湖南省邵陽市 2016 年高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科） （解析版） 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分 ,。在每小題給出的四個答案中，只有一項是符合題目要求的） 1已知集合 A=x|1 x 2， B=x|2，則 R（ A B）等于（ ） A（ ， 2） B ， 1） C（ ， 2） D（ ， 1 2已知復(fù)數(shù) z 滿足（ z+1）（ 1 i） =1+i，則復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)為（ ） A 1+i B 1 i C 1+i D 1 i 3若雙曲線 的虛軸長為 2，則該雙曲線的焦距為（ ） A B 2 C D 2 4已知函數(shù) f（ x） = ，給出下列兩個命題： 命題 p：若 m= ，則 f（ f（ 1） =0 命題 q： m （ ， 0），方程 f（ x） =0 有解 那么，下列命題為真命題的是（ ） A p q B（ p） q C p （ q） D（ p） （ q） 5（ 5 分）（ 2016 湖北模擬）已知函數(shù) f（ x） =2x+ ）（ 0）下的最小正周期為 ，則函數(shù)的圖象（ ） A關(guān)于直 線 x= 對稱 B關(guān)于點(diǎn)（ ， 0）對稱 C關(guān)于直線 x= 對稱 D關(guān)于點(diǎn)（ ， 0）對稱 6（ 5 分）（ 2016 遼寧三模）在等差數(shù)列 ， a3+a6=，且 大于 1，則 取值范圍是（ ） A（ ， 9 B 9， +） C（ ， 9） D（ 9， +） 7（ 1+ ）（ + ） 6 的展開式中的常數(shù)項是（ ） A 12 B 20 C 26 D 32 8執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的 n 等于（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 9設(shè) x， y 滿足約束條件 ，若 z=ax+y 僅在點(diǎn)（ ， ）處取得最大值，則 ） A 4 B 2 C 2 D 1 10已知點(diǎn) P 為拋物線 x 上的動點(diǎn)，點(diǎn) Q 為圓 C：（ x+3） 2+（ y 3） 2=1 上的動點(diǎn)， 到 y 軸的距離，則 d+|最小值為（ ） A B 3 C 3 1 D 11（ 5 分）（ 2016 山西三模）某幾何體是組合體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） A +8 B +8 C 16+8 D +16 12已知定義在 R 上的偶函數(shù) f（ x）在 0， +）上遞減，若不等式 f（ ax+） +f（ 1） 2f（ 1）對 x 1， 3恒成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ） A 2， e B ， +） C ， e D ， 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 13設(shè)向量 =（ 2， 6）， =（ 1， m）， =（ 3， m），若 A， C， D 三點(diǎn)共線，則m= 14若 為銳角， 3 ） = 15如圖， H 是球 O 的直徑 一點(diǎn)，平面 截球 O 所得截面的面積為 9，平面 ，： 3，且點(diǎn) A 到平面 的距離為 1，則球 O 的表面積為 16已 知 數(shù)列 前 ， 1， =2n N*），則 = 三、解答題（共 5 小題，滿分 60 分 明過程或演算步驟） 17（ 12 分）（ 2016 湖北模擬）在 ， A， B， C 的對邊分別是 a， b， c，31 c 2a （ 1）求證： 等腰三角形 （ 2）若 面積為 8 且 ，求 上的中線長 18（ 12 分）（ 2016 邵陽三模）某重點(diǎn)高中擬把學(xué)校打造成新興示范高中，為此制定了很多新的規(guī)章制度新規(guī)章制度實(shí)施一段時間后，學(xué)校就新規(guī)章制度隨機(jī)抽取 100 名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，調(diào)查卷共有 20 個問題，每個問題 5 分，調(diào)查結(jié)束后，按成績分成 5 組；第 1 組75， 80），第 2 