1 南京市 2016 屆高考 考前 綜合 題 一、填空題 1 已知 ， ， 是三個(gè)互不重合的平面 ， l 是一條直線 ， 下列命題中正確的個(gè)數(shù)是 若 ， l ， 則 l 不一定平行 ； 若 ， ， 則 ； 若 l 上有兩個(gè)點(diǎn)到 的距離相等 ， 則 l ； 若 l 與 ， 所成角相等 ， 則 【 答案 】 1 2 已知正項(xiàng)等比數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 6， 60,則 【答案】 90 【提示】由題知 6， 2260， 設(shè)等比數(shù)列 公比為 q,代入化簡(jiǎn)得 2q 8 0， q 2 或者 q 4(舍 )， 所以 90 （如果用求和公式則需要討論 q 1， q 1） 【說明】本題考查了等比數(shù)列的項(xiàng) 與 和關(guān)系 ， 通項(xiàng)公式 ， 求和公式 ， 考查了基本量的運(yùn)算 ， 合理選擇運(yùn)算方法 3 已知數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 數(shù)列 足 2 d(d 為常數(shù) ， 且 d 0， n N*)， 1， 2，且 則 . 【答案】 120. 【提示】由題得 2則 2 2(d 1) 2 (d 1)(d 2) 又 d 0， 得 d 1， 所以數(shù)列 數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列 ， 偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列 ， 于是 ( ( 10 1 10 92 1 10 2 10 92 1 120 【說明】本題考查等差數(shù)列的基本量運(yùn)算 ， 考查了簡(jiǎn)單的隔項(xiàng)成等差數(shù)列的求和問題 . 4 已知函數(shù) f (x) 2 |x| ， 則不等式 (x 2)f (x) 0 的解集是 _ . 【 答案 】 ( 2， 2) (2， ) 【 提示 】 注意到函數(shù) f (x)為偶函數(shù) ， 且 f ( 2) f (2) 0 當(dāng) x 0 時(shí) ， f (x) 2x ， 此時(shí) f(x) 2 0 恒成立 ， 于是 f (x)在 0， )上單調(diào)遞增 ， 根據(jù) f (x)為偶函數(shù)可知 ， f (x)在 ( ， 0上單調(diào)遞減 由 (x 2)f (x) 0 得 x 2 0，f (x) 0， 或者 x 2 0，f (x) 0， 即 x 2 或 2 x 2 【說明】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì) 以及簡(jiǎn)單的分類討論 該題沒有直接指明函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性 ， 需要能根據(jù)給定的解析式 發(fā)現(xiàn)其性質(zhì) ， 助于解決問題 5 已知圓 O： r2(r 0)及圓上的點(diǎn) A(0， r)， 過點(diǎn) A 的直線 l 交圓于另一點(diǎn) B， 交 x 軸于點(diǎn) C， 若則直線 l 的斜率為 _ 【答案】 3 【提示】 方法一： 設(shè)直線 l 的斜率為 k， 則直線 l 方程為 y r， 聯(lián)立直線與圓方程解得 B( 21， (1) 1 )， 又點(diǎn) C 坐標(biāo)為 (0)， 由 得 ( ( 21 (1) 1 2， 解得 k 3 方法二： 設(shè) B=， 在 ， 在 ， r 在 ， BC=由 得 2r 因?yàn)?(0，2)， 解得 2 ， 故 6，得 3，所以 k 3 由對(duì)稱性，得 k 3. 