2016 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（決賽）試題 第 1 頁 2016 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題 第一試 (3 月 20 日上午 8:30 - 9:30) 一 、 選擇題 （本題滿分 42分，每小題 7分） (本題共有 6個(gè)小題，每題 均給出了代號為 A,B,C,中有且僅有一個(gè)是正確的 每小題選對得 7 分；不選、選錯(cuò)或選出的代號字母超過一個(gè)（不論是否寫 在括號內(nèi)），一律得 0 分 .) x 表示不超過 x 的最大整數(shù)，把 稱為 x 的小數(shù)部分 23t ， a 是 b 是 t 的小數(shù)部分，則 112（ ） 1 3 0 元、 15 元和 20 元，某學(xué)校計(jì)劃恰好用 500 元 購買上述圖書30 本 ，那么不同的購書方案有 （ ） 9 種 10種 1種 2種 3(A). 如果一個(gè)正整數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的立方差，則稱這個(gè)正整數(shù)為“和諧數(shù)” 3 3 3 32 1 ( 1 ) , 2 6 3 1 , 2 和 26 均為“和諧數(shù)” 超過 2016 的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為 （ ） 858 860 260 262 3(B） 1 ( 0 )y a x b x a 的圖象的頂點(diǎn)在第二象限，且過點(diǎn) (1,0) 為整數(shù)時(shí)， （ ） 4 e 的半徑 直于弦 交 點(diǎn) C ，連接 延長交 點(diǎn) E ,若8,2,則 的面積為 （ ） 2 5 16 8 四邊形 ， 090B A C B D C ， 5C, 1,對角線的交點(diǎn)為 M ，則 ( ) ,足 1,x y z 則 23M x y y z x z 的最大值為 ( ) 2016 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（決賽）試題 第 2 頁 二、填空題（本題滿分 28 分，每小題 7 分） (本題共有 4個(gè)小題，要求直接將答案寫在橫線上 .) 1.【 1(A)、 2（ B） 】 已知 的頂點(diǎn) A 、 C 在反比例函數(shù) 3 0x ）的圖象上， 090, 030,AB x 軸，點(diǎn) B 在點(diǎn) A 的上方，且 6,則點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 . 1(B)的 最大邊 的高線 中線 好把 三等分，3,則 . 2(A)， 分 , O 為對角線的交點(diǎn)，,O ,D 則 . 3.【 3(A)、 4(B)】 有位學(xué)生忘記寫兩個(gè)三位數(shù)間的乘號，得到一個(gè)六位數(shù)，這個(gè)六位數(shù)恰好為原來兩個(gè)三位數(shù)的乘積的 3 倍， 這個(gè)六位數(shù)是 . 3(B)p 、 q 滿足： 3 4 0 , 1 1 1 ,q p p q 則 最大值 為 . 4(A) 個(gè) 1、 5 個(gè) 2、 5 個(gè) 3、 5 個(gè) 4、 5 個(gè) 5 共 25 個(gè)數(shù)填入一個(gè) 5 行 5 列的表格內(nèi)（每格填入一個(gè)數(shù)），使得同一列中任何兩數(shù)之差的絕對值不超過 這5 個(gè)和的最小 值為 M ,則 M 的最大值為 . 第二試 (3 月 20 日上午 9:50 11:20) 一、（本題滿分 20 分） 已知 , 223 2 4M a a b b 能取到的最小正整數(shù)值 . 2016 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（決賽）試題 第 3 頁 二、（本 題滿分 25 分） (A) C 在以 直徑的 ， B 于點(diǎn) D ,點(diǎn) E 在 ， ,C四邊形 正方形， 延長線與 于點(diǎn) N E . (B)5, 2 2 2 1 5 , 3 3 3 求 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )a a b b b b c c c c a a 的值 . 