華羅庚學(xué)校數(shù)學(xué)課本：四年級(jí)（下冊(cè)）第一講 乘法原理在日常生活中常常會(huì)遇到這樣一些問題，就是在做一件事時(shí)，要分幾步才能完成，而在完成每一步時(shí)，又有幾種不同的方法，要知道完成這件事一共有多少種方法，就用我們將討論的乘法原理來解決例如某人要從北京到大連拿一份資料，之后再到天津開會(huì)其中，他從北京到大連可以乘長(zhǎng)途汽車、火車或飛機(jī)，而他從大連到天津卻只想乘船那么，他從北京經(jīng)大連到天津共有多少種不同的走法？分析這個(gè)問題發(fā)現(xiàn)，某人從北京到天津要分兩步走第一步是從北京到大連，可以有三種走法，即：第二步是從大連到天津，只選擇乘船這一種走法，所以他從北京到天津共有下面的三種走法：注意到 31=3如果此人到大連后，可以乘船或飛機(jī)到天津，那么他從北京到天津則有以下的走法：共有六種走法，注意到32=6在上面討論問題的過程中，我們把所有可能的辦法一一列舉出來這種方法叫窮舉法窮舉法對(duì)于討論方法數(shù)不太多的問題是很有效的在上面的例子中，完成一件事要分兩個(gè)步驟由窮舉法得到的結(jié)論看到，用第一步所有的可能方法數(shù)乘以第二步所有的可能方法數(shù)，就是完成這件事所有的方法數(shù)一般地，如果完成一件事需要n個(gè)步驟，其中，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，做第n步有mn種不同的方法，那么，完成這件事一共有N=m1m2mn種不同的方法這就是乘法原理例1 某人到食堂去買飯，主食有三種，副食有五種，他主食和副食各買一種，共有多少種不同的買法？分析 某人買飯要分兩步完成，即先買一種主食，再買一種副食（或先買副食后買主食）其中，買主食有3種不同的方法，買副食有5種不同的方法故可以由乘法原理解決解：由乘法原理，主食和副食各買一種共有35=15種不同的方法補(bǔ)充說明：由例題可以看出，乘法原理運(yùn)用的范圍是：這件事要分幾個(gè)彼此互不影響的獨(dú)立步驟來完成；每個(gè)步驟各有若干種不同的方法來完成這樣的問題就可以使用乘法原理解決問題例2 右圖中有7個(gè)點(diǎn)和十條線段，一只甲蟲要從A點(diǎn)沿著線段爬到B點(diǎn)，要求任何線段和點(diǎn)不得重復(fù)經(jīng)過問：這只甲蟲最多有幾種不同的走法？分析 甲蟲要從A點(diǎn)沿線段爬到B點(diǎn)，必經(jīng)過C點(diǎn)，所以，完成這段路分兩步，即由A到C，再由C到B而由A到C有三種走法，由C到B也有三種走法，所以，由乘法原理便可得到結(jié)論解：這只甲蟲從A到B共有33=9種不同的走法例3 書架上有6本不同的外語書，4本不同的語文書，從中任取外語、語文書各一本，有多少種不同的取法？分析 要做的事情是從外語、語文書中各取一本完成它要分兩步：即先取一本外語書（有6種取法），再取一本語文書（有4種取法）(或先取語文書，再取外語書）所以，用乘法原理解決解：從架上各取一本共有64=24種不同的取法例4 王英、趙明、李剛?cè)思s好每人報(bào)名參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)的跳遠(yuǎn)、跳高、100米跑、200米跑四項(xiàng)中的一項(xiàng)比賽，問：報(bào)名的結(jié)果會(huì)出現(xiàn)多少種不同的情形？分析 三人報(bào)名參加比賽，彼此互不影響?yīng)毩?bào)名所以可以看成是分三步完成，即一個(gè)人一個(gè)人地去報(bào)名首先，王英去報(bào)名，可報(bào)4個(gè)項(xiàng)目中的一項(xiàng)，有4種不同的報(bào)名方法其次，趙明去報(bào)名，也有4種不同的報(bào)名方法同樣，李剛也有4種不同的報(bào)名方法滿足乘法原理的條件，可由乘法原理解決解：由乘法原理，報(bào)名的結(jié)果共有444=64種不同的情形例5 由數(shù)字0、1、2、3組成三位數(shù)，問：可組成多少個(gè)不相等的三位數(shù)？可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？分析 在確定由0、1、2、3組成的三位數(shù)的過程中，應(yīng)該一位一位地去確定所以，每個(gè)問題都可以看成是分三個(gè)步驟來完成要求組成不相等的三位數(shù)所以，數(shù)字可以重復(fù)使用，百位上，不能取0，故有3種不同的取法；十位上，可以在四個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，有4種不同的取法；個(gè)位上，也有4種不同的取法，由乘法原理，共可組成344=48個(gè)不相等的三位數(shù)要求組成的三位數(shù)中沒有重復(fù)數(shù)字，百位上，不能取0，有3種不同的取法；十位上，由于百位已在1、2、3中取走一個(gè)，故只剩下0和其余兩個(gè)數(shù)字，故有3種取法；個(gè)位上，由于百位和十位已各取走一個(gè)數(shù)字，故只能在剩下的兩個(gè)數(shù)字中取，有2種取法，由乘法原理，共有332=18個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)解：由乘法原理共可組成344=48（個(gè)）不同的三位數(shù)；共可組成332=18（個(gè)）沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)例6 由數(shù)字1、2、3、4、5、6共可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？分析 要組成四位數(shù)，需一位一位地確定各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字，即分四步完成，由于要求組成的數(shù)是奇數(shù)，故個(gè)位上只有能取1、3、5中的一個(gè)，有3種不同的取法；十位上，可以從余下的五個(gè)數(shù)字中取一個(gè)，有5種取法；百位上有4種取法；千位上有3種取法，故可由乘法原理解決解：由1、2、3、4、5、6共可組成3453=180個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)例7 右圖中共有16個(gè)方格，要把A、B、C、D四個(gè)不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出現(xiàn)一個(gè)棋子問：共有多少種不同的放法？