精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講義年級(jí)輔導(dǎo)科目數(shù)學(xué)課時(shí)數(shù)3課題方案設(shè)計(jì)型問題教學(xué)目的教學(xué)內(nèi)容一、【中考要求】方案設(shè)計(jì)問題是通過設(shè)置一個(gè)世紀(jì)問題的情景，給出若干信息，提出解決問題的要求，尋求恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，有時(shí)還給出幾個(gè)不同的解決方案，要求判斷其中哪個(gè)方案較優(yōu)。方案設(shè)計(jì)問題主要考查學(xué)生的動(dòng)手操作能力和實(shí)踐能力。它包括測方案設(shè)計(jì)、作圖方案設(shè)計(jì)和經(jīng)濟(jì)類方案設(shè)計(jì)。（一）測量方案設(shè)計(jì)題，一般限定條件、限定測量工具，讓同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)可行的方案，對(duì)某一物體的長度進(jìn)行測量并計(jì)算，要注意的是設(shè)計(jì)出來的方案要有課操作性。（二）作圖、拼圖方案設(shè)計(jì)題，它擺脫了傳統(tǒng)的簡單作圖，它把作圖的技能考查放在一個(gè)世紀(jì)生活的大背景下，考查學(xué)生的綜合創(chuàng)新能力，它給同學(xué)們的創(chuàng)造性思維提供廣闊的空間與平臺(tái)。此類題常以某些規(guī)則的圖形，如等腰三角形、菱形、矩形、圓等，通過某些輔助線，將面積分割或分割后拼出符合某些條件的圖形。（三）經(jīng)濟(jì)類方案設(shè)計(jì)題，一般有較多種供選擇的解決問題的方案，但在實(shí)施中要考慮到經(jīng)濟(jì)因素，此類問題類似于求最大值或最小值的問題，但解決的方法較多。方案設(shè)計(jì)題貼近生活，具有角強(qiáng)的操作性和實(shí)踐性，解決此類問題時(shí)要慎于思考，要先思考后動(dòng)手，設(shè)計(jì)性問題的結(jié)果不一定唯一，但必須符合實(shí)際情況。近年一些省市的中考數(shù)學(xué)題中涌現(xiàn)了立意活潑、設(shè)計(jì)新穎、富有創(chuàng)新意識(shí)、培養(yǎng)創(chuàng)新能力的要求學(xué)生自我設(shè)計(jì)題目。這類命題以綜合考查閱讀理解能力、分析推理能力、數(shù)據(jù)處理能力、文字概括能力、書面表達(dá)能力和動(dòng)手能力等。二、【考點(diǎn)知識(shí)梳理】1“動(dòng)手操作”類題，多指對(duì)某種圖形按照要求完成某些操作，進(jìn)而對(duì)結(jié)果進(jìn)行探究，直至解決的一類題型“方案設(shè)計(jì)”是指根據(jù)要求，構(gòu)造某種問題的具體解決方案或者對(duì)問題給出的若干種解決方法進(jìn)行比較的一類題型2實(shí)際操作型問題是讓學(xué)生在實(shí)際操作的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)問題，主要有1裁剪、折疊、拼圖等動(dòng)手操作問題，往往與面積、對(duì)稱性相聯(lián)系；2與畫圖、測量、猜想、證明等有關(guān)的探究性問題3方案設(shè)計(jì)問題的題型主要包括1根據(jù)實(shí)際問題拼接或分割圖形；2利用方程組、不等式組、函數(shù)等知識(shí)對(duì)實(shí)際問題中的方案進(jìn)行比較等三、【中考典例精析】類型一動(dòng)手操作題如圖所示，如果將矩形紙沿虛線對(duì)折后，沿虛線剪開，剪出一個(gè)直角三角形，展開后得到一個(gè)等腰三角形則展開后三角形的周長是A2B22C12D181010【點(diǎn)撥】動(dòng)手操作法【答案】B提示利用勾股定理即可得出結(jié)果類型二方案設(shè)計(jì)題為鼓勵(lì)學(xué)生參加體育鍛煉，學(xué)校計(jì)劃拿出不超過1600元的資金再購買一批籃球和排球已知籃球和排球的單價(jià)比為32，單價(jià)和為80元1籃球和排球的