2016 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（決賽）試題 第 4 頁 三、（本題滿分 25 分） (A),足： 1xy yz ,且 2 2 2 2 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 4x y y z z xx y y z z x . (1) 求 1 1 1xy yz 的值 . (2) 證明 : 9 ( ) ( ) ( ) 8 ( )x y y z z x x y z x y y z z x . (B)等腰 中 , 5,A B A CD 為 上異于中點(diǎn)的點(diǎn)，點(diǎn) C 關(guān)于 直線對稱點(diǎn)為點(diǎn) E ,延長線與 延長線交于點(diǎn) ,F 求 F 的值 . 2016 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（決賽）試題 第 5 頁 2016 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題 及詳解 第一試 (3 月 20 日上午 8:30 - 9:30) 一 、 選擇題 （本題滿分 42分，每小題 7分） (本題共有 6個(gè)小題，每題 均給出了代號為 A,B,C,中有且僅有一個(gè)是正確的 每小題選對得 7 分；不選、選錯(cuò)或選出的代號字母超過一個(gè)（不論是否寫在括號內(nèi)），一律得 0 分 .) x 表示不超過 x 的最大整數(shù)，把 稱為 x 的小數(shù)部分 23t ， a 是t 的小數(shù)部分， b 是 t 的小數(shù)部分，則 112（ ） 1 3 【答案】 A . 【解析】 1 2 3 , 1 3 2 ,23t 3 4 , 即 3 4,t 3 3 1 又 2 3 , 2 3 1 ,t 4 2 3 3 , ( 4 ) 2 3 , 1 1 1 1 2 3 3 1 1 ,2 2 2 22 ( 2 3 ) 3 1 故選 A. 0 元、 15 元和 20 元，某學(xué)校計(jì)劃恰好用 500 元購買上述圖書 30 本 ，那么不同的購書方案有 （ ） 9 種 10種 1種 2種 【答案】 C. 【解析】設(shè)購買三種圖書的數(shù)量分別為 , , ,x 301 0 1 5 2 0 5 0 0x y zx y z ， 即 303 4 1 0 0 2y z xy z x ，解得 20 210依題意得， ,自然數(shù)（非負(fù)整數(shù)）， 故 0 10,x x 有 11種可能的取值（分別為 0 ,1, 2 , , 9 ,1 0 )L ，對于每一個(gè) x 值， y 和 z 都有唯一的值（自然數(shù)）相對應(yīng) . 即不同的購書方案共有 11 種，故選 C. 3(A). 如果一個(gè)正整數(shù)可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的立方差，則稱這個(gè)正整數(shù)為“和諧數(shù)” 3 3 3 32 1 ( 1 ) , 2 6 3 1 , 2 和 26 均為“和諧數(shù)” 超過 2016 的正整數(shù)中，所有的“和諧數(shù)”之和為 （ ） 858 860 260 262 2016 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（決賽）試題 第 6 頁 【答案】 B. 【解析】 3 3 2 2( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 )k k k k k k k k 22(12 1)k （其中 k 為非負(fù)整數(shù)），由 22 (1 2 1 ) 2 0 1 6k 得， 9k 0 , 1 , 2 , , 8 , 9k L ，即得所有不超過 2016 的“和諧數(shù)”，它們的和為 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 31 ( 1 ) ( 3 1 ) ( 5 3 ) ( 1 7 1 5 ) ( 1 9 1 7 ) 1 9 1 6 8 6 0 . . 3(B） 1 ( 0 )y a x b x a 的圖象的頂點(diǎn)在第二象限，且過點(diǎn) (1,0) .當(dāng) 為整數(shù)時(shí)， （ ） 4 【答案】 B. 【解析】依題意知 0 , 0 , 1 0 ,2ba a 故 0,b 且 1 ， ( 1 ) 2 1a b a a a ， 于是 1 0,a 1 2 1 1a 又 為整數(shù)， 2 1 0,a 故 1 ,2 14故選 B. e 的半徑 直于弦 交 點(diǎn) C ，連接 延長交 點(diǎn) E ,若 8,2,則 的面積為 （ ） 2 5 16 8 【解析】設(shè) ,OC x 則 2,O A O D x BQ 于 ,C 1 4,2A C C B A B 在 中， 2 2 2 ,O C A C O A 即 2 2 24 ( 2 ) , 解得 3x ，即 3 （第 4 題答案圖） 的中位線， 2 6 O C 直徑， 90 ,B o 11 4 6 1 2 B B E 故選 A. 