第 1 頁，共 11 頁 2016 年高考模擬試卷 (5) 南通市數(shù)學(xué)學(xué)科基地命題 第卷（必做題，共 160 分） 一、 填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共 70 分 1 設(shè) 集合 2,5A ， 13B x x ， 則 2 設(shè) ， 復(fù)數(shù) 212（ i 是虛數(shù)單 位 ）是純虛數(shù) ， 則 a 的值 為 3 如圖是某班 8 位學(xué)生詩朗誦比賽得分的莖葉圖，那么這 8 位學(xué)生得分的平均分 為 4 執(zhí)行如圖所示的偽代碼，則輸出的結(jié)果的集合為 5 甲、乙兩人下棋，結(jié)果是一人獲勝或下成和棋已知甲不輸?shù)母怕蕿?乙不輸?shù)母怕蕿?則兩人下成和棋的概率為 6 設(shè)函數(shù) 2 4 6 , 0 ,() 6 , 0 ,x x 則不等式 )1()( 的解集是 7 已知圓 柱 的底面半徑為 r ，高為 h ，體積為 2 ，表面積為 12，則 11 8 在平 面直角坐標(biāo)系 ，已知點(diǎn) A 為雙曲線 224的左頂點(diǎn)，點(diǎn) B 和 點(diǎn) C 在雙曲線的右支上， 是等邊三角形，則 的面積為 9 若 ) 24 ，則 的值為 10 已知定義在集合 A 上的函數(shù)22( ) l o g ( 1 ) l o g ( 2 1 )f x x x ，其值域?yàn)?,1 ，則 A 11 數(shù)列 a，4 7a ，對(duì) ，當(dāng) 2n 時(shí)， 211(1 ) (1 ) (1 )n n na a a ，則數(shù)列 12設(shè)實(shí)數(shù) 1, 1，則“ ”是“ ln b a b ”成立的 條件 . （請(qǐng)用“ 充分不必要 ”、“ 必要不充分 ”、“ 充要 ”、“ 既不充分也不必要 ”中之一填空） 13 在 中， 45B o ， ,中點(diǎn)，且 2B M A C C N A B A的值為 14 在平面直角坐標(biāo) ，設(shè)圓 M 的半徑為 1，圓心在直線 2 4 0 上 ,若圓 M 上不存在點(diǎn) N，使12A ,其中 A（ 0， 3），則圓心 . 二、解答題：本大題共 6 小題，共計(jì) 90 分請(qǐng)?jiān)?答題卡指定區(qū)域 內(nèi)作答，解答時(shí)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 15（本小題滿分 14 分） 中，角 A， B， C 所對(duì)應(yīng)的邊分別為 a， b， c，面積為 S （ 1） 若 23C S求 A 的值； （ 2） 若 1 2 3，且 1c ，求 b S S+I 第 4 題 ) （第 3 題） 8 589 012246第 2 頁，共 11 頁 16 （本小題滿分 14 分） 如圖，四棱錐的底面 平行四邊形， 平面 M 是 點(diǎn)， C 中點(diǎn) （ 1）求證： / （ 2）若 平 面 平 面 求證： D 17（本小題滿分 14 分） 為響應(yīng)新農(nóng)村建設(shè)，某村計(jì)劃對(duì)現(xiàn)有舊水渠進(jìn)行改造，已知舊水渠的橫斷面是一段拋物線弧，頂點(diǎn)為水渠最底端（如圖），渠寬為 4m，渠深為 2m （ 1）考慮到農(nóng)村耕地面積的減少，為節(jié)約水資源，要減少水渠的過水量，在原水渠內(nèi)填土，使其成為橫斷面為等腰梯形的新水渠，新水渠底面與地面平行（不改變渠寬），問新水渠底寬為多少時(shí)，所填土的土方量最少？ （ 2）考慮到新建果園的灌 溉需求，要增大水渠的過水量，現(xiàn)把舊水渠改挖（不能填土）成橫斷面為等腰梯形的新水渠，使水渠的底面與地面平行（不改變渠深），要使所挖土的土方量最少，請(qǐng)你設(shè)計(jì)水渠改挖后的底寬，并求出這個(gè)底寬 18 （本小題滿分 16 分） 在平面直角坐標(biāo)系 ，已知橢圓 22 1 ( 0 )xy 的右頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)分別為 ,圓的離心率為 32，且過 點(diǎn) 3(1, )2 （ 1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ 2）如圖，若直線 l 與該橢圓交于 ,線 ,斜率互為相反數(shù) 求證：直線 l 的斜率為定值； 若點(diǎn) P 在第一象限，設(shè) 與 的面積分別為12,12最大值 （ 第 17 題 圖 ） 2 4 16 題） C A B D M P N 第 3 頁，共 11 頁 19 （本小題滿分 16 分） 已知 函數(shù) 2( ) ( 2 ) l nf x m x m ， 2( ) 1g x x m x ， （ 1） 當(dāng) 0m 時(shí)， 求 () 若存在12, 1, 2使得12( ) ( ) 1f x g x成立，求 m 的取值范圍； （ 2） 設(shè) ()e 的導(dǎo)函數(shù) ()，當(dāng) 1m 時(shí)，求證： 2 ( ) 1 ( ) 1g x h x e （其中 e 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)） 20 （本小題滿分 16 分） 若數(shù)列 在正整數(shù) k ，使得 2n k n k na a a對(duì)一切 ,n n k*N 都成立，則稱數(shù)列 k 級(jí)等差數(shù)列 （ 1）已知數(shù)列 級(jí)等差數(shù)列，且前四項(xiàng)分別為 2,0,4,3 ，求89值； （ 2）若 2 s na n n為常數(shù)），且 級(jí)等差數(shù)列，求 所有可能值的集合，并求 取最小正值時(shí)數(shù)列 3n 項(xiàng)和3 （ 3）若 級(jí)等差數(shù)列， 級(jí)等差數(shù)列，證明： 第卷（附加題，共 40 分） 21 【選做題】本題包括 A、 B、 C、 D 共 4 小題， 請(qǐng)選定其中兩小題 ， 并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答 若多做，則按作答的前兩小題評(píng)分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、 證明過程或演算步驟 A （選修：幾何證明選講） 如圖 ， 直角 ,圓 O 與射線 切于點(diǎn) T ， 與射線 交于兩點(diǎn) 分 . B （選修：矩陣與變換） 設(shè)二階矩陣 A ， B 滿足 1 1234 A， 1001 1B C （選修：坐標(biāo)系與參數(shù)方程） 在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線 :C 2s i n 2 c o s ( 0 ) ，過點(diǎn) ( 2, 4)P 的直線 l 的參數(shù)方程為222242 （ t 為參數(shù)）， l 與 C 分別交于 , （ ）寫出 C 的平面直角坐標(biāo)系方程和 l 的普通方程； （ ）若 ,P M M N P a 的值 D （選修：不等式選講） 設(shè) x， y 均為正數(shù)，且 x y，求證：2212 2 32x y y （第 21 題 A） 第 4 頁，共 11 頁 【必做題】第 22 題、第 23 題，每題 10 分，共計(jì) 20 分請(qǐng)?jiān)?答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答 ，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 22 (本小題滿分 10 分 )如圖，已知三棱柱 側(cè)棱與底面垂直， 1， 、 N 分別是 中點(diǎn)，點(diǎn) P 在直線 ，且滿足 111 （ R） （ 1） 求異面直 線 成的角； （ 2）若平面 平面 成的角為 45，試確定點(diǎn) P 的位置 23 （ 本小題滿分 10 分 ） 設(shè)集合 1, 0,1M ，集合1 2 3 ( , , ) | , 1 , 2 , , n n iA x x x