組 80， 85），第 3 組 85， 90），第 4 組 90， 95），第 5 組 95， 100），繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知甲、乙兩人同在第 3 組，丙、丁二人同在第 4， 5組，現(xiàn)在用分層抽樣的方法在第 3， 4， 5 組共選取 6 人進(jìn)行強(qiáng)化培訓(xùn) （ 1）求第 3， 4， 5 組分別選取的人數(shù)； （ 2）求這 100 人的平均得分（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）； （ 3）記 X 表示甲、丙、丁三人被選取的人數(shù)，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 19（ 12 分）（ 2016 邵陽三模）如圖，在直三棱柱 ， ， ，D 是線段 一點(diǎn) （ 1）設(shè) =5 ，求異面直線 成角的余弦值； （ 2）若 平面 二面角 D B 的余弦值 20（ 12 分）（ 2016 廣西模擬）如圖，橢圓 =1（ a b 0）的左、右頂點(diǎn)分別為 A，B，焦距為 2 ，直線 x= a 與 y=b 交于點(diǎn) D，且 |3 ，過點(diǎn) B 作直線 l 交直 線 x= a 于點(diǎn) M，交橢圓于另一點(diǎn) P （ 1）求橢圓的方程； （ 2）證明： 為定值 21（ 12 分）（ 2016 邵陽三模）已知函數(shù) f（ x） =4 a， g（ x） =f（ x） +b，其中 a， （ 1）若 x=1 是函數(shù) y=x）的一個極值點(diǎn)，求曲線 y=f（ x）在點(diǎn)（ 1， f（ 1）處的切線方程； （ 2）若函數(shù) f（ x）有 2 個零點(diǎn)， f（ g（ x） 有 6 個零點(diǎn)，求 a+b 的取值范圍 請在 22、 23、 34 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一題計分。（共 1 小題，滿分 10 分） 選修 4何證明選講 22（ 10 分）（ 2016 葫蘆島一模）如圖，過圓 E 外一點(diǎn) A 作一條直線與圓 E 交于 B， C 兩點(diǎn)，且 ，作直線 圓 E 相切于點(diǎn) F，連結(jié) 點(diǎn) D，已知圓 E 的半徑為 2， 0 （ 1）求 長； （ 2）求證： 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23（ 2016 邵陽三模）已知直線 l 的參數(shù)方程為 （ t 為參數(shù)），在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C 的方程為 =2 ） 2 （ 1）求曲線 C 的直角坐標(biāo)方程； （ 2）點(diǎn) P、 Q 分別為直線 l 與曲線 C 上的動點(diǎn)，求 |取值范圍 選修 4等式選講 24 （ 2016 邵陽三模）設(shè)函數(shù) f（ x） =|x a| （ 1）當(dāng) a=2 時，解不等式 f（ x） 7 |x 1|； （ 2）若 f（ x） 1 的解集為 0， 2， + =a（ m 0， n 0），求證： m+4n 2 +3 2016 年湖南省邵陽市高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5 分，滿分 60 分 ,。在每小題給出的四 個答案中，只有一項是符合題目要求的） 1已知集合 A=x|1 x 2， B=x|2，則 R（ A B）等于（ ） A（ ， 2） B ， 1） C（ ， 2） D（ ， 1 【分析】 解出集合 B，求出 A B，從而求出 R（ A B）即可 【解答】 解： A=x|1 x 2， B=x|2=x|x 或 x ， A B=x|x 1 或 x ， R（ A B） = ， 1， 故選： D 【點(diǎn)評】 本題考查了集合的交、并、補(bǔ)的運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題 2已知復(fù)數(shù) z 滿足（ z+1）（ 1 i） =1+i，則復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)為（ ） A 1+i B 1 i C 1+i D 1 i 【分析】 直接由（ z+1）（ 1 i） =1+i 展開得 