【說明】考查坐標(biāo)法處理直線與圓的位置關(guān)系 6 已知 斜率為 3的直線 l 過橢圓 1(a b 0)的右焦點(diǎn) F， 交橢圓于 A， B 兩點(diǎn) 若 原點(diǎn) O 關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓的右準(zhǔn)線上 ， 則橢圓的離心率為 _ 【答案】 63 【提示】直線 l 方程為 y 3(x c)， 設(shè) O 關(guān)于 l 的對(duì)稱點(diǎn)為 P(m， n)， 則 1 3(c)， 解得 m 32c，由題意知 32c 由 e63 【說明】考查點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題的處理方法及橢圓離心率的計(jì)算 7 如圖 ， 邊長(zhǎng)為 1 的正三角形 ， P 是 線段 的動(dòng)點(diǎn) ， Q 是 長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn) ，且 滿足 | | 2| |， 則 的最小值為 _ 【答案】 2532 【提示】設(shè) ， 0， 1， 則 2 ， 則 ， 2 因此 22 52 2( 58)2 2532， 因此 小值為 2532 【說明】本 題考查平面向量數(shù)量積的最值問題 ， 也可通過坐標(biāo)法解決 8 如圖 ， 凸四邊形 ， 2， 6， 4 設(shè)四邊形 積為 S， 則 S 的最大值為_ 【答案】 8 3 【提示】 S S S 12D12D412即 3； 由余弦定理得 22入化簡(jiǎn)得 2 3 兩式平方相加得 ： ( 4 10 6 C) 16（當(dāng) C) 1， 即 A C 時(shí)取 “ ”） ， 解得 S 8 3 【說明】本題考查三角形面積公式 ， 余弦定理 ， 兩角和差公式及三角函數(shù)最值 本題的背景是 “四條邊長(zhǎng)A B C D A B C P Q 3 當(dāng)其四點(diǎn)共圓時(shí)面積最大 ” 9 已知函數(shù) f (x) 1， x 0， x 1， x 0 若函數(shù) y f(f (x) k 有 3 個(gè)不同的零點(diǎn) ， 則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 _ 【 答案 】 (1， 2 【 提示 】 f(f (x)2x， x 0，2 0 x 1，2x 1作出函數(shù) f(f (x)的圖像可知 ， 當(dāng) 1 k2時(shí)， 函數(shù) y f(f (x) k 有 3 個(gè)不同的零點(diǎn) 【說明】本題考查函數(shù) 迭代運(yùn)算、函數(shù)的零點(diǎn)以及數(shù)形結(jié)合思想 一般的函數(shù)的零點(diǎn)問題要有意 識(shí)的借助于函數(shù)的圖像解決問題 10 已知 a， b， c 為正數(shù) ， 且 a 2b 5c，3a4b5c， 則a 3 最小值為 _ 【 答案 】 275 【 提示 】 由題意得2 5，3 4 5， 設(shè) x y 則有2x y 5，4x3y 5，即y 5 2x，y 34，45 x52作出平面區(qū)域得 ： 設(shè) a 3 t， 即 t 3x y， 當(dāng)直線 y 3x t 與曲線 y 34相切時(shí) ，t 最小 將直線 y 3x t 與曲線 y 34聯(lián)立方程組 ， 消去 y 整 理得 15(5t 9)x 4t 0， (5t 9)2 240t 0 得 t 275 或 t 35(舍 )， 于是 t 最小為 275 【說明】一般的含多個(gè)變量的不等式組問題要注意先減元再利用解決線性規(guī)劃問題的方法求解 11 已知 f (x) (x 1) |x| 3x 若對(duì)于任意 x R， 總有 f (x) f (x a)恒成立 ， 則常數(shù) a 的最小值是 _ 【 答案 】 3 10 【 提示 】 f (x) 2x， x 0， 4x， x 0， ， 作出函數(shù) f (x)的圖 象 得 ： 作平行于 x 軸的直線 l 與 f(x)圖 象 有三個(gè)交點(diǎn) ， 設(shè)最左邊與最右邊的交點(diǎn)分別為 M， N， 如圖所示 ， 則 