第一章可測(cè)函數(shù) 1.1第四章可測(cè)函數(shù)練習(xí)題 習(xí)題1.1.1證明：f(x)在E上為可測(cè)函數(shù)的充要條件是對(duì)任一有理數(shù)r,集Ef r可測(cè).如果集Ef = r可測(cè)，問(wèn)f(x)是否可測(cè)？ 證明分析：根據(jù)可測(cè)函數(shù)的定義t R,Ef t為可測(cè)集， 則函數(shù)f為可測(cè) 函數(shù).由題意知道，對(duì)于有理數(shù)r,集Ef r可測(cè),那么問(wèn)題就是如何將已知的有 理數(shù)轉(zhuǎn)化到未知的實(shí)數(shù)上， 那么就可以采用有理數(shù)在實(shí)數(shù)中稠密的特征， 任何 一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用有理數(shù)進(jìn)行逼近的辦法然后利用可測(cè)集的運(yùn)算性質(zhì)的到想 要的結(jié)果.證明中的等式可以參考 課本P80的引理中的集 合論等式的證明Ef g= n=1(Ef rn)Eg = n=1 Ef rn,由Ef rn可測(cè)得Ef 是可測(cè)的，所 以f(x)是E上的可測(cè)函數(shù). 若對(duì)于任意的有理數(shù)r,Ef = r可測(cè)，則f(x)不一定是可測(cè)的.例如，E = (,),z為E中的不可測(cè)集.對(duì)于任意x z, f(x) = 3; x 2 = z為不可測(cè)的.因此 f是不可測(cè)的. ? 習(xí)題1.1.2設(shè)fn為E上的可測(cè)函數(shù)列，證明它的收斂點(diǎn)集和發(fā)散點(diǎn)集都是可測(cè) 的. 證明分析： 寫(xiě)出收斂點(diǎn)集和發(fā)散點(diǎn)集的組成結(jié)構(gòu)， 結(jié)果一目了然. 證明： 由P82定理6,lim nf n(x)和lim n fn(x)都是E上的可測(cè)函數(shù)， 顯然， Elimnfn(x) = +是收斂到+的點(diǎn)組成的集，而Elim n fn(x) = 是收斂 到的點(diǎn)組成的集合.Elim n fn limnfn是fn的不收斂點(diǎn)組成的集.因此fn(x)在E上 的收斂的點(diǎn)組成的集為E Elim nf n(x) = + Elim n fn(x) = Elim n fn lim n fn,因而， 由可測(cè)集的運(yùn)算規(guī)律知， 收斂點(diǎn)集為可測(cè)集. 同樣， 對(duì)于發(fā)散點(diǎn)組成的集合為Elim nf n(x) = + Elim n fn(x) = Elim n fn lim n fn也是可測(cè)集. ? 1 第一章 可測(cè)函數(shù)2 習(xí)題1.1.3設(shè)E為0,1中的不可測(cè)集，令 f(x) = x, x E, x, x 0,1 E. 問(wèn)f(x)在0,1上是否可測(cè)？|f(x)|是否可測(cè)？ 證明：f(x)不可測(cè).若0 E,則Ef 0 = E不可測(cè).若0 0 = E不可 測(cè).綜上，f(x)為不可測(cè)函數(shù). 當(dāng)x 0,1時(shí)，|f(x)| = x是連續(xù)函數(shù)， 所以|f(x)|在0,1上是可測(cè)的. ? 習(xí)題1.1.4設(shè)fn(x)(n = 1, ,)是E上a.e.有限的可測(cè)函數(shù)列，而fn a.e.收斂于有 限函數(shù)f,則對(duì)于任意的 0,存在常數(shù)c與可測(cè)集E0 E,m(E E0) 0,由魯津定理， 存在閉集F E,使得 (i)m(F F) mE 2 ;(1.7) (ii)f(x)在F連續(xù)， 于是M 0, s.t. |f(x)| M(x F).(1.8) 由于f(x)在F上一致收斂到f(x),故fn在F上也一致收斂于f(F E),所以存在自 然數(shù)N,當(dāng)n N時(shí)， 有 |fn(x) f(x)| 1(x F).(1.9) 從而有 |fn(x)| |f(x)| + 1,(n N, x F).