z（ 1 i） +1 i=1+i，即 ，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，則復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)可求 【解答】 解：由（ z+1）（ 1 i） =1+i， 得 z（ 1 i） +1 i=1+i， 即 ， 則復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)為： 1 i 故選： D 【點(diǎn)評】 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題 3若雙曲線 的虛軸長為 2，則該雙曲線的焦距為（ ） A B 2 C D 2 【分析】 將雙曲線的方程化為 =1，（ m 0），可得 a， b， c，由題意可得 b=1，解得 m= 2，進(jìn)而得到焦距 2c 【解答】 解：雙曲線 即為： =1，（ m 0）， 可得 a=1， b= ， 即有 c= ， 由題意可得 2b=2，即 b=1， 即為 =1，解得 m= 2， 可得 c= ，即焦距為 2c=2 故選： B 【點(diǎn) 評】 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要是焦距的求法，將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題 4已知函數(shù) f（ x） = ，給出下列兩個命題： 命題 p：若 m= ，則 f（ f（ 1） =0 命題 q： m （ ， 0），方程 f（ x） =0 有解 那么，下列命題為真命題的是（ ） A p q B（ p） q C p （ q） D（ p） （ q） 【分析】 分別判斷出 p， q 的真假，從而判斷出復(fù)合命 題的真假即可 【解答】 解：若 m= ，則 f（ f（ 1） =f（ ） =0，命題 p 是真命題； 若 m 0，則 m 0，而 2x 0，故 f（ x） 0，命題 q 是假命題； 故 p （ q）是真命題， 故選： C 【點(diǎn)評】 本題考查了二次函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查復(fù)合命題的判斷，是一道基礎(chǔ)題 5（ 5 分）（ 2016 湖北模擬）已知函數(shù) f（ x） =2x+ ）（ 0）下的最小正周期為 ，則函數(shù)的圖象（ ） A關(guān)于直線 x= 對稱 B關(guān)于點(diǎn)（ ， 0）對稱 C關(guān)于直線 x= 對稱 D關(guān)于點(diǎn)（ ， 0）對稱 【分析】 由題意和函數(shù)的周期性可得 值，驗證可得對稱性 【解答】 解： 函數(shù) f（ x） =2x+ ）（ 0）下的最小正周期為 ， =，解得 =1， f（ x） =2x+ ）， 由 2x+ =可得 x= + ， k Z， 結(jié)合選項可知當(dāng) k=2 時，函數(shù)一條 對稱軸為 x= ， 故選： A 【點(diǎn)評】 本題考查正弦函數(shù)的圖象，涉及周期性和對稱性，屬基礎(chǔ)題 6（ 5 分）（ 2016 遼寧三模）在等差數(shù)列 ， a3+a6=，且 大于 1，則 取值范圍是（ ） A（ ， 9 B 9， +） C（ ， 9） D（ 9， +） 【分析】 由等差數(shù)列的性質(zhì)得 a3+a6=a4+而 ，又 1，進(jìn)而 d ，由此能求出取值范圍 【解答】 解： 在等差數(shù)列 ， a3+a6=，且 大于 1， 又 a3+a6=a4+ ，又 1， 5 3d 1， d ， a8=d 5+4=9 取值范圍是 9， +） 故選： B 【點(diǎn)評】 本題考查等差數(shù)列的第 8 項的取值范圍的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用 7（ 1+ ）（ + ） 6 的展開式中的常數(shù)項是（ ） A 12 B 20 C 26 D 32 【分析】 根據(jù)（ + ） 6 展開式的通項公式，即可計算（ 1+ ）（ + ） 6 展開式的常數(shù)項 【解答】 解：（ + ） 6 展開式的通項公式為 = = r， 分別令 r=3、 r=1，可得（ 1+ ）（ + ） 6 展開式中的常數(shù)項， 故（ 1+ ）（ + ） 6 展開式中常數(shù)項為 +2 =32 故選： D 【點(diǎn)評】 