ax y O (2,1) (1,3) 4 的最小值即為線段 的最大值 設(shè) 直線 l 的方程為 y t， 可得 3 1 t 4 t 3 ( 1 t 4 t)2 3 5 2 (1 t)(4 t) 3 5 1 t 4 t 3 10 所以， a 的最小值是 3 10 【說明】本題的難點(diǎn)是要能結(jié)合函數(shù)的圖 象 發(fā)現(xiàn)常數(shù) a 的最小值即為線段 的最大值 二、解答題 12 三角形 ， A 45， 2 （ 1）若 513， 求三角形 面積 S； （ 2）求 的 最大值 【解答】（ 1）因?yàn)?513， C (0， )， 所以 1213 由正弦定理得 c 2 2 24 213 又 C) 17 226 ， 所以 S 12408169 （ 2） 22 因?yàn)?2以 4 2 因?yàn)?2當(dāng)且僅當(dāng) b c 時(shí)取等號(hào)， 所以 4 22以 4 2 2， 所以 2 2 2，即 的 最大值為 2 2 2 【說明】考查三角形面積公式 ， 正弦定理 ， 平面向量的數(shù)量積 ，基本不等式 13 三角形 ， 三內(nèi)角 A， B， C 所對(duì)邊長(zhǎng)分別為 a， b， c， 45 （ 1）若 c 2a， 求 值 ； （ 2）若 C 45 B， 求 值 【解答】（ 1）由余弦定理知 ： 295即 b 3 55 a， 由正弦定理得 ： 3 55 為 45， B (0， )， 所以 35， 所以 55 （ 2）因?yàn)?45， B (0， )， 所以 35， 而 C) B 45) 22 (又 22425， 1 2725， 所以 31 250 【說明】考查正余弦定理 ， 兩角和差公式及二倍角公式 另外第（ 1）問還可以利用正弦定理將邊的關(guān)系 “c 2a”轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系 “2解決 5 如圖 ， 矩形 在的平面與平面 相垂直 . 在 ， O 為 中點(diǎn) ， 8， 6，5. （ 1） 求證 ： 平面 （ 2）設(shè) 中點(diǎn)為 M， 求證 ： 平面 【解答】 （ 1）取 點(diǎn) E， 連結(jié) 因?yàn)?O 為 點(diǎn) ， 所以 4， 3， 由 25 又 從而 由矩形 知 ： 又平面 在的平面與平面 相垂直 ，平面 面 面 所以 平面 而 面 故 FB， 所以 平面 （ 2）連結(jié) 1）知 ： 而 故 又 平面 面 所以 平面 同理可證： 平面 而 E=E，所以 平面 平面 又 面 以 平面 【說明】 本題第二問也可以使用線線平行來證明線面平行 . 15 如圖 ， 已知四棱錐 P 底面是邊長(zhǎng)為 2 的菱形 ， 60， 點(diǎn) E 是 的中點(diǎn) ， E 交于點(diǎn) O， 2 3， 且 平面 （ 1）求證 ： （ 2）在線段 找一點(diǎn) F， 使得 平面 并求此時(shí)四面體 體積 . 【解答】 （ 1）由題可得 正三角形 ， E 為 點(diǎn) ， 故 O 平面 面 則 而 O O， 所以 平面 D平面 故 （ 2） 取 點(diǎn)為 F， 再取 點(diǎn)為 G， 連結(jié) G 為 故 12又 12所以 于是四邊形 平行四邊形 ， 因此 F /平面 面 以 平面 由（ 1）知 ， 平面 C 而 故 且 E E，所以 平面 體積為 V=13S 13122 3 31 1. 另解（等體積轉(zhuǎn)化）：因?yàn)?面 B， F 兩點(diǎn)到平面 距離相等，所以四面體 體積等于四面體 為 平面 以 3 S . 【說明】 第一問考查空間中線線垂直的證明方法 ； 第二問屬于探究性問題 ， 本問注意與三模立體幾何題第二問區(qū)別開來 最終證明得到線面平行 6 16 如圖 ， 有一位于 A 處的觀測(cè)站 ， 某時(shí)刻發(fā) 現(xiàn)其北偏東 45且與 A 相距 20 2海里的 B 處有一貨船正以勻速直線行駛 . 