1、全等三角形經(jīng)典題型題（含答作者:日期:全等三角形證明經(jīng)典50題（含答案）1 .已知：AB=4 , AC=2, D是BC中點(diǎn)，AD是整數(shù)，求 AD則三角形ADC全等于三角形EBD即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BE<AE<AB+BE即:10-2<2AD<10+2 4<AD<6又AD是整數(shù)，則AD=5一口 ，、一12 .已知：D是AB中點(diǎn)，/ ACB=90 ,求證：CD - AB2所以三角形BCF全等于三角形3.已知：BC=DE , /B=/E, /C=/D, F 是 CD 中點(diǎn)，求證：/ 1 = /2證明：連接 BF 和 EF。因?yàn)?BC=ED

2、,CF=DF, / BCF= / EDF。EDF（邊角邊）。所以 BF=EF,/CBF=/DEF。連接 BE。在三角形 BEF 中,BF=EF。所以 / EBF= / BEF。又因?yàn)?/ABC=/AED。所以 /ABE=/AEB。所以 AB=AE 。 在三角形 ABF 和三角形 AEF 中，AB=AE,BF=EF, / ABF= ZABE+ / EBF= / AEB+ / BEF= / AEF。所以 三角形 ABF 和三角形 AEF 全等。所以 / BAF= / EAF ( / 1 = / 2)。4 .已知：/ 1 = /2, CD=DE , EF/AB ,求證：EF=AC 證明：過(guò)E點(diǎn)，作E

3、G/AC，交AD延長(zhǎng)線于 G則/ DEG= / DCA , /DGE=/2 又 CD=DE .1. ADC GDE ( AAS )EG=AC EF/AB 二 / DFE= / 1/ 1 = / 2 / DFE= / DGE EF=EG EF=AC5 .已知：AD 平分/ BAC , AC=AB+BD ,求證：/ B=2 / C12.如圖，四邊形 ABCD中，AB上。求證：BC=AB+DC 。證明：在 AC 上截取 AE=AB ,連接 ED /AD 平分/ BAC . . / EAD= / BAD 又 ; AE=ABAD=AD ./AEDEABD (SAS) ，/AED=/B,DE=DB -.

4、AC=AB+BD AC=AE+CE CE=DE/ C=/ EDC . / AED= / C+ / EDC=2 ZC-.Z B=2Z C6 .已知：AC 平分/ BAD , CE± AB , / B+/ D=180° ,求證： AE=AD+BE證明：在AE上取F,使EF=EB , 連接CF因?yàn)镃EXAB 所以/ CEB= /CEF=90° 因?yàn)?EB=EF, CE=CE, 所以CEB0CEF 所以 / B = Z CFE 因?yàn)? B+ Z D= 180°, / CFE+Z CFA= 180° 所以/ D = Z CFA 因?yàn)?AC 平分/ BAD

5、 所以/ DAC=Z FAC 又因?yàn)?AC =AC 所以ADCAFC (SAS) 所以 AD = AF 所以 AE =AF + FE =AD + BE/DC, BE、CE 分別平分/ ABC、/ BCD,且點(diǎn) E 在 AD證明：在 BC 上截取 BF=BA,連接 EF.Z ABE= / FBE,BE=BE, 貝U NABETA FBE(SAS),/EFB=/A;AB 平行于 CD, 則:/A+/D=180 ;又/ EFB+AEFC=180，則/EFC=/D; 又/ FCE=Z DCE,CE=CE,故力 FCE A DCE(AAS),FC=CD. 所以,BC=BF+FC=AB+CD.13.已知：

6、AB/ED , /EAB=/BDE, AF=CD , EF=BC ,求證：/ F=Z C ABED,AEBD 推出 AE=BD,又有 AF=CD,EF=BC, 所以三角形AEF全等于三角形DCB, C 所以：/C=/F14AD<BC點(diǎn)是射線BA,CD的交點(diǎn) 的交點(diǎn))。AD>BCE點(diǎn)是射線AB,DC角形所以8=角C15. P是/ BAC 平分線 AD 上一點(diǎn)，AC>AB ,求證：PC-PB<AC-AB)作B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)B ；因?yàn)锳DBAC的平分線B'在線段PC<PBACAC+B 'C,PCB' <B中間，因?yàn)?AB較短) 面 B&#

7、39;C=AC-AB'=AC-AB, AED是等腰三角形。所以： AE=DE而AB=CD所以 BEC是等腰三1617E是ABAF=BDBD=5 ,作AG /AC=7DCAGEBDEPC-PB<AC-AB1=Z2, BE ± AE ,求證AC-AB=2BE/ BAC=180- (/ ABC+ /C=180-4 / C/ 1 = /BAC/2=90-2 / CBE 交 AC因?yàn)椋? 1 =/ 2, BEXAE所以，4ABF是等腰三角形AB=AF,BF=2BE / FBC= / ABC- / ABE=3 / C-2 / C= / CBF=CFAC-AB=AC-AF=CF=BF