本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，二項展開 式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目 8執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出的 n 等于（ ） A 5 B 6 C 7 D 8 【分析】 模擬執(zhí)行程序，依次寫出每次循環(huán)得到的 m， n 的值，當(dāng) m=9， n=6 時滿足條件 m n=3，退出循環(huán)，輸出 n 的值為 6，從而得解 【解答】 解：模擬程序的運(yùn)行，可得： m=1， n=1 執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件 m n， m=3， n=2 不滿足條件 m n=3，執(zhí)行循環(huán)體，滿足條件 m n， m=2， n=3 不滿足條件 m n=3，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件 m n， m=5， n=4 不滿足條件 m n=3，執(zhí)行循環(huán)體，滿足條件 m n， m=4， n=5 不滿足條件 m n=3，執(zhí)行循環(huán)體，不滿足條件 m n， m=9， n=6 滿足條件 m n=3，退出循環(huán)，輸出 n 的值為 6 故選： B 【點(diǎn)評】 本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用問題，分析出程序的功能是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題 9設(shè) x， y 滿足約束條件 ，若 z=ax+y 僅在點(diǎn)（ ， ）處取得最大值，則 ） A 4 B 2 C 2 D 1 【分析】 作出其平面區(qū)域，由圖確定若目標(biāo)函數(shù) z=ax+y（其中 a 0）僅在點(diǎn)（ 3， 1）處取得最大值時斜率 a 的要求，從而求出 a 的取值范圍 【解答】 解：由題意，作出 x， y 滿足約束條件 平面區(qū)域如下圖： 目標(biāo)函數(shù) z=ax+y（其中 a 0）可化為 y= ax+z， 則由目標(biāo)函數(shù) z=ax+y（其中 a 0）僅在點(diǎn)（ ， ）處取得最大值， 得： a 2， 即 a 2 故選： A 【點(diǎn)評】 本題考查了簡單的線性規(guī)劃的應(yīng)用，注意作圖要仔細(xì)，而且注意參數(shù)的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題 10已知點(diǎn) P 為拋物線 x 上的動點(diǎn)，點(diǎn) Q 為圓 C：（ x+3） 2+（ y 3） 2=1 上的動點(diǎn)， 到 y 軸的距離，則 d+|最小值為（ ） A B 3 C 3 1 D 【分析】 設(shè)拋物線焦點(diǎn)為 F，根據(jù)拋物線的性質(zhì)可知 d=| 1，連結(jié) d+|最小值為 | 1 1 【解答】 解： 拋物線的準(zhǔn)線方程為 x= 1，焦點(diǎn) F（ 1， 0） P 到直線 x= 1 的距離等于| P 到 y 軸的距離 d=| 1， d+| 1 當(dāng) F， P， Q 三點(diǎn)共線時， |得最小值 | 1 C（ 3， 3）， F（ 1， 0）， |5， d+|最小值為 5 1 1=3 故選： B 【點(diǎn)評】 本題考查了拋物線的性質(zhì)，兩點(diǎn)間的距離公式，屬于中檔題 11（ 5 分）（ 2016 山西三模）某幾何體是組合體，其三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ） A +8 B +8 C 16+8 D +16 【分析】 由三視圖知該幾何體是一個組合體：下面是半個圓柱、上面兩個四棱錐，由三視圖求出幾何元素的長度、并判斷出位置關(guān)系，由柱體、錐體的體積公式求出幾何體的體積 【解答】 解：根據(jù)三視圖可知幾何體是一個組合體：下面是半個圓柱、上面兩個四棱錐， 且兩個四棱錐的定點(diǎn)相對、底面是俯視圖中兩個矩形兩條邊分別是 2、 4， 其中一條側(cè)棱與底面垂直，高都是 2， 圓柱的底面圓半徑是 2、母線長是 4， 幾何體的體積 V=2 + = ， 故選： B 【點(diǎn)評】 