等差、等比數(shù)列的概念與性質(zhì)(40分鐘)一、選擇題1.(2020成都模擬)已知數(shù)列an是等差數(shù)列,且a7-2a4=-1,a3=0,則公差d等于()A.-2B.-12C.12D.22.(2020天津模擬)在等差數(shù)列an中,若a2+a4+a6+a8+a10=80,則a7-12a8的值為()A.4B.6C.8D.103.(2020黃岡模擬)等比數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn,有人算得S1=8,S2=20,S3=36,S4=65,后來(lái)發(fā)現(xiàn)有一個(gè)數(shù)算錯(cuò)了,錯(cuò)誤的是()A.S1B.S2C.S3D.S44.(2020安慶模擬)如果數(shù)列a1,a2a1,a3a2,anan-1,是首項(xiàng)為1,公比為-2的等比數(shù)列,則a5等于()A.32B.64C.-32D.-645.(2020遼寧高考)下面是關(guān)于公差d0的等差數(shù)列an的四個(gè)命題:p1:數(shù)列an是遞增數(shù)列;p2:數(shù)列nan是遞增數(shù)列;p3:數(shù)列ann是遞增數(shù)列;p4:數(shù)列an+3nd是遞增數(shù)列.其中真命題為()A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p46.已知an=13n,把數(shù)列an的各項(xiàng)排列成如下的三角形狀,a1a2a3a4a5a6a7a8a9記A(m,n)表示第m行的第n個(gè)數(shù),則A(10,12)=()A.1393B.1392C.1394D.13112二、填空題7.(2020廣東高考)在等差數(shù)列an中,已知a3+a8=10,則3a5+a7=.8.數(shù)列an是首項(xiàng)a1=4的等比數(shù)列,且4a1,a5,-2a3成等差數(shù)列,則a2 013=.9.(2020煙臺(tái)模擬)數(shù)列an的首項(xiàng)為1,數(shù)列bn為等比數(shù)列且bn=an+1an,若b10b11=2,則a21=.三、解答題10.設(shè)an是公比不為1的等比數(shù)列,其前n項(xiàng)和為Sn,且a5,a3,a4成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列an的公比.(2)證明:對(duì)任意kN*,Sk+2,Sk,Sk+1成等差數(shù)列.11.(2020樂(lè)山模擬)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=t,2an+1=-3Sn+4(nN*)(1)當(dāng)t為何值時(shí),數(shù)列an是等比數(shù)列?(2)在(1)的條件下,設(shè)bn=an-n2,若數(shù)列bn中有b1b2,b3b4,b2n-1b2n成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.12.(2020湖北高考)已知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和,S4,S2,S3成等差數(shù)列,且a2+a3+a4=-18.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.(2)是否存在正整數(shù)n,使得Sn2 013?若存在,求出符合條件的所有n的集合;若不存在,說(shuō)明理由.答案解析1.【解析】選B.由已知得a1+6d-2(a1+3d)=-1,a1+2d=0,即a1=1,d=-12.2.【解析】選C.a2+a4+a6+a8+a10=5a6=80,所以a6=16,則a7-12a8=12(2a7-a8)=12(a6+a8-a8)=12a6=8.3.【解析】選C.根據(jù)題意,由于等比數(shù)列前n項(xiàng)和為Sn,S1=8,S2=20,S3=36,如果S1=8,S2-S1=12,所以q=32,所以a3=1232=18,a4=1832=27,故S3=38,S4=65,故可知錯(cuò)誤的是S3,選C.4.【解析】選A.a5=a5a4a4a3a3a2a2a1a1=1(-2)41(-2)31(-2)21(-2)1=32.5.【解析】選D.命題判斷過(guò)程結(jié)論p1:數(shù)列an是遞增數(shù)列由an+1-an=d0,知數(shù)列an是遞增數(shù)列真命題p2:數(shù)列nan是遞增數(shù)列由(n+1)an+1-nan=(n+1)(a1+nd)-na1+(n-1)d=a1+2nd,僅由d0是無(wú)法判斷a1+2nd的正負(fù)的,因而不能判定(n+1)an+1,nan的大小關(guān)系假命題p3:數(shù)列ann是遞增數(shù)列顯然,當(dāng)an=n時(shí),ann=1,數(shù)列ann是常數(shù)數(shù)列,不是遞增數(shù)列假命題p4:數(shù)列an+3nd是遞增數(shù)列數(shù)列的第n+1項(xiàng)減去數(shù)列的第n項(xiàng)an+1+3(n+1)d-(an+3nd)=(an+1-an)+3(n+1)d-3nd=d+3d=4d0.