8、=2BAG=BD=5AGF sCDFAF=AG=5 所以 DC=CF=218. （5 分）如圖，在 ABC 中，BD=DC, / 1 = 72,求證：AD ± BC.延長(zhǎng)AD至H交BC于H;BD=DC;所以：/DBC=/角 DCB;/1 = /2;/ DBC+ / 1 = / 角 DCB+ Z2;Z ABC= / ACB;所以:AB=AC;三角形ABD全等于三角形 ACD;:AD垂直BC/ BAD= / CAD;AD是等腰三角形的頂角平分線所以AB交OM于點(diǎn)N.19. （5 分）如圖，OM 平分/POQ, MA±OP,MB±OQ, A、B 為垂足, 求證：/ OA

9、B=/OBAQ 因?yàn)锳OM與MOB都為直角三角形、共用 OM ,且/ MOA= / MOB叼/所以MA=MB 所以/ MAB= / MBA因?yàn)? OAM= Z OBM=90 度M 所以/ OAB=90- / MAB / OBA=90- / MBA 所以/ OAB= Z OBAN / &20. （5分）如圖，已知 AD/BC, / PAB的平分線與/ CBA的平分線相交于 E, CE的連線 交 AP 于 D.求證：AD+BC=AB.證明：做BE的延長(zhǎng)線，與AP相交于F點(diǎn)， PA/BC .1 / PAB+ / CBA=180 ,又,，AE , BE均為/ PAB和/ CBA的角平分線 /

10、EAB+ / EBA=90/ AEB=90 ,EAB 為直角三角形在三角形 ABF中，AE LBF,且 AE為/ FAB的角平分線三角形FAB為等腰三角形，AB=AF,BE=EF在三角形DEF與三角形BEC 中，/ EBC=/DFE,且 BE=EF , / DEF= Z CEB, .三角形 DEF與三角形 BEC為全等三角形，DF=BC AB=AF=AD+DF=AD+BC21. （6分）如圖， ABC中,ADBAD是/CAB的平分線，且 AB=AC+CD,求證：/ C=2Z B 證明：在 AB 上找點(diǎn) E,使 AE=AC AE=AC , / EAD= / CAD ,AD=AD . ADEADC

11、 。 DE=CD ,ZAED= /CAB=AC+CD,DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE / B= / EDB / C= / B+ / EDB=2Z B22. (6分)如圖，E、F分別為線段 AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且 DELAC于E, BFLAC于F, 若 AB=CD, AF=CE, BD 交 AC 于點(diǎn) M.(1)求證：MB = MD, ME=MF(2)當(dāng)E、F兩點(diǎn)移動(dòng)到如圖的位置時(shí)，其余條件不變，上述結(jié)論能否成立？若成 立請(qǐng)給予證明；若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由.分析：通過(guò)證明兩個(gè)直角三角形全等，即 RtA DECRtABFA以及垂線的性質(zhì)得出四邊形BEDF是平行四邊形.再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出

12、結(jié)論.解答：解：(1)連接 BE, DF. DE，AC于E, BFAC 于 F, . / DEC= / BFA=90 ,DE/BF,在 RtA DEC 和 RtABFA 中，AF=CE , AB=CD ,RtA DEC RtA BFA , .DE=BF.四邊形 BEDF 是平行四邊形. MB=MD , ME=MF ;(2)連接 BE, DF. DEXAC 于 E, BFAC 于 F, . / DEC= / BFA=90 , DE / BF , 在 RtA DEC 和 RtA BFA 中，AF=CE , AB=CD ,. RtA DEC RtA BFA , . DE=BF . 四邊形BEDF是平

13、行四邊形.，MB=MD , ME=MF .23. (7分)已知：如圖， DC/AB,且DC=AE, E為AB的中點(diǎn), (1)求證： AEDA EBC.(2)觀看圖前，在不添輔助線的情況下，除 EBC外，請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出兩個(gè)與 AED的面積相等的三角形.(直接寫(xiě)出結(jié)果，不要求證明)：(1)DC /AE,且DC=AE ,所以四邊形 AECD是平行四邊形。于是知 AD=EC ,且/ EAD= / BEC。由 AE=BE ,所以 4人£口04 EBC。(2) AAEC > AACD> ECD 都面積相等。24. (7分)如圖， ABC中，/ BAC=90度，AB=AC, BD是/ ABC