單價(jià)分別是多少元2若要求購買籃球和排球的總數(shù)量是36個(gè)，且購買的籃球數(shù)量多于25個(gè)，有哪幾種購買方案【點(diǎn)撥】本題綜合考查方程和不等式組的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意找出題目的等量和不等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵注意求N的整數(shù)解時(shí)不要漏解【解答】1設(shè)籃球的單價(jià)為X元，則排球的單價(jià)為X元，依題意得XX80，解得X48，X32232323即籃球和排球的單價(jià)分別是48元和32元2設(shè)購買的籃球數(shù)量為N個(gè)，則購買的排球數(shù)量為36N個(gè)由題意得ERROR解得25N28而N為整數(shù)，所以其取值為26、27、28，對(duì)應(yīng)的36N的值為10、9、8，故共有三種購買方案方案一購買籃球26個(gè)，排球10個(gè)；方案二購買籃球27個(gè)，排球9個(gè)；方案三購買籃球28個(gè)，排球8個(gè)四、【課堂訓(xùn)練】1如圖，將一張正方形紙片剪成四個(gè)小正方形，得到4個(gè)小正方形，稱為第一次操作；然后，將其中的一個(gè)正方形再剪成四個(gè)小正方形，共得到7個(gè)小正方形，稱為第二次操作；再將其中的一個(gè)正方形再剪成四個(gè)小正方形，共得到10個(gè)小正方形，稱為第三次操作；，根據(jù)以上操作，若要得到2011個(gè)小正方形，則需要操作的次數(shù)是A669B670C671D672解析第N次操作得到3N1個(gè)小正方形，所以3N12011，所以N670答案B21【操作發(fā)現(xiàn)】如圖，矩形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將ABE沿BE折疊后得到GBE，且點(diǎn)G在矩形ABCD的內(nèi)部小明將BG延長交DC于點(diǎn)F，認(rèn)為GFDF，你同意嗎說明理由2【解決問題】保持1中的條件不變，若DC2DF，求的值A(chǔ)DAB3【類比探究】保持1中的條件不變，若DCNDF，求的值A(chǔ)DAB解1同意連結(jié)EF則EGFD90，EGAEED，EFEFRTEGFRTEDF，GFDF2由1知，GFDF設(shè)DFX，BCY，則有GFX，ADYDC2DF，CFX，DCABBG2X，BFBGGF3X在RTBCF中，BC2CF2BF2，即Y2X23X2Y2X，2ADABY2X23由1知，GFDF，設(shè)DFX，BCY，則有GFX，ADYDCNDF，DCABBGNXCFN1X，BFBGGFN1X在RTBCF中，BC2CF2BF2，即Y2N1X2N1X2Y2X，NADABYNX2NN3君實(shí)機(jī)械廠為青揚(yáng)公司生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，該機(jī)械廠由甲車間生產(chǎn)A種產(chǎn)品，乙車間生產(chǎn)B種產(chǎn)品，兩車間同時(shí)生產(chǎn)甲車間每天生產(chǎn)的A種產(chǎn)品比乙車間每天生產(chǎn)的B種產(chǎn)品多2件，甲車間3天生產(chǎn)的A種產(chǎn)品與乙車間4天生產(chǎn)的B種產(chǎn)品數(shù)量相同1求甲車間每天生產(chǎn)多少件A種產(chǎn)品乙車間每天生產(chǎn)多少件B種產(chǎn)品2君實(shí)機(jī)械廠生產(chǎn)的A種產(chǎn)品的出廠價(jià)為每件200元，B種產(chǎn)品的出廠價(jià)為每件180元現(xiàn)青揚(yáng)公司需一次性購買A、B兩種產(chǎn)品共80件，君實(shí)機(jī)械廠甲、乙兩車間在沒有庫存的情況下只生產(chǎn)8天，若青揚(yáng)公司出廠價(jià)購買A、B兩種產(chǎn)品的費(fèi)用超過15000元而不超過15080元請(qǐng)你通過計(jì)算為青揚(yáng)公司設(shè)計(jì)購買方案解1設(shè)乙車間每天生產(chǎn)X件B種產(chǎn)品，則甲車間每天生產(chǎn)X2件A種產(