本題考查三視圖求幾何體的體積，由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力 12已知定義在 R 上的偶函數(shù) f（ x）在 0， +）上遞減，若不等式 f（ ax+） +f（ 1） 2f（ 1）對 x 1， 3恒成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ） A 2， e B ， +） C ， e D ， 【分析】 由條件利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，可得 0 2 對 x 1， 3恒成立令g（ x） =由 g（ x） =a =0，求得 x= 分類討論求得 g（ x）的最大值和最小值，從而求得 a 的范圍 【解答】 解： 定義在 R 上的偶函數(shù) f（ x）在 0， +）上遞減， f（ x）在（ ， 0）上單調(diào)遞增， 若不等式 f（ ax+） +f（ 1） 2f（ 1）對 x 1， 3恒成立， 則 2f（ 1） 2f（ 1）對 x 1， 3恒成立，即 f（ 1） f（ 1）對 x 1，3恒成立 1 1 1 對 x 1， 3恒成立， 即 0 2 對 x 1， 3恒成立 令 g（ x） =由 g（ x） =a =0，求得 x= 當(dāng) 1，即 a 0 或 a 1 時， g（ x） 0 在 1， 3上恒成立， g（ x）為增函數(shù)， 最小值 g（ 1） =a 0，最大值 g（ 3） =3a 2， 0 a ， 綜合可得， 1 a 當(dāng) 3，即 0 a 時， g（ x） 0 在 1， 3上恒成立， g（ x）為減函數(shù)， 最大值 g（ 1） =a 2，最小值 g（ 3） =3a 0， a 2， 綜合可得， a 無解 當(dāng) 1 3，即 a 1 時，在 1， ）上， g（ x） 0 恒成立， g（ x）為減函數(shù)； 在（ ， 3上， g（ x） 0 恒成立， g（ x）為增函數(shù) 故函數(shù)的最小值為 g（ ） =1 g（ 1） =a， g（ 3） =3a g（ 3） g（ 1） =2a 若 2a 0，即 a 1， g（ 3） g（ 1） 0， 則最大值為 g（ 3） =3a 此時，由 1 0， g（ 3） =3a 2，求得 a ，綜合可得， a 1 若 2a 0，即 a g（ 3） g（ 1） 0，則最大值為 g（ 1） =a， 此時，最小值 1 0，最大值 g（ 1） =a 2，求得 a 2， 綜合可得 a 綜合 可得， 1 a 或 a 1 或 a 即 a ， 故選： D 【點(diǎn)評】 本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于難題 二、填空題（共 4 小題，每小題 5 分，滿分 20 分） 13設(shè)向量 =（ 2， 6）， =（ 1， m）， =（ 3， m），若 A， C， D 三點(diǎn)共線，則m= 9 【分析】 由 A， C， D 三點(diǎn)共線可得 與 共線，由向量共線的坐標(biāo)表示可得 m 的方程，解方程可得 【解答】 解： 向量 =（ 2， 6）， =（ 1， m）， =（ 3， m）， = + =（ 2， 6） +（ 1， m） =（ 1， 6+m）， A， C， D 三點(diǎn)共線， 與 共線， 1 m=3（ 6+m）解得 m= 9， 故答案為： 9 【點(diǎn)評】 本題考查平面向量共線的坐標(biāo)表示，把三點(diǎn)共線轉(zhuǎn)化為向量共線是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題 14若 為銳角， 3 ） = 【分析】 由題意和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得 入兩角差的余弦公式計算可得 【解答】 解： 為銳角， 0， 又 3 3， 約掉 得 ， = ， ） = + = 故答案為： 【點(diǎn)評】 本題考查兩角和與差的余弦公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系，屬基礎(chǔ)題 15如圖， H 是球 O 的直徑 一點(diǎn)，平面 截球 O 所得截面的面積為 9，平面 ，： 3，且點(diǎn) A 到平面 的距離為 1，則球 O 的表面積為 40 【分析】 設(shè)球的半徑為 R，根據(jù)題意知由與球心距離為 R 的平面截球所得的截面圓的面積是 9，我們易求出截面圓的半徑為 