14、的平分線，BD的延長(zhǎng)線垂直于過(guò) C點(diǎn)的直線于E,直線CE交BA的延長(zhǎng)線于F.求證：BD=2CE.證明：延長(zhǎng)BA、CE ,兩線相交于點(diǎn) F BEXCE，BEF= / BEC=90在 BEF 和 4BEC 中 /FBE=/CBE, BE=BE, / BEF= / BEC /. BEFA BEC（ASA） EF=EC .-.CF=2CE -/ ABD+ / ADB=90 ，/ACF+ / CDE=90 又 / ADB= / CDE ，/ABD=/ACF 在 ABD 和 ACF 中 /ABD=/ACF, AB=AC, / BAD= / CAF=90 ABD ACF（ASA） BD=CFBD=2CE25

15、、（10 分）如圖：DF=CE AD=BC / D=/ C=求證： AE陰 BFGBD± AG26、（10分）如圖：AE BC交于點(diǎn) M, F點(diǎn)在AML上,BE/ CF, BE=CF求證：AM是 ABC的中線。證明： BE| CF. /E=/CFM, / EBM= / FCM-BE=CF . BEMA CFM.BM=CM .AM 是ABC 的中線.27、（10分）如圖：在 ABC中，BA=BC D是AC的中點(diǎn)。求證:三角形ABD和三角形BCD的三條邊都相等，它們?nèi)?，所以角們的和?80度，所以都是90度，BD垂直AC28、（10分）AB=AC DB=DC F是AD的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)。

16、求證： BF=CF證明：在 AABD 與4ACD 中 AB=ACBD=DCAD=AD ABD ACD / ADB= / ADC/ BDF= / FDC 在 BDF 與 FDC 中BD=DC / BDF= / FDCDF=DF . FBDA FCD. BF=F C29、（12 分）如圖：AB=CD AE=DF CE=FB 求證：AF=DE 因?yàn)?AB=DCAE=DF,CE=FB CE+EF=EF+FB 所以三角形 ABE=三角形 CDF因?yàn)?角DCB=角ABFAB=DC BF=CE 三 角形ABF=三角形CDE所以AF=DE30.公園里有一條“ Z"字形道路 ABCD,如圖所示，其中

17、AB/CD,在AB , CD, BC三段路旁各有一只小石凳 E, F, M,且BE=CF, M在BC的中點(diǎn)，試說(shuō)明三只石凳 E, F, M恰好在一條直線上.，證：: AB平行CD （已知）B=ZC （兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）-月7*. M在BC的中點(diǎn)（已知）EM=FM （中點(diǎn)定義） 在4BME和ACMF中 BE=CF （已知） /B=/C （已證） EM=FM （已證）， BME 乙全等與ACMF （SAS）EMB=/FMC （全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）'/ EMF= / EMB+ / BMF= / FMC+ / BMF= / BMC=180 （等式的性質(zhì)） .E, M, F在同一直線上

18、31.已知：點(diǎn)A、F、E、C在同一條直線上，AF = CE, BE / DF ,BE = DF.求證： ABE0CDF.證明：. AF=CE，AF+EF=CE+EF ，AE=CF -BE/DF / BEA= / DFC又. BE=DF./ABE CDF (SAS)32 .已知：如圖所示， AB = AD , BC = DC, E、F分別是 DC、BC的中點(diǎn)，求證： AE = AF。連結(jié)BD ,得到等腰三角形 ABD和等腰三角形 BDC ,由等 腰兩底角相等得：角ABC二角ADC在結(jié)合已知條件證得： ADEABF得 AE=AF33 .如圖，在四邊形 ABCD中，E是AC上的一點(diǎn)，/ 1 = 72

19、, /3=/4,求證：/ 5= / 6.因?yàn)榻? 二角2/3=/4所以角ADC二角ABC.又因?yàn)锳C是公共邊，所以AAS=三角形ADC全等于三角形 ABC. 所以BC等于DC ,角3等于角4,EC=EC三角形DEC全等 于三角形BEC所以/ 5=7 634 .已知 AB/1 DE, BC/EF, D, C在 AF上，且 AD=CF,求證:ABCADEF.因?yàn)镈,C在AF上且AD=CF所以AC=DF又因?yàn)?AB平行DE, BC平彳T EF所以角A+角EDF,角BCA二角F（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）然后 SSA （角角邊）三角形全等35.已知：如圖，AB=AC,證：BE=CD.BD AC, CE

20、AB,垂足分別為 D、E, BD、CE相交于點(diǎn)F,求證明：因?yàn)?AB=AC , 所以 /EBC=/DCB為 BD ±AC, CEXAB所以 / BEC= / CDBBC=CB （公共邊）則有 三角形EBC全等于三角形 DCB所以BE = CD求證：DE=DF .AAS 證AD EA ADF37.已知：如圖，AC BC于C , DE長(zhǎng)？角C二角E=90度角 B=H EAD=90 度-角 BACBC=AE ABCA DAEAC 于 E , ADAB 于 A , BC =BE,若 AbID5，求 AD C36、如圖，在 ABC中，AD為/ BAC的平分線，DELAB于E, DFLAC于F。