chǎn)品根據(jù)題意3X24X，解得X6X28因此，甲車間每天生產(chǎn)8件A種產(chǎn)品，乙車間每天生產(chǎn)6件B種產(chǎn)品2設(shè)青揚(yáng)公司購買B種產(chǎn)品M件，則購買A種產(chǎn)品80M件1500020080M180M15080，解得46M50M為整數(shù)，M為46或47或48或49又乙車間8天只能生產(chǎn)48件，M為46或47或48故共有三種購買方案方案1購買A種產(chǎn)品32件，B種產(chǎn)品48件；方案2購買A種產(chǎn)品33件，B種產(chǎn)品47件；方案3購買A種產(chǎn)品34件，B種產(chǎn)品46件4有一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，被分成了4個(gè)相同的扇形，分別標(biāo)有數(shù)1、2、3、4如圖所示，另有一個(gè)不透明的口袋裝有分別標(biāo)有數(shù)0、1、3的三個(gè)小球除數(shù)不同外，其余都相同小亮轉(zhuǎn)動(dòng)一次轉(zhuǎn)盤，停止后指針指向某一扇形，扇形內(nèi)的數(shù)是小亮的幸運(yùn)數(shù)，小紅任意摸出一個(gè)小球，小球上的數(shù)是小紅的吉祥數(shù)，然后計(jì)算這兩個(gè)數(shù)的積1請(qǐng)你用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩個(gè)數(shù)的積為0的概率；2小亮與小紅做游戲，規(guī)則是若這兩個(gè)數(shù)的積為奇數(shù)，小亮贏；否則，小紅贏你認(rèn)為該游戲公平嗎為什么如果不公平，請(qǐng)你修改該游戲規(guī)則，使游戲公平解1畫樹狀圖如下或列表如下由圖表知，所有等可能的結(jié)果有12種，其中積為0的有4種，所以積為0的概率為P412132不公平因?yàn)橛蓤D表知，積為奇數(shù)的有4種，積為偶數(shù)的有8種，所以積為奇數(shù)的概率為P1；41213積為偶數(shù)的概率為P281223因?yàn)?，所以該游戲不公?323游戲規(guī)則可修改如下若這兩個(gè)數(shù)的積為0，則小亮贏；積為奇數(shù)，則小紅贏只要正確即可七、【課后達(dá)標(biāo)練習(xí)】1（10龍巖）我校為迎接縣中學(xué)生籃球比賽，計(jì)劃購買A、B兩種籃球共20個(gè)供學(xué)生訓(xùn)練使用若購買A種籃球6個(gè)，則購買兩種籃球共需費(fèi)用720元；若購買A種籃球12個(gè)，則購買兩種籃球共需費(fèi)用840元（1）A、B兩種籃球單價(jià)各多少元（2）若購買A種籃球不少于8個(gè)，所需費(fèi)用總額不超過800元請(qǐng)你按要求設(shè)計(jì)出所有的購買方案供學(xué)校參考，并分別計(jì)算出每種方案購買、B兩種籃球的個(gè)數(shù)及所需費(fèi)用2（10常州）如圖所示，小吳和小黃在玩轉(zhuǎn)盤游戲時(shí)，準(zhǔn)備了兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤甲、乙，每個(gè)轉(zhuǎn)盤被分成面積相等的幾個(gè)扇形區(qū)域，并在每個(gè)扇形區(qū)域內(nèi)標(biāo)上數(shù)字，游戲規(guī)則同時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)兩個(gè)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)后，指針?biāo)干刃螀^(qū)域內(nèi)的數(shù)字之和為4，5或6時(shí)，則小吳勝否則小黃勝。（如果指針恰好在分割線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一扇形區(qū)域?yàn)橹梗?）