四邊形 ， 090B A C B D C ， 5C, 1,對角線的交點(diǎn)為 M ，則 ( ) 53 2016 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（決賽）試題 第 7 頁 2（第 5 題答案圖） 【答案】 D. 【解析】過點(diǎn) A 作 D 于點(diǎn) ,H 則 ,M 1,M 設(shè) ,AM x 則 5, 5 x A H x 在 中， 2 2 2 5,B M A B A M x 則255A B A M x25 ,55 顯然 0x ，化簡整理得 22 5 5 1 0 0 解得 5,2x（ 25x 不符合題意，舍去），故 5 ,2在 中， 22 12D M C M C D ,故選 D. ,足 1,x y z 則 23M x y y z x z 的最大值為 ( ) 【答案】 C. 【解析】 22( 2 3 ) ( 2 3 ) ( 1 ) 3 4 2 3 2M x y y x z x y y x x y x x y y x y 22221 1 12 2 3 3 22 2 2y x y x x x x 2 2 221 1 1 1 3 3222 2 2 2 4 4y x x x y x x 當(dāng)且僅當(dāng) 1 ,02時(shí)， M 取等號，故4M ，故選 C. 二、填空題（本題滿分 28 分，每小題 7 分） (本題共有 4個(gè)小題，要求直接將答案寫在橫線上 .) 2016 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（決賽）試題 第 8 頁 1.【 1(A)、 2（ B） 】 已知 的頂點(diǎn) A 、 C 在反比例函數(shù) 3 0x ）的圖象上， 090, 030,AB x 軸，點(diǎn) B 在點(diǎn) A 的上方，且 6,則點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 . 【答案】 3,22. 【解析】如圖，過點(diǎn) C 作 B 于點(diǎn) D . 在 中， c o s 3 3B C A B A B C 在 中， 33s i n ,2C D B C B （第 1題答案圖） 9c o s ,2B D B C B 32A D A B B D ,設(shè) 33, , ,C m A ， 依題意知 0,故 33,C D n m A ，于是 3323 3 32 解得 3223 ，故點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 3,22. 1(B)的最大邊 的高線 中線 好把 三等分，3,則 . 【答案】 2 . 【解析】 （ 第 1 題答案圖 1 ） （ 第 1 題答案圖 2） 依題意得 B A D D A M M A C , 09 0 ,A D B A D C 故 A B C A C B . (1)若 A B C A C B 時(shí)，如答案圖 1 所示， ,1 ,2B D D M C M 又 分 , 1 ,2A D D C M 在 中，即 1c o s ,2D A C06 0 ,D 從而 009 0 , 3 0B A C A C D . 2016 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（決賽）試題 第 9 頁 在 中， t a n 3 t a n 6 0 3 ,C D A D D A C o 在 中， 22 2A M A D D M . (2)若 A B C A C B 時(shí)，如答案圖 2 所示 2. 2(A)， 分 , O 為對角線的交點(diǎn)，,O ,D 則 . 【答案】 126o . 【解析】設(shè) ,O C D A D O , 分 , O C D O C B , ,A D O O B C D A O O C B , (第 2 題答案圖 ) O C D D A O , D,Q ,O O, A D O A O D B O C O B C , C, Q ,D ,D O D C O C D , 1 8 0B O C O D C O C D B O C O B C O C B 2 , 2 1 8 0 , 6 , 7 272D B C B C D o, ,B D C D A D 180 5 4 ,2A B D B A D o o 故 126A B C A B D D B C o. 3.【 3(A)、 4(B)】 有位學(xué)生忘記寫兩個(gè)三位數(shù)間的乘號，得到一個(gè)六位數(shù)，這 個(gè)六位數(shù)恰好為原來兩個(gè)三位數(shù)的乘積的 3 倍，這個(gè)六位數(shù)是 . 