分析 由于四個(gè)棋子要一個(gè)一個(gè)地放入方格內(nèi)故可看成是分四步完成這件事第一步放棋子A，A可以放在16個(gè)方格中的任意一個(gè)中，故有16種不同的放法；第二步放棋子B，由于A已放定，那么放A的那一行和一列中的其他方格內(nèi)也不能放B，故還剩下9個(gè)方格可以放B，B有9種放法；第三步放C，再去掉B所在的行和列的方格，還剩下四個(gè)方格可以放C，C有4種放法；最后一步放D，再去掉C所在的行和列的方格，只剩下一個(gè)方格可以放D，D有1種放法，本題要由乘法原理解決解：由乘法原理，共有16941=576種不同的放法例8 現(xiàn)有一角的人民幣4張，貳角的人民幣2張，壹元的人民幣3張，如果從中至少取一張，至多取9張，那么，共可以配成多少種不同的錢數(shù)？分析 要從三種面值的人民幣中任取幾張，構(gòu)成一個(gè)錢數(shù)，需一步一步地來做如先取一角的，再取貳角的，最后取壹元的但注意到，取2張一角的人民幣和取1張貳角的人民幣，得到的錢數(shù)是相同的這就會(huì)產(chǎn)生重復(fù)，如何解決這一問題呢？我們可以把壹角的人民幣4張和貳角的人民幣2張統(tǒng)一起來考慮即從中取出幾張組成一種面值，看共可以組成多少種分析知，共可以組成從壹角到捌角間的任何一種面值，共8種情況（即取兩張壹角的人民幣與取一張貳角的人民幣是一種情況；取4張壹角的人民幣與取2張貳角的人民幣是一種情況）這樣一來，可以把它們看成是8張壹角的人民幣整個(gè)問題就變成了從8張壹角的人民幣和3張壹元的人民幣中分別取錢這樣，第一步，從8張壹角的人民幣中取，共9種取法，即0、1、2、3、4、5、6、7、8；第二步，從3張壹元的人民幣中取共4種取法，即0、1、2、3由乘法原理，共有94=36種情形，但注意到，要求“至少取一張”而現(xiàn)在包含了一張都不取的這一種情形，應(yīng)減掉解：取出的總錢數(shù)是94-1=35種不同的情形習(xí)題一1某罪犯要從甲地途經(jīng)乙地和丙地逃到丁地，現(xiàn)在知道從甲地到乙地有3條路可以走，從乙地到丙地有2條路可以走，從丙地到丁地有4條路可以走問，罪犯共有多少種逃走的方法？2如右圖，在三條平行線上分別有一個(gè)點(diǎn)，四個(gè)點(diǎn)，三個(gè)點(diǎn)（且不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)不共線）在每條直線上各取一個(gè)點(diǎn)，可以畫出一個(gè)三角形問：一共可以畫出多少個(gè)這樣的三角形？3在自然數(shù)中，用兩位數(shù)做被減數(shù)，用一位數(shù)做減數(shù)共可以組成多少個(gè)不同的減法算式？4一個(gè)籃球隊(duì)，五名隊(duì)員A、B、C、D、E，由于某種原因，C不能做中鋒，而其余四人可以分配到五個(gè)位置的任何一個(gè)上問：共有多少種不同的站位方法？5由數(shù)字1、2、3、4、5、6、7、8可組成多少個(gè)三位數(shù)？三位偶數(shù)？沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？百位為8的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？百位為8的沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？6某市的電話號(hào)碼是六位數(shù)的，首位不能是0，其余各位數(shù)上可以是09中的任何一個(gè)，并且不同位上的數(shù)字可以重復(fù)那么，這個(gè)城市最多可容納多少部電話機(jī)？第二講 加法原理生活中常有這樣的情況，就是在做一件事時(shí)，有幾類不同的方法，而每一類方法中，又有幾種可能的做法那么，考慮完成這件事所有可能的做法，就要用我們將討論的加法原理來解決例如 某人從北京到天津，他可以乘火車也可以乘長(zhǎng)途汽車，現(xiàn)在知道每天有五次火車從北京到天津，有4趟長(zhǎng)途汽車從北京到天津那么他在一天中去天津能有多少種不同的走法？分析這個(gè)問題發(fā)現(xiàn)，此人去天津要么乘火車，要么乘長(zhǎng)途汽車，有這兩大類走法，如果乘火車，有5種走法，如果乘長(zhǎng)途汽車，有4種走法上面的每一種走法都可以從北京到天津，故共有5+4=9種不同的走法在上面的問題中，完成一件事有兩大類不同的方法在具體做的時(shí)候，只要采用一類中的一種方法就可以完成并且兩大類方法是互無影響的，那么完成這件事的全部做法數(shù)就是用第一類的方法數(shù)加上第二類的方法數(shù)一般地，如果完成一件事有k類方法，第一類方法中有m1種不同做法，第二類方法中有m2種不同做法，第k類方法中有mk種不同的做法，則完成這件事共有N=m1+m2+mk種不同的方法這就是加法原理例1 學(xué)校組織讀書活動(dòng)，要求每個(gè)同學(xué)讀一本書小明到圖書館借書時(shí)，圖書館有不同的外語書150本，不同的科技書200本，不同的小說100本那么，小明借一本書可以有多少種不同的選法？分析 在這個(gè)問題中，小明選一本書有三類方法即要么選外語書，要么選科技書，要么選小說所以，是應(yīng)用加法原理的問題解：小明借一本書共有：150+200+100=450（種）不同的選法例2 一個(gè)口袋內(nèi)裝有3個(gè)小球，另一個(gè)口袋內(nèi)裝有8個(gè)小球，所有這些小球顏色各不相同問：從兩個(gè)口袋內(nèi)任取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？從兩個(gè)口袋內(nèi)各取一個(gè)小球，有多少種不同的取法？