1、代數(shù)公式：(a _ b)2a2-b2=a2二2ab b2；-(a b)(a -b)；第一章極限與連續(xù)(a二bf =az3a b3ab二；ba3_ b3=( a_ b(奪ab2b三角公式：同角關(guān)系:sin：esc：=1sin2：cos2:倍角關(guān)系：G2 2in cs2降冪公式：sin2-、函數(shù)的概念：1 1、函數(shù)的定義域:cos：sec：=1；tan：=1；1 tan2：= sec2:-；22 -cot 1；tancos：；1 cot2：= CSC2：；cos2 =coa-sin a=2cos=2sina；tan血 二1駕監(jiān)；cos .=1-sin2-a1 -cos2:.；偶次根式：被開方式-0

2、;arcs in x、arccosx:- 1zx乞1；(1)分式：分母-0(3 3 )對數(shù)式：真數(shù)式y(tǒng) f x fx二x二fy二y二(2)2 2、函數(shù)的解析式：3 3、反函數(shù)：函數(shù)y = f x與反函數(shù)y二fx:定義域與值域互換；圖形關(guān)于直線4 4、奇偶性：y = x對稱. 對任意D，若f -xi；= f x，貝U f x為偶函數(shù)，偶函數(shù)圖形關(guān)于y軸對稱;若f(-x)=-f(x)，則f(x)為奇函數(shù)，奇函數(shù)圖形關(guān)于原點對稱.5 5、整理函數(shù)表達式的技巧：(1 1)有理化：例：(2 2)拆分： 例：二、極限：1 1、極限類型：lim qn= 0n(1)(2)f (x)二.X 1 -x -1；11

3、x2-1；x2-2x -3；(2卜：1);n丄nJ丄.亠a0 xa1x_anm-1limmx :-b0 xmbxmJ - bma。b0,0 ,型:0X - x+1 + x_ 1_ x3_ 2 x +1(2x 1)(3x -1)；(x -1)(x21)；x21n：m:,n m代入法：=f(x0)；f若f (x)是多項式的商，則因式分解，約去零因子; 若f(X)的分子或分母含無理式，則有理化約去零因子；(3)Ximi f(x)“sin(x)彳(xr=1lim半=lim華x%g(x)x% g (x)”型：/若f (x)含三角式，用第一個重要極限(x) 0)；“詈“型)；等價代換：XT0 時，sinx

4、x ；tanxx；arctanxx； arcsinxx ；Ix21一 cosx2 ；exx ；In(1+x)x ；(1 + x)。 o x 0)；型：用第二個重要極限 闖1 +(x)% =e(申(X)T0)；洛必達法則:(亦可用于(4)(4)無窮小性質(zhì)：無窮小x有界函數(shù) = =無窮?。?(常見有界函數(shù)：sin：、cos：、arctan：、arccot： ：)(5)(5) 其它類型：(如夾逼準則等)夾逼準則：若yn xn- zn(n - N時)且lim y limz a，貝ylim x a.n n nng：ng：ng：2 2、無窮小的比較:設(shè)阿0,嘰一0P(1)(1) 若lim 0,則稱一：是比

5、高階的無窮小，心a(2)(2)若mC0=，則稱：與是同階無窮小;記作 ：=o(_：J，或稱是比：低階的無窮小;當C = 1時，稱：與用是等價無窮小，記作用：.lim f(x) = f(x0)(lim f(x) = limx0X p0 X Ke-2 2、 間斷點：第一類間斷點(可去間斷點、跳躍間斷點)；第二類間斷點(無窮間斷點、振蕩間斷點等)；3 3、零點定理：設(shè)f(x)在a,b上連續(xù)，且f (a) f(b)：0，則至少有一點：(a,b)，使得f)=0.第二章導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)基本概念:X_?三、連續(xù)：f(xr a。)或01 1、導(dǎo)數(shù)定義:y i. f (x.：x) - f (X0)f(X。)=妁0r啊

6、訕f(x)-f(x0) X-0 x Xof(0)pmf(X)；f(0)2 2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切線斜率k = f(Xo)特殊地:切線方程：y - f(xj = f (x0)(x-x0)；法線方程:y - f(X。)二3 3、微分定義:dy二df (x) = f (x)dx4 4、微分的幾何意義：當厶ydy就是切線的縱坐標對應(yīng)的增量;5 5、關(guān)系：有定義有切線:、導(dǎo)數(shù)和計算:(1)(cf-0；(5)(lOgaX)=U；(3 3),1(6(6)(ln x)x(2 2)(X)X1 xln a (ax) =a(7(7)XXXIn a；(4 4)(e ) = e；(sin x)二cosx；(8)(cos

