絕密 啟用前 揭陽(yáng)市 2016 年 高 中畢業(yè)班第二次高考模擬考試題 數(shù)學(xué) (理科 ) 本試卷共 4 頁(yè)，滿(mǎn)分 150 分考試用時(shí) 120 分鐘 注意事項(xiàng)： 卷（選擇題）和第 卷（非選擇題）兩部分 答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上 卷時(shí)，選出每個(gè)小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮 擦 干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效 卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，答在本試卷上無(wú)效 本試卷和答題卡一并交回 第 卷 一 、 選擇 題：共 12小題，每小題 5分，共 60分在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 （ 1） 函數(shù)23( ) = l n ( 2 )1xf x x 的定義域?yàn)?（ A） (2, ) （ B） (1,2) （ C） (0,2) （ D） 1,2 答案 ： B 解析 ： 根據(jù)根式、分式、對(duì)數(shù)的概念，可得：21020，即 102，解得： 12x。 （ 2）已知 復(fù)數(shù) 21 iz i (i 為虛數(shù)單位 )， z 的共軛復(fù)數(shù)為 z ，則 （ A） 2i （ B） 2i （ C） （ D） 2 答案 ： C 解析 ： 因?yàn)?21 iz i 2 (1 )(1 )(1 ) 1 i， 1 ，所以， 2。 （ 3） 已知向量 ( 3 , 1 ) , ( 0 , 1 ) , ( , 3 )a b c k r r r，若 2ab線(xiàn)，則 k 的值為 （ A） （ B） （ C） 1 （ D） 3 答案 ： C 解析 ： 2ab( 3,3) ，因?yàn)?2ab線(xiàn)，所以， 3k 33 ，所以， k 1 （ 4） 已知命題 : , 1 l gp x R x x ，命題 1: ( 0 , ) , s i n 2s i nq x x x ，則下列判斷正確的是 （ A） 命題 是假命題 （ B） 命題 是真命題 （ C） 命題 () 是 假命題 （ D） 命題 () 是 真命題 答案 ： D 解析 ： 畫(huà)出函數(shù) 1與 的圖象可知，當(dāng) x 1 時(shí)，有 1x 當(dāng) x 0且 x 1 時(shí)，有 1x 故命題 p 是真命題；當(dāng)2x 時(shí)， 1s s x，故 q 是假命題，從而有 ()是真命題。 （ 5） 某班級(jí)要從 4 名男生、 2 名女生中選派 4 人參加某次社區(qū)服務(wù)， 則所選的 4 人中 至少有 1 名女生 的概率為 （ A） 1415（ B） 815（ C） 25（ D） 415答案 ： A 解析 ： 從 4 名男生、 2 名女生中選派 4 人 共有 46C 15 種選法， 其中至少有 1 名女生的選法有： 1 3 2 22 4 2 4C C C C 14 種，故所求概率為： 1415。 （ 6） 已知 函數(shù) 2l o g , ( 0 )()2 , ( 0 ) ，則不等式 ( ) 1的解集為 （ A） (2, ) （ B） ( ,0) （ C） ( , 0 ) ( 2 , ) U （ D） (0,2) 答案 ： C 解析 ： 畫(huà)出函數(shù) f（ x）的圖象， 如圖， 由2x ，得 2x ，由 2x 1，得 x 0， 所以，由圖可得 不等式 f（ x） 1 的解集 為 ( , 0 ) ( 2 , ) U ， （ 7） 如圖 1， 圓柱形容器內(nèi)盛有高度為 6水，若放入 3 個(gè)相同的鐵球（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好淹沒(méi)最上面的球，則球的半徑為 （ A） 4 （ B） 3 （ C） 2 （ D） 1 答案 ： B 解析 ： 設(shè)球的半徑為 r ， 則由 3V 球 +V 水 =V 柱 ， 得 3243 ( 6 6 ) 33 r r r r （ 8） 已知函數(shù) 2()f x x a x的圖象在點(diǎn) A (1, (1)f 處的切線(xiàn) l 與直線(xiàn) 3 1 0 垂直，記數(shù)列1()前 n 項(xiàng)和為 則 2016S 的值為 （ A） 20152016（ B） 