21、AD=AB=538 .如圖：AB=AC , ME LAB, MFXAC,垂足分別為 E、F, ME=MF 。 求證：MB=MC證明AB=ACABC是等腰三角形/ B= / C又 ME=MF , ABEM和ACEM 是直角三角形 . BEM 全等于 ACEM MB=MC39 .如圖，給出五個(gè)等量關(guān)系：AD BCAC BDCE DE D C DAB CBA.請(qǐng)你以其中兩個(gè)為條件，另三個(gè)中的一個(gè)為結(jié)論，推出一個(gè)正確的結(jié)論（只需寫(xiě)出一種情況），并加以證明.已知： 求證:證明: 已知1,2求證4因?yàn)锳D=BC AC=BD，在四邊形 ADBC中，連AB所以4ADB全等于4BCA 所以角口二角C以4,5為條

22、件，1為結(jié)論。即：在四邊形 ABCD中，/D=/C, /A=/B,求證：AD=BC 因 為 / A+ / B+ / C+ / D=360 / D= / C , / A= / B , 所以 2(/ A+ / D)=360° , /A+/D=180 ,所以 AB/DC40.在 ABC 中， ACB 90 , AC BC ,直線 MN 經(jīng)過(guò)點(diǎn) C ,且 AD MN 于 D , BE MN于E.(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證： ADC CEB ； DE AD BE ;若不成立，說(shuō)明理由(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)給出證明;BC(

23、1)證明：ACB=90, . / ACD+ / BCE=90，而 AD，MN 于 D, BEMN 于 E, ./ ADC= /CEB=90 , / BCE+/CBE=90 , . . / ACD= / CBE .在 RtAADC 和 RtACEB中， / ADC= / CEB / ACD= / CBE AC=CB , .1. RtAADC RtA CEB (AAS), . AD=CE ,DC=BE , .1. DE=DC+CE=BE+AD ;(2)不成立，證明：在 4ADC 和 4CEB 中，/ADC= / CEB=90 /ACD= / CBE AC=CB , .ADCA CEB (AAS),

24、 . AD=CE , DC=BE , . . DE=CE-CD=AD-BE ;41.如圖所示，已知 AE± AB, AF± AC, AE=AB AF=AC 求證：(1) EC=BF (2) EC± BF(1)證明；因?yàn)?AE垂直 AB所以角 EAB=角EAC+角CAB=90度因?yàn)?AF垂直AC所以角 CAF=角CAB+角 BAF=90度所以角EAC=角BAF因?yàn)锳E=AB AF=AC所以 三角形EAC和三角形FAB全等所以EC=BF角ECA二角F(2) (2)延長(zhǎng)FB與EC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) G因?yàn)榻荅CA=HF(已證)所以角 6二角CAF因?yàn)榻荂AF=90度所以EC

25、垂直 BFCFXAB , BM=AC , CN=AB。求證：(1) AM=AN ; (2) AM LAN。 證明：(1) BE LAC, CFABABM+ / BAC=90 ,/ ACN+ / BAC=90 / ABM= / ACN-BM=AC ,CN=AB ABM NAC，AM=AN(2) ABM NAC / BAM= / N-/ N+ / BAN=90 = / BAM+ /BAN=90° 即/ MAN=90 . . AM ±AN44.如圖，已知 AC / BD, EA、 相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由RtA DEC 和 RtABFA 中,DE=BF43.如圖，已知/ A= / D,

26、AB=DE,AF=CD,BC=EF.求證：BC / EF連接BF、CE,證明ABF全等于 ADEC (SAS),然后通過(guò)四邊形 BCEF對(duì)邊相等的證得平行四邊形 BCEF 從而求得BC平行于EFEB分另I平分/ CAB和/ DBA , CD過(guò)點(diǎn)E,貝U AB與AC+BD在AB上取點(diǎn)N，使得AN=AC / CAE= / EAN ,AE為公共邊，所以三角形CAE全等三角形EAN所以/ ANE= / ACE又AC平行BD所以/ ACE+ ZBDE=180 而/ ANE+ / ENB=180所以/ ENB= / BDE / NBE= / EBNBE 為公共邊,所以三角形EBN全等三角形EBD所以 BD=BN 所以 AB=AN+BN=AC+BD45、(10分) 如圖，已知：AD是BC上的中線，且DF=DE .求證:BE / CF.證明： AD 是中線BD=CD DF=DE ,Z BDE= /CDF:/ BDEA CDF Z BED= / CFD . . BE| CF46、（10 分）已知：如圖， AB=CD, DE LAC 求證：AB / CD