7、x) - - sin x；2(tanx) =secx； (1010)” 1 ”(13)(13)(arcsinx); (14)14)(arccosc)=F2、/1xs/1x1 x(9)(cotx)二-csCx；(11(11)12-x(secx)二secxtanx；;(15);(15)(arctanx)=(1212)(cscx) - -cscx cotx；1 . 12 ； (1616)(arccotx)2 1 1、連續(xù):2 2、無窮小的比較:設(shè)阿0,嘰一0公式：(sin x)(n)= sin(x )；(cosx)(n)= cos(x )；2 23 3、隱函數(shù)求導(dǎo)：方程兩邊對x求導(dǎo)，只含x的項直接求

8、導(dǎo)，只含y的項對y求導(dǎo)后乘y；三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：1 1、函數(shù)的單調(diào)性、極值：(1)駐點：若f (x00，則x0叫做函數(shù)f (x)的駐點(又叫穩(wěn)定點)；(2) 單調(diào)性:X (a,b)，( 1 1 )若f(x).0,則f(x)單調(diào)增加；(2 2)若fX)：0,則f (x)單調(diào)減少；(3)極值：(極值點必是駐點或不可導(dǎo)點)1第一充分條件：在點X。處，f (x)左增右減，則f(Xo)為極大值；f (x)左減右增，則f(Xo)為極小值；2第二充分條件：f (x00，f ”(Xo) :：0，則f (Xo)為極大值；f(Xo)=O,f (X0) 0，則f (X0)為極小值.2 2、曲線的凹凸性、拐點：(1)

9、凹凸性：x(a,b),(1 1 )若f“(x) 0,則曲線f (X)凹；(2 2)若f (x) 0，則曲線f (x)凸；(2)拐點：(拐點必是f ”(x) =0或f ”(x)不存在的點)在X。的左右凹凸轉(zhuǎn)變，則點(X,f(X0)為拐點；3 3、 漸近線：若Xmy，則有水平漸近線y=a；若鳥y =，則有垂直漸近線x =a；4 4、最值：(1) 求出(a,b)內(nèi)所有駐點及不可導(dǎo)點，計算這些點及兩端點處的函數(shù)值，取其最大、最小值；(2) 設(shè)變量并寫出自變量的范圍，列函數(shù)關(guān)系，求其導(dǎo)數(shù)并求駐點，若唯一駐點，則即為所求；5 5、微分中值定理：(1)羅爾定理：若f (X)在a,b上連續(xù)；在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

10、；f(a)二f(b)，則至少有一點 使得f)=0.2 2、高階導(dǎo)數(shù):Fu V uv1 _V.2；1 1 V_ 2；f (x)= f (u)(x)f (x),d2yd2fdx4 4、參數(shù)方程求導(dǎo):x = x(t)y-y(t)2dyyt)d y )2dxx (t)dxd dy匸匸x(t)(a,b),(2)拉格朗日中值定理：若f (x)在a,b上連續(xù)；在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少有一點(a,b)f()(b)f(a).b a6 6、不等式的證明：常用方法：(構(gòu)造函數(shù))：(1 1)中值定理：(2 2)單調(diào)性；(3 3)最值.第三章不定積分1、不定積分的定義與性質(zhì)：1 1、 原函數(shù)：若F(x) = f(x)

11、(或dF(x) = f (x)dx),則F(x)為f (x)的一個原函數(shù)；2 2、F(x) = f(x)(或dF(x)二f(x)dx)=f (x)dx二F(x) C；3 3、jf(x)dxl = f(x)或d卩f(x)dx = f(x)dx；J F (x)dx = F (x)+C或JdF (x) = F (x)十C；二不定積分的計算：1 1、基本積分公式：(I)JOdx = C；( 2 2)dx = x+C； ( 3 3)(4 4)dx = l n|x|+C；(5 5)exdx =exC；(6 6). axdx工為C (a 0, a)；(7 7)cosxdx = sin x C； (8 8)J

12、sin xdx = cosx +C；22(9 9)sec xdx = tan x C； ( 1010)csc xdx - - cotx C；(II)secxtanxdx二secx C； ( 1212)cscxcot xdx - - cscx C；2 2、不定積分的運算法則:! f (x)二g(x) Idx = f(x)dx二g(x)dx；kf(x)dx=k f(x)dx(k=0)；3 3、積分法：（1 1）直接積分法：對被積函數(shù)進行恒等變形；（2 2） 湊微分法（第一換元法）：.fx dx二f x d F：x；（3 3） 直接換無法（第二換元法）：f （x）dx設(shè)x-（t）（t）d（t） =