20162017（ C） 20142015（ D） 20172018答案 ： B 解析 ： 題意知 2()f x x a x的圖象在點(diǎn) A(1, (1)f 處的切線(xiàn)斜率 ( 1 ) 2 3 1k f a a ，故 1 1 1 1( ) ( 1 ) 1f n n n n n ， 2016 1 1 1 1 11 2 2 3 2 0 1 6 2 0 1 7S 0 1 61 2 0 1 7 2 0 1 7 （ 9） 函數(shù) ( ) (1 c o s ) s i nf x x x 在 , 的 圖象的大致形狀是 答案 ： A 解析 ：由 ( ) 12f 可排除 （ C）、 (D)，由 33( ) 134f 可排除（ B） ,故選 (A). （ 10） 實(shí)數(shù) , 0 ,4 0 , 則 22取值范圍為 （ A） 4, ) （ B） 1 ,23（ C） 0,4 （ D） 1 ,49答案 ： D 解析 ： 畫(huà)出不等式表示的平面區(qū)域，如圖所示， 設(shè) y 則 k 為可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，易得 1 23 k，故 21 49 k. （ 11） 某幾何體的三視圖如圖 2 所示，則該幾何體的表面積為 (A) 20+2 (B) 20 6 (C) 14 2 (D)16 答案 ： A 解析 ： 幾何體為一底面邊長(zhǎng)為 2，高為 3 的長(zhǎng)方體挖去兩 個(gè) 14圓柱（圓柱的底面半徑為 1）得到的組合體，故其表面積為：211( 4 1 ) 2 ( 4 1 + 2 1 ) 3 2 0 222 . （ 12） 在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)原點(diǎn) O 的直線(xiàn) l 與曲線(xiàn) 2 交于不同的兩點(diǎn) A、 B，分別過(guò) A、B 作 x 軸的 垂 線(xiàn)，與曲線(xiàn) 交于點(diǎn) C、 D，則直線(xiàn) 斜率為 （ A） 3 （ B） 2 （ C） 1 （ D） 12答案 ： C 解析 ：設(shè)直線(xiàn) l 的方程為 ( 0)y kx k，且1 1 2 2( , ) , ( , )A x y B x y，故1 21 e ，2 22 e 12221211,e x ，則 1222121 2 1 211l n ( ) l n ( )l n l n x x x x 121211l n ( 2 ) l n l n ( 2 ) l e x . 第 卷 本卷包括必考題和選考題兩部分 第 (13)題 第 (21)題為必考題，每個(gè)試題考生都必須做答 第 (22)題 第 (24)題為選考題，考生根據(jù)要求做答 二、填空題 (本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分，請(qǐng)把正確的答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)的橫線(xiàn)上 （ 13）某水稻品種的單株稻穗顆粒數(shù) X 服從正態(tài)分布 2(200, 10 )N ，則 ( 190)=_ (附：若 Z 2( , )N ，則 () =( 2 2 ) = 答案 ： 析 ： ( 190)= 1( ) ( ) 0 . 52P X P X 14)已知雙曲線(xiàn) 22 1 ( 0 , 0 )xy 兩條漸近線(xiàn)的夾角為 60o ， 則 該 雙曲線(xiàn)的離心率為 . 答案 ： 233或 2 解析 ： （ 1）雙 曲線(xiàn)兩條漸近線(xiàn) 在 y 軸兩旁 的夾角為 60時(shí)，由雙曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)線(xiàn)知，兩條漸近線(xiàn)的傾斜角分別為 60、 120，所以， t a n 6 0 3 ， 又 2 2 2 2 2( 3 )c a b a a ，解得離心率 2。 （ 2）雙 曲 線(xiàn)兩條漸近線(xiàn) 在 x 軸兩旁 的夾角為 60時(shí)，其中一條漸近線(xiàn)的傾斜角為 30，所以，3t a n 3 0 3 ， 2 2 2 23()3c a b a a ，解得離心率 233。 (15)執(zhí)行如圖 3 所示的程序框圖，則輸出的 k 值為 . 答案 ： 6 解析 ： 第 1 步： s 1， k 2； 第 2 步： s 2， k 3； 第 3 步： s 6， k 4； 第 4 步： s 15， k 5； 第 5 步： s 31， k 6； 第 6 步： s 56，退出循環(huán)，此時(shí) k=6 (16)已知等差數(shù)列 1 30 , 5 8a a a，則前 n 項(xiàng)和最大值時(shí)， n 的值為 . 