20 分鐘后又測(cè)得該船位于觀測(cè)站 A 北偏東 45 （其中 15， 0 45） ， 且與觀測(cè)站 A 相距 5 13海里的 C 處 . （ 1） 求該船的行駛速度 v（海里 /小時(shí)） ； （ 2） 在離觀測(cè)站 A 的正南方 15 海里的 E 處有一半徑為 3 海里的警戒區(qū)域 ， 并且要求進(jìn)入警戒區(qū)域的船只不得停留在該區(qū)域超過 10 分鐘 . 如果貨船不改變航向和速度繼續(xù)前行 ， 則該貨船是否會(huì)進(jìn)入警戒區(qū)域？若進(jìn)入警戒區(qū)域 ， 是否能按規(guī)定時(shí)間離開該 區(qū)域？請(qǐng)說明理由 . 【解答】 （ 1）由題意 ： 20 2， 5 13， ， 因?yàn)?15， 0 45， 所以 526 26， 由余弦定理得 ： 2125， 即 5 5. 因?yàn)?航行時(shí)間為 20 分鐘 ， 所以該船的行駛速度為 v 15 5海里 /小時(shí) . （ 2）由（ 1）知 ， 在 ， 310 10， 則 1010 . 設(shè) 長(zhǎng)線交 點(diǎn) F， 則 45 B， B. 在 ， 由正弦定理可得 ： 解得 ： 20 海里 作 直 點(diǎn) G， 在 ， 55 ， 5， 所以 5. 顯然 ， 5 3， 故貨船會(huì)進(jìn)入警戒區(qū) . 則貨船進(jìn)入警戒區(qū)的時(shí)間為 2 32 515 5 475 5小時(shí)， 而 475 5 16， 所以貨船可以在規(guī)定時(shí)間之內(nèi)離開警戒區(qū)域 . 【說明】 考查正、余弦定理的運(yùn)用 ， 求解直線與圓的弦長(zhǎng)問題 ， 考查學(xué)生解決實(shí)際問題的能力 本題第二問也可以通過建立平面直角坐標(biāo)系來解決直線與圓的位置關(guān)系問題 . 17 某工廠制造一批無蓋圓柱形容器 ， 已知每個(gè)容器的容積都是 立方米 ， 底面半徑都是 r 米 為 a 元 /平方米 ， 制造側(cè)面的材料費(fèi)用為 b 元 /平方米 ， 其中 1， 設(shè)計(jì)時(shí)材料的厚度忽略不計(jì) . （ 1）試將制造每個(gè)容器的成本 y（單位 ： 元）表示成底面半徑 r（單位 ： 米）的函數(shù) ； （ 2）若要求底面半徑 r 滿足 1 r 3（單位 ： 米） ， 則如何設(shè)計(jì)容器的尺寸 ， 使其成本最低？ 【解答】 （ 1）設(shè)每個(gè)容器的高為 h 米 ， 則圓柱的體積為 V ， 即 1. 所以 ， 制造成本 y 2(2（ r 0） . 南北45 x y O A B Q P （ 2） y 2( 令 y 0， 則有 r 3 . 列表得 ： r （ 0， 3 3 （3 ） y 0 y 單調(diào)遞減 極小值 單調(diào)遞增 （ i）當(dāng) 3 3， 即 27， 則函數(shù) y 在 1,3上單調(diào)遞減 ， 所以當(dāng) r 3 時(shí) ， y 取得最小值 ， 此時(shí)底面半徑應(yīng)設(shè)計(jì)成 3 米 . （ 1 3 3， 即 1 27， 則函數(shù) y 在 1, 3 上單調(diào)遞減 ， 在 3 3上單調(diào)遞增 ， 所以當(dāng) r 3 ， y 取得最小值 ， 此時(shí)底面半徑應(yīng)設(shè)計(jì)成 3 . 綜上 ， 當(dāng) 27 時(shí) ， 應(yīng)將 底面半徑設(shè)計(jì)成 3 米 ； 當(dāng) 1 27 時(shí) ， 應(yīng)將 底面半徑設(shè)計(jì)成 3 . 【說明】 考查圓柱體的體 積及表面積的計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，分類討論思想的運(yùn)用，考查學(xué)生解決實(shí)際問題的能力 . 