1、云南省峨山彝族自治縣第一中學(xué)2018-2019 學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題 理第 I 卷（選擇題）一、選擇題（ 本大題共12 小題，每小題5 分，共 60 分 . ）1.已知，則CA.B. 3 ，C.D.2.已知 i 是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z 滿足 1i z2i ，則 z 的虛部是（A ）A1B iC 1D i3.雙曲線 x2y 21(a 0,b 0) 的一條漸近線與直線x 2y 10 平行，則雙曲線的a2b2離心率為（ D）A 3B 5C 3D5224. 一個棱長為 2 的正方體被一個平面截去部分后，余下部分的三視圖如右圖所示，則截去部分與剩余部分體積的比為AA. 1 ： 3B. 1 ： 4C.

2、1 ： 5D. 1 ： 65. 如圖是計算的值的一個流程圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是BA.B.C.D.6. 下列判斷正確的是 ( C )A. “x2” 是“l(fā)n( x 3)”的充分不必要條件B. 函數(shù) f ( x)x291的最小值為 2x29C. 當(dāng) ，R 時，命題“若, 則 sinsin”的逆否命題為真命題D. 命題“0 2019 x20190”的否定是“x00 , 2019x2019 0 ”x ，- 1 - / 77.與直線 y4x1平行的且與曲線yx3x2 相切的直線方程是（D）A.4 xy0B.4xy40或 4xy 20C .4xy2 0D.4xy0或 4x y408. 已知 tan

3、(4)1，且20 ，則 sin 22sin 2等于（ B）2A.25B2C2255D 5559如右圖所示，AD是三角形 ABC的中線， O是 AD的中點(diǎn)，若，其中，則的值為AA.B.C. D.1，則 a，b，c 的大小關(guān)系是 （C ）10. 設(shè) alog 20182019,b log 2019 2018, c2019 2018A.B.C.D.11. 教育部選派 3 名中文教師到外國任教中文，有4 個國家可供選擇，每名教師隨機(jī)選擇一個國家，則恰有2 名教師選擇同一個國家的概率為（C）A 3B 4C 9D 989163212. 已知 f ( x) 為定義在 R 上的偶函數(shù)， g( x)f ( x)

4、x2 ，且當(dāng) x,0 時， g( x) 單調(diào)遞增，則不等式f (x1)f ( x2)2x3 的解集為（B）A. (3 ,)B.(3,)C. (,3)D.(,3)22第 II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共4 小題，每小題 5 分，共20 分）13. 數(shù)列中，若，則 _ 34_ 2 x1,( 1x0)114. 已知函數(shù) f (x)x2 ,(0x,則1f ( x)dx 的值為 _ .11)415. 拋物線 y2=4x 上的點(diǎn)到（ 0， 2）的距離與到其準(zhǔn)線距離之和的最小值是_ 5 _.- 2 - / 716. 已知球O的內(nèi)接圓錐體積為2，其底面半徑為1O的表面積為25，則球34三、解答題（共70

5、分 . 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟. ）17. (本小題 12分 )在平面四邊形ABCD 中，已知ABC3,ABAD ,AB1.4（ 1）若 AC5 , 求ABC 的面積；（ 2）若 sinCAD254, 求 CD 的長， AD5解：（ 1）在ABC 中， AC 2AB2BC 22AB BC COS ABC5 1 BC 22 BCBC224 0 ,解得BC2BCS ABC1 AB BC sinABC112212222（ 2）BAD900 , sinCAD25cosBAC25sinBAC5555sinBCAsin(BAC )42 (cosBACsinBAC )2 ( 255 )102

6、25510在ABC 中，ACAB,AB sinABC5sinABCsinBCAACBCAsinCD 2AC 2AD 22 ACAD cosCAD5 162545135CD1318. (本小題 12分 )如圖，在四棱錐PABCD 中，底面ABCD 為直角梯形，AD / / BC,ADC90 ，平面PAD底面 ABCD ，Q 為 AD 的中點(diǎn)， M 是棱 PC 上的點(diǎn)且 PM3MC ， PA PD 2 ,BC1 AD1，CD =2 2- 3 - / 7(1) 求證：平面 PQB 平面以 PAD；(2) 求二面角 MBQC 的大小解：（ 1）ADBC ， BC1AD ， Q 為 AD 的中點(diǎn)， 四邊