(1.10) 即x F,當(dāng)n N時(shí)，|fn(x)| M + 1. 在考慮fn(x)中的前N個(gè)f1(x), f2(x), , fN(x).因?yàn)閒i(x)(i = 1, ,N)幾乎處處 有限， 故mE|fi| = + = 0(i = 1, ,N).而 E|fi| = + = k=1 E|fi| k(1.11) 且 E|fi| k E|fi| k + 1.(i = 1, ,N)(1.12) 從而， lim k mE|fi| k = mE|fi| = + = 0.(1.13) 故對(duì)于每一個(gè)i(i = 1, ,N),ki,使得 mE|fi| k k0 k0 N i=1 mE|fi| k0 c,c = maxM + 1,k0,(1.17) 則 mE0 mF mF 2 = 1 2mF 1 4mE 0, (1.18) 且在E0 F上， 對(duì)一切n均有|fn(x)| c. ? 習(xí)題1.1.5設(shè)mE 0,存在E E和M 0,使得m(E E) 0,使得m(E E) c是直線上的開(kāi)集.設(shè)E1f c = n=1( n,n),其中(n,n)是其構(gòu)成區(qū)間（可能是 有限個(gè)，n可能是,n可能為）.因此E2f(g) c = n=1 E2(n 0,存在可測(cè)集E E,使m(E E) 0,存在可測(cè)集E E,使m(E E) a ( n=0 Enf a ) ,由于f在En上連續(xù)，可知Enf a可測(cè)，而m(E0f 第一章 可測(cè)函數(shù)7 a) mE0= 0,所以E0f a亦可測(cè)，從而Ef a是可測(cè)的.因此f是可測(cè)的.因 為f在En上有限， 故在 n=0 En上有限， 所以f(x) a.e.有限. ? 習(xí)題1.1.9設(shè)函數(shù)列fn在E上依測(cè)度收斂于f,且fn(x) g(x) a.e.于E,n = 1,2 ,試 證f(x) g(x)在E上幾乎處處成立. 證明分析： 首先按照依測(cè)度收斂的定義寫(xiě)出符合題意的數(shù)學(xué)語(yǔ)言 證明：由于fn(x) f(x),則存在fnj fn,使fni(x)在E上a.e.收斂到f(x).設(shè)E0是fni(x)不 收斂到f(x)的點(diǎn)集. En= Efn g.則mE0= 0,mEn= 0.m ( n=0 En ) n=0 mEn= 0.在E n=0 En上fni(x) g(x), fni(x)收斂到f(x),所以f(x) = lim fni(x) g(x)在E n=0 En上成立.即f(x) g(x)在E上幾乎處處成立. ? 習(xí)題1.1.10設(shè)在E上fn(x) f(x),且fn(x) fn+1(x)幾乎處處成立，n = 1,2, .則 幾乎處處有fn(x)收斂于f(x). 證明分析：由于前提條件是依測(cè)度收斂，結(jié)論是a.e.收斂，所以考慮使用 里斯定理（依測(cè)度收斂和a.e.收斂之間的關(guān)系）. 證明：由于fn(x) f(x),則存在fnj fn,使fni(x)在E上a.e.收斂到f(x).設(shè)E0是fni(x)不 收斂到f(x)的點(diǎn)集. En= Efn fn+1,則mE0= 0,mEn= 0.因此 m n=0 En n=0 mEn= 0.(1.32) 在E n=0 En上fni(x)收斂到f(x)且fn(x)是單調(diào)的.因此fn(x)收斂到f(x).(單調(diào)序列的 子列收斂，則序列本身收斂到同一極限.)即除掉一個(gè)零集 n=0 En外，fn(x)收斂 于f(x),就是fn(x) a.e.收斂到f(x). ? 習(xí)題1.1.11設(shè)在E上fn(x) f(x),而fn(x) = gn(x) a.e.成立，n = 1,2,則有g(shù)n(x) = f(x). 證明分析： 我們課本上P93定理3說(shuō)的是“設(shè)在E上fn(x) f(x),gn(x) g(x),n = 1,2, .則有fn(x) = gn(x) a.e.成立.”所以這個(gè)是改變了一下證明的次序.方法還 第一章 可測(cè)函數(shù)8 是一樣的.