18 已知橢圓 1， 左頂點(diǎn)為 A， 右準(zhǔn)線與 x 軸的交點(diǎn)為 B， 點(diǎn) P 為橢圓右準(zhǔn)線上且在第一象限內(nèi)的點(diǎn) ， 直線 橢圓于點(diǎn) Q， 連接 （ 1）當(dāng) 2 時(shí) ， 求證 ： 直線 橢圓只有一個(gè) 公共 點(diǎn) ； （ 2）過點(diǎn) P 與直線 直的直線 l 在 y 軸上的截 距為 t， 當(dāng) t 最大時(shí)， 求直線 方程 【解答】（ 1）由題意知 ， 右準(zhǔn)線方程為 x 4 設(shè) P(4， m)， 因?yàn)?2 ， 即 Q 為 點(diǎn) ， 因?yàn)?A(2， 0)， 所以點(diǎn) Q(1， 代入橢圓方程得 14 8 13( 1， 解得 m 3（負(fù)值舍去） ， 所以 Q(1， 32) 又 B(4， 0)， 所以 直線 程為 y 12(x 4)， 聯(lián)立直線與橢圓方程得y 12(x 4)，1，消去 y， 得 2x 1 0， 該方程有兩個(gè)相等的實(shí)根， 所以直線與橢圓只有一個(gè) 公共 點(diǎn) （ 2） 程為 y k(x 2)(k 0)， 則點(diǎn) P 坐標(biāo)為 (4， 6k)， 聯(lián)立直線與橢圓方程y k(x 2)，1，消去 y， 得 (3 4k2)161612 0 設(shè)方程兩根為 由題意知 2， 因?yàn)?16123 4 因此 863 4 代入直線方程得 24即 Q( 863 4124 則 直 線 斜率為 21，則直線 12k ， 所以直線 y 6k 412k (x 4) 令 x 0， 得 y (2k 2k) 22k2k 4（當(dāng)且僅當(dāng) k 1 時(shí)取 “ ”號(hào)） ， 此時(shí)直線 程為 y x 2 【說明】考查直線與橢圓的位置關(guān)系及解幾中的最值問題 19 已知橢圓 1(a b 0)上頂點(diǎn) A(0， 2)， 右焦點(diǎn) F(1， 0)， 橢圓上任一點(diǎn)到點(diǎn) F 的 距離與到定直線 l： x m 的距離之比為常數(shù) k （ 1）求常數(shù) m， k 的值 ； （ 2）過點(diǎn) F 的直線交橢圓于點(diǎn) S， T 兩點(diǎn) ， P 為直線 l 上一動(dòng)點(diǎn) 若 求證 ： 直線 分線段 設(shè)直線 斜率分別為 求證 ： 【解答】（ 1）由題意知 b 2， c 1， 則 a 5， 所以橢圓方程為 1 設(shè) M(x， y)為橢圓上任一點(diǎn) ，由題意知 (x 1)2 y2|x m| k， 整理得 (x1)2 k2(xm)2 又 44 代入上式整理得 (15k2)x2x O y P F T A l S 9 2()x 50 由題意知上式恒成立 ， 則150，2() 0，50，解得 k 55 ， m 5 （ 2） 當(dāng) 率不存在時(shí) ， 由 得 P 為直線 l 與 x 軸的交點(diǎn) ， 此時(shí) 線段 直線 分 ； 當(dāng) 率 為 0 時(shí) ， 不合題意 ； 當(dāng) 率存在時(shí) ， 設(shè)直線 程為 y k(x1)， 聯(lián)立直線與橢圓方程y k(x1)1， 消去 y， 得 (45k2)050 0 設(shè) S( T( 則 105204 5 0 設(shè)線段 點(diǎn)為 ( 則 55 k() 45所以 點(diǎn)為 (55 45 因?yàn)?所以直線 程為 y 1k(x1)， 所以點(diǎn) P 坐標(biāo)為 (5， 4k)， 則直線 程為 y 45 45即 (直線 ， 即 直線 分線段 綜上 ， 直線 分線段 （ 2）當(dāng) 率不存在時(shí) ， 易得 S(1， 4 55 )， T(1， 4 55 ) 設(shè) P(5， t)， 則 k1t 4 554 ， k2k3t 4 554 ，則 k3t4 554 t 4 554 2即 當(dāng) 率存在時(shí) ， 設(shè)直線 程為 y k(x1)（同第（ 1）問） 設(shè) P(5， t)， 則 ttk()5x1k t4k5 ttk()5k t4k5則 k t4k5k t4k52k(t4k)(10x15 5 