1、第三章 三角恒等變換§3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式3.1.1 兩角差的余弦公式一、教學(xué)目標(biāo)掌握用向量方法建立兩角差的余弦公式.通過簡單運(yùn)用，使學(xué)生初步理解公式的結(jié)構(gòu)及其功能，為建立其它和（差）公式打好基礎(chǔ).二、教學(xué)重、難點(diǎn)1. 教學(xué)重點(diǎn)：通過探索得到兩角差的余弦公式；2. 教學(xué)難點(diǎn)：探索過程的組織和適當(dāng)引導(dǎo)，這里不僅有學(xué)習(xí)積極性的問題，還有探索過程必用的基礎(chǔ)知識是否已經(jīng)具備的問題，運(yùn)用已學(xué)知識和方法的能力問題，等等.三、學(xué)法與教學(xué)用具1. 學(xué)法：啟發(fā)式教學(xué)2. 教學(xué)用具：多媒體四、教學(xué)設(shè)想：（一）導(dǎo)入：我們在初中時就知道 ，由此我們能否得到大家可以猜想，是不是等

2、于呢？根據(jù)我們在第一章所學(xué)的知識可知我們的猜想是錯誤的！下面我們就一起探討兩角差的余弦公式（二）探討過程：在第一章三角函數(shù)的學(xué)習(xí)當(dāng)中我們知道，在設(shè)角的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，等于角與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也可以用角的余弦線來表示，大家思考：怎樣構(gòu)造角和角？（注意：要與它們的正弦線、余弦線聯(lián)系起來.）展示多媒體動畫課件，通過正、余弦線及它們之間的幾何關(guān)系探索與、之間的關(guān)系，由此得到，認(rèn)識兩角差余弦公式的結(jié)構(gòu).思考：我們在第二章學(xué)習(xí)用向量的知識解決相關(guān)的幾何問題，兩角差余弦公式我們能否用向量的知識來證明？提示：1、結(jié)合圖形，明確應(yīng)該選擇哪幾個向量，它們是怎樣表示的？2、怎樣利用向量的數(shù)量積的概念的計(jì)算

3、公式得到探索結(jié)果？展示多媒體課件比較用幾何知識和向量知識解決問題的不同之處，體會向量方法的作用與便利之處.思考：，再利用兩角差的余弦公式得出（三）例題講解例1、利用和、差角余弦公式求、的值.解：分析：把、構(gòu)造成兩個特殊角的和、差. 點(diǎn)評：把一個具體角構(gòu)造成兩個角的和、差形式，有很多種構(gòu)造方法，例如：，要學(xué)會靈活運(yùn)用.例2、已知，是第三象限角，求的值.解：因?yàn)椋纱说糜忠驗(yàn)槭堑谌笙藿?，所以所以點(diǎn)評：注意角、的象限，也就是符號問題.（四）小結(jié)：本節(jié)我們學(xué)習(xí)了兩角差的余弦公式，首先要認(rèn)識公式結(jié)構(gòu)的特征，了解公式的推導(dǎo)過程，熟知由此衍變的兩角和的余弦公式.在解題過程中注意角、的象限，也就是符號問題，

4、學(xué)會靈活運(yùn)用.（五）作業(yè)：§3.1.2 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式一、教學(xué)目標(biāo)理解以兩角差的余弦公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)兩角和、差正弦和正切公式的方法，體會三角恒等變換特點(diǎn)的過程，理解推導(dǎo)過程，掌握其應(yīng)用.二、教學(xué)重、難點(diǎn)1. 教學(xué)重點(diǎn)：兩角和、差正弦和正切公式的推導(dǎo)過程及運(yùn)用；2. 教學(xué)難點(diǎn)：兩角和與差正弦、余弦和正切公式的靈活運(yùn)用.三、學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：研討式教學(xué)四、教學(xué)設(shè)想：（一）復(fù)習(xí)式導(dǎo)入：大家首先回顧一下兩角和與差的余弦公式：；這是兩角和與差的余弦公式，下面大家思考一下兩角和與差的正弦公式是怎樣的呢？提示：在第一章我們用誘導(dǎo)公式五（或六）可以實(shí)現(xiàn)正弦、余弦的互化，這對我們解