13、f（t） （t）dt；1根式代換：設(shè).ax b = t；2三角代換：含a2-x2，設(shè)x=asi nt； 含、.a2x2，設(shè)x = ata nt；含.x2- a2，設(shè)x二asect；（4 4） 分部積分法：.udv = uv - . vdu；v的選擇：優(yōu)先eax、sin ax、cosax；其次x;不考慮對數(shù)和反三角；* *（ 5 5）雜例：含絕對值的函數(shù)和分段函數(shù)的不定積分.第四章定積分一、定積分的幾何意義：在a,b上f x -0時，bf x dx二A（曲邊梯形面積）”La2二、 定積分的性質(zhì)aba性質(zhì)1a f（x）dx=0；& f（x）dx f（x）dx；af 0 ,若f（x）是奇函數(shù)

14、性質(zhì) 2 2f （x）dxa(13(13)1J /1x2dx = arcsinx+C；( 1414)11 x2dx = arctan x十C.v2J0 f（x）dx,右f （x）是偶函數(shù)b性質(zhì) 3 3 如果在區(qū)間a,b上，f(x)_O，則，f(x)dx_O；bb性質(zhì) 4 4 如果在區(qū)間a,b上，f(x) _g(x),則af(x)dag(x)dx；bb性質(zhì) 5 5Jaf (X)dX蘭Jaf (x) dx；b性質(zhì) 6 6 (估值定理)若在a,b上f (x)乞M，則m(b - a)乞af (x)dx乞M(b _ a)；三、 定積分的計算：bb1 1、 牛頓一萊布尼茲公式：af xdx=F xa=F

15、b - F abbbbb2 2、 法則：akf(x)dx =kaf(x)dx；a f (x)一g(x)dx=af (x)dx一ag(x)dxf f (x)dx =af (x)dx十f f (x)dx；3 3、 積分法：直接積分法、湊微分法、直接換元法(換元必須換限)、分部積分法4 4、 廣義積分：a：f xdx=F xa：；f xdx=F x:.fX dx=F X ；Fx四、 變上限定積分：a(x)=( f(t)dt)=f(x) a五、 定積分的應(yīng)用：1 1、 平面圖形的面積：b由y=f(x)，y=g(x)及x=a，x=b( (a：b) )圍成：A=a| f (x) - g(x) |dx；b由

16、x=f(y)，x=g(y)及y=a，y= =b(b(a：b) )圍成：A二a| f (y) - g(y) |dy；2 2、 旋轉(zhuǎn)體體積：b2由y二f(x)，x二a，x二b及x軸圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)：V二a二f(x)dx；-b2由x = f(y)，y=a，y =b及y軸圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)：V =.ia二f (y) dy；第五章微分方程一、 微分方程基本概念微分方程、微分方程的階、微分方程的解：通解、特解、初始條件二、 一階微分方程1 1、 最簡單的一階微分方程：yf(x)解法：兩邊直接積分.2 2、 可分離變量的微分方程：興二f (x)g(y)解法：分離變量法：.(於丫f(x)dx.

17、.3 3、 齊次方程：dx二f(冬),y dy丄du解法：作變量代換 口二呂，貝U dx=uxdx，代入原式化為可分離變量的方程4 4、一階線性微分方程：y P(x)y =Q(x)解法：(1 1)常數(shù)變易法：把相應(yīng)齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)(2 2)公式法:y = JQ(x)eF(x)dXdx+ Ce_押皿三、 二階微分方程：1 1、二階常系數(shù)齊次線性微分方程：y py qy = o解法：特征方程：r2pr 0,特征根：ri,r2(1)實根A時，方程的通解為：yGeM C2er2X；(2)實根*二 ar時，方程的通解為：y二G C?x erx；(3)虛根 *,2：時，方程的通解為：y

18、Gcos：x，C2sin：x2 2、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程：y py qy = f x解法：通解=相應(yīng)齊次方程的通解 此方程特解y*(1)f x = Pnxe：x時，特解y* =xkQnx e：x(其中k =0或1或2，是與特征根r,r2的重根數(shù))(2)f x二acos：x bsin：x時，特解y* =xkAcos：x Bsin : x(其中k =0或1,是 i與特征根r1,r2的重根數(shù))四、特殊類(可降階的高階微分方程)：1 1、y(n)= f(x):解法：通過n次積分即可2 2、y=f(x,y)(不顯含y):解法：令yP(x)，則 y y=：P P ，代入原方程化為一階方程PJf(x