答案 ： 21 解析 ：由8 13581 1 135 ( 7 ) 8 ( 1 2 ) 61a d a d d a ， 由1 1 13( 1 ) ( 1 ) ( ) 061na a n d a n a 1213n， 三 、 解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟 . (17)（本小題滿(mǎn)分 12 分） 已知如圖 4， ， 的中線(xiàn)， 120o ，且 152A B A C ( )求 面積； ( )若 5，求 長(zhǎng) . 圖 4 解析 ： 解： ( ) 152A B A C 1 1 5c o A C B A C A B A C , 即 15C， 3 1 5 311s i n 1 52 2 2 4 B A C B A C ( )解法 1：由 5得 3， 延長(zhǎng) E，使 E，連結(jié) C, 四邊形 平行四邊形， 60o ,且 3C 設(shè) AD x ，則 2AE x ，在 ，由余弦 定理得： 2 2 2( 2 ) 2 c o s 2 5 9 1 5 1 9x A B B E A B B E A B E , 解得 192x，即 長(zhǎng)為 【解法 2： 由 5得 3， 在 ，由余弦定理得： 2 2 2 2 c o s 2 5 9 1 5 4 9B C A B A C A B A C B A C , 得 7， 由正弦定理得：s i n s i A C A C D， 得35s i n 5 32s i 4A B B A ， 0 9 0A C D 2 11c o s 1 s i D A C D ， 在 ， 2 2 2 4 9 7 1 1 1 92 c o s 9 2 34 2 1 4 4A D A C C D A C C D A C D ， 解得 192】 【解法 3： 由 5得 3， 在 ，由余弦定理得： 2 2 2 2 c o s 2 5 9 1 5 4 9B C A B A C A B A C B A C , 得 7， 在 ， 2 2 2 9 4 9 2 5 1 1c o 3 7 1 4A C B C A B A C B C , 在 ，由 2 2 2 4 9 7 1 1 1 92 c o s 9 2 34 2 1 4 4A D A C C D A C C D A C D ， 解得 192】 (18)（本小題滿(mǎn)分 12 分） 某人租用一塊土地種植一種瓜類(lèi)作物，租期 5 年，根據(jù)以往的年產(chǎn)量數(shù)據(jù)，得到年產(chǎn)量頻率分布直方圖如圖 5 所示， 以各區(qū)間中點(diǎn)值作為該區(qū)間的年產(chǎn)量， 得到平均年產(chǎn)量為 455當(dāng)年產(chǎn)量低于 450 ，單位售價(jià)為 12 元 / 年產(chǎn)量不低于 450 位售價(jià)為 10 元 / 圖 5 （）求圖中 a 的值； （ ） 以各區(qū)間中點(diǎn)值作為該區(qū)間的年產(chǎn)量，并以年 產(chǎn)量落入該區(qū)間的頻率作為年產(chǎn)量取該區(qū)間中點(diǎn)值的概率， 求年銷(xiāo)售額 X（單位：元） 的分布列； （）求在租期 5 年中，至少有 2 年的年銷(xiāo)售額不低于 5000 元的概率 解析 ： 解：（）由 1 0 0 ( 0 . 0 0 1 5 0 . 0 0 4 ) 1 ， 得 1 0 0 ( ) 0 ， 由 3 0 0 1 0 0 4 0 0 0 . 4 5 0 0 1 0 0 6 0 0 0 . 1 5 4 5 5 ， 得 3 0 0 5 0 0 2 ， 解得 ； （）依題意知 X 的可能取值為 3600、 4800、 5000、 6000， ( 3 6 0 0 ) 0 ， ( 4 8 0 0 ) 0 . 4， ( 5 0 0 0 ) 0 . 3 5， ( 3 6 0 0 ) 0 . 1 5， X 的分布列為 X 3600 4800 5000 6000 P （） 一年的銷(xiāo)售額不低于 5000 元的概率為 5 年中年銷(xiāo)售額不低于 5000 元的年數(shù) 1 (5, )2B， 5 年中至少有 2 年的年銷(xiāo)售額不低于 5000 元的概率為 5 1 551 1 1 3( 2 ) 1 ( 0 ) ( 1 ) 1 ( ) ( )2 2 1 6P P P C （ 19） （本小題滿(mǎn)分 12 分） 如圖 6，已知四棱錐 底面 菱形，且 60o ， C=2， B= 2 . （ ）求證 ：平面 平面 （ ） 設(shè) H 是 求 平面 成 最大角 的 正切值 . 