分析 中，從兩個(gè)口袋中只需取一個(gè)小球，則這個(gè)小球要么從第一個(gè)口袋中取，要么從第二個(gè)口袋中取，共有兩大類方法所以是加法原理的問題中，要從兩個(gè)口袋中各取一個(gè)小球，則可看成先從第一個(gè)口袋中取一個(gè)，再?gòu)牡诙€(gè)口袋中取一個(gè)，分兩步完成，是乘法原理的問題解：從兩個(gè)口袋中任取一個(gè)小球共有3+8=11（種），不同的取法從兩個(gè)口袋中各取一個(gè)小球共有38=24（種）不同的取法補(bǔ)充說明：由本題應(yīng)注意加法原理和乘法原理的區(qū)別及使用范圍的不同，乘法原理中，做完一件事要分成若干個(gè)步驟，一步接一步地去做才能完成這件事；加法原理中，做完一件事可以有幾類方法，每一類方法中的一種做法都可以完成這件事事實(shí)上，往往有許多事情是有幾大類方法來做的，而每一類方法又要由幾步來完成，這就要熟悉加法原理和乘法原理的內(nèi)容，綜合使用這兩個(gè)原理例3 如右圖，從甲地到乙地有4條路可走，從乙地到丙地有2條路可走，從甲地到丙地有3條路可走那么，從甲地到丙地共有多少種走法？分析 從甲地到丙地共有兩大類不同的走法第一類，由甲地途經(jīng)乙地到丙地這時(shí)，要分兩步走，第一步從甲地到乙地，有4種走法；第二步從乙地到丙地共2種走法，所以由乘法原理，這時(shí)共有42=8種不同的走法第二類，由甲地直接到丙地，由條件知，有3種不同的走法解：由加法原理知，由甲地到丙地共有：42+3=11（種）不同的走法例4 如下頁圖，一只小甲蟲要從A點(diǎn)出發(fā)沿著線段爬到B點(diǎn)，要求任何點(diǎn)和線段不可重復(fù)經(jīng)過問：這只甲蟲有多少種不同的走法？分析 從A點(diǎn)到B點(diǎn)有兩類走法，一類是從A點(diǎn)先經(jīng)過C點(diǎn)到B點(diǎn)，一類是從A點(diǎn)先經(jīng)過D點(diǎn)到B點(diǎn)兩類中的每一種具體走法都要分兩步完成，所以每一類中，都要用乘法原理，而最后計(jì)算從A到B的全部走法時(shí)，只要用加法原理求和即可解：從A點(diǎn)先經(jīng)過C到B點(diǎn)共有：13=3（種）不同的走法從A點(diǎn)先經(jīng)過D到B點(diǎn)共有：23=6（種）不同的走法所以，從A點(diǎn)到B點(diǎn)共有：3+6=9（種）不同的走法例5 有兩個(gè)相同的正方體，每個(gè)正方體的六個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6將兩個(gè)正方體放到桌面上，向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的有多少種情形？分析 要使兩個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)，只要這兩個(gè)數(shù)字的奇偶性相同，即這兩個(gè)數(shù)字要么同為奇數(shù)，要么同為偶數(shù)，所以，要分兩大類來考慮第一類，兩個(gè)數(shù)字同為奇數(shù)由于放兩個(gè)正方體可認(rèn)為是一個(gè)一個(gè)地放放第一個(gè)正方體時(shí)，出現(xiàn)奇數(shù)有三種可能，即1，3，5；放第二個(gè)正方體，出現(xiàn)奇數(shù)也有三種可能，由乘法原理，這時(shí)共有33=9種不同的情形第二類，兩個(gè)數(shù)字同為偶數(shù)，類似第一類的討論方法，也有33=9種不同情形最后再由加法原理即可求解解：兩個(gè)正方體向上的一面同為奇數(shù)共有33=9（種）不同的情形；兩個(gè)正方體向上的一面同為偶數(shù)共有33=9（種）不同的情形所以，兩個(gè)正方體向上的一面數(shù)字之和為偶數(shù)的共有33+33=18（種）不同的情形例6 從1到500的所有自然數(shù)中，不含有數(shù)字4的自然數(shù)有多少個(gè)？分析 從1到500的所有自然數(shù)可分為三大類，即一位數(shù)，兩位數(shù)，三位數(shù)一位數(shù)中，不含4的有8個(gè)，它們是1、2、3、5、6、7、8、9；兩位數(shù)中，不含4的可以這樣考慮：十位上，不含4的有1、2、3、5、6、7、8、9這八種情況個(gè)位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，要確定一個(gè)兩位數(shù)，可以先取十位數(shù)，再取個(gè)位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時(shí)共有89=72個(gè)數(shù)不含4三位數(shù)中，小于500并且不含數(shù)字4的可以這樣考慮：百位上，不含4的有1、2、3、這三種情況十位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種情況，個(gè)位上，不含4的也有九種情況要確定一個(gè)三位數(shù)，可以先取百位數(shù)，再取十位數(shù)，最后取個(gè)位數(shù)，應(yīng)用乘法原理，這時(shí)共有399=243個(gè)三位數(shù)由于500也是一個(gè)不含4的三位數(shù)所以，1500中，不含4的三位數(shù)共有399+1=244個(gè)解：在1500中，不含4的一位數(shù)有8個(gè)；不含4的兩位數(shù)有89=72個(gè)；不含4的三位數(shù)有399+1=244個(gè)，由加法原理，在1500中，共有：8+89+399+1=324（個(gè)）不含4的自然數(shù)補(bǔ)充說明：這道題也可以這樣想：把一位數(shù)看成是前面有兩個(gè)0的三位數(shù)，如：把1看成是001把兩位數(shù)看成是前面有一個(gè)0的三位數(shù)如：把11看成011那么所有的從1到500的自然數(shù)都可以看成是“三位數(shù)”，除去500外，考慮不含有4的這樣的“三位數(shù)”百位上，有0、1、2、3這四種選法；十位上，有0、1、2、3、5、6、7、8、9這九種選法；個(gè)位上，也有九種選法所以，除500外，有499=324個(gè)不含4的“三位數(shù)”注意到，這里面有一個(gè)數(shù)是000，應(yīng)該去掉而500還沒有算進(jìn)去，應(yīng)該加進(jìn)去所以，從1到500中，不含4的自然數(shù)仍有324個(gè)這是一種特殊的思考問題的方法，注意到當(dāng)我們對(duì)“三位數(shù)”重新給予規(guī)定之后，問題很簡(jiǎn)捷地得到解決例7 如下頁左圖，要從A點(diǎn)沿線段走到B，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方問有多少種不同的走法？