3，根據(jù)球心距、截面圓半徑、球半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理，我們易求出該球的半徑，進(jìn)而求出球的表面積 【解答】 解：設(shè)球的半徑為 R， ： 3，且點(diǎn) A 到平面 的距離為 1， 球心 O 到平面 的距離 d 為 1， 截球 O 所得截面的面積為 9， 截面圓的半徑 r 為 3， 故由 R2=r2+ 2+12=10， 球的表面積 S=40 故填： 40 【點(diǎn)評】 本題考查的知識點(diǎn)是球的表面積公式，若球的截面圓半徑為 r，球心距為 d，球半徑為 R，則球心距、截面圓半徑、球半徑構(gòu)成直角三角形，滿足勾股定理 16已知 數(shù)列 前 n 項和，且 ， 1， =2n N*），則 = 32n+1 1 【分析】 ， 1，可得 4 于 =2n N*），可得： =22數(shù)列 2成等比數(shù)列，可得 2=2n 2，利用數(shù)列 等比數(shù)列，即可得出 【解答】 解： ， 1， 4 0 =2n N*）， =22 數(shù)列 2成等比數(shù)列， 0，公比為 2 2=2n 2=10 2n 2 數(shù)列 等比數(shù)列，首項 ，公比為 2 則 = +10 2n 1=3 2n+1 1 故答案為： 3 2n+1 1 【點(diǎn)評】 本題考查了等比數(shù)列的通項公式性質(zhì)及其前 n 項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題 三、解答題（共 5 小題，滿分 60 分 明過程或演算步驟） 17（ 12 分）（ 2016 湖北模擬）在 ， A， B， C 的對邊分別是 a， b， c，31 c 2a （ 1）求證： 等腰三角形 （ 2）若 面積為 8 且 ，求 上的中線長 【分析】 （ 1）由已知式子和正弦定理可得 31解因式結(jié)合題意可得 c=a，可得 等腰三角形； （ 2）由題意和三角形的面積公式可得 a=c=8，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得 用余弦定理可得 【解答】 解：（ 1） 在 31 由正弦定理可得 31 分解因式可得（ c a）（ 3c 8a） =0 解得 c=a 或 c= ，由 c 2a 可得 c=a， 故 等腰三角形； （ 2） 面積為 8 ，且 ， 8 = 解得 a=c=8， 由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得 = 設(shè) 上的中線長為 x，當(dāng) 時， 由余弦定理可得 2+42 2 4 8 4， x=8； 當(dāng) 時，同理可得 2+42 2 4 8 6， x=4 【點(diǎn)評】 本題考查解三角形，涉及正余弦定理的 應(yīng)用，屬中檔題 18（ 12 分）（ 2016 邵陽三模）某重點(diǎn)高中擬把學(xué)校打造成新興示范高中，為此制定了很多新的規(guī)章制度新規(guī)章制度實(shí)施一段時間后，學(xué)校就新規(guī)章制度隨機(jī)抽取 100 名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，調(diào)查卷共有 20 個問題，每個問題 5 分，調(diào)查結(jié)束后，按成績分成 5 組；第 1 組75， 80），第 2 組 80， 85），第 3 組 85， 90），第 4 組 90， 95），第 5 組 95， 100），繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知甲、乙兩人同在第 3 組，丙、丁二人同在第 4， 5組，現(xiàn)在用分層抽樣的方法在第 3， 4， 5 組共選取 6 人進(jìn)行強(qiáng) 化培訓(xùn) （ 1）求第 3， 4， 5 組分別選取的人數(shù)； （ 2）求這 100 人的平均得分（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）； （ 3）記 X 表示甲、丙、丁三人被選取的人數(shù)，求 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【分析】 （ 1）由頻率分布圖，先分別求出 3， 4， 5 組的人數(shù)，由此能求出用分層抽樣的方法在第 3， 4， 5 組共選取 6 人進(jìn)行強(qiáng)化培訓(xùn)，第 3， 4， 5 組分別選取的人數(shù) （ 