2k(t4k)10(255( 由（ 1）知 0504 5代入上式得2k(t4k)10 10555 10504 52k (t4k)(40 400 80 2kt4又 k2所以 2 綜上 ： 【說明】考查直線與橢圓的位置關(guān)系 ， 解析幾何中的恒成立問題及 分類討論思想 20 已知函數(shù) f (x) 23(k 1)6t， 其中 k， t 為實(shí)數(shù) ， 記區(qū)間 2， 2為 I （ 1）若函數(shù) f (x)的圖像與 x 軸相切于點(diǎn) (2， 0)， 求 k， t 的值 ； （ 2） 已知 k 1， 如果存在 ( 2， 2)， 使得 f ( f (x)在 I 上的最大值 ， 求 k 的取值范圍 ； （ 3）已知 103 k 3， 若對(duì)于任意 x I，都 有 f (x) 6(x 2)求 t 的最小值 （ 【解答】 （ 1） f(x) 66(k 1)x 6k 6(x 1)(x k)， 因?yàn)?函數(shù) f (x)的圖像與 x 軸相切于點(diǎn) (2， 0)， 于是 f (2) 0， f(2) 0， 即 2 k 0， 16 12(k 1) 12k t 0， 解得 k 2， t 4 10 （ 2）當(dāng) k 2 時(shí) ， f (x)在 ( 2， 1)上單調(diào)遞增 ， 在 (1， 2)上單調(diào)遞減 ， 于是存在 1， 使得 f ( f (x)在 I 上的最大值 ； 當(dāng) k 1 時(shí) ， f(x) 0 恒成立 ， 故 f (x)在 I 上單調(diào)遞增 ， 故不存在 ( 2， 2)， 使得 f ( f (x)在 I 上的最大值 ； 當(dāng) 1 k 2 時(shí) ， f (x)在 ( 2， 1)上單調(diào)遞增 ， 在 (1， k)上單調(diào)遞減 ， 在 (k， 2)上單調(diào)遞增 ， 于是若存在 ( 2， 2)， 使得 f ( f (x)在 I 上的最大值 ， 則必有 f (1) f (2)， 即 k 53， 又 1 k 2， 于是 53 k 2； 綜上 ， k 53 （ 3） 對(duì)于任意 x I，都 有 f (x) 6(x 2) 即對(duì)于任意 x I，都 有 23(k 1)6t 6(x 2) t 6(x 2)23(k 1)6 g (x) 6(x 2)23(k 1)6x 2， 2， 則 g(x) 6(x 1)( x k)， 令 h(x) x k， x 2， 2， 則 h(x) 1， 于是 h(x)在 ( 2， 0)上單調(diào)遞減 ， 在 (0， 2)上單調(diào)遞增 ， 又 h( 2) 12 k 12 3 11 0， 于是當(dāng) x 2， 0時(shí) h(x) 0 恒成立 ， 又 h(1) e 1 k e 1 3 e 4 0， h(2) 2 k 2 103 163 0， 因此 h(x) x k， x 2， 2存在唯一的零點(diǎn) (1， 2)， 于是 g (x)在 ( 2， 1)上單調(diào)遞增 ， 在 (1， 單調(diào)遞減 ， 在 (2)上單調(diào)遞增 ， 所以 g (x)g (1)， g (2) 又 g (1) g (2) (1 6e 3k) ( 4) 5 6e 3k 5 6e 3( 103 ) 15 6e 0， 于是 g (1) g (2)， 所以 g (x)g (2) 4， 即 t 4， 因此 t 的最小值是 4 【說明】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值 ， 分類討論思想及函數(shù)極值點(diǎn)常見的處理方法 其中第三問要能通過給定的 k 的范圍比較相關(guān)量的大小 21 已知函數(shù) f (x) ax(a R)， g (x) （ 1）求證 ： g (x) （ 2）設(shè) h(x) f (x) x)(b R) 若 b 0， 且當(dāng) x 0 時(shí) h(x) 0 恒成立 ， 求 a 的取值范圍 ； 若 h(x)在 (0， )上存 在零點(diǎn) ， 且 a b 2， 求 b 的取值范圍 【解答】 （ 