分析 觀察下頁左圖，注意到，從A到B要一直向右、向上，那么，經(jīng)過下頁右圖中C、D、E、F四點(diǎn)中的某一點(diǎn)的路線一定不再經(jīng)過其他的點(diǎn)也就是說從A到B點(diǎn)的路線共分為四類，它們是分別經(jīng)過C、D、E、F的路線第一類，經(jīng)過C的路線，分為兩步，從A到C再?gòu)腃到B，從A到C有2條路可走，從C到B也有兩條路可走，由乘法原理，從A經(jīng)C到B共有22=4條不同的路線第二類，經(jīng)過D點(diǎn)的路線，分為兩步，從A到D有4條路，從D到B有4條路，由乘法原理，從A經(jīng)D到B共有44=16種不同的走法第三類，經(jīng)過E點(diǎn)的路線，分為兩步，從A到E再?gòu)腅到B，觀察發(fā)現(xiàn)各有一條路所以，從A經(jīng)E到B共有1種走法第四類，經(jīng)過F點(diǎn)的路線，從A經(jīng)F到B只有一種走法最后由加法原理即可求解解：如上右圖，從A到B共有下面的走法：從A經(jīng)C到B共有22=4種走法；從A經(jīng)D到B共有44=16種走法；從A經(jīng)E到B共有1種走法；從A經(jīng)F到B共有1種走法所以，從A到B共有：4+16+1+1=22種不同的走法習(xí)題二1如右圖，從甲地到乙地有三條路，從乙地到丙地有三條路，從甲地到丁地有兩條路，從丁地到丙地有四條路，問：從甲地到丙地共有多少種走法？2書架上有6本不同的畫報(bào)和7本不同的書，從中最多拿兩本（不能不拿），有多少種不同的拿法？3如下圖中，沿線段從點(diǎn)A走最短的路線到B，各有多少種走法？4在11000的自然數(shù)中，一共有多少個(gè)數(shù)字0？5在1500的自然數(shù)中，不含數(shù)字0和1的數(shù)有多少個(gè)？6十把鑰匙開十把鎖，但不知道哪把鑰匙開哪把鎖，問：最多試開多少次，就能把鎖和鑰匙配起來？第三講 排 列在實(shí)際生活中常遇到這樣的問題，就是要把一些事物排在一起，構(gòu)成一列，計(jì)算有多少種排法就是排列問題在排的過程中，不僅與參加排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān)例如 某客輪航行于天津、青島、大連三個(gè)城市之間問：應(yīng)準(zhǔn)備有多少種不同船票？分析這個(gè)問題，可以用枚舉法解決，三個(gè)城市之間，船票有下面六種設(shè)置方式：如果不用枚舉法，注意到要準(zhǔn)備的船票的種類不僅與所選的兩個(gè)城市有關(guān)，而且與這兩個(gè)城市作為起點(diǎn)、終點(diǎn)的順序有關(guān)，所以，要考慮共準(zhǔn)備多少種不同的船票，就要在三個(gè)城市之間每次取出兩個(gè)，按照起點(diǎn)、終點(diǎn)的順序排列首先確定起點(diǎn)站，在三個(gè)城市中，任取一個(gè)為起點(diǎn)站，共有三種選法其次確定終點(diǎn)站，每次確定了一個(gè)起點(diǎn)站后，只能從剩下的兩個(gè)城市之中選終點(diǎn)站，共有兩種選法由乘法原理，共需準(zhǔn)備：32=6種不同的船票為敘述方便，我們把研究對(duì)象（如天津、青島、大連）看作元素，那么上面的問題就是在三個(gè)不同的元素中取出兩個(gè)，按照一定的順序排成一列的問題我們把每一種排法叫做一個(gè)排列（如天津青島就是一個(gè)排列），把所有排列的個(gè)數(shù)叫做排列數(shù)那么上面的問題就是求排列數(shù)的問題一般地，從n個(gè)不同的元素中任取出m個(gè)（mn）元素，按照一定的順序排成一列叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列由排列的定義可以看出，兩個(gè)排列相同，不僅要求這兩個(gè)排列中的元素完全相同，而且各元素的先后順序也一樣如果兩個(gè)排列的元素不完全相同或者各元素的排列順序不完全一樣，則這就是兩個(gè)不同的排列第一步：先排第一個(gè)位置上的元素，可以從n個(gè)元素中任選一個(gè)，有n種不同的選法；第二步：排第二個(gè)位置上的元素這時(shí)，由于第一個(gè)位置已用去了一個(gè)元素，只剩下（n-1）個(gè)不同的元素可供選擇，共有（n-1）種不同的選法；第三步：排第三個(gè)位置上的元素，有（n-2）種不同的選法；第m步：排第m個(gè)位置上的元素由于前面已經(jīng)排了（m-1）個(gè)位置，用去了（m-1）個(gè)元素這樣，第m個(gè)位置上只能從剩下的n-（m-1）=（n-m+1）個(gè)元素中選擇，有（n-m+1）種不同的選法由乘法原理知，共有：n（n-1）（n-2）（n-m+1）種不同的排法，即：例2 有五面顏色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一種信號(hào)，問：共可以表示多少種不同的信號(hào)？分析 這里五面不同顏色的小旗就是五個(gè)不同的元素，三面小旗表示一種信號(hào)，就是有三個(gè)位置我們的問題就是要從五個(gè)不同的元素中取三個(gè)，排在三個(gè)位置的問題由于信號(hào)不僅與旗子的顏色有關(guān)，而且與不同旗子所在的位置有關(guān)，所以是排列問題，且其中n=5，m=3解：由排列數(shù)公式知，共可組成種不同的信號(hào)補(bǔ)充說明：這個(gè)問題也可以用乘法原理來做，一般，乘法原理中與順序有關(guān)的問題常常可以用排列數(shù)公式做，用排列數(shù)公式解決問題時(shí)，可避免一步步地分析考慮，使問題簡(jiǎn)化例3 用1、2、3、4、5、6、7、8可組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？分析 這是一個(gè)從8個(gè)元素中取5個(gè)元素的排列問題，且知n=8，m=5解：由排列數(shù)公式，共可組成：個(gè)不同的五位數(shù)例4 幼兒園里的6名小朋友去坐3把不同的椅子，有多少種坐法？分析 在這個(gè)問題中，只要把3把椅子看成是3個(gè)位置，而6名小朋友作為6個(gè)不同元素，則問題就可以轉(zhuǎn)化成從6個(gè)元素中取3個(gè)，排在3個(gè)不同位置的排列問題解：由排列數(shù)公式，共有：種不同的坐法例5 幼兒園里3名小朋友去坐6把不同的椅子（每人只能坐一把），有多少種不同的坐法？