【答案】 167334. 【解析 】 設(shè)兩個(gè)三位數(shù)分別為 , 1 0 0 0 3x y ， 3 1 0 0 0 ( 3 1 0 0 0 ) ,y x y x y x 故 y 是 x 的正整數(shù)倍，不妨設(shè) y （ t 為正整數(shù)），代入得 1 0 0 0 3 ,t 1000 ,3 tx t 三位數(shù)， 1000 1003 tx t ，解得 1000,299t 正整數(shù)， t 的 可能取值為 1,2,3. 驗(yàn)證可知，只有 2t 符合，此時(shí) 1 6 7 , 3 3 4 故所求的六位數(shù)為 167334. 3(B)p 、 q 滿足： 3 4 0 , 1 1 1 ,q p p q 則 最大值為 . 2016 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（決賽）試題 第 10 頁 【答案】 1007 . 【解析】由 3 4 0 得， 3 4, 22 24( 3 4 ) 3 4 3 ,33p q q q q q q 因 q 為質(zhì)數(shù)，故 值隨著質(zhì)數(shù) q 的增大而增大，當(dāng)且僅當(dāng) q 取得最大值時(shí)， 得最大值 . 又 111 ， 3 4 1 1 1, 3284q，因 q 為質(zhì)數(shù)，故 q 的可能取值為 2 3 , 1 9 , 1 7 , 1 3 , 1 1 , 7 , 5 , 3 , 2，但 23q 時(shí)， 3 4 6 5 5 1 3 不是質(zhì)數(shù)，舍去 . 當(dāng) 19q 時(shí) , 3 4 5 3 恰為質(zhì)數(shù) a x m a , ( ) 5 3 1 9 1 0 0 7q p q . 4(A) 個(gè) 1、 5 個(gè) 2、 5 個(gè) 3、 5 個(gè) 4、 5 個(gè) 5 共 25 個(gè)數(shù)填入一個(gè) 5 行 5 列的表格內(nèi)（每格填入一個(gè)數(shù)），使得同一列中任何兩數(shù)之差的絕對值不超過 這5 個(gè)和的最小值為 M ,則 M 的最大值為 . 【答案】 10. 【解析】 (依據(jù) 5 個(gè) 1 分布的列數(shù)的不同情形進(jìn)行討論 ,確定 M 的最大值 . (1)若 5 個(gè) 1 分布在同一列，則 5M ； (2)若 5 個(gè) 1 分布 在兩列中，則由題意知這兩列中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為 3，故 2 5 1 5 3 2 0M ,故 10M ; (3) 若 5 個(gè) 1 分布在三列中，則由題意知這三列中出現(xiàn)的最大數(shù)至多為 3，故 3 5 1 5 2 5 3 3 0M ,故 10M ; (4) 若 5 個(gè) 1 分布在至少四列中，則其中某一列至少有一個(gè)數(shù)大于 3，這與已知矛盾 . 綜上所述， 另一方面，如下表的例子說明 M 可以取到 的最大值為 10. 第二試 (3 月 20 日上午 9:50 11:20) 一、（本題滿分 20 分） 已 知 , 223 2 4M a a b b 能取到的最小正整數(shù)值 . 【解析】解：因 ,使得 223 2 4M a a b b 的值為正整數(shù)，則有2a . 當(dāng) 2a 時(shí)， b 只能為 1，此時(shí) 故 M 能取到的最小正整數(shù)值不超過 4. 當(dāng) 3a 時(shí)， b 只能為 1 或 , 18;若 2b ，則 7M . 1 1 1 4 5 1 1 2 4 5 2 2 2 4 5 3 3 2 4 5 3 3 3 4 5 2016 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（決賽）試題 第 11 頁 當(dāng) 4a 時(shí)， b 只能為 1 或 2 或 , 38;若 2, 24;若 3,b 則 2M . (下面考慮： 223 2 4M a a b b 的值能否為 1？ ) （反證法）假設(shè) 1M ，則 223 2 4 1a a b b ，即 223 2 5a a b b ， 2( 3 ) 2 5a a b b 因 b 為正整數(shù)，故 25b 為奇數(shù)，從而 a 為奇數(shù)， b 為偶數(shù)， 不妨設(shè) 2 1, 2a m b n ，其中 , 2 2 2 2 2( 3 ) ( 2 1 ) 3 ( 2 1 ) ( 2 ) 4 ( 3 3 2 ) 3a a b m m n m m m n n 即 2(3 )a a b 被 4 除所得余數(shù)為 3，而 2 5 2 ( 2 ) 1 4 1b n n 被 4 除所得余數(shù)為 1， 故式不可能成立，故 1M M 能取到的最小正整數(shù)值為 2. 