x x M i n ，集合“121 | | | | | |nx x x m L” 的元素個(gè)數(shù)記為 （ 1） 求 222 （ 2） 當(dāng) 時(shí)，求證： 1 13 2 2n m n 2016 年高考模擬試卷 (5) 參考答案 （第 22 題） 第 5 頁，共 11 頁 南通市數(shù)學(xué)學(xué)科基地命題 第卷（必做題，共 160 分） 一、填空題 1 2 2 4 3 91 4 2,5,10 5 12 6 ( 3,1) (3, ) U 7 3 9 35 103(1, 2 11 21 12充要 13 22 14 12( , 0 ) ( , )5 U 【解析】 設(shè) N（ x,y) ，由 12A得：2 2 2 24 ( ) ( 3 ) ,x y x y 化簡(jiǎn)得： 22( 1) 4 ，表示為以 (0, 1)B 為圓心， 2為半徑的圓，由題意得圓 , 2 4)M a a 無交點(diǎn)，即 2 2 2( 2 4 1 ) ( 2 1 ) 或 2 2 2( 2 4 1 ) ( 2 1 ) ，解得圓心M 橫坐標(biāo)的取值范圍為： 12( , 0 ) ( , )5 U 二、解答題 15 （ 1）由題意知， c o A C 1 , 所以 c o s 3 s i nb c A b c A ， 2 分 即 co s 3 ， 3， 因?yàn)?A 為三角形內(nèi)角， 所以6A ； 6 分 （ 2） 設(shè) ， ， ，由題意知， 0m 因?yàn)?t a n t a nt a n t a n ( ) 1 t a n t a B ， 8 分 則233 12mm m ， 解得 1m ，則 B ， C ，從而 25， 3 10， 12 分 所以 s 2s 3A C C，則 223 14 分 16 （ 1）取 點(diǎn) E ，連 在 中， /C 且 12C， 又 12D， /C ， C 得 / 2 分 四邊形 平行四邊形， 得 /E ， 面 面 /面 6 分 （ 2）過點(diǎn) A 作 垂線，垂足為 H ， Q 面 面 面 M ， M ， 面 第 6 頁，共 11 頁 面 8 分 面 Q 平面 10 分 平面 Q H AI ， 面 面 12 分 面 D 14 分 17. 建立如圖所示的直角 坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的方程為 2 20x py p，由已知點(diǎn) 22P ， 在拋物線上，得1p ，所以拋物線的方程為 212. 2 分 （ 1）為了使填入的土最少，內(nèi)接等腰梯形的面積要最大，如圖 1， 設(shè)點(diǎn) 21, 0 22A t t t ，則此時(shí)梯形 面積 2 3 21 1 12 4 2 2 42 2 2S t t t t t t ， 6 分 23 2 22S t t t ,令 23 2 2 = 02S t t t ，得 23t， 當(dāng) 20, 3t 時(shí)， 0， 當(dāng) 2, 23t 時(shí)， 0， 所以當(dāng) 23t時(shí)， 2827，改挖后的水渠的底寬為 43m 時(shí)， 可使填土的土方量最少 . 8 分 （ 2） 為了使挖掉的土最少，等腰梯形的兩腰必須與拋物線相切，如圖 2， 設(shè)切點(diǎn) 21, 02M t t t ， 則函數(shù)在點(diǎn) M 處的切線方程 為 212y t t x t ， 10 分 分別令 0, 2得 2, 0 , , 222t ， 所以梯形 面積 1 2 22 2 22S t t ， 12 分 當(dāng)且僅當(dāng) 2t 時(shí)，等號(hào)成立， 此時(shí) 22所以設(shè)計(jì)改挖后的水渠的底寬為 2 m 時(shí)，可使挖土的土方量最少 . 