太湖中學(xué)2020學(xué)年高三第一次段考數(shù)學(xué)理科試題一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1若集合, 則等于( ) ABCD2. 若命題：；命題：則是的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件3“每天進(jìn)步一點點”可以用數(shù)學(xué)來詮釋：假如你今天的數(shù)學(xué)水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，則經(jīng)過天之后，你的數(shù)學(xué)水平與之間的函數(shù)關(guān)系式是（ ） A. B. C. D. 4. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A B C D 5. 函數(shù)的圖象大致形狀是( )6.設(shè)，且，則的大小關(guān)系是（）A B C D7. 某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200平方米的三級污水處理池（如圖1），由于地形限制，長、寬都不能超過16米. 如果池四周圍壁建造單價為400，中間兩道隔壁墻建造單價為248，池底建造單價為每平方米80元，池壁的厚度忽略不計. 設(shè)污水池的長為米，總造價為(元), 則的解析式為( )A 圖1B C D8. 已知函數(shù)（，是自然對數(shù)的底數(shù)）在處取得極小值，則的極大值是（ ）A B C D9. 下列判斷中,正確的是（ ）A“若，則有實數(shù)根”的逆否命題是假命題B“”是“直線與直線平行”的充要條件C命題“”是真命題D當(dāng)時，命題“”是假命題10. 若函數(shù)滿足:對于任意 都有且成立,則稱函數(shù)為“正定函數(shù)”.則下列四個函數(shù)中，為“正定函數(shù)”的是（ ）A. B. C. D. 11.若函數(shù)（）圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱, 且時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是( )A. B. C. D. 12.定義在上的函數(shù)，滿足，且.若，則函數(shù)在內(nèi)的零點個數(shù)有（ ）A. 3個 B. 2個 C. 1個 D. 0 個二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.)13設(shè),若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有一個零點，則化簡的結(jié)果是 14曲線在點處的切線斜率是 . 15向名學(xué)生調(diào)查對兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果: 贊成的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成；贊成的比贊成的多人，其余的不贊成；另外，對都不贊成的學(xué)生數(shù)比對都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人. 則對都贊成的學(xué)生有_人.16若不等式有且僅有一個正整數(shù)解，則實數(shù)的最大值是 .三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17.（本小題滿分10分）設(shè) 已知：函數(shù)有零點，：.()若為真命題，求的取值范圍；() 若為假命題，求的取值范圍.18（本小題滿分12分）定義在上的函數(shù)滿足: 對于任意的實數(shù)，等式=恒成立; 當(dāng)時,且（）判斷函數(shù)在上的奇偶性和單調(diào)性; （）求函數(shù)在上的值域19.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間與最值；（）若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求的取值范圍.20.（本小題滿分12分）我們常常稱恒成立不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）為“靈魂不等式”，它在處理某些函數(shù)問題中常常發(fā)揮重要作用.（）試證明這個不等式； （）設(shè)函數(shù)，且在定義域內(nèi)恒有求實數(shù)的值.21（本小題滿分12分）某公司計劃投資開發(fā)一種新能源產(chǎn)品，預(yù)計能獲得10萬元1000萬元的收益現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個對開發(fā)科研小組的獎勵方案：獎金（單位：萬元）隨收益（單位：萬元）的增加而增加，且獎金總數(shù)不超過9萬元，同時獎金總數(shù)不超過收益的20%.（）若建立獎勵方案函數(shù)模型，試確定這個函數(shù)的定義域、值域和的范圍；（）現(xiàn)有兩個獎勵函數(shù)模型：；.試分析這兩個函數(shù)模型是否符合公司的要求？請說明理由.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，.（）設(shè)兩點，且，若函數(shù)的圖象分別在點 處的兩條切線互相垂直，求的最小值；（）若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.太湖中學(xué)2020學(xué)年高三第一次段考數(shù)學(xué)理科試題參考答案題號123456789 101112答案CABBDBAADDCB一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）二填空題（本大題共5小題，每小題5分，共20分）13 14 15 16三解答題17解析： () 為真命題的充要條件是所以或.即的取值范圍是. 4分 () 當(dāng)為假命題時，. 為假命題, 則假假.假時，有所以 7分與取交集得，.