分析 與例4不同，這次是椅子多而人少，可以考慮把6把椅子看成是6個(gè)元素，而把3名小朋友作為3個(gè)位置，則問題轉(zhuǎn)化為從6把椅子中選出3把，排在3名小朋友面前的排列問題解：由排列公式，共有：種不同的坐法例6 有4個(gè)同學(xué)一起去郊游，照相時(shí)，必須有一名同學(xué)給其他3人拍照，共可能有多少種拍照情況？（照相時(shí)3人站成一排）分析 由于4人中必須有一個(gè)人拍照，所以，每張照片只能有3人，可以看成有3個(gè)位置由這3人來站由于要選一人拍照，也就是要從四個(gè)人中選3人照相，所以，問題就轉(zhuǎn)化成從四個(gè)人中選3人，排在3個(gè)位置中的排列問題要計(jì)算的是有多少種排法解：由排列數(shù)公式，共可能有：種不同的拍照情況例7 4名同學(xué)到照相館照相他們要排成一排，問：共有多少種不同的排法？分析 4個(gè)人到照相館照相，那么4個(gè)人要分坐在四個(gè)不同的位置上所以這是一個(gè)從4個(gè)元素中選4個(gè)，排成一列的問題這時(shí)n=4，m=4解：由排列數(shù)公式知，共有種不同的排法一般地，對(duì)于m=n的情況，排列數(shù)公式變?yōu)楸硎緩膎個(gè)不同元素中取n個(gè)元素排成一列所構(gòu)成排列的排列數(shù)這種n個(gè)排列全部取出的排列，叫做n個(gè)不同元素的全排列（2）式右邊是從n開始，后面每一個(gè)因數(shù)比前一個(gè)因數(shù)小1，一直乘到1的乘積，記為n！，讀做n的階乘，則（2）式可以寫為：例9 5個(gè)人并排站成一排，其中甲必須站在中間有多少種不同的站法？分析 由于甲必須站在中間，那么問題實(shí)質(zhì)上就是剩下的四個(gè)人去站其余四個(gè)位置的問題，是一個(gè)全排列問題，且n=4解：由全排列公式，共有種不同的站法習(xí)題三1計(jì)算2某鐵路線共有14個(gè)車站，這條鐵路線共需要多少種不同的車票3有紅、黃、藍(lán)三種信號(hào)旗，把任意兩面上、下掛在旗桿上都可以表示一種信號(hào)，問共可以組成多少種不同的信號(hào)？4班集體中選出了5名班委，他們要分別擔(dān)任班長(zhǎng)，學(xué)習(xí)委員、生活委員、宣傳委員和體育委員問：有多少種不同的分工方式？5由數(shù)字1、2、3、4、5、6可以組成多少?zèng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？個(gè)位是5的三位數(shù)？百位是1的五位數(shù)？六位數(shù)？第四講 組合日常生活中有很多“分組”問題.如在體育比賽中，把參賽隊(duì)分為幾個(gè)組，從全班同學(xué)中選出幾人參加某項(xiàng)活動(dòng)等等.這種“分組”問題，就是我們將要討論的組合問題，這里，我們將著重研究有多少種分組方法的問題.例如 某客輪航行于天津、青島、大連三個(gè)城市之間.那么，船票共有幾種價(jià)格（往返票價(jià)相同）？注意到由天津到青島的票價(jià)與從青島到天津的票價(jià)是一樣的，所以問題實(shí)際上就是計(jì)算從三個(gè)城市中取兩個(gè)城市，有多少種不同的取法，即這時(shí)只與考慮的兩個(gè)城市有關(guān)而與兩個(gè)城市的順序無關(guān).由枚舉法知，共有下面的三種票價(jià)：天津青島青島大連大連天津我們把研究對(duì)象（如天津、青島、大連）看作元素，那么上面的問題就是從3個(gè)元素中取出2個(gè)，組成一組的問題，我們把每一組叫做一個(gè)組合，把所有的組合的個(gè)數(shù)叫做組合數(shù)，上面的問題就是要求組合數(shù).一般地，從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)（mn）元素組成一組不計(jì)較組內(nèi)各元素的次序，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.由組合的定義可以看出，兩個(gè)組合是否相同，只與這兩個(gè)組合中的元素有關(guān)，而與取到這些元素的先后順序無關(guān).只有當(dāng)兩個(gè)組合中的元素不完全相同時(shí)，它們才是不同的組合.從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素（mn）的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)不同元素的組合數(shù).記作Cmn.如上面的例子，就是要計(jì)算從3個(gè)城市中取2個(gè)城市的組合數(shù)C23，由枚舉法得出的結(jié)論知：C233.那么它是怎樣計(jì)算出來的呢？從第三講開頭的例子，即準(zhǔn)備天津、青島、大連三個(gè)城市之間的船票的問題發(fā)現(xiàn)，這個(gè)問題實(shí)際上可以這樣分兩步完成：第一步是從三個(gè)城市中選兩個(gè)城市，是一個(gè)組合問題，由組合數(shù)公式，有取C23法.第二步是將取出的兩個(gè)城市進(jìn)行排列，由全排列公式，有P23種排法，所以，由乘法原理得到P23C23P23.故有：C23P23P22（32）23.例1 計(jì)算：C26，C46；C27，C57.注意到上面的結(jié)果中，有C26=C46，C27=C57.一般地，組合數(shù)有下面的重要性質(zhì)：CmnCn-mn （mn）這個(gè)公式是很容易理解的，它的直觀意義是：Cmn表示從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素組成一組的所有分組方法.Cn-mn表示從n個(gè)元素中取出（nm）個(gè)元素組成一組的所有分組方法.顯然，從n個(gè)元素中選出m個(gè)元素的分組方法恰是從n個(gè)元素中選m個(gè)元素剩下的（n-m）個(gè)元素的分組方法.例如，從5人中選3人開會(huì)的方法和從5人中選出2人不去開會(huì)的方法是一樣多的，即C35=C25.例3 從分別寫有1、3、5、7、9的五張卡片中任取兩張，作成一道兩個(gè)一位數(shù)的乘法題，問：有多少個(gè)不同的乘積？有多少個(gè)不同的乘法算式？分析 中，要考慮有多少個(gè)不同乘積.由于只要從5張卡片中取兩張，就可以得到一個(gè)乘積，所以，有多少個(gè)乘積只與所取的卡片有關(guān)，而與卡片取出的順序無關(guān)，所以這是一個(gè)組合問題.