19、, P)3 3、y：=f (y, y)(不顯含x):解法：設(shè)yp，則 八 晉dx=Pjy，代入原方程化為一階方程P齊f(y,p)五、 雜類：第六章級數(shù)一、 級數(shù)的概念與性質(zhì)：1、 級數(shù)定義：二un、 一般項un、部分和sn、部分和數(shù)列snn =12 2、 級數(shù)的收斂與發(fā)散：oOoOoOoO若lim sn二s，則 7un收斂，s叫做 7un的和，記作s - 7 un若lim sn不存在，則un發(fā)散 n n 了 ：n n_ _ : :n=1n=1n=1nV3 3、 級數(shù)的基本性質(zhì)：QOO0QO性質(zhì) 1 1、設(shè)兩收斂級數(shù)s un, ,vn, ,則級數(shù)v(un_Vn)收斂，其和為SI：n二n Tn壬收

20、斂一發(fā)散= =發(fā)散；發(fā)散一發(fā)散= =不確定(可能收斂也可能發(fā)散)0cd性質(zhì) 2 2、如果收斂級數(shù)a un=s，則級數(shù) akun亦收斂，其和為ks. .nFnFn n T T性質(zhì) 3 3、級數(shù)收斂的必要條件：級數(shù)收斂=lim un=0.n二、 正項級數(shù)及其審斂法cQcQcOoQ1 1、比較審斂法：設(shè)正項級數(shù)7 un和 V Vvn且un乞vn( n =1,2,)，若 V Vvn收斂，則 7un收斂；反之,nzinnTn3QOoO若 7un發(fā)散，則Vn發(fā)散n Tn生五、幕級數(shù)收斂半徑為R=min R,2、QQQQ比較審斂法的極限形式：設(shè)J Un與J vn都是正項級數(shù)，如果ngnglim F = |,

21、則J：Vn3 3、(1(1) )當0：丨：時，二級數(shù)有相同的斂散性;QQQQ當l =0時，若J vn收斂，則、Un收斂;n 4nA當l：時，若&vn發(fā)散，則Un發(fā)散.n =1n z!比較審斂法的不便：須有參考級數(shù). .吩j當q c1時，收斂參考級數(shù)：（1 1）幾何級數(shù)aqnn=0、當q判別法）：比值審斂法（達朗貝爾 DD AlembertAlembertU設(shè) 7Un是正項級數(shù)，如果limn 1n廠U=1時失效，級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散三、交錯級數(shù)及其審斂法萊布尼茨定理：若交錯級數(shù)0二(-“Un n 4四、絕對收斂與條件收斂cd定義：若送|un收斂，則En =1_1時,發(fā)散(2)QOP-P

22、-級數(shù)n -A1當p 1時,收斂np當p1時，發(fā)散=- 為數(shù)或+：），則 ：:1時級數(shù)收斂；T 1時級數(shù)發(fā)散;(Un0)滿足條件:(i)Un_ Un 1； (ii)佃U0,則級數(shù)收斂.nacUn為絕對收斂；若、oOUnn doO發(fā)散,而 7Un收斂,n doO則 7Un為條件收斂n A1 1、oOQO幕級數(shù)：ian（x_x0）n稱為（x_）的冪級數(shù)；anxn稱為x的幕級數(shù);n =0其中an為冪級數(shù)系數(shù). .n =02 2、幕級數(shù)的收斂性：cd定理 1 1、若幕級數(shù)vanXn的所有系數(shù)an= 0, ,則收斂半徑R二n =0liml|an|n予予lan 1收斂域可能有四種情況：（-R,R），-R,

23、 R），（-R,R，-R,R3 3、幕級數(shù)的性質(zhì)od八佃-用的n =0nnXn=0(1)設(shè)7anxnn =0n=0(4(4 )向量的向量積:| a b|=|a|b|sin(a,b)；方向：右手法則(與a,b都垂直)QQ(2)s(x)二:anxn在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項求導(dǎo),n=0半徑不變).).4 4、函數(shù)展開成幕級數(shù)1nx =11 - Xn z072n 1xx=X5!7!(2n + 1)!1x2nx4-亠(-1)nX三(_：,)4!(2n)!第七章矢量與空間解析幾何一、 空間直角坐標系1 1、 概念：原點、坐標軸、坐標面、卦限、點的坐標(x, y,z).2、 空間兩點間的距離：|RP2| = J(