1）設(shè) h (x) g (x) h(x) x 22x ， 于是 f (x)在 (0， 2)上單調(diào)遞減 ， 在 (2， )上單調(diào)遞增 ， 于是 h (x)h (2) 1 0， 從而 h (x) 0 恒成立 ， 即 g (x) （ 2） h(x) f (x) x) b 因?yàn)?b 0， 所以 h(x) h(x) (x a)(2x a)x ， 11 當(dāng) a 0 時(shí) ， h(x) 0 恒成立 ； 當(dāng) a 0 時(shí) ， h(x)在 (0， 單調(diào)遞減 ， 在 ( )上單調(diào)遞增 ， 于是 h(x)h( 0， 即 340， 解得 0 a 2 當(dāng) a 0 時(shí) ， h(x)在 (0， a)上單調(diào)遞減 ， 在 ( a， )上單調(diào)遞增 ， 于是 h(x)h( a) 0， 即 a) 0， 解得 1 a 0 綜上 ， 1 a 2 因?yàn)?h(x)在 (0， )上存在零點(diǎn) ， 所以 b 0 在 (0， )上有解 ， 即 a x (0， )上有解 又 因?yàn)?a b 2， 即 a b 2， 所以 x b 2 在 (0， )上有解 由（ 1）可知 x， 因此 b 2 設(shè) F(x) 2則 F(x)(x 1)(x 22)(x ， 因?yàn)?所以 x 22 0， 于是 F(x)在 (0， 1)上單調(diào)遞減 ， 在 (1， )上單調(diào)遞增 ， 所以 F(x)F(1) 1， 故 b 1 【說明】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 ， 第二問中涉及恒成立問題及存在性問題 ， 一般說來首選方法是參變分離 ，遇到不能 分離的應(yīng)考慮構(gòu)建新的函數(shù)解決問題 注意比較第二問中解決問題的方法選擇 22 定義 ： 從數(shù)列 取出部分項(xiàng) ， 并將它們按原來的順序組成一個(gè)數(shù)列 ， 稱為數(shù)列 一個(gè)子數(shù)列 一個(gè)公差不為零的等差數(shù)列 ； （ 1）已知 6， 自然數(shù) ， 滿足 4 ， 若 2， 且 ， 是等比數(shù)列 ， 求 若 4， 求證 ： 數(shù)列 ， 不是等比數(shù)列 . （ 2） 已知 存在自然數(shù) ， ， 其中 若 ， 是 一個(gè)等比子數(shù)列 ， 若 m(m 為正整數(shù) )， 求 (答案用 m， t 表示 ). 【解答】 （ 1） 設(shè)數(shù)列 公差為 d， 因?yàn)?2， 6， 所以 2d 4， d 2， (n 2)d 2n 2，設(shè)無窮等比數(shù)列公比為 q， q 3， 所以 2 33 22， 故 28. 假設(shè)數(shù)列 ， 是無窮等比數(shù)列 .則 所以 9, 272 d 1， d 1， (n 2)d n 2， 所以2 272 ， 232 / N* 這與 所以數(shù)列 ， 不是無窮等比數(shù)列 . （ 2） 方法 1 因?yàn)?(k1)d (m 1)所以 d (m 1) 又 ， 是 一個(gè)等比子數(shù)列 ， (k1)d， 將 d (m 1) 得 1 (m 1)（ k1） 12 解得 1 m 方法 2 因?yàn)?等比數(shù)列 ， 所以 (1)(1)d 1(k1)(1)d k1) 則 (k2)d (k1)d因?yàn)?d 不為零 ，m， 所以 (k1)m， 同理可得 (k2)m， ， 1 (1 2)m(t 3)， 所以 1(t 2)是等比數(shù)列 ， 則 1 ( 2(t 2)， 累加得 ( 1 11 m ， 所以 1 k1(t 2)，易知當(dāng) t 1 時(shí)，此式也成立，于是 1 m 【說明】本題主要探究了無窮等差數(shù)列中能有無窮等比子數(shù)列的條件問題 ， 考查了等差數(shù)列等比數(shù)列的概念及基本量運(yùn)算 ， 通項(xiàng)公式的求法 ， 反證法等等 推理論證能力和化歸思想 . 