中，要考慮有多少個(gè)不同的乘法算式，它不僅與兩張卡片上的數(shù)字有關(guān)，而且與取到兩張卡片的順序有關(guān)，所以這是一個(gè)排列問題.解：由組合數(shù)公式，共有個(gè)不同的乘積.由排列數(shù)公式，共有P25 5420種不同的乘法算式.例4 在一個(gè)圓周上有10個(gè)點(diǎn)，以這些點(diǎn)為端點(diǎn)或頂點(diǎn)，可以畫出多少不同的直線段，三角形，四邊形？分析 由于10個(gè)點(diǎn)全在圓周上，所以這10個(gè)點(diǎn)沒有三點(diǎn)共線，故只要在10個(gè)點(diǎn)中取2個(gè)點(diǎn)，就可以畫出一條線段；在10個(gè)點(diǎn)中取3個(gè)點(diǎn)，就可以畫出一個(gè)三角形；在10個(gè)點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)，就可以畫出一個(gè)四邊形，三個(gè)問題都是組合問題.解：由組合數(shù)公式.例5 如下圖，問：下左圖中，共有多少條線段？下右圖中，共有多少個(gè)角？分析 中，在線段AB上共有7個(gè)點(diǎn)（包括端點(diǎn)A、B）.注意到，只要在這七個(gè)點(diǎn)中選出兩個(gè)點(diǎn)，就有一條以這兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段，所以，這是一個(gè)組合問題，而C27表示從7個(gè)點(diǎn)中取兩個(gè)不同點(diǎn)的所有取法，每種取法可以確定一條線段，所以共有C27條線段.中，從O點(diǎn)出發(fā)的射線一共有11條，它們是OA， OP1，OP2，OP3，OP9，OB.注意到每?jī)蓷l射線可以形成一個(gè)角，所以，只要看從11條射線中取兩條射線有多少種取法，就有多少個(gè)角.顯然，是組合問題，共有C211種不同的取法，所以，可組成C211個(gè)角.解：由組合數(shù)公式知，共有例6 某校舉行排球單循環(huán)賽，有12個(gè)隊(duì)參加.問：共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？分析 因?yàn)楸荣愂菃窝h(huán)制的，所以，12個(gè)隊(duì)中的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)都要進(jìn)行一場(chǎng)比賽，并且比賽的場(chǎng)次只與兩個(gè)隊(duì)的選取有關(guān)而與兩個(gè)隊(duì)選出的順序無關(guān).所以，這是一個(gè)在12個(gè)隊(duì)中取2個(gè)隊(duì)的組合問題.解： 由組合數(shù)公式知，共需進(jìn)行場(chǎng)比賽.例7 某班要在42名同學(xué)中選出3名同學(xué)去參加夏令營(yíng)，問共有多少種選法？如果在42人中選3人站成一排，有多少種站法？分析 要在42人中選3人去參加夏令營(yíng)，那么，所有的選法只與選出的同學(xué)有關(guān)，而與三名同學(xué)被選出的順序無關(guān).所以，應(yīng)用組合數(shù)公式，共有C343種不同的選法.要在42人中選出3人站成一排，那么，所有的站法不僅與選出的同學(xué)有關(guān)，而且與三名同學(xué)被選出的順序有關(guān).所以，應(yīng)用排列數(shù)公式，共有P342種不同的站法.解： 由組合數(shù)公式，共有習(xí)題四1.計(jì)算：C315； C19982000；C34C28； P28-C68.2.從分別寫有1、2、3、4、5、6、7、8的八張卡片中任取兩張作成一道兩個(gè)一位數(shù)的加法題.問：有多少種不同的和？有多少個(gè)不同的加法算式？3.某班畢業(yè)生中有10名同學(xué)相見了，他們互相都握了一次手，問這次聚會(huì)大家一共握了多少次手？4.在圓周上有12個(gè)點(diǎn).過每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)可以畫一條直線，一共可以畫出多少條直線？過每三個(gè)點(diǎn)可以畫一個(gè)三角形，一共可以畫出多少個(gè)三角形？5.如右圖，圖上一共有六個(gè)點(diǎn)，且六個(gè)點(diǎn)中任意三個(gè)點(diǎn)不共線，問：從這六個(gè)點(diǎn)中任意選兩點(diǎn)可以連成一條線段，這些點(diǎn)一共可以連成多少條線段？從這六個(gè)點(diǎn)中任意選兩點(diǎn)可以作一條射線，這些點(diǎn)一共可以作成多少條射線？（射線是一端固定，經(jīng)另一點(diǎn)可以無限延長(zhǎng)的.）第五講 排列組合前面我們已討論了加法原理、乘法原理、排列、組合等問題.事實(shí)上，這些問題是相互聯(lián)系、不可分割的.例如有時(shí)候，做某件事情有幾類方法，而每一類方法又要分幾個(gè)步驟完成.在計(jì)算做這件事的方法時(shí)，既要用到乘法原理，又要用到加法原理.又如，在照相時(shí)，如果對(duì)坐的位置有些規(guī)定，那么就不再是簡(jiǎn)單的排列問題了.類似的問題有很多，要正確地解決這些問題，就一定要熟練地掌握兩個(gè)原理和排列、組合的內(nèi)容，并熟悉它們所解決問題的類型特點(diǎn).看下面的例子.例1 由數(shù)字0、1、2、3可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的偶數(shù)？分析 注意到由四個(gè)數(shù)字0、1、2、3可組成的偶數(shù)有一位數(shù)、二位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)這四類，所以要一類一類地考慮，再由加法原理解決.第一類：一位偶數(shù)只有0、2，共2個(gè)；第二類：兩位偶數(shù)，它包含個(gè)位為0、2的兩類.若個(gè)位取0，則十位可有C13種取法；若個(gè)位取2，則十位有C12種取法.故兩位偶數(shù)共有（C13C12）種不同的取法；第三類：三位偶數(shù)，它包含個(gè)位為0、2的兩類.