廣東省佛山市2020學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）1.已知 ， ，則A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接利用并集定義運(yùn)算即可【詳解】4，5，；故選：D【點(diǎn)睛】考查集合的列舉法的表示，以及并集的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接利用誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù)化簡(jiǎn)求解即可【詳解】故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，是基本知識(shí)的考查3.下列函數(shù)是奇函數(shù)且在區(qū)間上是增函數(shù)的是；A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，依次分析4個(gè)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，綜合即可得答案【詳解】根據(jù)題意，依次分析4個(gè)函數(shù)，對(duì)于，為奇函數(shù)，且在上為減函數(shù)，不符合題意；對(duì)于；為偶函數(shù)，不符合題意，對(duì)于，有，為奇函數(shù)，且，為增函數(shù)，符合題意，對(duì)于，有，為奇函數(shù)，且，為增函數(shù)，符合題意；則是奇函數(shù)且在區(qū)間上是增函數(shù)，符合題意；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的判斷，關(guān)鍵是掌握常見(jiàn)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題4.方程的根所在的區(qū)間為A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】令函數(shù)，則方程的根即為函數(shù)的零點(diǎn)再根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的判定定理可得函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間【詳解】令函數(shù)，則方程的根即為函數(shù)的零點(diǎn)，再由，且，可得函數(shù)在上有零點(diǎn)故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)的判定定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題5.函數(shù)的最大值為A. 2B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】由兩角和差的正余弦公式得：，由三角函數(shù)的有界性得：，可得解【詳解】，因?yàn)?，所以，故函?shù)的最大值為2，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了兩角和差的正余弦公式及三角函數(shù)的有界性，屬簡(jiǎn)單題6.已知函數(shù)的最小值為則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用分段函數(shù)的表達(dá)式轉(zhuǎn)化求解函數(shù)的最小值，求解m的范圍即可【詳解】函數(shù)的最小值為可知：時(shí)，由，解得，因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以只需，恒成立即可，所以，可得故選：B【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，屬于基礎(chǔ)題7.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值可以A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，代入解析式得的值【詳解】由函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且此點(diǎn)為五點(diǎn)作圖中第3個(gè)點(diǎn)，故代入解析式得，故，故選：A【點(diǎn)睛】本題給出正弦型三角函數(shù)的圖象信息，確定其解析式，屬于簡(jiǎn)單題8.函數(shù)的大致圖象為A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性，排除選項(xiàng)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，推出結(jié)果即可【詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)A,B，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：，可得函數(shù)的極值點(diǎn)并且，函數(shù)是減函數(shù)，函數(shù)是增函數(shù)，所以函數(shù)的圖象是C故選：C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象的判斷，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算能力9.若，則A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】對(duì)a，b，c通分即可得出，從而得出a，b，c的大小關(guān)系【詳解】又所以.所以故選：B【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性10.為了得到函數(shù)的圖象，可以將的圖象A. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B. 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度D. 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】A【解析】【分析】由條件根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論【詳解】由于：，故：將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向左平移個(gè)單位，可得：的圖象故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式、函數(shù)的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題11.某企業(yè)2020年全年投入研發(fā)資金150萬(wàn)元，為激勵(lì)創(chuàng)新，該企業(yè)計(jì)劃今后每年投入的研發(fā)資金比上年增長(zhǎng)，則該企業(yè)全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是參考數(shù)據(jù)：，A. 2020B. 2021C. 2022D. 2023【答案】C【解析】【分析】設(shè)該企業(yè)全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是第n年，則，進(jìn)而得出【詳解】設(shè)該企業(yè)全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份為n，則，則，取故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題12.已知函數(shù)，對(duì)于任意，都有，且在有且只有5個(gè)零點(diǎn)，則A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由題意可得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可得，再根據(jù)在有且只有5個(gè)零點(diǎn)，則可得，結(jié)合所給的選項(xiàng)，求得的值【詳解】函數(shù)，對(duì)于任意，都有，故的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即，在有且只有5個(gè)零點(diǎn)，則，求得，綜上，結(jié)合所給的選項(xiàng)可得，故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象的對(duì)稱性和零點(diǎn)，屬于中檔題二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)【答案】【解析】【分析】要使得原函數(shù)有意義，則需滿足，解出x的范圍即可【詳解】要使原函數(shù)有意義，則：；原函數(shù)的定義域?yàn)椋汗蚀鸢笧椋骸军c(diǎn)睛】本題考查函數(shù)定義域的概念及求法，對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域14.