23 等差數(shù)列 差大于零 ， 且 52， 134 ， 記 前 n 項(xiàng)和為 等比數(shù)列 項(xiàng)均為正數(shù) ， 公比為 q， 記 前 n 項(xiàng)和為 （ 1）寫出 i 1， 2， 3， 4， 5， 6）構(gòu)成的集合 A. （ 2）若 q 為正整數(shù) ， 問是否存在 正整數(shù) k， 使得 時(shí)為（ 1）中集合 A 的元素？若存在 ， 求 出所有符合條件的 通項(xiàng)公式 ， 若不存在 ， 請(qǐng)說明理由 . （ 3）若將 列 構(gòu)成數(shù)列 求 一個(gè)通項(xiàng)公式 . 【解答】 （ 1）由 52， 134 ， 設(shè) 差為 d， d 大于零 ， 得 1， 32， d 12， 12， 所以 A 12，32， 3， 5，152 ，212 （ 2）因?yàn)?等比數(shù)列 ， 0， q N* 當(dāng) q 1 時(shí) ， 33， 所以 32， 12， 所以 12， 12k， 12k. 當(dāng) q 1 時(shí) ， q ， q 因?yàn)?q N*， q 1， 所以 q 2， 則 1 1 2 4 7， 所以12，5，或12，152 ，或12，212 ，或32，212 ，當(dāng)12，5時(shí) ， 1 10， 解得 1 372 / N* 當(dāng)12，152時(shí) ， 1 15， 解得 1 572 / N* 13 當(dāng)12，212時(shí) ， 1 21， 解得 4 或 5(舍 ) 由 q 2， k 2， 代入 q ， 得 6，所以 62n 1 由 q 4， k 1， 代入 q ， 得 2，所以 24n 1=4n 2 當(dāng)32，212時(shí) ， 1 7， 解得 2 或 3(舍 )， 所以 q 2， k 1， 代入 q ， 得 2， 所以 3 2n 2 綜 上， 12k(k N*)或 162n 1或 4n 2或 3 2n 2 （ 3）因?yàn)?整數(shù)項(xiàng) ， 所以 n 4k 或 4k 1， k N* 當(dāng) n 4k 1， k N*時(shí) ， (4k 1)k； 當(dāng) n 4k， k N*時(shí) ， k(4k 1)； 因?yàn)?列 構(gòu)成數(shù)列 所以 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí) ， k n 12 ， (4 n 12 1) n 12 23n 12 ； 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí) ， k (2n 1) 2所以 23n 12 (，2，【說明】本題是數(shù)列與方程的綜合問題 方程整解問題 推理論證能力 ， 分類討論思想 . 14 附加題 1 如圖 ， 四棱錐 S 底面是平行四邊形 ， 2， 2 2， 平面 2， 點(diǎn) D 上的點(diǎn) ， 且 （ 0 1） . （ 1）求證 ： 對(duì)任意的 0 1， 都有 ； （ 2）若二面角 C D 的大小為 60， 求 的值 【解答】 （ 1）因?yàn)?2， 2 2， 所以 故以 D 為原點(diǎn) ， 在直線為 x 軸 ， 在直線為 y 軸 ， 在直線為 z 軸 ， 建立空間直角坐標(biāo)系 o 則 D（ 0,0,0） ， A（ 2,0,0） ， B（ 0,2,0） ， C（ 2,2,0） ， S（ 0,0,2） ， E（ 0,0,2） . 所以 （ 2,2, 2） ， （ 2,0, 2） ， （ 4,2, 0） ， （ 0, 2,2） ， 則有 4 4 ( 4 0) 4 0， 即 （ 2） 設(shè)平面 一 個(gè)法向量為 n （ x,y,z） ， 所以 n 0， 即 2x 2z 0. 同理 n 0， 即 4x 2y 0 取 z 1， 則 x ， y 2， 所以平面 一個(gè)法向量為 n （ ,2,1） 顯然平面 一個(gè)法向量為 m （ 0,1,0） ， 由 二面角 C D 的大小為 60知 n, m | 12， 解 得 1111 【說明】 考查空間向量