24、x2為f +(y2 % f +(z2乙|OP |=Jx2+ y2+ z2二、 空間向量1 1、 概念：向量的模、單位向量、零向量、基向量；平行向量、相等向量、相反向量.一 一 向量的坐標：a = xi yj zk二x,y,z;AB =x2- 為，y2- yi,z2- zj.向量的方向角、方向余弦：cosX-. ,cosyCOSz-,cos2壽cos2:cos2= 1.IaIIaIIaI2 2、 運算：(1)加減法：設(shè)a=x,y1,zi,b=x2, y2,z2，則a= 為上X2,如 士y2,z士Z2.平行四邊形法則、三角形法則；交換律、結(jié)合律.即s(x) =( anXnn=0QQ) =7 (an

25、xn)( (收斂半徑不變) )；noO(3)s(x)二anxnn=0在收斂區(qū)間內(nèi)可逐項積分,QO-n:x一nInXn =0XX即(s(x)dx= |0(送anxn)dx= anxndx(收斂23x x xx (1,1)x，n衛(wèi)n!2!nx+ +，X乏(一O0,十)n!1ln(1 x山匸心n+1n1x3一(一1)弋x (n 2n 1芒(-1)x sin x=心(2n +1)!3!cosxV皿x心(2n)!2!(2) 數(shù)乘向量：設(shè)a =x, y,z，則a = x, y, z.| a| | |a|:a/a二結(jié)合律、分配律；與a同向的單位向量a。a-.| a I(3)向量的數(shù)量積：a b =I a I

26、 Ib I cos(a,b x-|X2y1y2RZ2交換律，對加法的分配律，與數(shù)乘的結(jié)合律；a = a2=I a I2:cos(a，b)=審;(4(4 )向量的向量積:| a b|=|a|b|sin(a,b)；方向：右手法則(與a,b都垂直)反交換律a b - -b a，與數(shù)乘的結(jié)合律，對向量加法的分配律.一- .X1WZi一一關(guān)系：平行：ab= a - b：= XT二二石;ab= a b = 二 垂直：a _ b =a b =0 = x1x2y1y2zz2=0a b一投影：向量b在a上的投影：prja(b)二 辭a平面方程平面的點法式方程：A(x-x() - B(y - y0) C(z -

27、Zo) = 0.平面的一般式方程：Ax By Cz 0, (A,B,C不全為0)， 其法向量為n珂代B,C.(1 1)D =0時，平面過原點；(2)A=0時，平面平行于x軸；同理，B=0或C =0時，平面分別平行于y軸和z軸;(3)A=B=0時，平面平行于xOy面；同理，可討論A=C=0和B = C=0的情況x y z平面的截距式方程：1(a, b, c分別為平面在x軸、y軸、z軸上的截距)a b c點到平面的距離公式：_ Ax0+ By。+ Cz0工D點皿0(心丫0必)到平面Ax By Cz D =0的距離為人2B?C?直線方程%空間直線的點向式方程(或?qū)ΨQ式方程)Ax +B$+ C1z +

28、 D1=0 Ax+ B2y+C2Z + D2 = o.x= x0+mt y =y+ nt Z = Z0十pt球面：(X-X。)2(y-y。)2(Z-Z0)2二R2.柱面：F(x, y)=0(母線平行于z軸的柱面)；F(y,z) =0(母線平行于x軸的柱面)；F(x, z)= 0(母線平行于y軸的柱面). 旋轉(zhuǎn)曲面：X1y1Z1y1zz1y2,z1xx1z2,x1y y.X2y2Z23 3、4 4、三、1 1、2、3 3、4 4、四、1 1、2 2、3 3.1 1、2 2、3 3、4 4、yOz坐標面上的曲線F (y, z) = 0繞z軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面:繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面:xOy坐標面

29、上的曲線F (x, y) = 0繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面:繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面:F(x,z) =0繞x軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面:繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面:Fx2y2,z = 0；Fy,_ x2z2=0；Fx,_ y2z2= 0；F-x2z2, y=0；F x, y2z2A0；F , x2y2,zi；= 0.橢球面：X2y2z2b2C2=1 (a,b,c 0)xOz坐標面上的曲線X1y1zi空間直線的一般式方程:空間直線的參數(shù)式方程:幾種常見曲面,(t為參數(shù))(4(4 )向量的向量積:| a b|=|a|b|sin(a,b)；方向：右手法則(與a,b都垂直)二、多元函數(shù)積分:平行于 z z 軸的曲頂柱體的體積。3 3、二重積分的性質(zhì)：(1)Dkf (X, y)dxdkDf (X, y)dxdy；(2)D f (x,y) -g(x,y)d二二Df(x,y)d二-Dg(x, y)d二；(3)若D = D1D2，則Df(x,y)d；二Df (x,y)d；f(x,y)d匚4 4、 二重積分的計算：(化