14 分 18 （ 1）由題意，離心率 32ce a，所以 23，所以 224， 故橢圓的方程為 2 2 244x y b，將點(diǎn) 3(1, )2代入，求得 2 1b ， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 22 14x y； 4 分 （ 2）設(shè)直線 方程為 1y ，則由題意直線 方程為 ( 2)y k x ， 2) B A（圖 1） 第 7 頁，共 11 頁 由22114y y ，得 22(1 4 ) 8 0k x ， 所以點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 2228 1 4( , )1 4 1 4 ， 6 分 同理可求得點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 2228 2 4( , )1 4 1 4 8 分 所以直線 l 的斜率為22222 2221 4 41 4 4 11 4 1 48 8 2 8 8 2 21 4 1 4 10 分 設(shè) P ， Q 兩點(diǎn)到直線 距離分別為12, 因?yàn)辄c(diǎn) P 在第一象限，則點(diǎn) Q 必在第三象限， 所以 12k，且點(diǎn) P 、 Q 分別在直線 : 2 2 0A B x y 的上、下兩側(cè)， 所以 2 2 0 ， 2 2 0 ， 從而22218 2 8 222 1 4 1 455 ， 22228 2 8 2221 4 1 455 ， 所以22222112 2 2 222228 2 8 28 2 8 2 ( 1 4 ) 2 11 4 1 48 2 8 8 ( 2 8 ) 2 ( 1 4 ) 4 221 4 1 4k k k d k k k k ， 14 分 令 2 1 ( 0)k t t ， 則12 2 222 1 1 1 3 2 224 2 ( 1 ) 1 3 2 2 2 33S k t tS k k t t t t ， 當(dāng)且僅當(dāng) 2即 2t ，即 212k 時(shí)，12最大值為 3 2 2 16 分 19 （ 1）函數(shù) 2( ) ( 2 ) l nf x m x m 的定義域?yàn)?(0, ) 222 2 ( 2 ) ( 1 )() m m x xf x m x x x ， 為 0m ，則當(dāng) 01x時(shí)， ( ) 0 ；當(dāng) 1x 時(shí)， ( ) 0 ； 所以 ()0,1) ，單調(diào)減區(qū)間為 1, ) 2 分 若存在12, 1, 2使得12( ) ( ) 1f x g x， 第 8 頁，共 11 頁 等價(jià)于 1,2x 時(shí)，m a x m i n( ) ( ) 1f x g x成立 由得，當(dāng) 0m 時(shí)， ()1, ) 上單調(diào)遞減， 所以當(dāng) 1,2x 時(shí)，m a x( ) (1 ) 2f x f m 4 分 而 222( ) 1 ( ) 124x x m x x （）當(dāng) 012m ，即 20m 時(shí)，m i n( ) (1 ) 2g x g m ， 于是 23 ，矛盾 ! 6 分 ( ) 122m ，即 42m 時(shí)， 2m ) 1 4， 于是 2224 ，矛盾 ! 8 分 （）當(dāng) 22m，即 4m 時(shí)，m i n( ) ( 2 ) 5 2g x g m ， 于是 2 6 2 ，所以 8m 綜上， m 的取值范圍是 8m 10 分 （ 2）因?yàn)?()e ，所以 1 () ， 所以 2 1( ) ( l n 1 ) ( 1 ) ( 1 l n ) ( ) 1 ( )x x x x x x h ， 要證 2 ( ) 1 ( ) 1g x h x e ，由 0x ，即證2(1 ) 1 l e x x 設(shè) ( ) 1 x x x ， ()1， 所以 ( ) ，當(dāng) 20 時(shí)， ( ) 0x ；當(dāng) 2 時(shí)， ( ) 0x 所以當(dāng) 2 時(shí)， ( ) 1 x x x 取得最大值為 21 e 由2( ) 0( 1 )， 所以 ()0, ) 單調(diào)增，所以 ( ) (0) 1m x m， 所以 2 ( ) 1 ( ) 1g x h x e 16 分 20 （ 1）8 2 4 23 ( ) 0 3 ( 3 0 ) 9a a a a 9 1 3 14 ( ) 2 4 2 1 0a a a a ,8919 2 分 （ 2） 