所以an+1+3(n+1)dan+3nd,即數(shù)列an+3nd是遞增數(shù)列真命題6.【解析】選A.前9行共有1+3+5+17=(1+17)92=81項(xiàng),所以A(10,12)為數(shù)列中的第81+12=93項(xiàng),所以a93=1393,選A.【誤區(qū)警示】解答本題時(shí)易把前9行包含的數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)求錯(cuò).7.【解析】設(shè)公差為d,則a3+a8=2a1+9d=10,3a5+a7=4a1+18d=2(2a1+9d)=20.答案:208.【解析】設(shè)公比為q,則a5=a1q4,a3=a1q2.又4a1,a5,-2a3成等差數(shù)列,所以2a5=4a1-2a3,即2a1q4=4a1-2a1q2,所以得:q4+q2-2=0,解得q2=1或q2=-2(舍去),所以q=1,所以a2 013=4(1)2 013-1=4.答案:49.【解析】因?yàn)閎10b11=2,所以b1b2b20=(b10b11)10=210.又bn=an+1an,所以b1b2b20=a2a1a3a2a4a3a21a20=a21a1,即a21a1=210,所以a21=210=1 024.答案:1 02410.【解析】(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q(q0,q1),由a5,a3,a4成等差數(shù)列,得2a3=a5+a4,即2a1q2=a1q4+a1q3,由a10,q0得q2+q-2=0,解得q1=-2,q2=1(舍去),所以q=-2.(2)對(duì)任意kN*,Sk+2+Sk+1-2Sk=(Sk+2-Sk)+(Sk+1-Sk)=ak+1+ak+2+ak+1=2ak+1+ak+1(-2)=0,所以對(duì)任意kN*,Sk+2,Sk,Sk+1成等差數(shù)列.11.【解析】(1)由2an+1=-3Sn+4得2an=-3Sn-1+4(n2),兩式相減得2an+1-2an=-3an,所以an+1=-12an(n2),要使n1時(shí),an為等比數(shù)列,只需a2a1=-32t+2t=-12,所以t=2.(2)由(1)得an=2-12n-1,因?yàn)閎n=an-n2=2-12n-1-n2且b2n-1b2n,所以2-122n-2-(2n-1)22-122n-1-(2n)2,即2-122n-21-12(2n-1)2-(2n)2,因此有-(4n-1)4n12,而-(4n-1)4n12單調(diào)遞減,當(dāng)n=1時(shí)取得最大值為-1,所以-1.【變式備選】設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n2,數(shù)列bn滿(mǎn)足bn=anan+m(mN*).(1)若b1,b2,b8成等比數(shù)列,試求m的值.(2)是否存在m,使得數(shù)列bn中存在某項(xiàng)bt滿(mǎn)足b1,b4,bt(tN*,t5)成等差數(shù)列?若存在,請(qǐng)指出符合題意的m的個(gè)數(shù);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【解析】(1)因?yàn)镾n=n2,所以當(dāng)n2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n-1.又當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1,適合上式,所以an=2n-1(nN*),所以bn=2n-12n-1+m,則b1=11+m,b2=33+m,b8=1515+m,由b22=b1b8,得33+m2=11+m1515+m,解得m=0(舍)或m=9,所以m=9.(2)假設(shè)存在m,使得b1,b4,bt(tN*,t5)成等差數(shù)列,即2b4=b1+bt,則277+m=11+m+2t-12t-1+m,化簡(jiǎn)得t=7+36m-5,所以當(dāng)m-5=1,2,3,4,6,9,12,18,36時(shí),分別存在t=43,25,19,16,13,11,10,9,8符合題意,即存在這樣的m,且符合題意的m共有9個(gè).12.【解題提示】(1)由條件S4,S2,S3成等差數(shù)列和a2+a3+a4=-18列出方程組,解出首項(xiàng)和公比,運(yùn)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式得出an的通項(xiàng)公式.(2)假設(shè)存在正整數(shù)n,使得Sn2 013,解不等式,求n的解集.【解析】(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q,則a10,q0.由題意得S2-S4=S3-S2,a2+a3+a4=-18,即-a1q2-a1q3=a1q2,a1q1+q+q2=-18,解得a1=3,q=-2.故數(shù)列a