二、（本題滿分 25 分） (A) C 在以 直徑的 ， B 于點(diǎn) D ,點(diǎn) E 在 ，,C 四邊形 正方形， 延長線與 于點(diǎn) N E . (第 2(A)題答案圖 ) 【證明】：連接 直徑， B 于點(diǎn) D 90A C B A N B A D C o ,C A B D A C A C B A D C Q ,A C B A D C ,C 2A C A D A B 由四邊形 正方形及 B 于點(diǎn) D 可知 : 點(diǎn) M 在 ， D E D M E F M F ,N A B D A M A N B A D M Q ,A N B D M ,M ,A D A B A M A N 2 ,A C A M A N ,CQ 2A E A M A N 2016 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（決賽）試題 第 12 頁 以點(diǎn) F 為圓心、 半徑作 ,直線 于另一點(diǎn) P ,則 于點(diǎn) E ,即 切線，直線 割線，故由切割線定理得 2M P,即點(diǎn) N 與點(diǎn) P 重合，點(diǎn) N 在 ， F N F E D E . (注 ：上述最后一段得證明用了“同一法” ) (B)5, 2 2 2 1 5 , 3 3 3 求 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )a a b b b b c c c c a a 的值 . 【解析】由 已知得 2 2 2 21 ( ) ( ) 52a b b c c a a b c a b c 由恒等式 3 3 3 2 2 23 ( ) ( )a b c a b c a b c a b c a b b c c a 得， 4 7 3 5 (1 5 5 ) , 1 又 22 ( ) ( ) ( ) 5 ( 5 ) 5 5 ( 1 )a a b b a b c a b a b b c c a c c 同理可得 2 2 2 25 ( 4 ) , 5 ( 4 )b b c c a c c a a b 原式 = 35 ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) 1 2 5 6 4 1 6 ( ) 4 ( )a b c a b c a b b c c a a b c 1 2 5 6 4 1 6 5 4 5 ( 1 ) 6 2 5 . 【 注 ：恒等 式 32( ) ( ) ( ) ( ) ( )t a t b t c t a b c t a b b c c a t a b c 】 三、（本題滿分 25 分） (A),足： 1xy yz ,且 2 2 2 2 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 4x y y z z xx y y z z x . (3) 求 1 1 1xy yz 的值 . (4) 證明 : 9 ( ) ( ) ( ) 8 ( )x y y z z x x y z x y y z z x . 【解析】（ 1）解：由等式 2 2 2 2 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 4x y y z z xx y y z z x ， 去分母得 2 2 2 2 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ( ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 4z x y x y z y z x x y z ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 3 ( ) 0 ,x y z x y z x y z x y z y z x z x y x y z x y z x y z 2016 年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（決賽）試題 第 13 頁 ( ) ( ) ( ) ( ) 0x y z x y y z z x x y z x y y z z x x y z x y z ， ( ) ( 1 ) 0x y z x y z x y y z z x ， 1 , 1 0x y x y y z z x Q ， ( ) 0 ,x y z x y z x y z ， 原式 = 1.x y （ 2）證明：由（ 1）得計(jì)算過程知 x y