2）利用頻率分布直方圖能求出這 100 人的平均得分 （ 3）由題意 X 的可能取值為 0， 1， 2， 3，分別求出相應(yīng)的概 率，由此能求出 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【解答】 解：（ 1）由頻率分布圖，得： 第 3 組人數(shù)為： 5 100=30 人， 第 4 組人數(shù)為： 5 100=20 人， 第 5 組人數(shù)為： 5 100=10 人， 用分層抽樣的方法在第 3， 4， 5 組共選取 6 人進(jìn)行強(qiáng)化培訓(xùn)， 第 3 組選取的人數(shù)為： 30 =3 人， 第 4 組選取的人數(shù)為： 20 =2 人， 第 5 組選取的人數(shù)為： 10 =1 人 （ 2）這 100 人的平均得分： =5 5 5 5 5 （ 3） 第 3 組選取的人數(shù)為 3 人，第 4 組選取的人數(shù)為 2 人，第 5 組選取的人數(shù)為 1 人 甲、乙兩人同在第 3 組，丙、丁二人同在第 4， 5 組， X 表示甲、丙、丁三人被選取的人數(shù)， X 的可能取值為 0， 1， 2， 3， P（ X=0） = = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = = X 的分布列為： X 0 1 2 3 P +2 +3 =1 【點(diǎn)評】 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量分布列 及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用 19（ 12 分）（ 2016 邵陽三模）如圖，在直三棱柱 ， ， ，D 是線段 一點(diǎn) （ 1）設(shè) =5 ，求異面直線 成角的余弦值； （ 2）若 平面 二面角 D B 的余弦值 【分析 】 （ 1）建立空間坐標(biāo)系，根據(jù) =5 ，求出 D 的坐標(biāo)，結(jié)合異面直線所成角的定義進(jìn)行求解， （ 2）根據(jù) 平面 用平面向量共面的基本定理求出 D 的坐標(biāo)，求出平面的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可 【解答】 解：（ 1） 建立以 C 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 別為 x， y， z 軸的空間直角坐標(biāo)系如圖： ， ， C（ 0， 0， 0）， A（ 3， 0， 0）， B（ 0， 4， 0）， 0， 0， 4）， 0， 4， 4）， 則 =（ 3， 4， 0），設(shè) D（ x， y， 0）， =5 ， （ 3， 4， 0） =5（ x 3， y， 0）， 則 則 ，即 D（ ， ， 0）， 則 =（ ， ， 0）， =（ 3， 0， 4）， 則 ， = = = ， 則異面直線 成角的余弦值是 （ 2） D（ x， y， 0），則 =（ 0， 4， 4）， =（ x， y， 0）， =（ 3， 0， 4） 平面 設(shè) =t =（ 3t， 4t， 0）， 則 = + =（ 3 3t， 4t， 0） 存在兩個實(shí)數(shù) m， n 有 =m +n 即 （ 3， 0， 4） =m（ 0， 4， 4，） +n（ 3 3t， 4t， 0）， 即 ，則 m=1， n= 2， t= ， 即 =（ 3 3t， 4t， 0） =（ ， 2， 0）， 即 D 是 中點(diǎn)， 設(shè)平面 法向量為 =（ x， y， z）， 則 ， 令 y=1，則 z= 1， x= ，即 =（ ， 1， 1）， 平面 一個法向量為 =（ 1， 0， 0）， 則 ， = = = ， 二面角 D B 是銳二面角， 二面角 D B 的余弦值是 【點(diǎn)評】 本題主要考查異面直線所成角以及空間二面角的求解，建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法是解決二面角常用的方法難度較大 20（ 12 分）（ 2016 廣西模 擬）如圖，橢圓 =1（ a b 0）的左、右頂點(diǎn)分別為 A，B，焦距為 2 ，直線 x= a 與 y=b 交于點(diǎn) D，且 |3 ，過點(diǎn) B 作直線 l 交直線 x= a 于點(diǎn) M，交橢圓于另一點(diǎn) P （ 1）求橢圓的方程； （ 2）證明： 為定值 【分析】 （ 1）利 用已知條件列出 ，求解可得橢圓的方程 （ 2）設(shè) M（ 2， P（ 推出 =（ =（ 2， 直線 入橢圓方程，由韋達(dá)定理得 后求解 為定值 【解答】 解：（ 1）由題可得 ， ， 橢圓的方程為 （ 5 分） （ 2） A（ 2， 0）， B（ 2， 0），設(shè) M（ 2， P（ 則 =（ =（ 2， 直線 方程為： ，即 ， （ 7 分） 代 入橢圓方程 ，得 ， （ 8 分） 由韋達(dá)定理得 ， （ 9 分） ， ， （ 10 分） = 2x1+ + = =4 即 為定值 （ 12 分） 【點(diǎn)評】 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，橢圓的方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，函數(shù)與方程的思想的應(yīng)用 21（ 12 分）（ 2016 邵陽三模）已知函數(shù) f（ x） =4 a， g（ x） =f（ x） +b，其中 a， （ 1）若 x=1 是函數(shù) y=x）的一個極值點(diǎn)，求曲線 y=f（ x）在點(diǎn)（ 1， f（ 1）處的切線方程； （ 2）若函數(shù) f（ x）有 2 個零點(diǎn)， f（ g（ x）有 6 個零點(diǎn)，求 a+b 的取值范圍 【分析】 （ 1）求得函數(shù) y=x）的導(dǎo)數(shù)，由極值的概念可得 a=12，求出 f（ x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程可得切線的方程； （ 2）求出 f（ x）的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，以及極值，由零點(diǎn)個數(shù)為 2，可得 a=3，作出 y=f（ x）的圖象，令 t=g（ x），由題意可得 t= 1 或 t= ，即 f（ x） = 1 b 或 f（ x） = b 都有 3個實(shí)數(shù)解，由圖象可得 1 b 0，且 b 0，即可得到所求 a+b 的范圍 【解答】 解：（ 1）函數(shù) f（ x） =4 a， 則 y=x） =4 導(dǎo)數(shù)為 y=12a， 由題意可得 12 a=0，解得 a=12， 即有 f（ x） =4 12， f（ x） =8x ， 可得曲線在點(diǎn)（ 1， f（ 1）處的切線斜率為 7，切點(diǎn)為（ 1， 7）， 即有曲線 y=f（ x）在點(diǎn)（ 1， f（ 1）處的切線方程為 y+7=7（ x 1）， 即為 y=7x 14； （ 2）由 f（ x） =4 a，導(dǎo)數(shù) f（ x） =8x ， 當(dāng) x 時， f（ x） 0， f（ x）遞增；當(dāng) x 0 或 0 x 時， f（ x） 0， f（ x）遞減 可得 x= 處取得極小值，且為 3 a， 由 f（ x）有兩個零點(diǎn)，可得 3 a=0，即 a=3，零點(diǎn)分別為 1， 令 t=g（ x），即有 f（ t） =0，可得 t= 1 或 ， 則 f（ x） = 1 b 或 f（ x） = b， 由題意可得 f（ x） = 1 b 或 f（ x） = b 都有 3 個實(shí)數(shù)解， 則 1 b 0，且 b 0，即 b 1 且 b ， 可得 b 1，即有 a+b 2 則 a+b 的范圍是（ ， 2） 【點(diǎn)評】 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查函數(shù)零點(diǎn)問題的解法，注意運(yùn)用換元法和數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題 請在 22、 23、 34 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一題計分。（共 1 小題，滿分 10 分） 選修 4何證明選講 22（ 10 分）（ 2016 葫蘆島一模）如圖，過圓 E 外一點(diǎn) A 作一條直線與圓 E 交于 B， C 兩點(diǎn)，且 ，作直線 圓 E 相切于點(diǎn) F，連結(jié) 點(diǎn) D，已知圓 E 的半徑為 2， 0 （ 1）求 長； （ 2）求證： 【分析】 （ 1）延長 圓 E 于點(diǎn) M，連結(jié) 0，由已知條件求出 C，再由切割線定理能求出 （ 2）過 E 作 H，得到 此入手能夠證明 【解答】 （ 1）解：