故的取值范圍是. 10分18. 解析：（）設(shè).在=中,令，則.因為當(dāng)時， 所以由得，即,因此在上是減函數(shù).3分在=中,令得再令得,=,因此在上是奇函數(shù). 6分（） 函數(shù)在上的最大值為、最小值為. 8分在=中, 令得, 令得,故函數(shù)在上的值域是 12分19. 解析：（）當(dāng)時，其圖象如圖所示.因此函數(shù)的單增區(qū)間是和單減區(qū)間是和.最小值是，無最大值. 5分（）當(dāng)時，在內(nèi)單減, 符合要求.當(dāng) 時，在內(nèi)單減，符合要求。9分 當(dāng) 時，在內(nèi)單減，在內(nèi)單增，不符合要求. 故的取值范圍是. 12分20. 解析：（）法1（圖象法）：在同一坐標(biāo)系下作出曲線和直線，發(fā)現(xiàn)它們均經(jīng)過定點，且，即直線是曲線在定點處的切線.故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）. 6分法2（導(dǎo)數(shù)法）：令，則.顯然在內(nèi)單增，在內(nèi)單減， 因此于是.即,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立. 6分（）函數(shù)的定義域是. 因為，所以等價于，即. 8分當(dāng)時，. 由對數(shù)型靈魂不等式知， ，因此 當(dāng)時，. 10分由對數(shù)型靈魂不等式知， ，因此 當(dāng)時，等號成立, 綜上可知，實數(shù)的值是 12分21.解析：（），值域是，.4分 （）當(dāng)時，的最大值是， 不符合要求.當(dāng)時， 在定義域上為增函數(shù)，最大值為9.7分令，則所以即.故函數(shù)符合公司要求. 12分22. 解析：（）因為，所以，故，即，且，. 2分所以當(dāng)且僅當(dāng)，即且時，等號成立.所以函數(shù)的圖象分別在點處的兩條切線互相垂直時，的最小值為1. 5分（），.設(shè)函數(shù)=（），則=.由題設(shè)可知0，即.令=0得，=，=2. 若，則20，0，0，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在=取最小值.而=0，當(dāng)2時，0，即恒成立. 8分若，則=，當(dāng)2時，0，在(2,+)單調(diào)遞增，而=0，當(dāng)2時，0，即恒成立. 10分若，則=0，當(dāng)2時，不可能恒成立.綜上所述，的取值范圍為1,. 12分太湖中學(xué)2020學(xué)年高三第一次段考數(shù)學(xué)理科試題答案（2020年10月8日上午考試）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）10. 若函數(shù)滿足:對于任意 都有且成立,則稱函數(shù)為“正定函數(shù)”.則下列四個函數(shù)中，為“正定函數(shù)”的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】對A，有,A不是正定函數(shù)；對B，有，B不是正定函數(shù)；對C，有，C不是正定函數(shù)；對D，有 D是正定函數(shù).11.若函數(shù)（）圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱, 且時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是( )A. B. C. D. 11【答案】D解析: 設(shè).兩點關(guān)于原點對稱，點的坐標(biāo)為.又點 在函數(shù)的圖象上，即在上單增， 的最小值是因此，即，.故選D.12.定義在上的函數(shù)，滿足，且.若，則函數(shù)在內(nèi)的零點個數(shù)有（ ）A. 3個 B. 2個 C. 1個 D. 0 個12.B.解析：由知的最小正周期是2，畫出函數(shù)的部分圖像，如圖所示。從圖中可知，選B.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.)15向名學(xué)生調(diào)查對兩事件的態(tài)度，有如下結(jié)果: 贊成的人數(shù)是全體的五分之三，其余的不贊成；贊成的比贊成的多人，其余的不贊成；另外，對都不贊成的學(xué)生數(shù)比對都贊成的學(xué)生數(shù)的三分之一多1人. 則對都贊成的學(xué)生有_人.解析: 贊成的人數(shù)為贊成的人數(shù)為如圖2,記名學(xué)生組成的集合為全集贊成事件的學(xué)生全體為集合, 贊成事件的學(xué)生全體為集合設(shè)對事件都贊成的學(xué)生人數(shù)為,則對都不贊成的學(xué)生人數(shù)為,贊成而不贊成的人數(shù)為,贊成而不贊成的人數(shù)為依題意得， ，解得16若不等式有且僅有一個正整數(shù)解，則實數(shù)的最大值是 .解析 就是令. 利用導(dǎo)數(shù)知識確定的圖象：由得，. 圖象如圖所示. 注意到直線經(jīng)過定點，顯然不合題意.當(dāng)時，是不等式的唯一正整數(shù)解，因此有，即，解得故選A.評注 這里不等式的正整數(shù)解問題，可以“一分為二”成兩個函數(shù)（定曲線，利用導(dǎo)數(shù)確定）和（動直線，過定點）的值的大小關(guān)系，則問題立即轉(zhuǎn)化為定曲線與動直線的位置關(guān)系，再列出相應(yīng)的不等式組即可，注意對參數(shù)的分類討論.整個過程體現(xiàn)了“數(shù)形數(shù)”之間的對應(yīng).變式題 若不等式恰有兩個正整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是 .解析 由上可知，兩個正整數(shù)解是，因此有,即,解得，故的取值范圍是.三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17.（本小題滿分10分）設(shè) 已知：函數(shù)有零點，：.()若為真命題，求的取值范圍；() 若為假命題，求的取值范圍.17解析： () 為真命題的充要條件是所以或.