函數(shù)且的反函數(shù)過(guò)點(diǎn)，則_【答案】3【解析】【分析】由函數(shù)，且的反函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，可得：圖象過(guò)點(diǎn)，即可得出【詳解】由函數(shù)，且的反函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，可得：圖象過(guò)點(diǎn)，又，故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查了互為反函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題15.已知，則_【答案】【解析】【分析】由題意利用二倍角的正切公式求得的值，再利用兩角和的正切公式求得的值【詳解】已知，則，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角的正切公式，兩角和的正切公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題16.設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，若對(duì)于任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】由當(dāng)時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)，可得當(dāng)時(shí)，從而在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足，再根據(jù)不等式在恒成立，可得在恒成立，即可得出答案【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)是奇函數(shù)當(dāng)時(shí)，在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足，不等式在恒成立，在恒成立，即：在恒成立，解得：，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)恒成立問(wèn)題及函數(shù)的奇偶性，難度適中，關(guān)鍵是掌握函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性三、解答題（本大題共6小題，共70.0分）17.已知，求和的值求和【答案】（1） ； （2），.【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得的值，再利用誘導(dǎo)公式求得的值利用兩角和差的三角公式求得和的值【詳解】，；【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式，兩角和差的三角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題18.已知函數(shù)，若是R上的偶函數(shù)，求a的值判斷的奇偶性，并證明【答案】（1）； （2）見(jiàn)解析.【解析】【分析】根據(jù)是R上的偶函數(shù)，即可得出，即得出從而求出；可看出為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的定義證明即可【詳解】是R上的偶函數(shù)；是偶函數(shù)，證明如下：的定義域?yàn)镽，且；是偶函數(shù)【點(diǎn)睛】考查偶函數(shù)的定義及判斷方法，以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)19.寫(xiě)出以下各式的值：_；_；_結(jié)合的結(jié)果，分析式子的共同特點(diǎn)，寫(xiě)出能反映一般規(guī)律的等式，并證明你的結(jié)論【答案】（1），； （2）見(jiàn)解析.【解析】【分析】利用特殊角的三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算當(dāng)，借助于和差角的三角函數(shù)公式進(jìn)行證明即可【詳解】，當(dāng)，證明：，則，.【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理，考查三角函數(shù)知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題20.如圖是半徑為lm的水車截面圖，在它的邊緣圓周上有一動(dòng)點(diǎn)P，按逆時(shí)針?lè)较蛞越撬俣让棵肜@圓心轉(zhuǎn)動(dòng)作圓周運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)P的初始位置為，且，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y是轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)間單位：的函數(shù)記為求，的值，并寫(xiě)出函數(shù)的解析式；選用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄗ鞒龊瘮?shù)，的簡(jiǎn)圖；試比較，的大小直接給出大小關(guān)系，不用說(shuō)明理由【答案】（1），； （2）見(jiàn)解析； （3）【解析】【分析】由題意分別計(jì)算和的值，寫(xiě)出的解析式；根據(jù)題意列表、描點(diǎn)、連線，作出函數(shù)在的簡(jiǎn)圖即可；由函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出、與的大小【詳解】由題意，函數(shù)，；根據(jù)題意列表如下；t0146y100在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)、連線，作出函數(shù)在的簡(jiǎn)圖如圖所示；由函數(shù)的圖象與性質(zhì)知【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)模型應(yīng)用問(wèn)題，也考查了函數(shù)圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題21.已知函數(shù)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，試判斷的單調(diào)性，并用定義證明；求證：方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根【答案】（1）見(jiàn)解析； （2）見(jiàn)解析.【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出，從而證明結(jié)論【詳解】在遞增，設(shè)a，且，則，故，即，故在遞增；證明：當(dāng)時(shí)，的值域是，由，解得：，當(dāng)時(shí)，故，當(dāng)時(shí)，又，故，綜上，當(dāng)時(shí)，故方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道常規(guī)題22.設(shè)，或，從以下兩個(gè)命題中任選一個(gè)進(jìn)行證明：當(dāng)時(shí)函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)；如圖所示當(dāng)時(shí)如，與的圖象“好像”只有一個(gè)交點(diǎn)，但實(shí)際上這兩個(gè)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)證明：當(dāng)時(shí)，與兩個(gè)交點(diǎn)若方程恰有4個(gè)實(shí)數(shù)根，請(qǐng)結(jié)合的研究，指出實(shí)數(shù)k的取值范圍不用證明【答案】（1）見(jiàn)解析； （2）見(jiàn)解析； （3）.【解析】【分析】由函數(shù)的零點(diǎn)及方程的根的關(guān)系得：當(dāng)時(shí)，令，解得：，即函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，且此零點(diǎn)為2，再用判別式判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)由二次方程區(qū)間根的問(wèn)題得：，由韋