若個(gè)位取0，則十位和百位共有P23種取法；若個(gè)位取2，則十位和百位只能在0、1、3中取，百位有2種取法，十位也有2種取法，由乘法原理，個(gè)位為2的三位偶數(shù)有22個(gè)，三位偶數(shù)共有（P2322）個(gè)；第四類：四位偶數(shù).它包含個(gè)位為0、2的兩類.若個(gè)位取 0，則共有P33個(gè)；若個(gè)位取 2，則其他 3位只能在 0、 1、 3中取.千位有2種取法，百位和十位在剩下的兩個(gè)數(shù)中取，再排成一列，有P22種取法.由乘法原理，個(gè)位為2的四位偶數(shù)有2P22個(gè).所以，四位偶數(shù)共有（P332P22）種不同的取法.解： 由加法原理知，共可以組成2（C13C12）（P2322）（P332P22）25101027個(gè)不同的偶數(shù).補(bǔ)充說明：本題也可以將所有偶數(shù)分為兩類，即個(gè)位為0和個(gè)位為2的兩類.再考慮到每一類中分別有一位、兩位、三位、四位數(shù)，逐類討論便可求解.例2 國(guó)家舉行足球賽，共15個(gè)隊(duì)參加.比賽時(shí)，先分成兩個(gè)組，第一組8個(gè)隊(duì)，第二組7個(gè)隊(duì).各組都進(jìn)行單循環(huán)賽（即每個(gè)隊(duì)要同本組的其他各隊(duì)比賽一場(chǎng)）.然后再由各組的前兩名共4個(gè)隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)賽，決出冠亞軍.問：共需比賽多少場(chǎng)？如果實(shí)行主客場(chǎng)制（即A、B兩個(gè)隊(duì)比賽時(shí)，既要在A隊(duì)所在的城市比賽一場(chǎng)，也要在B隊(duì)所在的城市比賽一場(chǎng)），共需比賽多少場(chǎng)？分析 比賽的所有場(chǎng)次包括三類：第一組中比賽的場(chǎng)次，第二組中比賽的場(chǎng)次，決賽時(shí)比賽的場(chǎng)次.中，第一組中8個(gè)隊(duì)，每?jī)申?duì)比賽一場(chǎng)，所以共比賽C28場(chǎng)；第二組中7個(gè)隊(duì)，每?jī)申?duì)比賽一場(chǎng)，所以共比賽C27場(chǎng)；決賽中4個(gè)隊(duì)，每?jī)申?duì)比賽一場(chǎng)，所以共比賽C24場(chǎng).中，由于是實(shí)行主客場(chǎng)制，每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間要比賽兩場(chǎng)，比賽場(chǎng)次是中的2倍.另外，還可以用排列的知識(shí)來解決.由于主客場(chǎng)制不僅與參賽的隊(duì)有關(guān)，而且與比賽所在的城市（即與順序）有關(guān).所以，第一組共比賽P28場(chǎng)，第二組共比賽P27場(chǎng)，決賽時(shí)共比賽P24場(chǎng).解： 由加法原理：實(shí)行單循環(huán)賽共比賽實(shí)行主客場(chǎng)制，共需比賽2（C28C27C24）110（場(chǎng)）.或解為：P28P27P24877643564212110（場(chǎng)）.例3 在一個(gè)半圓周上共有12個(gè)點(diǎn)，如右圖，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以畫出多少個(gè)三角形？四邊形？分析 我們知道，不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)三角形，由圖可見，半圓弧上的每三個(gè)點(diǎn)均不共線（由于A、B既可看成半圓上的點(diǎn)，又可看成線段上的點(diǎn)，為不重復(fù)計(jì)算，可把它們歸在線段上），所以，所有的三角形應(yīng)有三類：第一類，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)全在半圓弧上?。ú缓珹、B兩點(diǎn)）；第二類，三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)取在半圓弧上（不包含A、B），另一個(gè)頂點(diǎn)在線段上?。ê珹、B）；第三類，三角形的一個(gè)頂點(diǎn)在半圓弧上取，另外兩點(diǎn)在線段上取.注意到三角形的個(gè)數(shù)只與三個(gè)頂點(diǎn)的取法有關(guān)，而與選取三點(diǎn)的順序無關(guān)，所以，這是組合問題.由加法原理，這12個(gè)點(diǎn)共可以組成C37（C27C15）（C17C25）3510570210（個(gè)）不同的三角形.也可列式為C312C3522010210（個(gè)）.分析 用解的方法考慮.將組成四邊形時(shí)取點(diǎn)的情況分為三類：第一類：四個(gè)點(diǎn)全在圓弧上取.（不包括A、B）有C17種取法.第二類：兩個(gè)點(diǎn)取自圓弧.兩個(gè)點(diǎn)取自直線AB.有取法C27C25種.第三類：圓弧上取3個(gè)點(diǎn)，直線上取1個(gè)點(diǎn)，有C37C15種取法.解： 依加法原理，這12個(gè)點(diǎn)共可組成：C47+ C27C25+C37C1535210175420個(gè)不同的四邊形.還可直接計(jì)算，這12個(gè)點(diǎn)共可組成：C412-C45-C35C174955-70420個(gè)不同的四邊形.例4 如下圖，問下左圖中，有多少個(gè)長(zhǎng)方形（包括正方形）？下右圖中，有多少個(gè)長(zhǎng)方體（包括正方體）？分析 由于長(zhǎng)方形是由兩組分別平行的線段構(gòu)成的，因此只要看上左圖中水平方向的所有平行線中，可以選出幾組兩條平行線，豎直方向上的所有平行線中，可以選出幾組兩條平行線？由于長(zhǎng)方體是由三組分別平行的平面組成的.因此，只要看上頁右圖中，平行于長(zhǎng)方體上面的所有平面中，可以選出幾組兩個(gè)互相平行的平面，平行于長(zhǎng)方體右面的所有平面中，可以選出幾組兩個(gè)互相平行的兩個(gè)平面，平行于長(zhǎng)方體前面的所有平面中，可以選出幾組兩個(gè)互相平行的平面.解： C25C27210（個(gè)）因此，上頁左圖中共有210個(gè)長(zhǎng)方形.C25C26C24900（個(gè)）因此，上頁右圖中共有900個(gè)長(zhǎng)方體.