所以相應(yīng)的這個(gè)集合的包含關(guān)系該怎么選取是證明的關(guān)鍵.結(jié)合課 本P93的三點(diǎn)不等式可以很容易的選擇出所需要的集合包含關(guān)系. 證明：設(shè)En= Efn, gn則m( n=0 En) n=0 mEn= 0.對(duì)任意的 0,E|f gn| ( n=0 En ) E|f fn| .所以 mE|f gn| m n=0 En + mE|f fn| = mE|f fn| . (1.33) 因?yàn)閒n(x) f(x),所以0 limmE|fgn| limmE|ffn| = 0.即gn f(x). ? 習(xí)題1.1.12設(shè)mE 0,使得數(shù)列mE|fn f| 0不收斂于零， 故存在正數(shù)0 0,以及子函數(shù)列fnk使得 mE|fnk f| 0 0 0.(1.34) 但在子函數(shù)列fnk中不存在幾乎處處收斂于f(x)的子函數(shù)列.事實(shí)上， 若有子函 數(shù)列fnkj在E上a.e.收斂于f,因mE 0,存在k,mE|f| k 5 和mE|g| k N時(shí)，mE|gn g| 0 5,mE|fn f| 0 5同時(shí)成立.此時(shí) 0= min ( 2(k+1),1 ) 說(shuō) 明0 1成立. |gn g|1 0,有E|gn g| 1 E|gn g| 0 E|gn| k + 1 E|g| k E|gn g| 1 E|g| k E|gn g| 0 (1.40) 對(duì)(1.40)取測(cè)度且由測(cè)度的單調(diào)性有 mE|gn| k + 1 mE|g| k + mE|gn g| 0 5 + 5 = 2 5 (1.41) 又包含關(guān)系成立0= min ( 2(k+1),1 ) E|gnfn gnf| 2 E|gn| k + 1 E|fn f| 2(k + 1) E|gn| k + 1 E|fn f| 0 (1.42) mE|gnfn gnf| 2 mE|gn| k + 1 + mE|fn f| 0 2 5 + 5 = 3 5 (1.43) 而 E|fgn fg| 2 E|f| k + 1 E|gn g| 2(k + 1) E|f| k + 1 E|gn g| 0 (1.44) 第一章 可測(cè)函數(shù)10 mE|fgn fg| 2 mE|f| k + mE|gn g| 0 5 + 5 = 2 5 (1.45) 又 E|gnfn gf| 2 E|gnfn gnf| 2 E|fgn fg| 2 (1.46) mE|gnfn gf| 2 mE|gnfn gnf| 2 + mE|fgn fg| 2 0, 0,存在N,s.t. n N時(shí)，mE|gngn gf| 0 = 0 (3).fn(x)在E上a.e.收斂于f(x)的充要條件是： m N=1 n=N E|f fn| 0 = 0. (4).fn(x)在E上依測(cè)度收斂于f(x)的充要條件是： lim n mE|f fn| 0 = 0. 證明分析：由于特征函數(shù)的取值是1或者0.由課本例題P90例題1,我們可以 知道這種特征函數(shù)的收斂子列只能有兩種情況.所以證明可以取定這個(gè)收斂的 函數(shù)為1來(lái)證明.當(dāng)然對(duì)于收斂到0的情況是類似的.綜上，這樣就可以說(shuō)明是收 斂到了收斂函數(shù)f(x)那里了.對(duì)于最后的結(jié)論里的E|fn f| 0這種結(jié)構(gòu)可以參 考課本例題P90例題1的證明過(guò)程， 最后得到的結(jié)果就是E En,不論是En上的取 值是1或0. 證明：(1).由題設(shè)fn(x)在E上一致收斂于f(x),即對(duì) = 1 2 0,N, s.t.n N,x E,|En1| N,En= 1成立， 否則 便有|0 1| N,En = E,即E|fn f| 0 = . 反之， 若N, s.t.n N,E|fnf| 0 = ,即En= E,滿足fn(x) 1,x En= E.這 時(shí)必有fn(x)在E上一致收斂于1. (2)、(3).提示： 首先寫(xiě)出基本上一致收斂和a.e.收斂的定義， 然后利用E|fn f| 0 = E En的等價(jià)寫(xiě)法即可. (4).