圖 6 解析 ： 解： ( )證明：取 點(diǎn) O，連結(jié) 由 B= 2 ， ，知 等腰直角三角形， ， 由 C=2， 60o ， 知 等邊三角形， 3， 由 2得 2 2 2P O C O P C, 又 A B C O OI ， 平面 又 平面 平面 平面 （ ） 解法 1：如圖，連結(jié) （ ）知 O ， B 平面 為 平面 成的角， 在 ， t a n 3 要 最大，只需 最小值， 而 最小值即點(diǎn) O 到 時(shí) B ， 22 故當(dāng) 最大時(shí)， t a n 6C H O. 即 平面 成最大角 的 正切值為 6 【解法 2： 由（ ）知 平面 B ， 如圖所示，以 O 為原點(diǎn)， 在的直線(xiàn)為 x、 y、 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則 ( 3, 0, 0)C ， (0,1,0)B ， (0,0,1)P ， 設(shè)點(diǎn) H 的坐標(biāo)為 (0, , ) P 則 ( 0 , 1 , ) ( 0 , 1 , 1 ) ， 1, ，即 (0,1 , )H ， 則 ( 3 , 1 , ) ( 3 , 0 , 0 )平面 法向量， 設(shè) 平面 成的角為 ， 則 |s i n | c o s , | | | |O C H H H C u u ur u u u ur u u u ur u u u 233 3 ( 1 ) ( ) 23172 ( )22, 當(dāng) 12時(shí)， 取最大值，m a x6(s 7 ， 又 (0, 2 ，此時(shí) 最大， ， 即 平面 成最大角 的 正切值為 6 】 （ 20） (本小題滿(mǎn)分 12 分 ) 已知橢圓 C ： 2222+ 1 ( 0 )xy 的 離心率為 63 ，若動(dòng)點(diǎn) A 在橢圓 C 上，動(dòng)點(diǎn) B 在直線(xiàn)62c上 .（ c 為橢圓的半焦距） （ ）求 橢圓 C 的方程； （ ） 若 B (O 為坐標(biāo)原點(diǎn) )，試探究點(diǎn) O 到 直線(xiàn) 距離是否為 定值 ；若是定值，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由 . 解析 ： 解： ( )依題意得： 63 62 得 1b ， 又 2 2 22223c a ，解得 2 3a 所求橢圓 C 的方程為 2 2 13x y （ ）依題意知直線(xiàn) 為 k ，則直線(xiàn) y ， （ 1）若 0k ，則直線(xiàn) 方程為 1， 設(shè) ( , ) , ( , )A A B BA x y B x y，則由 222233113k ， 由2213262 ， 22 2 223 ( 1 )| | 1 | |31A A x y k ， 22 2 21 3 ( 1 )| | 1 ( ) | |2B B x y , 設(shè)點(diǎn) O 到直線(xiàn) 距離為 d ，則222222 2 2 223 ( 1 ) 3 ( 1 )2 | | | | 3 1 )3 1 2= = 1| | 3 ( 1 )| | + | | 3 ( 1 ) 3 ( 1 )3 1 2A O A O B O B k （ (2)若 0k ，則 A 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( 3,0) 或 ( 3,0) ， B 點(diǎn)的坐標(biāo)為 6(0, )2， 這時(shí)，632 1634d， 綜上得點(diǎn) O 到 直線(xiàn) 距離為 定值 ，其值為 【解法二 ：設(shè) A、 B 的坐標(biāo)00( , )A x y、 6( , )2 由點(diǎn) A 在橢圓 C 上和 B 分別可得 ： 2 200 13x y和006 02tx y， 設(shè) 點(diǎn) O 到直線(xiàn) 距離為 d ，則有 | | | | | | ,O A O B A B d 2 2 2 2| | | | | |O A O B A B d 2 2 22 2 2 2 21 | | | | | | | | | | | | |A B O A O A O B O A O B , 202 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 26620 0 0 0 0 0 0 060222201 1 1 1 1 