平面圖形的翻折蘇州市第三中學(xué) 陸冬林【教學(xué)目標(biāo)】通過本節(jié)課的復(fù)習(xí)，通過幾何畫板的直觀演示，使學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識到：平面圖形翻折為空間立體圖形，要正確作圖，要正確分析翻折前后點(diǎn)、線、面的相互位置關(guān)系及變化，綜合所學(xué)知識解證有關(guān)問題。培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)動變化觀點(diǎn)和分析問題解決問題的能力。 【教學(xué)重點(diǎn)】平面圖形折疊成空間立體圖形，弄清折疊前后位置關(guān)系、所成角及距離關(guān)系。會用所學(xué)知識解證有關(guān)問題。 【教學(xué)難點(diǎn)】如何正確利用折疊知識解證有關(guān)問題?！窘虒W(xué)設(shè)備】多媒體 【教學(xué)過程】一、思考與引入 （動畫）在平面圖形ABCD的翻折過程中，哪些量發(fā)生了變化？哪些量沒有發(fā)生變化？圖形的翻折：此類問題最關(guān)鍵的是要了解翻折前后的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系的變化情況。應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1)將平面圖形沿直線翻折成立體圖形，實(shí)際上是以該直線為軸的一個旋轉(zhuǎn)。(2)一般來說，位于折痕同側(cè)的平面圖形內(nèi)的元素及其相對位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系在折疊前后不發(fā)生變化，位于折痕異側(cè)兩個平面圖形的元素及其相對位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系則發(fā)生變化。二、例題例1：已知正方形ABCD的邊長為1，分別取BC、CD的中點(diǎn)E、F，連結(jié)AE、EF、AF，以AE、EF、FA為折痕，折疊使點(diǎn)B、C、D重合于點(diǎn)G。（1）求異面直線GA與EF所成的角。（2）求直線AE與平面GEF所成的角。（3）求二面角A-EF-G的大小。分析：首先思考：在折疊過程中哪些在變，哪些不變？有沒有規(guī)律？（從位置關(guān)系、度量關(guān)系角度） 針對題 教師提出：如何構(gòu)作二面角的平面角？需要哪些度量信息？ 怎樣得到這些信息？本題答案是：二面角AFEG的大小為。小結(jié)：解決平面圖形的翻折問題，應(yīng)首先作出平面圖形和立體圖形的直觀圖，以便確定哪些元素發(fā)生了變化？哪些元素沒有發(fā)生變化。而那些沒有發(fā)生變化的元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系往往就是解題的關(guān)鍵所在。例2：如圖所示，在矩形ABCD中，AB=3，BC=3，沿對角線BD將BDC折起，使點(diǎn)C移到點(diǎn)E，當(dāng)三棱錐E-ABD的體積最大時，求點(diǎn)D到平面ABE的距離。分析：首先思考：翻折過程中哪些在變，哪些不變？有沒有規(guī)律？（從位置關(guān)系、度量關(guān)系角度）三棱錐E-ABD體積何時有最大值 針對點(diǎn)D到面ABE的垂線難作的特點(diǎn)，考慮用等積轉(zhuǎn)換，提出問題：如何求ABE的面積？考慮到平面BDE平面ABD，過E作出BD的垂線，進(jìn)而用三垂線定理作出AB邊上的高，問題得解。如上圖在確定垂線后，如何尋求有關(guān)度量信息，通過左右兩圖發(fā)現(xiàn)EF=CF，進(jìn)而用平面圖形求有關(guān)線段的長度，即空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題。本題答案是：點(diǎn)D到平面ABE的距離是小結(jié)：對某些折疊后不易看清的元素，可結(jié)合原圖形去分析、計算，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題加以解決。例3：.如圖：正三棱錐ABCD，底面邊長為，側(cè)棱長為,過點(diǎn)B作與側(cè)棱AC、AD相交的截面。在這樣的截面三角形中，求： (1)周長的最小值； (2)周長最小時截面面積。 分析：空間圖形求表面上折線段最小值時，解決的方法就是把各側(cè)面展開鋪在平面上，根據(jù)“平面內(nèi)連結(jié)兩點(diǎn)的線中線段最短”的方法來解決。 針對題（2），由正三棱錐的對稱性，知BEF是一個等腰三角形，由平面圖形求出BE的長，進(jìn)而求出截面面積。 本題答案是：（1） （2）三、總結(jié)處理折疊問題方法體現(xiàn)了立體幾何的常用方法：通過“降維”把空間圖形化為平面圖形。處理翻折問題的特點(diǎn)是要善于通過觀察、比較、分析，發(fā)現(xiàn)折疊過程中一些不變的位置關(guān)系和度量關(guān)系，探求有利于解題的重要信息。四、思考與練習(xí)BDAEC1.等腰RtABC,角C為直角,沿斜邊AB上的高CD為折痕，折疊成一個60的二面角.使B到E的位置，已知斜邊AB=2。求：頂點(diǎn)C到平面ADE的距離。 頂點(diǎn)A到平面CDE的距離.AC與平面CDE所成的角的正弦值。2. 如圖是邊長為1 m的正方