若fn(x) 1,則 0, = 1 2,N,n N,mE|fn1| 1 2 0 = 0成立. 反之， (0,1),E|fn 1| = E En,因此， 由上一步的證明結(jié)果， lim n mE|fn f| 0 = lim n m(En E) = 0(1.60) 可得fn(x) 1. ? 第一章 可測(cè)函數(shù)13 習(xí)題1.1.15設(shè)fn(x)是E上有限可測(cè)函數(shù)列且m(E) 1 k. 第三章2定理9. gn(x)= sup kn |fk(x)|.所 以|gNk| = gNk. 證明： 由lim n fn(x) = 0在E上幾乎處處成立，設(shè)fn(x)在E上的不收斂于零的點(diǎn) 為E0= lim n fn(x) , 0,則E0 E,mE0= 0.從而，lim n fn(x) = 0,x E E0.令 不收斂到f點(diǎn)的集合可以表示為E0= k=1 N=1 n=N E|fn| 1 k.由題意知對(duì)于固定 的k,m ( N=1 n=N E|fn| 1 k ) = 0,由于 n=N E|fn| 1 k n=N+1 E|fn| 1 k,k = 1,2, ,且m(E) 1 k = m N=1 n=N E|fn| 1 k = 0(1.62) 對(duì)于任意正數(shù) 0和任意正數(shù)k存在Nk,使得1 k 2 limm n=Nk E|fn| 1 k = 0(1.63) E|gNk| = EgNk EgNk 2 = Esup kNk |fk(x)| 2 = k=Nk E|fk(x)| 2 (1.64) 第一章 可測(cè)函數(shù)14 對(duì)(1.64)N = Nk兩端取測(cè)度和極限利用(1.63)有 lim N mE|gN| = lim N m k=N E|fk(x)| 2 = 0 (1.65) 由(1.65)說(shuō)明gn 0. 設(shè)gn 0,由依測(cè)度收斂的定義知k N+, lim N mE|gN| 1 2k = 0.(1.66) 由等式 n=N E|fn| 1 k n=N E|fn| 1 2k = EgN 1 2k = Esup kN |fk(x)| 1 2k Esup kN |fk(x)| 1 2k (1.67) 從而， 由(1.66)、(1.67)得 m N=1 n=N E|fn| 1 k = lim N n=N E|fn| 1 k lim N mE|gN| 1 2k = 0.(1.68) 從而由于一列零測(cè)度集的并還是零測(cè)度集， 所以 m k=1 N=1 n=N E|fn| 1 k = 0.(1.69) 又因?yàn)椴皇諗康搅愕募蠟镋0= x : lim n f(x) , 0 = k=1 N=1 n=N E|fn| 1 k. 從 而mE0= 0且lim n fn(x) = 0,x E E0.即lim n fn(x) = 0在E上幾乎處處成立. ? 習(xí)題1.1.16設(shè)fn(x)在a,b上依測(cè)度收斂于f(x),且f(x)在a,b上有界， 證明若g(x)在R上 連續(xù)， 則g(fn)在a,b上依測(cè)度收斂于g(f).若f(x)在a,b上無(wú)界， 結(jié)論是否仍成 立？ 若a,b改為(,+),結(jié)論是否成立？ 證明分析： 證明復(fù)合函數(shù)的可測(cè)性. 第一章 可測(cè)函數(shù)15 命題1.1.2證明復(fù)合函數(shù)為可測(cè)函數(shù)的相關(guān)命題. (1).由依測(cè)度收斂的定義可易知gf(x),gfn(x)皆為可測(cè)函數(shù). (2).若fn f a.e.于R1,則gfn gf a.e.于R1.即連續(xù)復(fù)合函數(shù)保持a.e.收斂. 籠統(tǒng)的說(shuō)連續(xù)映射就是 將無(wú)窮小映成無(wú)窮小 的映射.當(dāng)fn(x) f(x)時(shí)， 經(jīng)過(guò)連續(xù)映 射 后 ，gfn(x) gf(x). 證明： (1)由依測(cè)度收斂的定義可以知道f(x), fn(x)為a.e.可測(cè)函數(shù)， 又g(x)為連續(xù)映 射， 所以復(fù)合函數(shù)gf(x),gfn(x