1 1 1 2| | | | 3( ) ( ) () A O B x y x y x y x 22002222 00003 2 3 2 13 ( ) 3 ( 1 )3x 所以 點(diǎn) O 到 直線(xiàn) 距離為 定值 ，其值為 】 (21)（本小題滿(mǎn)分 12 分） 已知 ，函數(shù) 2xf x e a x， （ ）當(dāng) 0a 時(shí)，求證：存在唯一的01 ,02x a，使得 0 0 （ ）若存在實(shí)數(shù) ,得 f x b 恒成立，求 的最小值 解析 ： （ ）證明： 2xg x f x e a x ， 2xg x e a ， 當(dāng) 0a 時(shí)， 0 ， 函數(shù) (- ,+ ) 上的單調(diào)遞增， 又 12g a12 10 ， 0 1 0g ， 存在唯一的01 ,02x a，使得 0 0 （ ）解： （ 1） 當(dāng) 0a 時(shí)， 則當(dāng) ( , 0)x 時(shí)， ( ) 0，即函數(shù) () ,0) 上 單調(diào)遞增 ，且當(dāng) x 時(shí)， () ， 這 與 ()f x b 矛盾 ； （ 2）當(dāng) 0a ，由 ，得 0b ， 0 ； （ 3）當(dāng) 0a ，由（ ）知當(dāng) 0,時(shí)， ( ) 0；當(dāng) 0 ,時(shí)， ( ) 0； 即 0,x上單調(diào)遞減，在 0,x 上單調(diào)遞增， 0m x f x， 其中0020xe a x，故 002且0 0x ， f x b 恒成立， 0()b f x即 0 20xb e a x ，于是002 0001122b a e a x ， 記 1( ) (1 )22x xh x e x ， 0x ，則 221( ) 1 12 xh x e x ， 由 ( ) 0得 1x ，即函數(shù) () , 1) 上單調(diào)時(shí)遞減， ( ) 0得 10x ，即函 數(shù) () 1,0) 上單調(diào)遞增， m i n 1( ) ( 1 )h x h e ， 綜上得 的最小值為 1e，此時(shí)0 1x 請(qǐng)考生在 第（ 22） 、 （ 23） 、 （ 24） 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一 個(gè) 題 目 計(jì)分 (22)(本小題滿(mǎn)分 10 分 )選修 4 1：幾何證明選講 如圖 7 所示 ， O 和 P 相交于 , A 作兩圓的切線(xiàn)分別交兩圓于 C， D 兩點(diǎn)，連接 延長(zhǎng)交 O 于點(diǎn) E ( ) 若 ， ，求 長(zhǎng)； ( ) 若 ，求 長(zhǎng) 解析 ： 解： （） 由弦切角定理得 B A C B D A ， B A D B C A ， 所以 ， 得 B， 2 8A B B C B D ， 22； （） 連接 A E C A E B B E C ， A C E A B E B A D A D B A E B B A D ， B A C B D A = , A E C A C E C=(23)(本小題滿(mǎn)分 10 分 )選修 4 4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知 橢圓 C 的普通方程為： 22194 ( ) 設(shè) 2， 求 橢圓 C 以 t 為參數(shù) 的參數(shù) 方程； ( ) 設(shè) C 與 x 軸的正半軸和 y 軸的正半軸的交點(diǎn)分別為 A、 B， 點(diǎn) P 是 C 上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，求四邊形 積 的 最大值 （其中 O 為坐標(biāo)原點(diǎn)） 解析 ： 解： ( )將 2代入橢圓的普通方程得 22249 (1 ) 9 (1 )4 ， 于是得 231 ， 橢圓 C 的參數(shù)方程為 23 1 , （ t 為參數(shù) ） 和 23 1 , （ t 為參數(shù) ） ( )依題意知點(diǎn) A(3,0)， B(0,2)， 設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 (3 c o s , 2 s ， (0 )2 則B P O O P B S四 邊 形 112 3 c o s 3 2 s i 3 s i n 3 c o s 3 2 s i n ( )4 ， (0 )2 當(dāng) ) 14 ，即4時(shí)， 四邊形 積取得最大值， 其值為