5、決今天的問題有幫助嗎？讓學(xué)生動手完成兩角和與差正弦和正切公式.讓學(xué)生觀察認(rèn)識兩角和與差正弦公式的特征，并思考兩角和與差正切公式.（學(xué)生動手）通過什么途徑可以把上面的式子化成只含有、的形式呢？（分式分子、分母同時除以，得到注意：以上我們得到兩角和的正切公式，我們能否推倒出兩角差的正切公式呢？注意：（二）例題講解例1、已知是第四象限角，求的值.解：因?yàn)槭堑谒南笙藿牵茫?，于是有 兩結(jié)果一樣，我們能否用第一章知識證明？例2、利用和（差）角公式計(jì)算下列各式的值：（1）、；（2）、；（3）、解：分析：解此類題首先要學(xué)會觀察，看題目當(dāng)中所給的式子與我們所學(xué)的兩角和與差正弦、余弦和正切公式中哪個相象.（1

6、）、；（2）、；（3）、例3、化簡解：此題與我們所學(xué)的兩角和與差正弦、余弦和正切公式不相象，但我們能否發(fā)現(xiàn)規(guī)律呢？ 思考：是怎么得到的？，我們是構(gòu)造一個叫使它的正、余弦分別等于和的.小結(jié)：本節(jié)我們學(xué)習(xí)了兩角和與差正弦、余弦和正切公式，我們要熟記公式，在解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學(xué)會靈活運(yùn)用.作業(yè)：1、 已知求的值（）2、 已知，求的值§3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教學(xué)目標(biāo)以兩角和正弦、余弦和正切公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推導(dǎo)過程，掌握其應(yīng)用.二、教學(xué)重、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：以兩角和的正弦、余弦和正切公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)二倍角正弦、余弦和正切公式；教學(xué)難點(diǎn)：

7、二倍角的理解及其靈活運(yùn)用.三、學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：研討式教學(xué)四、教學(xué)設(shè)想：（一）復(fù)習(xí)式導(dǎo)入：大家首先回顧一下兩角和的正弦、余弦和正切公式，；我們由此能否得到的公式呢？（學(xué)生自己動手，把上述公式中看成即可），（二）公式推導(dǎo)：；思考：把上述關(guān)于的式子能否變成只含有或形式的式子呢？；注意： （三）例題講解例1、已知求的值解：由得又因?yàn)橛谑?；例、已知求的值解：，由此得解得或（四）小結(jié)：本節(jié)我們學(xué)習(xí)了二倍角的正弦、余弦和正切公式，我們要熟記公式，在解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學(xué)會靈活運(yùn)用.（五）作業(yè)：3.2 簡單的三角恒等變換（3個課時）一、課標(biāo)要求：本節(jié)主要包括利用已有的十一個公式進(jìn)行簡單的恒等變換，以

8、及三角恒等變換在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用二、編寫意圖與特色本節(jié)內(nèi)容都是用例題來展現(xiàn)的通過例題的解答，引導(dǎo)學(xué)生對變換對象目標(biāo)進(jìn)行對比、分析，促使學(xué)生形成對解題過程中如何選擇公式，如何根據(jù)問題的條件進(jìn)行公式變形，以及變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識，從而加深理解變換思想，提高學(xué)生的推理能力三、教學(xué)目標(biāo)通過例題的解答，引導(dǎo)學(xué)生對變換對象目標(biāo)進(jìn)行對比、分析，促使學(xué)生形成對解題過程中如何選擇公式，如何根據(jù)問題的條件進(jìn)行公式變形，以及變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識，從而加深理解變換思想，提高學(xué)生的推理能力四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生以已有的十一個公式為依據(jù)，以推導(dǎo)

9、積化和差、和差化積、半角公式的推導(dǎo)作為基本訓(xùn)練，學(xué)習(xí)三角變換的內(nèi)容、思路和方法，在與代數(shù)變換相比較中，體會三角變換的特點(diǎn)，提高推理、運(yùn)算能力教學(xué)難點(diǎn)：認(rèn)識三角變換的特點(diǎn)，并能運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)變換過程的設(shè)計(jì)，不斷提高從整體上把握變換過程的能力五、學(xué)法與教學(xué)用具學(xué)法：講授式教學(xué)六、教學(xué)設(shè)想：學(xué)習(xí)和（差）公式，倍角公式以后，我們就有了進(jìn)行變換的性工具，從而使三角變換的內(nèi)容、思路和方法更加豐富，這為我們的推理、運(yùn)算能力提供了新的平臺下面我們以習(xí)題課的形式講解本節(jié)內(nèi)容例1、試以表示解：我們可以通過二倍角和來做此題因?yàn)?，可以得到；因?yàn)?，可以得到又因?yàn)樗伎迹捍鷶?shù)式變換與三角變換有什么不同？代數(shù)式變換往往