這個(gè)游戲規(guī)則對(duì)雙方公平嗎說說你的理由；（2）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)對(duì)雙方都公平的游戲規(guī)則3為實(shí)現(xiàn)區(qū)域教育均衡發(fā)展，我市計(jì)劃對(duì)某縣A、B兩類薄弱學(xué)校全部進(jìn)行改造根據(jù)預(yù)算，共需資金1575萬元改造一所A類學(xué)校和兩所B類學(xué)校共需資金230萬元；改造兩所A類學(xué)校和一所B類學(xué)校共需資金205萬元（1）改造一所類學(xué)校和一所類學(xué)校所需的資金分別是多少萬元（2）若該縣的類學(xué)校不超過5所，則類學(xué)校至少有多少所（3）我市計(jì)劃今年對(duì)該縣、兩類學(xué)校共6所進(jìn)行改造，改造資金由國家財(cái)政和地方財(cái)政共同承擔(dān)若今年國家財(cái)政撥付的改造資金不超過400萬元；地方財(cái)政投入的改造資金不少于70萬元，其中地方財(cái)政投入到A、B兩類學(xué)校的改造資金分別為每所10萬元和15萬元請(qǐng)你通過計(jì)算求出有幾種改造方案4一種電訊信號(hào)轉(zhuǎn)發(fā)裝置的發(fā)射直徑為31KM現(xiàn)要求在一邊長為30KM的正方形城區(qū)選擇若干個(gè)安裝點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)安裝一個(gè)這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置，使這些裝置轉(zhuǎn)發(fā)的信號(hào)能完全覆蓋這個(gè)城市問（1）能否找到這樣的4個(gè)安裝點(diǎn)，使得這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后能達(dá)到預(yù)設(shè)的要求（2）至少需要選擇多少個(gè)安裝點(diǎn)，才能使這些點(diǎn)安裝了這種轉(zhuǎn)發(fā)裝置后達(dá)到預(yù)設(shè)的要求答題要求請(qǐng)你在解答時(shí)，畫出必要的示意圖，并用必要的計(jì)算、推理和文字來說明你的理由（下面給出了幾個(gè)邊長為30KM的正方形城區(qū)示意圖，供解題時(shí)選用）5（10河北）某公司銷售一種新型節(jié)能產(chǎn)品，現(xiàn)準(zhǔn)備從國內(nèi)和國外兩種銷售方案中選擇一種進(jìn)行銷售若只在國內(nèi)銷售，銷售價(jià)格Y（元/件）與月銷量X（件）的函數(shù)關(guān)系式為YX150，成本為20元/件，無論銷售多少，每月還需支出廣告費(fèi)62500元，設(shè)月利潤為W內(nèi)（元）（利潤銷售額成本廣告費(fèi)）若只在國外銷售，銷售價(jià)格為150元/件，受各種不確定因素影響，成本為A元/件（A為常數(shù)，10A40），當(dāng)月銷量為X（件）時(shí)，每月還需繳納X2元的附加費(fèi)，設(shè)月利潤為W外（元）（利潤銷售額成本附加費(fèi)）（1）當(dāng)X1000時(shí)，Y元/件，W內(nèi)元；（2）分別求出W內(nèi)，W外與X間的函數(shù)關(guān)系式（不必寫X的取值范圍）；（3）當(dāng)X為何值時(shí)，在國內(nèi)銷售的月利潤最大若在國外銷售月利潤的最大值與在國內(nèi)銷售月利潤的最大值相同，求A的值；（4）如果某月要將5000件產(chǎn)品全部銷售完，請(qǐng)你通過分析幫公司決策，選擇在國內(nèi)還是在國外銷售才能使所獲月利潤較大6如圖，小明想用皮尺測量池塘A、A間的距離，但現(xiàn)有皮尺無法直接測量，學(xué)習(xí)有關(guān)知識(shí)后，他想出了一個(gè)方法先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A、B兩點(diǎn)的點(diǎn)O，連接OA、OB，分別在OA、OB上取中點(diǎn)C、D，連接CD，并測得CDA，由此他即知道A、B間的距離是（）A；B；C；D12A2A3A7如圖，轉(zhuǎn)盤被分成六個(gè)扇形區(qū)域，并在上面依次寫上數(shù)字1、2、3、4、56，轉(zhuǎn)盤指針的位置固定，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤后任其自由停止請(qǐng)你用這個(gè)轉(zhuǎn)盤設(shè)計(jì)一個(gè)游戲（六等分扇形不變），使自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤停止時(shí)，指針指向的區(qū)域的概率是2/3，并說明你的設(shè)計(jì)理由（設(shè)計(jì)方案可用土所示，也可以用文字表述）。