7、形 BCDQ 為平行四邊形，2CDBQ ADC90AQB 90,即 QB AD 又平面PAD平面ABCD ，且平面 PAD平面 ABCDAD ， BQ平面 PAD BQ平面 PQB ，平面 PQB平面 PAD （ 2） PAPD ， Q 為 AD 的中點(diǎn)， PQAD 平 面 PAD平 面 A B C D， 且 平 面 PAD平 面A B C DA ，D PQ平面 ABCD 如圖，以 Q 為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則平面 BQC 的一個法向量為n0,0,1，Q 0,0,0, P 0,0,3 , B0,2,0,C1,2,0，設(shè) Mx, y, z ，則 PMx, y, z3 ， MC1x,2 y,

8、z ，x3x31x4 PM3MC ， y3 2y，3，yz33z2z34在平面 MBQ 中， QB0,2,0， QM3 , 3 ,3，424設(shè)平面 MBQ 的法向量為 mx, y, zm QB02 y0則, 即3 x3 y3 z0m QM0424 平面 MQB 的一個法向量為 m1,0,3,- 4 - / 71,0,30,0,13 cos m, n2，2由圖知二面角為銳角，所以所求二面角大小為30 .19. (本小題 12 分 )已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn 滿足 2an=2+Sn（）求證：數(shù)列 an 是等比數(shù)列；（）設(shè)bnan log2nnan ，求數(shù)列 b 的前 n 項(xiàng)和 T 解：

9、（）證明：數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn 滿足 2an=2+Sn，可得 2a1=2+S1 =2+a1，解得 a1=2；n2時， 2an -1 =2+Sn -1 ，又 2an=2+Sn，相減可得2an-2 an-1 =2+Sn-2- Sn-1 =an，即 an=2an-1 ，可得數(shù)列 an 是首項(xiàng)、公比均為2 的等比數(shù)列；（）由（）可得an=2n， bnan log 2 an =n 2nTn1 2 2 223 23n 2n2Tn1 22 +2 23 + + n-1 2nn 2n 1 - 得： Tn222232nn 2n1整理得： Tnn1 2n 12數(shù)列 bn 的前 n 項(xiàng)和 Tnn 1 2n

10、 1220.( 本小題12 分 )已知橢圓 x2y21(a b 0) 的離心率為2 ，且經(jīng)過點(diǎn) A 2,0 a2b22求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；設(shè) O為橢圓的中心，點(diǎn)D ( 2，0) , 過點(diǎn) A 的動直線 l 交橢圓于另一點(diǎn)B，直線 l 上的點(diǎn) C滿足 OB OC4 ，求直線 BD與 OC的交點(diǎn) P 的軌跡方程解：橢圓的離心率，且，- 5 - / 7橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)直線 l 的方程為當(dāng)t 存在時，由題意，代入，并整理可得，解得，于是，即，設(shè)，解得，于是，直線 BD與 OC的交點(diǎn) P 的軌跡是以 OD為直徑的圓除去 O， D兩點(diǎn)，軌跡方程為，即，21（本小題10 分）已知函數(shù)f ( x)ln xa

11、x(aR) .（）當(dāng) a2 時，求 f ( x) 的單調(diào)區(qū)間；（）若對于任意的x(0,) ，都有f (x)0，求 a 的取值范圍 .解：（）當(dāng) a2 時， f ( x） ln x2x ，f (x)的定義域?yàn)?，+f (x） 1212xxx1 ， 令 f ( x)1令 f ( x)0,即12x 0, 得 x0,即1 2 x0, 得 x22又f ( x)的定義域?yàn)?，+f ( x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（11）0，），單調(diào)遞減區(qū)間為（，+22（）由題知f ( x)0 對于任意的 x(0,) 恒成立，即 ln xax0 對于任意的 x(0,) 恒成立，ln x(0,) 恒成立，等價于 a在 xx令 g(x)ln x ， g ( x)1 ln xxx2令 g (x