10、著眼于式子結(jié)構(gòu)形式的變換對于三角變換，由于不同的三角函數(shù)式不僅會有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還會有所包含的角，以及這些角的三角函數(shù)種類方面的差異，因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個角之間的聯(lián)系，這是三角式恒等變換的重要特點(diǎn)例、求證：（）、；（）、證明：（）因?yàn)楹褪俏覀兯鶎W(xué)習(xí)過的知識，因此我們從等式右邊著手；兩式相加得；即；（）由（）得；設(shè)，那么把的值代入式中得思考：在例證明中用到哪些數(shù)學(xué)思想？例 證明中用到換元思想，（）式是積化和差的形式，（）式是和差化積的形式，在后面的練習(xí)當(dāng)中還有六個關(guān)于積化和差、和差化積的公式例、求函數(shù)的周期，最大值和最小值解：這種形式我們在前面見過，所以，所求的

11、周期，最大值為，最小值為點(diǎn)評：例是三角恒等變換在數(shù)學(xué)中應(yīng)用的舉例，它使三角函數(shù)中對函數(shù)的性質(zhì)研究得到延伸，體現(xiàn)了三角變換在化簡三角函數(shù)式中的作用小結(jié)：此節(jié)雖只安排一到兩個課時的時間，但也是非常重要的內(nèi)容，我們要對變換過程中體現(xiàn)的換元、逆向使用公式等數(shù)學(xué)思想方法加深認(rèn)識，學(xué)會靈活運(yùn)用作業(yè)：三角恒等變換復(fù)習(xí)課（2個課時）一、教學(xué)目標(biāo)進(jìn)一步掌握三角恒等變換的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式與二倍角公式，對三角函數(shù)式進(jìn)行化簡、求值和證明：二、知識與方法：1. 11個三角恒等變換公式中，余弦的差角公式是其它公式的基礎(chǔ)，由它出發(fā)，用-代替、±代替、=等換元法可以推導(dǎo)出其它公式。你能根據(jù)下圖

12、回顧推導(dǎo)過程嗎？2化簡，要求使三角函數(shù)式成為最簡：項(xiàng)數(shù)盡量少，名稱盡量少，次數(shù)盡量底，分母盡量不含三角函數(shù)，根號內(nèi)盡量不含三角函數(shù)，能求值的求出值來；3求值，要注意象限角的范圍、三角函數(shù)值的符號之間聯(lián)系與影響，較難的問題需要根據(jù)上三角函數(shù)值進(jìn)一步縮小角的范圍。4證明是利用恒等變換公式將等式的左邊變同于右邊，或右邊變同于，或都將左右進(jìn)行變換使其左右相等。5. 三角恒等變換過程與方法，實(shí)際上是對三角函數(shù)式中的角、名、形的變換，即（1）找差異：角、名、形的差別；（2）建立聯(lián)系：角的和差關(guān)系、倍半關(guān)系等，名、形之間可以用哪個公式聯(lián)系起來；（3）變公式：在實(shí)際變換過程中，往往需要將公式加以變形后運(yùn)用或逆

13、用公式，如升、降冪公式， cos= coscos（-）- sinsin（-），1= sin2+cos2，=tan（450+300）等。cos（-）=coscos+sinsincos（+）=coscos-sinsinsin（+）=sincos+cossinsin（-）=sincos-cossintan（+）= tan（-）= sin2=2sincoscos2=cos2- sin2=2cos2-1=1-2 sin2tan2=例題例1 已知sin（+）=，sin（-）=，求的值。例2求值：cos24°sin6°cos72°例3 化簡（1）；（2）sin2sin2+cos2cos2-cos2cos2。例4 設(shè)為銳角，且3sin2+2sin2=1，3sin2-2sin2=0，