產(chǎn)品每件產(chǎn)品的產(chǎn)值6543218市“康智牛奶乳業(yè)有限公司經(jīng)過市場調(diào)研,決定從明年起對(duì)甲、乙兩種產(chǎn)品實(shí)行“限產(chǎn)壓庫”,要求這兩種產(chǎn)品全年共新增產(chǎn)品20件,這20件的總價(jià)值P萬元滿足110P120已知有關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示,那么該公司明年應(yīng)怎樣安排新增產(chǎn)品的產(chǎn)量9我市某鄉(xiāng)A，B兩村盛產(chǎn)柑橘，A村有柑橘200噸，B村有柑橘300噸?，F(xiàn)在將這些柑橘運(yùn)到C，B兩個(gè)冷藏倉庫。已知C倉庫可儲(chǔ)存240噸，D倉庫可儲(chǔ)存260噸從A村運(yùn)到C，D兩處的費(fèi)用分別為每噸20元至25元，從B村運(yùn)到C，D兩處的費(fèi)用分別為每噸15至18元。設(shè)從A村運(yùn)到C倉庫的柑橘質(zhì)量為X噸，A，B兩村運(yùn)往兩倉庫的柑橘費(fèi)用分別為YA元和YB元（1）請(qǐng)?zhí)顚懴卤聿⑶蟪鯵A和YB與X之間的函數(shù)關(guān)系式（2）試討論A，B兩個(gè)村中，那個(gè)村的運(yùn)費(fèi)少；（3）考慮到B村的經(jīng)濟(jì)承受能力，B村的的柑橘不超過4830元。在這種情況下，請(qǐng)問怎樣調(diào)運(yùn)，才能使兩村運(yùn)費(fèi)最小求出最小值。10如圖，在人民公園人工湖兩側(cè)的A，B兩點(diǎn)欲建一座觀賞橋，由于受條件限制，無法直接度量A，B間的距離，請(qǐng)你用學(xué)過的知識(shí)，在圖中設(shè)計(jì)三種測量方案要求（1）畫出你設(shè)計(jì)的測量平面草圖；（2）在圖形中標(biāo)出測量的數(shù)據(jù)（長度用A,B,C角度用，表示）并寫出測量的依據(jù)及AB的表達(dá)式。甲45萬元乙75萬元收地運(yùn)地CD總計(jì)AX噸200噸B300噸總計(jì)240噸260噸500噸BA11如圖,在RTABC中,ACB900,CAB300,用圓規(guī)和直尺作圖,用兩種方法把它分成兩個(gè)三角形,且要求其中一個(gè)三角形是等腰三角形保留作圖痕跡,不要求寫作法和證明12如圖,某市經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)建有B、C、D三家食品加工廠，這三個(gè)工廠和開發(fā)區(qū)A處的自來水廠正好在一個(gè)矩形的四個(gè)頂點(diǎn)上，它們之間有公路相通，且ABCD900M，ADBC1700M。自來水公司已經(jīng)修好一條自來水主管道AN，B、C兩廠之間的公路與自來水管道交于E處，EC500M。若自來水主管道到各工廠的自來水管道由各廠負(fù)擔(dān)，每米造價(jià)800元。（1）要使修建自來水管道的造價(jià)最低，這三個(gè)工廠的自來水管道路線應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)并在圖形中畫出。2求出各廠所建的自來水管道的最低的造價(jià)各是多少13某工廠現(xiàn)有甲種原料226KG，乙種原料250KG，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共40件，生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品用料情況如下表設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品X件，請(qǐng)解答下列問題（1）求X的值，并說明有哪幾種符合題意的生產(chǎn)方案。（2）若甲種原料50元/KG，