即的取值范圍是. 4分 () 當(dāng)為假命題時，. 為假命題, 則假假.假時，有所以 7分與取交集得，.故的取值范圍是. 10分18（本小題滿分12分）定義在上的函數(shù)滿足: 對于任意的實數(shù)，等式=恒成立; 當(dāng)時,且（）判斷函數(shù)在上的奇偶性和單調(diào)性; （）求函數(shù)在上的值域18. 解析：（）設(shè).在=中,令，則.因為當(dāng)時， 所以由得，即,因此在上是減函數(shù).3分在=中,令得再令得,=,因此在上是奇函數(shù). 6分（） 函數(shù)在上的最大值為、最小值為. 8分在=中, 令得, 令得,故函數(shù)在上的值域是 12分19.（本小題滿分12分）已知函數(shù).（）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間與最值；（）若在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，求的取值范圍.19. 解析：（）當(dāng)時，其圖象如圖所示.因此函數(shù)的單增區(qū)間是和單減區(qū)間是和.最小值是，無最大值. 5分（）當(dāng)時，在內(nèi)單減, 符合要求.當(dāng) 時，在內(nèi)單減，符合要求。9分 當(dāng) 時，在內(nèi)單減，在內(nèi)單增，不符合要求. 故的取值范圍是. 12分20.（本小題滿分12分）我們常常稱恒成立不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）為“靈魂不等式”，它在處理某些函數(shù)問題中常常發(fā)揮重要作用.（）試證明這個不等式； （）設(shè)函數(shù)，且在定義域內(nèi)恒有求實數(shù)的值.20. 解析：（）法1（圖象法）：在同一坐標(biāo)系下作出曲線和直線，發(fā)現(xiàn)它們均經(jīng)過定點，且，即直線是曲線在定點處的切線.故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）. 6分法2（導(dǎo)數(shù)法）：令，則.顯然在內(nèi)單增，在內(nèi)單減， 因此于是.即,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立. 6分（）函數(shù)的定義域是. 因為，所以等價于，即. 8分當(dāng)時，. 由對數(shù)型靈魂不等式知， ，因此 當(dāng)時，. 10分由對數(shù)型靈魂不等式知， ，因此 當(dāng)時，等號成立, 綜上可知，實數(shù)的值是 12分21（本小題滿分12分）某公司計劃投資開發(fā)一種新能源產(chǎn)品，預(yù)計能獲得10萬元1000萬元的收益現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個對開發(fā)科研小組的獎勵方案：獎金（單位：萬元）隨收益（單位：萬元）的增加而增加，且獎金總數(shù)不超過9萬元，同時獎金總數(shù)不超過收益的20%.（）若建立獎勵方案函數(shù)模型，試確定這個函數(shù)的定義域、值域和的范圍；（）現(xiàn)有兩個獎勵函數(shù)模型：；.試分析這兩個函數(shù)模型是否符合公司的要求？請說明理由.21.解析：（），值域是，.4分 （）當(dāng)時，的最大值是， 不符合要求.當(dāng)時， 在定義域上為增函數(shù)，最大值為9.7分令，則所以即.故函數(shù)符合公司要求. 12分22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，.（）設(shè)兩點，且，若函數(shù)的圖象分別在點 處的兩條切線互相垂直，求的最小值；（）若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22. 解析：（）因為，所以，故，即，且，. 2分所以當(dāng)且僅當(dāng)，即且時，等號成立.所以函數(shù)的圖象分別在點處的兩條切線互相垂直時，的最小值為1. 5分（），.設(shè)函數(shù)=（），則=.由題設(shè)可知0，即.令=0得，=，=2. 若，則20，0，0，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在=取最小值.而=0，當(dāng)2時，0，即恒成立. 8分若，則=，當(dāng)2時，0，在(2,+)單調(diào)遞增，而=0，當(dāng)2時，0，即恒成立. 10分若，則=0，當(dāng)2時，不可能恒成立.綜上所述，的取值范圍為1,. 12分靈魂不等式及其應(yīng)用我們常常稱恒成立不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）和恒成立不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）為“靈魂不等式”，指數(shù)型與對數(shù)型成對出現(xiàn).1.和型例1（2020濟(jì)南市?？季恚┮阎坏仁綄θ我夂愠闪?，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 例2（2020合肥市模考卷）若存在，使不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 2. 和型例3 （2020安慶市?？季恚?設(shè)函數(shù)，其中.若函數(shù)恰有一個零點，求的值.例4（2020課標(biāo)卷）已知函數(shù)，且求實數(shù)的值.3. 和型例5（2020南通市?？季恚┤艉瘮?shù)在上有零點，則實數(shù)的取值范圍是 .例6.（2020課標(biāo)卷）已知函數(shù)，且 求實數(shù)a的值.4. 和型例7（2020廣州市模考卷）若對任意實數(shù)，不等式恒成立, 求實數(shù)的取值范圍.例8（2020黃岡市模考卷）方程在內(nèi)有唯一實數(shù)根的充要條件是（ ） A. B. C. D. 5. 混合型 例9（2020課標(biāo)卷）設(shè)函數(shù)，若，證明：例10（2020杭州?？季恚┤羟€與曲線有唯