級(jí)等差數(shù)列，332n n na a a， 2 ( 2 s i n ) 2 ( 3 ) s i n ( 3 ) 2 ( 3 ) s i n ( 3 )n n n n n n （ n *N ） 2 s i n s i n ( 3 ) s i n ( 3 ) 2 s i n c o s 3n n n n （ n *N ） 第 9 頁，共 11 頁 所以 n ，或 ， n 對(duì) n *N 恒成立時(shí)， ()Z 時(shí)， 2 32 ( ) , ( ) ,3kk k k | ( ) | ( ) 3k k k k Z U 最小正值等于 23，此時(shí) 2 2 . 6 分 由于 2 ( 3 2 ) 2 ( 3 1 ) 2 ( 3 ) s i n s i n s i n 03 3 3n n n （ n *N ） 3 2 3 1 3 6 ( 3 1 )n n na a a n （ n *N ） 3 1 2 3 4 5 6 3 2 3 1 3 1 2 6 ( 3 1 ) ( ) ( ) ( ) 2n n n n a a a a a a a a a （ n *N ） 10 分 （ 3）若 級(jí)等差數(shù)列，222n n na a a，則2 1 2 , 成等差數(shù)列， 設(shè)等差數(shù)列2 1 2 , 公差分別為12, 3 級(jí)等差數(shù)列， 332n n na a a，則 32 成等差數(shù)列，設(shè)公差為 D 17,的項(xiàng)，也是32中的項(xiàng)，7 1 132a a d D 4 10,是32中的項(xiàng)，1 0 4 232a a d D 123 3 2d d D 設(shè)122d d d，則 3 所以2 1 1 1 1( 1 ) ( 2 2 )na a n d a n d （ n *N ）， 2 2 2 2( 1 ) ( 2 2 )na a n d a n d ，（ n *N ） 又4 1 1 3a a D a d ，4 2 2 2 2a a d a d ，所以21a a d， 21 ( 2 1 )na a n d （ n *N ） 綜合得 1 ( 1)na a n d ，顯然 16 分 第卷（附加題，共 40 分） 21A 連結(jié) 因?yàn)?切線 ,所以 P . 2 分 又因?yàn)?是直角 ,即 P , 4 分 所以 /T , 所以 . 6 分 又 B ,所以 , 8 分 所以 , 即 分 . 10 分 B 1 1 0 1 2 1 20 1 3 4 3 4 Q B = B A A 5 分 1213122B 10 分 C （ ）曲線 角坐標(biāo)方程為 2 2y ( 0)a ；直線 l 的普通方程為 20 （ ）將直線 l 的參數(shù)方程與 2 2 ( 4 ) 2 8 ( 4 ) 0t a t a （ *） 8 ( 4 ) 0 第 10 頁，共 11 頁 設(shè)點(diǎn) ,12,P M t P N t，12MN t t 由題設(shè)得 21 2 1 2t t t t，即 21 2 1 2 1 24t t t t t t 由（ *）得 1 2 1 22 2 ( 4 ) , 8 ( 4 ) 0t t a t t a ，則有 2( 4 ) 4 ( 4 ) 0 ，得 1a ，或 4a 因?yàn)?0a ，所以 1a D 因?yàn)?0 0 0x y x y , ，2 2 2112 2 2 ( )2 ( )x y x yx x y y x y 4 分 232211( ) ( ) 3 ( ) 3( ) ( )x y x y x yx y x y ， 8 分 所以2212 2 32x y y 10 分 22 （ 1） 如圖，以1C 分別為 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 A 則 ( ,0,1)P ， 11( , ,0)22N， 1(0,1, )2M， 從而 11( , , 1)22 1(0,1, )21 1 1( ) 0 1 1 02 2 2P N A M u u ur u u u 所以異面直線 成的角為 90o . 5 分 （ 2）平面 一個(gè)法向量為1 ( 0 , 0 ,1)n r 設(shè) 平面 一個(gè)法向