(guī)劃問題：一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題可行解、可行域和最優(yōu)解：滿足線性約束條件的解（x,y）叫可行解由所有可行解組成的集合叫做可行域使目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值的可行解叫線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解要點詮釋：在應(yīng)用線性規(guī)劃的方法

4、時，一般具備下列條件：一定要能夠?qū)⒛繕?biāo)表述為最大化（極大）或最小化（極小）的要求。一定要有達到目標(biāo)的不同方法，即必須要有不同的選擇的可能性存在；所求的目標(biāo)函數(shù)是有約束（限制）條件的；必須將約束條件用代數(shù)語言表示成為線性等式或線性不等式（組），并將目標(biāo)函數(shù)表示成為線性函數(shù)?？键c四：解線性規(guī)劃問題總體步驟：設(shè)變量找約束條件，找目標(biāo)函數(shù)作圖，找出可行域求出最優(yōu)解要點詮釋：線性規(guī)劃的理論和方法主要在兩類問題中得到應(yīng)用： 在人力、物力、資金等資源一定的條件下，如何使用它們來完成最多的任務(wù)； 給定一項任務(wù)，如何合理安排和規(guī)劃，能以最少的人力、物力、資金等資源來完成該項任務(wù)【典型例題】類型一：二元一次不等式

5、（組）表示的平面區(qū)域例1. 用平面區(qū)域表示不等式組.【解析】不等式表示直線右下方的區(qū)域，表示直線右上方的區(qū)域，取兩區(qū)域重疊的部分，如圖的陰影部分就表示原不等式組的解集。舉一反三：【變式1】畫出不等式組表示的平面區(qū)域并求其面積。【解析】如圖，面積為；【變式2】由直線，和圍成的三角形區(qū)域（如圖）用不等式組可表示為 。【解析】【變式3】求不等式組表示平面區(qū)域的面積.【解析】不等式所表示的平面區(qū)域如圖聯(lián)立方程組得所以例2. 畫出下列不等式表示的平面區(qū)域(1) ； (2) 【解析】 (1) 原不等式等價轉(zhuǎn)化為或（無解），故點在區(qū)域內(nèi)，如圖：(2) 原不等式等價為或，如圖舉一反三：【變式1】用平面區(qū)域表示

6、不等式（1）； （2）； （3）【解析】 （1） （2） （3）例3.求滿足不等式組的整數(shù)解.【解析】設(shè)： ，：，：，則由，得，由，得由，得于是看出區(qū)域內(nèi)點的橫坐標(biāo)在內(nèi)，取，當(dāng)時，代入原不等式組有，即，得2，區(qū)域內(nèi)有整點。同理可求得另外三個整點、.舉一反三：【變式1】求不等式組的整數(shù)解?！窘馕觥咳鐖D所示，作直線，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)畫出滿足不等式組的區(qū)域，此三角形區(qū)域內(nèi)的整點(2,1)，(1,0)，(2,0)，(1,1)，(2,1)，(3,1)即為原不等式組的整數(shù)解。類型二：圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題.【高清課堂：不等式與不等關(guān)系 基礎(chǔ)練習(xí)一】例4設(shè)變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（ ）A

7、12B10C8D2【解析】由約束條件可知可行域如圖：平移知在處取得最大值答案：B舉一反三：【變式1】求的最大值和最小值，使式中的,滿足約束條件.【解析】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域（如圖所示）作直線，把向右上方平移至位置，即直線經(jīng)過可行域上點A時，距原點距離最大，且，這時目標(biāo)函數(shù)取得最大值.由方程組 ，解得，.把直線向左下方平移至位置，即直線l經(jīng)過可行域上點B時，由于，這時目標(biāo)函數(shù)取得最小值.由方程組 ，解得，.【變式2】給出平面區(qū)域如圖所示，若使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的最優(yōu)解有無窮個，則的值為 . 【解析】由題意結(jié)合圖形可知,線性目標(biāo)函數(shù)與可行域的一邊界平行,可得.【變式3】如果點在平面區(qū)域上，

8、點在曲線上，那么的最小值為（ ）ABCD【解析】不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，要求的最小值只需求出圓心到平面區(qū)域的最小值再減去半徑1即可。由圖象可以知道圓心到平面區(qū)域的最小值就是圓心到直線的距離（垂足為A）所以，故選例5.已知、滿足約束條件，求下列各式的最大值和最小值. （1）； （2）.【解析】（1）不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示：求出交點，作過點的直線:，平移直線，得到一組與平行的直線:,. 可知，在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點且平行于的直線中，當(dāng)經(jīng)過點時的直線所對應(yīng)的最大，所以；當(dāng)經(jīng)過點時的直線所對應(yīng)的最小，所以.（2）不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示：作過點的直線:，平移直線，得

9、到一組與平行的直線:,. 可知，在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點且平行于的直線中，當(dāng)經(jīng)過線段上的所有點時的直線所對應(yīng)的最大，所以；當(dāng)經(jīng)過點時的直線所對應(yīng)的最小，所以.舉一反三：【變式1】求的最大值和最小值，使式中的、滿足約束條件.【解析】不等式組所表示的平面區(qū)域如圖所示：從圖示可知，直線在經(jīng)過不等式組所表示的公共區(qū)域內(nèi)的點時，以經(jīng)過點的直線所對應(yīng)的最小，以經(jīng)過點的直線所對應(yīng)的最大.所以，.類型三：某些實際背景的線性規(guī)劃問題.例6.某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)甲種產(chǎn)品每件要消耗煤9噸，電力4千瓦，使用勞動力3個，獲利7000元：生產(chǎn)乙種產(chǎn)品每件要消耗煤4噸，電力5千瓦，使用勞動力10個，獲利

10、12000元。有一個生產(chǎn)日，這個廠可動用的煤是360噸，電力是200千瓦，勞動力是300個，問應(yīng)該如何安排甲、乙兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，才能使工廠在當(dāng)日的獲利最大，并問該廠當(dāng)日的最大獲利是多少?【解析】設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件，乙產(chǎn)品y件 約束條件：， 目標(biāo)函數(shù)：z=7000x+12000y如圖：目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過A點時，z取得最大值 ， 即A（20，24） 當(dāng)x=20, y=24時，zmax=700020+1200024=（元）。答：安排甲產(chǎn)品20件，乙產(chǎn)品24件時，利潤最大為元。舉一反三：【變式1】某運輸公司有7輛載重量為6 t的A型卡車與4輛載重量為10 t的B型卡車，9名駕駛員，在建筑某段高速公路中，此公司承擔(dān)了每天至少搬運360 t瀝青的任務(wù)，已知每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型卡車8次，B型卡車6次，每輛卡車每天往返的成本費為A型卡車160元，B型卡車252元，每天派出A型車與B型車各多少輛，才能使公司所花的成本費最低？【解析】設(shè)派出A型車x輛，B型車y輛，所花成本費為z=160x+252y，且x、y滿足給條件如：，即如圖所示，作出不等式表示的區(qū)域，作直線，即，作直線的平行線：當(dāng)直線經(jīng)過可行域內(nèi)A點時，縱截距最小，可得A點坐