例5 甲、乙、丙、丁4人各有一個(gè)作業(yè)本混放在一起，4人每人隨便拿了一本，問：甲拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？恰有一人拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？至少有一人沒有拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？誰也沒有拿到自己作業(yè)本的拿法有多少種？分析 甲拿到自己的作業(yè)本，這時(shí)只要考慮剩下的三個(gè)人拿到其他三本作業(yè)本的情況.由于其他三人可以拿到自己的作業(yè)本，也可以不拿到自己的作業(yè)本.所以，共有P33種情況.恰有一人拿到自己的作業(yè)本.這時(shí)，一人拿到了自己的作業(yè)本，而其他三人都沒能拿到自己的作業(yè)本.拿到自己作業(yè)本的可以是甲、乙、丙、丁中的一人，共4種情況.另外三人全拿錯(cuò)了作業(yè)本的拿法有2種.故恰有一人拿到自己作業(yè)本的情況有42種情況.至少有一人沒有拿到自己的作業(yè)本.這時(shí)只要在所有拿法中減去四人全拿到自己作業(yè)本的拿法即可.由于4人拿作業(yè)本的所有拿法是P44，而4人全拿到自己作業(yè)本只有1種情況.所以，至少有一人沒拿到自己作業(yè)本的拿法有P441種情況.誰也沒拿到自己的作業(yè)本.可分步考慮（假設(shè)四個(gè)人一個(gè)一個(gè)地拿作業(yè)本，考慮四人都拿錯(cuò)的情況即可）.第一個(gè)拿作業(yè)本的人除自己的作業(yè)本外有3種拿法.被他拿走作業(yè)本的人也有3種拿法.這時(shí)，剩下的兩人只能從剩下的兩本中拿，要每人都拿錯(cuò)，只有一種拿法.所以，由乘法原理，共有331種不同的情況.解： 甲拿到自己作業(yè)本的拿法有P33321 6種情況；恰有一人拿到自己作業(yè)本的拿法有428種情況；至少有一人沒有拿到自己作業(yè)本的拿法有P4414321123種情況；誰也沒有拿到自己作業(yè)本的拿法有3319種情況.由前面的各例題可以看到，有關(guān)排列組合的問題多種多樣，思考問題的方法靈活多變，入手的角度也是多方面的.所以，除掌握有關(guān)的原理和結(jié)論，還必須學(xué)習(xí)靈活多樣的分析問題、解決問題的方法.習(xí)題五1.由數(shù)字0、1、2、3、4可以組成多少個(gè)三位數(shù)？沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？小于1000的自然數(shù)？2.從15名同學(xué)中選5人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，求分別滿足下列條件的選法各有多少種？某兩人必須入選；某兩人中至少有一人入選；某三人中恰入選一人；某三人不能同時(shí)都入選.3.如右圖，兩條相交直線上共有9個(gè)點(diǎn)，問：一共可以組成多少個(gè)不同的三角形？4.如下圖，計(jì)算下左圖中有多少個(gè)梯形？下右圖中有多少個(gè)長(zhǎng)方體？5.七個(gè)同學(xué)照相，分別求出在下列條件下有多少種站法？七個(gè)人排成一排；七個(gè)人排成一排，某兩人必須有一人站在中間；七個(gè)人排成一排，某兩人必須站在兩頭；七個(gè)人排成一排，某兩人不能站在兩頭；七個(gè)人排成兩排，前排三人，后排四人，某兩人不在同一排.第六講 排列組合的綜合應(yīng)用排列組合是數(shù)學(xué)中風(fēng)格獨(dú)特的一部分內(nèi)容.它具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用.例如：某城市電話號(hào)碼是由六位數(shù)字組成，每位可從09中任取一個(gè)，問該城市最多可有多少種不同的電話號(hào)碼？又如從20名運(yùn)動(dòng)員中挑選6人組成一個(gè)代表隊(duì)參加國(guó)際比賽.但運(yùn)動(dòng)員甲和乙兩人中至少有一人必須參加代表隊(duì)，問共有多少種選法？回答上述問題若不采用排列組合的方法，結(jié)論是難以想像的.（前一個(gè)問題，該城市最多可有1000000個(gè)不同電話號(hào)碼.后一個(gè)問題，代表隊(duì)有20196種不同選法.）當(dāng)然排列組合的綜合應(yīng)用具有一定難度.突破難點(diǎn)的關(guān)鍵：首先必須準(zhǔn)確、透徹的理解加法原理、乘法原理；即排列組合的基石.其次注意兩點(diǎn)：對(duì)問題的分析、考慮是否能歸納為排列、組合問題？若能，再判斷是屬于排列問題還是組合問題？對(duì)題目所給的條件限制要作仔細(xì)推敲認(rèn)真分析.有時(shí)利用圖示法，可使問題簡(jiǎn)化便于正確理解與把握.例1 從5幅國(guó)畫，3幅油畫，2幅水彩畫中選取兩幅不同類型的畫布置教室，問有幾種選法？分析 首先考慮從國(guó)畫、油畫、水彩畫這三種畫中選取兩幅不同類型的畫有三種情況，即可分三類，自然考慮到加法原理.當(dāng)從國(guó)畫、油畫各選一幅有多少種選法時(shí)，利用的乘法原理.由此可知這是一道利用兩個(gè)原理的綜合題.關(guān)鍵是正確把握原理.解： 符合要求的選法可分三類：不妨設(shè)第一類為：國(guó)畫、油畫各一幅，可以想像成，第一步先在5張國(guó)畫中選1張，第二步再在3張油畫中選1張.由乘法原理有 5315種選法.第二類為國(guó)畫、水彩畫各一幅，由乘法原理有 5210種選法.第三類油畫、水彩各一幅，由乘法原理有326種選法.這三類是各自獨(dú)立發(fā)生互不相干進(jìn)行的.因此，依加法原理，選取兩幅不同類型的畫布置教室的選法有 1510 631種.注 運(yùn)用兩個(gè)基本原理時(shí)要注意：抓住兩個(gè)基本原理的區(qū)別，千萬不能混.不同類的方法（其中每一個(gè)方法都能各自獨(dú)立地把事情從頭到尾做完）數(shù)之間做加法，可求得完成事情的不同方法總數(shù).不同步的方法（全程分成幾個(gè)階段（步），其中每一個(gè)方法都只能完成這件事的一個(gè)階段）數(shù)之間做乘法，可求得完成整個(gè)事情的不同方法總數(shù).在研究完成一件工作的不同方法數(shù)