溧陽(yáng)易加益教育培訓(xùn) 內(nèi)部資料平行四邊形、菱形、矩形、正方形、中位線課程說(shuō)明:本課程既是對(duì)前面所學(xué)的全等三角形知識(shí)的綜合與延伸，也是學(xué)習(xí)特殊平行四邊形的基礎(chǔ)，了解并掌握平行四邊形判別方法的探索過(guò)程，從邊、角、對(duì)角線來(lái)研究平行四邊形，使學(xué)生逐步掌握幾何推理的過(guò)程與研究方法；并能對(duì)平行四邊形的性質(zhì)與判定進(jìn)行初步應(yīng)用。（一）平行四邊形一、 概念定義平行四邊形的定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形。二、 平行四邊的性質(zhì)1、 平行四邊形對(duì)邊平行且相等； 2、 平行四邊形對(duì)角相等；3、 平行四邊形對(duì)角線互相平分；4、 平行四邊形鄰角互補(bǔ)；5、 平行四邊形的對(duì)邊相等，對(duì)角相等。三、 平行四邊形的判定方法1.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；2.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；3.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；4.對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；5.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；6.一組對(duì)邊平行且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形。（二）菱形一、定義：在一個(gè)平面內(nèi)，一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。二、主要特點(diǎn) 1、對(duì)角線互相垂直且平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。2、四條邊都相等。3、對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)。4、菱形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是兩條對(duì)角線所在直線，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形，中心對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是它的對(duì)角線交點(diǎn)。5、在60的菱形中，短對(duì)角線等于邊長(zhǎng)，長(zhǎng)對(duì)角線是短對(duì)角線的根號(hào)3倍。6、菱形是特殊的平行四邊形，它具備平行四邊形的一切性質(zhì)。三、判定定理1、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。2、四邊相等的四邊形是菱形。3、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。依次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形稱(chēng)為中點(diǎn)四邊形。不管原四邊形的形狀怎樣改變，中點(diǎn)四邊形的形狀始終是平行四邊形。菱形的中點(diǎn)四邊形是矩形。菱形是在平行四邊形的前提下定義的，首先它是平行四邊形，但它是特殊的平行四邊形，特殊之處就是“有一組鄰邊相等”，因而就增加了一些特殊的性質(zhì)和不同于平行四邊形的判定方法。面積公式 (1) S=底高（即菱形的面積等于底乘以高）；(2) S=1/2（對(duì)角線對(duì)角線）（即菱形的面積也等于對(duì)角線乘積的一半)；（三）矩形一、主要特點(diǎn) 兩條對(duì)角線相等； 兩條對(duì)角線互相平分； 兩組對(duì)邊分別平行且相等； 四個(gè)角都是直角； 有2條對(duì)稱(chēng)軸（正方形有4條）。 既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形。 將矩形面積平均分成兩部分的直線必經(jīng)過(guò)中心對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。長(zhǎng)方形屬于平行四邊形二、判定定理有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。（定義）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。（四）正方形一、主要特點(diǎn)1、邊：兩組對(duì)邊分別平行；四條邊都相等；相鄰邊互相垂直2、內(nèi)角：四個(gè)角都是直角；3、對(duì)角線：對(duì)角線互相垂直；對(duì)角線相等且互相平分；每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；對(duì)角線相等；4、對(duì)稱(chēng)性：既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，又是軸對(duì)稱(chēng)圖形（有四條對(duì)稱(chēng)軸）。5、正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的一切性質(zhì)。6、特殊性質(zhì)：正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，對(duì)角線與邊的夾角是45；正方形的兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形。7、在正方形里面畫(huà)一個(gè)最大的圓，該圓的面積約是正方形面積的78.5%； 正方形外接圓面積大約是正方形面積的157%。8、正方形是特殊的長(zhǎng)方形。9、正方形的中點(diǎn)四邊形是正方形，面積之比是1:2。二、判定定理 1：對(duì)角線相等的菱形是正方形。2：有一個(gè)角為直角的菱形是正方形。3：對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。4：一組鄰邊相等的矩形是正方形。5：一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形是正方形。6：對(duì)角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形。7：對(duì)角線互相垂直,平分且相等的四邊形是正方形。8：一組鄰邊相等，有三個(gè)角是直角的四邊形是正方形。9：既是菱形又是矩形的四邊形是正方形。10 對(duì)角線垂直且相等且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是正方形（五）中位線一、概念(1)三角形中位線的定義:連接三角形兩邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。(2)梯形中位線定義:連接梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線。二、定理概述1、三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊邊長(zhǎng)的一半。2、梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。3、三角形的中位線所構(gòu)成的小三角形(中點(diǎn)三角形)面積是原三角形面積的四分之一?！纠}精做】例1. 若平行四邊形的一邊長(zhǎng)為12，設(shè)對(duì)角線長(zhǎng)為x、y，則x、y的值可能是 （ ） A8和4 B. 10和14 C. 18和20 D.10和34（點(diǎn)撥：對(duì)角線互相平分；三角形邊長(zhǎng)原則）例2. 已知平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為40cm，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AOD的周長(zhǎng)比DOC的周長(zhǎng)長(zhǎng)4cm，求AB、BC的長(zhǎng)。例3. 下面給出四邊形ABCD中A、B、C、D的度數(shù)之比，其中能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是 （ ）A. 1：2:3:4 B. 2：3：2：3 C. 2：2：3：3 D. 1：2：2：3例4. 如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，且ADBC，BC=6cm，P，Q分別從A,C同時(shí)出發(fā)，P以1cm/s的速度由A向D運(yùn)動(dòng)，Q以2cm/s的速度由C出發(fā)向B運(yùn)動(dòng)，幾秒后四邊形ABQP是平行四邊形？自測(cè)：等腰梯形ABCD中,AD/BC,AB=CD,AD=10cm,BC=30cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AD邊向D以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從